DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
Transkrypt
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
Dominik Kretschmer rok akademicki 2005/2006 grupa 2 konsultacje: dr inŜ. J.Pulikowski DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla układu ramowego o zadanych przekrojach prętów obliczyć częstości drgań własnych i narysować trzy pierwsze postacie drgań. m=240kg 1 3 4 3 2 E=205GPa 5 4 [m] Charakterystyki prętów: Nr pręta Przekrój l[m] A[m 2 ] I [m 4 ] M [kg ] m EA[N ] EI [ Nm 2 ] 1 2 3 4 I240 I240 I200 I200 4,0 5,0 3,0 5,0 0,00461 0,00461 0,00335 0,00335 0,0000425 0,0000425 0,0000214 0,0000214 36,2 36,2 26,3 26,3 945050000 945050000 686750000 686750000 8712500 8712500 4387000 4387000 Wyznaczenie wartości częstości drgań własnych w ujęciu komputerowym sprowadza się do rozwiązania ogólnego równania ruchu układu: [ K ] ⋅ [q] + [C ] ⋅ [q& ] + [ M ] ⋅ [q&&] = [ P ] 2 Dynamika ram – wersja komputerowa Po wyeliminowaniu z tego równania działania sił wymuszających i tłumienia, otrzymujemy równanie drgań własnych nietłumionych: [ K ] ⋅ [q ] + [ M ] ⋅ [q&&] = 0 gdzie: q = q0 sin ωt q&& = −q 0ω 2 sin ωt czyli ostatecznie ([ K ] − λ[ M ])[q0 ] = [0] λ = ω2 Jak łatwo zauwaŜyć w dynamice, oprócz macierzy sztywności [K] pojawia się dodatkowo macierz mas [M] opisywana dokładnie funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi, które dla uproszczenia obliczeń zastępuje się zwykle przybliŜonymi funkcjami wielomianowymi. W tym przypadku podział układu na elementy ma juŜ duŜe znaczenie: im gęstszy podział, tym dokładniejsze wyniki. W tym projekcie kaŜdy z prętów będzie stanowił pojedynczy element, a przemieszczenia oprócz punktów węzłowych zostaną obliczone w punktach wynikających z podziału kaŜdego pręta na 5 części, co pozwoli na dokładniejsze zobrazowanie postaci drgań własnych. a) układ globalny, x y q6 q1 q10 q4 q3 q7 q2 q16 q5 q8 q9 q13 q14 q15 Dominik Kretschmer, gr.2KBI q11 q12 24.10.2005r. 3 Dynamika ram – wersja komputerowa b) układy lokalne poszczególnych prętów, Pręt 3 Pręt 1 q3 q2 y q6 q1 q1 x 1 q4 q5 q2 3 q3 3 4 q5 q6 q4 y x Pręt 2 Pręt 4 y q3 q2 q2 q6 q1 x 2 5 q5 q1 q4 q3 4 q5 y q4 5. 0 q6 x Z tak przyjętych układów lokalnych wynika, Ŝe transformację macierzy sztywności i mas z układu lokalnego do globalnego będziemy przeprowadzać dla pręta 3 i 4, odpowiednio o kąty 900 oraz 143,13010. Dla prętów 1 i 2 układy lokalne pokrywają się z układem globalnym. W tak przyjętych układach współrzędnych, pręt 4 to pręt z przegubem na lewym końcu, pozostałe pręty zaś są obustronnie utwierdzone. Przy obliczaniu macierzy sztywności i mas dokonamy redukcji statycznej. Wzory ogólne mają postać: a) pręt obustronnie utwierdzony Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 