Zadania przygotowawcze do Olimpiady Matematycznej, 2

Zadania przygotowawcze do Olimpiady Matematycznej, 2
Zad. 1. Długości boków trójkąta o polu równym S są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć długości tych boków.
Zad. 2. Wykazać, że wśród osiemnastu kolejnych liczb trzycyfrowych istnieje liczba podzielna przez sumę swoich cyfr.
Zad. 3. Rozstrzygnąć, czy istnieje potęga liczby dwa taka, że zmieniając kolejność jej
cyfr otrzymamy również potęgę liczby dwa.
Zad. 4. Wyznaczyć wszystkie liczby calkowite n takie, że równanie
spełnione przez pewne niezerowe liczby całkowite a, b.
1
a
+
1
b
=
n
a+b
jest
Zad. 5. Rozwiązać w liczbach całkowitych m, n równanie 2n + 7 = m2 .
Zad. 6. Wyznaczyć wszystkie ciągi (an ) o wyrazach całkowitych spełniające warunki:
(a) a2 = 2;
(c) amn = am an
(b) an > am
jeśli n > m.
dla wszystkich n, m ∈ N
Zad. 7. W trójkącie ABC dwusieczne kątów A, B, C przecinaja okrąg opisany na danym
trójkącie odpowiednio w punktach D, E, F. Dowieść, że proste AD, EF są prostopadłe.
Zad. 8. W tójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC w punkcie D, a dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie E. Dwusieczne te przecinają się w punkcie O,
ponadto OD = OE. Wykazać, że ∠BAC = 60◦ lub trójkąt ABC jest równoramienny.
Zad. 9. Prostokąt został podzielony na mniejsze prostokąty. Każdy z mniejszych prostokątów ma co najmniej jeden bok długości całkowitej. Wykazać, że duży prostokąt również
ma co najmniej jeden bok długości całkowitej.
Zad. 10. W środku basenu w kształcie kwadratu jest chłopiec, natomiast w rogu tego
basenu jest nauczyciel, który nie umie pływać. Nauczyciel biega trzy razy szybciej niż
chłopiec pływa, ale chłopiec biega szybciej niż nauczyciel biega. Rozstrzygnij, czy chłopiec
może uciec nauczycielowi.
Zad. 11. Dwie osoby grają w grę przy pomocy tabliczki czekolady podzielonej na 60
identycznych prostokątów (tzn. duża czekolada to prostokąt 6 × 10). Osoby na zmianę
odłamują kawałek czekolady wzdłuż jednej z krawędzi, dzieląc ją na dwa prostokąty, po
czym zjadają jeden z tych kawałków. Wygrywa gracz, który zostawi przeciwnika z jednym
malutkim kawałkiem, którego nie można już przełamać. Rozstrzygnij, czy istnieje strategia
dla gracza rozpoczynającego grę zapewniająca mu zwycięstwo.
Zad. 12. Dwóch braci sprzedało stado owiec, sprzedając kążdą owcę za tyle rubli, ile
było owiec w stadzie. Pieniądze podzielono w następujący sposób: Starszy z braci wziął
10 rubli, potem młodszy wziął 10 rubli, potem znów starszy wziął 10 rubli itd. Na końcu
młodszemu z braci zostało mniej niż 10 rubli. Aby podział był sprawiedliwy starszy z braci
dał młodszemu swój scyzoryk, który był wart całkowitą ilość rubli. Ile kosztował scyzoryk?
(mr)