PIKOMAT

XIX edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2010/2011
Etap I
Klasa IV
Zadanie 1
W puste pola poniższej kwadratowej tablicy 5 × 5 wpisz cyfry 1, 2, 3, 4, 5 tak, aby w każdym
rzędzie pionowym, poziomym i wzdłuż obu przekątnych każda z cyfr występowała tylko raz.
Zadanie 2
Michał, Ola, Kuba i Marcin to czwórka rodzeństwa. Wiadomo, że jeden z chłopców chodzi
do przedszkola, Michał jest starszy od Oli, suma lat Michała i Kuby jest liczbą podzielną
przez 3 oraz, że dzieci są w wieku 5, 8, 13 i 15 lat. Ile lat ma każde z rodzeństwa?
Zadanie 3
Na poniższym rysunku przedstawiono plac z zaznaczonymi na nim kolorem zielonym
kwadratowymi skwerami zieleni.
Podziel ten plac na 3 części tak, aby każda część zawierała dokładnie jeden z kwadratowych
skwerów zieleni oraz:
a) części były jednakowe,
b) części zajmowały jednakową powierzchnię.
Swoje rozwiązania zilustruj na rysunkach.
Uwaga!
W obu przypadkach podziału należy dokonywać wzdłuż linii kratek siatki.
Zadanie 4
Królewna Pięknisia postanowiła obdarować trzynastu krasnoludków 299 smakowitymi,
pachnącymi malinami za ich wspaniałą pracę. W tym celu poprosiła swoich podopiecznych
by ustawili się według wzrostu od najniższego do najwyższego. Najniższy Pikuś otrzymał
pewną ilość pachnących malin, a każdy następny krasnoludek w szeregu otrzymał o jedną
pachnącą malinę więcej niż poprzednik. Najwyższym w szeregu był Matuś. Ile pachnących
malin otrzymał od Pięknisi Matuś?
Klasa V
Zadanie 1
W naszym domu dzbanek do kawy ma pojemność 4 razy większą niż dzbanek do mleka.
Wszyscy używamy filiżanek tej samej wielkości, ale lubimy kawę o różnej zawartości mleka.
1
Ola lubi kawę pół na pół z mlekiem. Ela, Jacek i Kasia nalewają sobie filiżanki mleka, a ja
4
wolę czarną kawę. Napełniłem wszystkie pięć filiżanek zgodnie z naszymi upodobaniami
i okazało się, że jeden z dzbanków jest pusty. Ile płynu zostało w drugim dzbanku?
Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
Przeanalizuj podaną tabelę i podaj brakującą liczbę.
1
2
3
9 10 11
45 60 ?
Zadanie 3
Masz trzy liczby trzycyfrowe: 2A5, 47B, C36. Wyznacz cyfry A, B i C, jeżeli wiadomo, że
ich suma wynosi 15, a każda z liczb trzycyfrowych jest podzielna przez 3.
Zadanie 4
Na stole stoi 24 jednakowych słoików. Wśród nich 5 napełnionych jest sokiem jabłkowym do
pełna, 11 napełnionych jest do połowy, a 8 jest pustych. Podziel te słoiki na trzy grupy po
8 słoików każda tak, aby łączna zawartość soku jabłkowego w każdej grupie była jednakowa,
przy czym nie wolno przelewać soku z jednego słoika do drugiego.
Klasa VI
Zadanie 1
Rozwiąż rebus arytmetyczny, w którym jednakowym literom odpowiadają jednakowe cyfry,
a różnym – różne cyfry.
AB + CD = BC – D, A + B + C + D = 21
Zadanie 2
Pan Stanisław przebywał 14 dni na wczasach w Wiśle. Pogoda była nie najgorsza. Zauważył
on, że jeśli rano padał deszcz, to w południe było pogodnie. Jeśli w południe padał deszcz, to
wieczór był pogodny. Natomiast jeśli wieczorem padał deszcz, to ranki w takie dni były
pogodne. Deszczowych wieczorów było 2 razy więcej niż deszczów w południe, deszcze
padały w południe 2 razy częściej niż rano i nigdy nie padało przez cały dzień. Ile dni
całkowicie pogodnych miał pan Stanisław na wczasach?
Zadanie 3
Marek narysował kwadrat ABCD a następnie na boku AB zbudował trójkąt równoboczny
ABE. Jaką miarę ma kąt DEC? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 4
Z sześciu różnych cyfr utworzono trzy dwucyfrowe liczby pierwsze. Jakie to liczby, jeżeli
wiadomo, że suma tych liczb wynosi 123.
Klasa I
Zadanie 1
Wiek mego pradziadka Wiktora w 1887 roku był równy sumie cyfr roku jego urodzenia. Ile
lat miał pradziadek?