4 Dynamika ram – wersja komputerowa EAl 2 0 1 0 ~ Ke = 3 l − EAl 2 0 0 0 0 − EAl 2 0 12 EI 6 EIl 0 6 EIl 4 EIl 2 0 0 0 EAl 2 − 12 EI 6 EIl 0 − 12 EI 6 EIl − 6 EIl 2 EIl 2 0 0 12 EI − 6 EIl − 6 EIl 2 EIl 2 0 − 6 EIl 4 EIl 2 0 b) pręt z przegubem na lewym końcu EAl 2 0 1 0 ~ Ke = 3 l − EAl 2 0 0 3EI 0 0 0 0 0 0 0 EAl 2 − 3EI 3EIl 0 0 0 0 − 3EI 3EIl 0 0 0 0 3EI − 3EIl − 3EIl 3EIl 2 0 0 236262500 0 0 1633593,75 0 3267187,5 -236262500 0 0 -1633593,75 0 3267187,5 0 3267188 8712500 0 -3267188 4356250 -236262500 0 0 236262500 0 0 0 -1633593,75 -3267187,5 0 1633593,75 -3267187,5 0 3267188 4356250 0 -3267188 8712500 dla pręta drugiego w układzie lokalnym i globalnym ~ K ( 2) = K ( 2) = 0 − EAl 2 dla pręta pierwszego w układzie lokalnym i globalnym ~ K (1) = K (1) = 0 189010000 0 0 -189010000 0 0 0 836400 2091000 0 -836400 2091000 0 2091000 6970000 0 -2091000 3485000 -189010000 0 0 189010000 0 0 0 -836400 -2091000 0 836400 -2091000 0 2091000 3485000 0 -2091000 6970000 0 0 -228916666,7 0 0 dla pręta trzeciego W układzie lokalnym: 228916666,7 ~ K ( 3) = 0 1949777,778 2924666,667 0 -1949777,778 2924666,667 0 2924666,667 5849333,333 0 -2924666,667 2924666,667 -228916666,7 0 0 228916666,7 0 0 0 -1949777,778 -2924666,667 0 1949777,778 -2924666,667 0 Dominik Kretschmer, gr.2KBI 2924666,667 2924666,667 0 -2924666,667 5849333,333 24.10.2005r. 5 Dynamika ram – wersja komputerowa Zgodnie z prawem transformacji mamy: ~ K (e ) = T T K (e )T Macierz transformacji dla pręta 3 ma postać ( kąt α = 90° ) 0 1 0 0 0 0 T= -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 Zatem macierz sztywności w układzie globalnym ma postać: K ( 3) = 1949777,778 0 0 228916666,7 -2924666,667 0 -1949777,778 0 -2924666,667 -1949777,778 0 -2924666,667 -228916666,7 0 5849333,333 2924666,667 0 2924666,667 2924666,667 1949777,778 0 2924666,667 0 0 0 -228916666,7 0 0 228916666,7 0 -2924666,667 0 2924666,667 2924666,667 0 5849333,333 dla pręta czwartego W układzie lokalnym: ~ K ( 4) = 137350000 0 0 -137350000 0 0 0 105288 0 0 -105288 526440 0 0 0 0 0 0 -137350000 0 0 -105288 0 0 137350000 0 0 105288 0 -526440 0 526440 0 0 -526440 2632200 0 0 0 0,6 -0,8 0 0 0 0 0 0 1 Zgodnie z prawem transformacji mamy: ~ K (e ) = T T K (e )T Macierz transformacji dla pręta 4 ma postać ( kąt α = 143,130124° ) T= -0,8 -0,6 0 0 0 0 0,6 -0,8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,8 -0,6 0 Zatem macierz sztywności w układzie globalnym ma postać: K ( 4) = 87941903,68 -65877461,76 0 -87941903,68 65877461,76 -315864 -65877461,76 49513384,32 0 65877461,76 -49513384,32 -421152 0 0 0 0 0 0 -87941903,68 65877461,76 0 87941903,68 -65877461,76 315864 65877461,76 -49513384,32 -315864 -421152 0 0 -65877461,76 49513384,32 315864 421152 421152 2632200 Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 6 Dynamika ram – wersja komputerowa 3. Utworzenie macierzy mas prętów. Wzory ogólne mają postać: a) pręt obustronnie utwierdzony 0 140 0 156 22l µl 0 ~ Me = 0 420 70 0 54 0 − 13l 0 22l 4l 2 70 0 0 0 54 13l 0 13l 140 0 0 156 − 3l 2 0 − 22l 0 − 13l − 3l 2 0 − 22l 4l 2 b) pręt z przegubem na lewym końcu 0 140 0 99 0 µl 0 ~ Me = 0 420 70 0 58,5 0 − 16,5l ~ M (1) = M (1) = 0 58,5 0 0 140 0 0 0 204 0 − 36l 0 0 0 − 36l 8l 2 0 − 16,5l 0 0 0 0 0 53,78285714 30,33904762 30,33904762 22,0647619 24,13333333 0 0 24,13333333 0 0 48,26666667 0 0 18,61714286 -17,92761905 17,92761905 -16,54857143 0 0 0 18,61714286 17,92761905 0 53,78285714 -30,33904762 0 -17,92761905 -16,54857143 0 -30,33904762 22,0647619 dla pręta drugiego w układzie lokalnym i globalnym ~ M ( 2) = M ( 2) = 70 0 0 dla pręta pierwszego w układzie lokalnym i globalnym 48,26666667 0 0 0 60,33333333 0 0 30,16666667 0 67,22857143 47,4047619 0 0 30,16666667 47,4047619 0 43,0952381 0 0 0 23,27142857 -28,01190476 0 28,01190476 -32,32142857 60,33333333 0 0 0 23,27142857 28,01190476 0 67,22857143 -47,4047619 0 -28,01190476 -32,32142857 0 -47,4047619 43,0952381 dla pręta trzeciego W układzie lokalnym: 26,3 ~ M ( 3) = 0 0 13,15 0 0 0 29,30571429 12,39857143 0 10,14428571 -7,326428571 0 12,39857143 6,762857143 0 7,326428571 -5,072142857 13,15 0 0 0 10,14428571 7,326428571 26,3 0 0 0 29,30571429 -12,39857143 0 -7,326428571 -5,072142857 0 -12,39857143 6,762857143 Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 7 Dynamika ram – wersja komputerowa Zgodnie z prawem transformacji mamy: ~ M (e ) = T T M (e )T Macierz transformacji dla pręta 3 ma postać ( kąt α = 90° ) 0 1 0 0 0 0 T= -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 Zatem macierz mas w układzie globalnym ma postać: M ( 3) = 29,30571429 0 0 26,3 -12,39857143 10,14428571 0 0 0 13,15 7,326428571 0 -12,39857143 0 6,762857143 -7,326428571 0 -5,072142857 10,14428571 0 -7,326428571 29,30571429 0 12,39857143 0 13,15 7,326428571 0 0 0 -5,072142857 12,39857143 26,3 0 0 6,762857143 0 0 dla pręta czwartego W układzie lokalnym: ~ M ( 4) = 43,83333333 0 0 21,91666667 0 30,99642857 0 0 0 0 0 0 0 0 21,91666667 0 0 43,83333333 0 0 0 18,31607143 0 0 63,87142857 -56,35714286 0 -25,83035714 0 0 -56,35714286 62,61904762 18,31607143 -25,83035714 Zgodnie z prawem transformacji mamy: ~ M (e ) = T T M (e )T Macierz transformacji dla pręta 4 ma postać ( kąt α = 143,130124° ) T= -0,8 -0,6 0 0 0 0 Dominik Kretschmer, gr.2KBI 0,6 -0,8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,8 -0,6 0 0 0 0 0,6 -0,8 0 0 0 0 0 0 1 24.10.2005r. 8 Dynamika ram – wersja komputerowa Zatem macierz mas w układzie globalnym ma postać: M ( 4) = 39,21204762 -6,161714286 0 20,62045238 -1,728285714 15,49821429 -6,161714286 35,61771429 0 -1,728285714 19,61228571 20,66428571 0 0 0 0 0 0 20,62045238 -1,728285714 0 51,04704762 9,618285714 33,81428571 -1,728285714 19,61228571 0 9,618285714 56,65771429 45,08571429 15,49821429 20,66428571 0 33,81428571 45,08571429 62,61904762 4. Agregacja macierzy sztywności i macierzy mas. Agregację macierzy sztywności i mas wykonujemy zgodnie z zamieszczoną poniŜej tabelą powiązań, utworzoną na podstawie rysunku umieszczonego na początku projektu. W macierzy mas musimy uwzględnić dodatkowo masę skupioną m (dodatkowa siła bezwładności po kierunkach przemieszczeń q4 i q5). Tabela powiązań ma postać: nr pręta 1 2 3 4 1 1 4 8 4 numer lokalnego przemieszczenia 2 3 4 5 2 3 4 5 5 6 8 9 9 10 11 12 5 7 14 15 6 6 10 13 16 Agregację macierzy sztywności i mas zapiszemy za pomocą symboli: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 pręt 1 Dominik Kretschmer, gr.2KBI pręt 2 pręt 3 pręt 4 24.10.2005r. 9 Dynamika ram – wersja komputerowa Po wykonaniu agregacji macierzy moŜemy uwzględnić warunki podparcia. Na podstawie rysunku zamieszczonego na początku projektu mamy: q1 = q 2 = q3 = q11 = q12 = q13 = q14 = q15 = q16 q7 ≠ 0 ⇒ R7 = 0 a następnie wykreślić z macierzy mas i sztywności wiersze i kolumny odpowiadające powyŜszym przemieszczeniom. Ostatecznie uzyskamy macierze o wymiarach 6 x 6: Globalna macierz sztywności ma postać: K= 513214403,7 -65877461,76 0 -189010000 0 0 -65877461,76 51983378,07 0 -1176187,5 -1176187,5 15682500 0 0 -836400 -2091000 2091000 3485000 -189010000 0 0 190959777,8 0 -2924666,667 0 -836400 -2091000 0 229753066,7 -2091000 0 2091000 3485000 -2924666,667 -2091000 12819333,33 0 30,16666667 0 0 Globalna macierz mas ma postać: 387,8120476 -6,161714286 -6,161714286 396,6291429 17,06571429 M = 0 17,06571429 65,16 0 23,27142857 -28,01190476 0 28,01190476 -32,32142857 30,16666667 0 0 89,63904762 0 -12,39857143 0 23,27142857 28,01190476 0 93,52857143 -47,4047619 0 -28,01190476 -32,32142857 -12,39857143 -47,4047619 49,85809524 5. Obliczenie wektorów i własności własnych. Podstawiając powyŜsze macierze do równania ([ K ] − λ[ M ])[q0 ] = [0] moŜemy wyznaczyć wartości własne λ oraz wektory własne [q 0 ] . Po rozwiązaniu tego równania w programie UPW otrzymujemy następujące wartości własne: rad 2 rad ⇔ λ1 = 78236,5 2 ω1 = 279,7079 s s rad 2 2 s rad 2 λ3 = 582220 2 s rad 2 λ4 = 712868 2 s rad 2 λ5 = 3285930 2 s λ2 = 140798 rad 2 2 s λ6 = 5479490 Dominik Kretschmer, gr.2KBI rad s ⇔ ω2 = 375,2306 ⇔ ω3 = 763,0334 ⇔ ω4 = 844,3151 rad s rad s rad s ⇔ ω5 = 1812,713 ⇔ ω6 = 2340,831 rad s 24.10.2005r. 10 Dynamika ram – wersja komputerowa oraz wektory własne: q 01 = q 04 = -0,103704 -0,0705074 0,619031 -0,46423 -0,259127 -0,238487 -0,376313 -0,103033 