Zadanie 2
Dwa samochody wyjeżdżają jednocześnie naprzeciwko siebie z miejscowości A i B. Mają się
spotkać po upływie 6 godzin. O ile później powinien wyjechać jeden z tych samochodów, aby
1
spotkały się w połowie drogi, jeżeli drugi samochód ma prędkość 1 razy większą od
3
pierwszego?
Zadanie 3
Marcin narysował sześciokąt, w którym każde dwa kolejne boki są prostopadłe. Oblicz pole
tego sześciokąta, jeżeli wiadomo, że długości jego boków wynoszą 3 cm, 5 cm, 6 cm, 8 cm,
10 cm i 16 cm.
Zadanie 4
Poniższy prostokąt 5 × 4 został ułożony przez Kubusia z 10 kostek domina. Narysuj ich
krawędzie. Wiadomo, że Kubuś użył następujących kostek: {0; 0}, {0; 1}, {0; 2}, {0; 3},
{1; 1}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 2}, {2; 3}, {3; 3}.
0
0
3
1
3
1
2
0
3
2
0
1
2
1
1
3
3
2
0
2
Klasa II
Zadanie 1
Pewien jegomość przyjeżdża na dworzec kolejowy o godzinie 8.00, gdzie czeka na niego
samochód. Pewnego razu przyjechał on o godzinie 7.00 rano i poszedł piechotą w kierunku
swojej firmy. Idąc spotkał samochód jadący na dworzec kolejowy i przyjechał o 20 minut
wcześniej niż zwykle. O której godzinie nastąpiło spotkanie? Ile razy szybciej jedzie
samochód niż idzie ten jegomość?
Zadanie 2
Janek ma wpisać cyfry: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9 w puste pola kwadratowej
tablicy 4 × 4 w taki sposób, aby powstałe liczby czterocyfrowe, czytane pionowo i poziomo,
w przód i wspak, były podzielne przez 9. Janek wie, jaki warunek musi być spełniony, aby
liczba była podzielna przez 9. Jak zatem będzie wyglądać uzupełniona powyższymi cyframi
tablica Janka?
Zadanie 3
Kwadrat o boku długości a dzielimy na 3 prostokąty A, C, D i mniejszy kwadrat B, jak na
rysunku. Czy 3 spośród tych części mogą mieć taki sam obwód? Jeżeli tak, to które to części?
Odpowiedź uzasadnij.
B
A
C
a
D
a
Zadanie 4
Grupa znajomych zbiera grzyby. Jeden z nich znalazł 6 prawdziwków, a pozostali po 13.
Następnym razem w grzybobraniu wzięła udział inna grupa grzybiarzy. Tym razem jeden
znalazł 5 prawdziwków, a pozostali po 10. Ile osób uczestniczyło w pierwszym grzybobraniu,
a ile w drugim, jeżeli wiadomo, że zebrano w nich tę samą liczbę prawdziwków – większą od
100, ale nie przekraczającą 200.
Klasa III
Zadanie 1
Suma dwóch liczb całkowitych jest równa 667, a iloraz z dzielenia ich najmniejszej wspólnej
wielokrotności i największego wspólnego dzielnika wynosi 120. Jakie to liczby? Odpowiedź
uzasadnij.
Zadanie 2
Marek ma wpisać cyfry: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9 w puste pola kwadratowej
tablicy 4 × 4 w taki sposób, aby powstałe liczby czterocyfrowe, czytane pionowo i poziomo,
w przód i wspak, były podzielne przez 11. Marek wie, że liczba dzieli się przez 11 wtedy, gdy
sumując co drugą cyfrę, otrzymujemy w obydwu przypadkach to samo np. dla liczby 6897
mamy 6 + 9 = 8 + 7. Jak zatem będzie wyglądać uzupełniona powyższymi cyframi tablica
Marka?
Zadanie 3
Dany jest ośmiokąt wypukły, w którym sąsiednie boki mają długość 1cm oraz 2 cm, a kąty
wewnętrzne są równe. Oblicz pole tego ośmiokąta oraz długości jego przekątnych.
Zadanie 4
Samolot bojowy w bezwietrzną pogodę przelatuje 1000 km w ciągu godziny. Zapas paliwa
pozwala na 3 godzinny lot. Na jaką bezpieczną odległość może się oddalić ten samolot od
miejsca startu, jeżeli ma do niego powrócić, a w pierwszej fazie lotu napotyka wiatr
przeciwny wiejący z prędkością 40 km/h? Zakładamy, że prędkość i kierunek wiatru nie
ulegają zmianie.
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak
Informacje o przebiegu konkursu można znaleźć w Internecie pod adresem:
http://www.ssodelta.edu.pl