q 02 = 0,578442 -0,0801504 q 03 = -0,267053 0,933221 -0,0161143 0,0231852 0,00755818 0,457 -0,566469 -0,379062 -0,0745527 0,380226 0,0804448 -0,0314355 -0,0275597 -0,0223267 -0,943696 q 05 = -0,155924 q 06 = -0,186372 -0,0746644 -1 -0,363932 0,0730428 -1,04968 0,529345 0,157834 -1,0193 -1,24215 6. Postacie drgań własnych. Do narysowania postaci drgań odpowiadających trzem pierwszym częstościom drgań posłuŜymy się funkcjami kształtu. W zaleŜności od sposobu podparcia pręta opisujemy je odpowiednimi wzorami: Pręt obustronnie utwierdzony Pręt z przegubem lewym końcu ~ x N1 ( ~ x) = 1− l ~ x N1 ( ~ x) = 1− l 2 3 x x ~ ~ N 2 (~ x ) = 1 − 3 + 2 l l 2 ~ x ~ x ~ ~ N 3 ( x ) = x 1 − 2 + l l ~ x N 4 (~ x) = l 2 3 x x ~ ~ N 5 (~ x ) = 3 − 2 l l 2 ~ x ~ x ~ ~ N 6 ( x ) = x − + l l 3 3~ x 1~ x N 2 (~ x) = 1− + 2 l 2 l ~ x N 4 (~ x) = l 3 3~ x 1~ x N 5 (~ x) = − 2 l 2 l 2 1 1~ x ~ ~ N 6 ( x ) = x − + 2 2 l Do opisu przemieszczeń na długości pręta posłuŜą nam następujące funkcje przemieszczeń: u~ ( ~ x ) = q~1 N 1 ( ~ x ) + q~4 N 4 ( ~ x) ~ ~ ~ ~ ~ v ( x ) = q 2 N 2 ( x ) + q3 N 3 ( ~ x ) + q~5 N 5 ( ~ x ) + q~6 N 6 ( ~ x) Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 11 Dynamika ram – wersja komputerowa Zapis macierzowy tych funkcji jest następujący: U ( 2 x1) = N ( 2 x 6 ) ⋅ q~( 6 x1) Gdzie: u U (~ x , t) = , v x) 0 0 N 4 (~ x) 0 0 N (~ N (~ x) = 1 N 2 (~ x ) N 3 (~ x) 0 N 5 (~ x ) N 6 (~ x ) 0 Wartości przemieszczeń obliczymy oprócz punktów węzłowych w 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 długości pręta. Aby określić postacie drgań musimy przypisać składowe wektorów własnych [q0i] poszczególnym prętom. PosłuŜymy się w tym celu tabelą powiązań. PoniewaŜ obliczone wartości składowych wektorów [q0i] dotyczą globalnego układu współrzędnych, dla pręta 3 i 4 będziemy musieli dodatkowo wykonać transformację do układu lokalnego (dla prętów 1 i 2 układ globalny pokrywa się z układem lokalnym) według wzoru: [q~0 ] = [T ] ⋅ [q0 ] W miejsce niewiadomego kąta obrotu w przegubie (przemieszczenia q7), które pominęliśmy w obliczeniach wykonując redukcję statyczną, moŜemy podstawić dowolną liczbę, gdyŜ dla pręta z przegubem na lewym końcu nie ma funkcji kształtu N3. Po podstawieniu danych, macierze funkcji kształtu dla poszczególnych prętów są następujące: x) 0 0 N 4 (~ x) 0 0 N (~ N (~ x) = 1 ~ ~ ~ N 2 (x ) N 3 (x ) 0 N 5 ( x ) N 6 (~ x ) 0 PRĘT 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N (0,8) = 0,8 0 0 0,896 0 0,512 0,2 0 0 0,104 0 -0,128 N (1,6) = 0,6 0 0 0,648 0 0,576 0,4 0 0 0,352 0 -0,384 N (2,4) = 0,4 0 0 0,352 0 0,384 0,6 0 0 0,648 0 -0,576 N (3,2) = 0,2 0 0 0,104 0 0,128 0,8 0 0 0,896 0 -0,512 N (4,0) = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 N (0) = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N (0) = PRĘT 2 Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 12 Dynamika ram – wersja komputerowa N (1,0) = 0,8 0 0 0,896 0 0,64 0,2 0 0 0,104 0 -0,16 N (2,0) = 0,6 0 0 0,648 0 0,72 0,4 0 0 0,352 0 -0,48 N (3,0) = 0,4 0 0 0,352 0 0,48 0,6 0 0 0,648 0 -0,72 N (4,0) = 0,2 0 0 0,104 0 0,16 0,8 0 0 0,896 0 -0,64 N (5,0) = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 N (0) = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N (0,6) = 0,8 0 0 0,896 0 0,384 0,2 0 0 0,104 0 -0,096 N (1,2) = 0,6 0 0 0,648 0 0,432 0,4 0 0 0,352 0 -0,288 N (1,8) = 0,4 0 0 0,352 0 0,288 0,6 0 0 0,648 0 -0,432 N (2,4) = 0,2 0 0 0,104 0 0,096 0,8 0 0 0,896 0 -0,384 N (3,0) = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 N (0) = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N (1,0) = 0,8 0 0 0,704 0 0 0,2 0 0 0,296 0 -0,48 N (2,0) = 0,6 0 0 0,432 0 0 0,4 0 0 0,568 0 -0,84 N (3,0) = 0,4 0 0 0,208 0 0 0,6 0 0 0,792 0 -0,96 N (4,0) = 0,2 0 0 0,056 0 0 0,8 0 0 0,944 0 -0,72 N (5,0) = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 PRĘT 3 PRĘT 4 Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 13 Dynamika ram – wersja komputerowa PIERWSZA POSTAĆ DRGAŃ rad s ω1 = 279,7079 Po transformacji do układów lokalnych otrzymano następujące wartości przemieszczeń węzłowych: Pręt 1 Pręt 2 Pręt 4 0 -0,1037 -0,01611 -0,19557 0 -0,46423 0,103033 0,433606 0 q~1 = Pręt 3 q~2 = -0,103704 -0,37631 q~3 = 0,457 q~4 = 1 -0,10303 0 0 -0,46423 -0,01611 0 0 -0,376313 0,457 0 0 Przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych dla wybranych punktów są następujące: u U (~ x , t) = v Pręt 1 Pręt 2 Pręt 3 Pręt 4 0,0 0,0 U (0) = -0,103704 -0,464230 U (0) = -0,016114 0,103033 U (0) = -0,195575 0,433606 U (0,8) = -0,020741 -0,000112 U (1,0) = -0,103570 -0,731586 U (0,6) = -0,012891 0,267806 U (1,0) = -0,156460 0,305259 U (1,6) = -0,041482 -0,018905 U (2,0) = -0,103436 -0,796799 U (1,2) = -0,009669 0,264189 U (2,0) = -0,117345 0,187318 U ( 2,4) = -0,062222 -0,084065 U (3,0) = -0,103301 -0,683521 U (1,8) = -0,006446 0,167884 U (3,0) = -0,078230 0,090190 U (3,2) = -0,082963 -0,223278 U (4,0) = -0,103167 -0,415408 U (2,4) = -0,003223 0,054587 U (4,0) = -0,039115 0,024282 U ( 4,0) = -0,103704 -0,464230 U (5,0) = -0,103033 -0,016114 U (3,0) = 0,0 0,0 U (5,0) = 0,0 0,0 U (0) = Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy pierwszą postać drgań własnych. Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 14 I postać drgań ω1 =279,71 rad s Dynamika ram – wersja komputerowa Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 15 Dynamika ram – wersja komputerowa DRUGA POSTAĆ DRGAŃ rad s ω 2 = 375,2306 Po transformacji do układów lokalnych otrzymano następujące wartości przemieszczeń węzłowych: Pręt 1 q~1 = Pręt 2 Pręt 3 Pręt 4 0 -0,0705074 0,0231852 -0,09907028 0 -0,259127 0,0801504 0,24960604 0 -0,0705074 q~2 = -0,259127 0,578442 0,578442 -0,0801504 q~3 = 0,0231852 -0,566469 -0,566469 0 q~4 = 0 0 1 0 0 0 Przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych dla wybranych punktów są następujące: u U (~ x , t) = v Pręt 1 Pręt 2 Pręt 3 Pręt 4 0,0 0,0 U (0) = -0,070507 -0,259127 U (0) = 0,023185 0,080150 U ( 0) = -0,099070 0,249606 U (0,8) = -0,014101 -0,100990 U (1,0) = -0,072436 0,231071 U (0,6) = 0,018548 -0,145709 U (1,0) = -0,079256 0,175723 U (1,6) = -0,028203 -0,313334 U (2,0) = -0,074365 0,528630 U (1,2) = 0,013911 -0,192777 U (2,0) = -0,059442 0,107830 U ( 2,4) = -0,042304 -0,501097 U (3,0) = -0,076293 0,609321 U (1,8) = 0,009274 -0,134930 U (3,0) = -0,039628 0,051918 U (3,2) = -0,056406 -0,528340 U (4,0) = -0,078222 0,448916 U (2,4) = 0,004637 -0,046045 U (4,0) = -0,019814 0,013978 U ( 4,0) = -0,070507 -0,259127 U (5,0) = -0,080150 0,023185 U (3,0) = 0,0 0,0 U (5,0) = 0,0 0,0 U (0) = Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy drugą postać drgań własnych. Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 16 II postać drgań ωω2 ==375,23 375,23 rad/s rad 2 s Dynamika ram – wersja komputerowa Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 17 Dynamika ram – wersja komputerowa TRZECIA POSTAĆ DRGAŃ rad s ω 3 = 763,0334 Po transformacji do układów lokalnych otrzymano następujące wartości przemieszczeń węzłowych: Pręt 1 q~1 = Pręt 2 Pręt 3 Pręt 4 0 0,619031 0,00755818 -0,638317 0 -0,238487 -0,933221 -0,180629 0 0,619031 q~2 = -0,238487 -0,267053 -0,267053 0,933221 q~3 = 0,00755818 -0,379062 -0,379062 0 q~4 = 0 0 1 0 0 0 Przemieszczenia w lokalnym układzie współrzędnych dla wybranych punktów są następujące: u U (~ x , t) = v Pręt 1 Pręt 2 Pręt 3 Pręt 4 0,0 0,0 U (0) = 0,619031 -0,238487 U ( 0) = 0,007558 -0,933221 U (0) = -0,638317 -0,180629 U (0,8) = 0,123806 0,009380 U (1,0) = 0,681869 -0,323162 U (0,6) = 0,006047 -0,981726 U (1,0) = -0,510654 -0,127163 U (1,6) = 0,2476124 0,0186009 U (2,0) = 0,744707 -0,162208 U (1,2) = 0,004535 -0,768482 U ( 2,0) = -0,382990 -0,078032 U ( 2,4) = 0,371418 -0,000717 U (3,0) = 0,807545 0,065689 U (1,8) = 0,003023 -0,437664 U (3,0) = -0,255327 -0,037571 U (3,2) = 0,495224 -0,076953 U (4,0) = 0,870383 0,181841 U (2,4) = 0,001512 -0,133445 U ( 4,0) = -0,127663 -0,010115 U ( 4,0) = 0,619031 -0,238487 U (5,0) = 0,933221 0,007558 U (3,0) = 0,0 0,0 U (5,0) = 0,0 0,0 U (0) = Po naniesieniu przemieszczeń otrzymujemy trzecią postać drgań własnych. Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r. 18 III postać drgań ω3=763,03 rad s Dynamika ram – wersja komputerowa Dominik Kretschmer, gr.2KBI 24.10.2005r.