Kryteria obiektywnej oceny prognozwanych stanów osi zestawów

Transkrypt

dr inż. Marek Sobaś
Instytut Pojazdów Szynowych „TABOR”
Kryteria obiektywnej oceny prognozwanych stanów
osi zestawów kołowych pojazdów trakcyjnych
W artykule przedstawiono kryteria obiektywnej oceny prognozowanych
stanów osi zestawów kołowych trakcyjnych oraz tocznych. Jednym z
kryteriów jest obserwacja propagacji pęknięcia w ustalonych okresach
kontrolnych. Przedstawiono rolę badań ultradźwiękowych w całej metodyce prognozowania stanu osi zestawu kołowego. Przedstawiono stanowisko, dotyczące ograniczenia wieku eksploatacji osi zestawów kołowych jako środka zwiększającego niezawodność i bezpieczeństwo. Artykuł został opracowany w ramach projektu badawczo-rozwojowego Nr R
10 004806/2009 pt. „Mikroprocesorowy system diagnostyczny głównych
systemów trakcyjnego pojazdu szynowego uwzględniający ocenę bieżącą
i prognozowanie stanów”, finansowanego z budżetu Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego.
1. Wstęp
Oś zestawu kołowego jest jednym z newralgicznych elementów pojazdu szynowego, decydującym o
bezpieczeństwie eksploatacyjnym pojazdu szynowego.
Osie zestawów kołowych mają 150 letnią historię i są
przedmiotem stałego rozwoju konstruktorów, inżynierów zajmujących się obliczeniami wytrzymałościowymi oraz fachowców zajmujących się inżynierią
materiałową. Element ten jest uznawany jako najbardziej obciążony w eksploatowanym pojeździe kolejowym. Problematyka wytrzymałości zmęczeniowej osi
zestawu kołowego została poruszona w opracowaniu
OR-9666 [13]. Pomimo, że istnieje poważny postęp w
zakresie metod obliczeniowych, które są przedstawione w normach europejskich PN-EN 13104:2009 (osie
napędne) [10] oraz PN-EN 13103:2009 (osie toczne)
[9] oraz znaczący postęp technologiczny wytwarzania
osi i ich odbiorów, które są przedstawione w normie
PN-EN 13261:2009 [11] elementy te są narażone na
pękniecie zmęczeniowe, co jest niejednokrotnie przyczyną poważnych katastrof kolejowych, powodujących znaczne straty materialne oraz wypadki śmiertelne. Po ostatniej katastrofie kolejowej w Viareggio we
Włoszech pojawiają się głosy o ustanowienie maksymalnego wieku osi zestawów kołowych, po upływie
którego oś należy wycofać z eksploatacji i złomować.
Pogląd ten jest kompletnie błędny i nie jest uzasadniony z technicznego punktu widzenia, gdyż:
• oś jest zaprojektowana na zmęczenie wysokocykliczne, co oznacza że oś może pracować z
nieograniczoną wytrzymałością zmęczeniową; jak wynika z obecnych doświadczeń
eksploatacyjnych podczas 30 letniej eksploPOJAZDY SZYNOWE NR 1/2011
atacji osie mogą być poddawane 109 cykli
obciążeń
• o faktycznej wytrzymałości osi decyduje jej
stan techniczny, a więc „bezwadliwość” w
zakresie
określonym
przez
PN-EN
13261:2009 [11]
• oś nowa jest w takim samym stopniu
narażona na pęknięcia zmęczeniowe jak oś
eksploatowana, co automatycznie podważa
sens określania maksymalnego wieku eksploatacji osi.
Jak wykazuje praktyka eksploatacyjna wypadki kolejowe były spowodowane również pęknięciem osi w
stanie nowym. Wynika to głównie z istnienia w każdym materiale defektów struktury krystalicznej jak
dyslokacje, które są odpowiedzialne za odkształcenia
plastyczne materiałów oraz mikropękniecia i inne
nieciągłości materiałów, które są miejscem inicjacji
pęknięcia zmęczeniowego. Pęknięcia powstają w materiale już na etapie jego wytwarzania. Miejscami powstawania pęknięć są wszelkie nieciągłości struktury
materiałowej. Na tej podstawie można wyciągnąć
wniosek, że jednym z ważnych sposobów zapobiegania zniszczenia konstrukcji poprzez pękanie zmęczeniowe jest między innymi jest prawidłowe posługiwanie się metodami badań nieniszczących, których stosowanie pozwala na bezpieczną eksploatację. Skuteczność badań nieniszczących jest związana między
innymi na precyzyjnym określeniu okresów kontrolnych osi zestawów kołowych.
2.Ustalenie okresów kontrolnych osi zestawów
kołowych na podstawie symulacji komputerowej
1
2.1.Podstawy zagadnienia
Podstawą do opracowania zagadnienia związanego z ustaleniem okresów kontrolnych dla metod
badań nieniszczących osi zestawów kołowych były
poważne szkody, jakie spowodowała katastrofa kolejowa, związana uszkodzeniem osi zestawu kołowego
dalekobieżnego zespołu trakcyjnego przystosowanego
do wysokich prędkości ICE, która miała miejsce na
moście „Hohenzollernbrücke” w Kolonii (9.07.2008)
[4]. Zdarzenie to zainspirowało do ustalenia kryteriów
dla okresów kontrolnych dla badań osi zestawów kołowych. Jeśli weźmie się pod uwagę czas od początku
eksploatacji dla osi nie wykazującej wad, to wówczas
żywotność do pojawienia się pęknięcia (rysy) jest
zasadniczą częścią całkowitej żywotności osi zestawu
kołowego. Ta pierwsza faza eksploatacji osi zestawu
kołowego może ulec skróceniu poprzez występowanie
małych błędów, które pojawiły się na etapie wytwarzania i nie zostały wykryte lub powstały wskutek
uszkodzeń podczas eksploatacji wywołanymi przez
korozję lub uderzenia mechaniczne, które przyczyniają się do powstawania pęknięć zmęczeniowych. Jednak takie zjawiska nie mogą być przeszkodą do ustalenia okresów między-naprawczych. Istotny problem
techniczny stanowi to, jakie pęknięcia lub rysy (wymiary i ich lokalizacja) mogą być pewnie wykryte za
pomocą badań nieniszczących.
2.2.Przyczyny propagacji pęknięć
Przy pęknięciu zmęczeniowym każdego elementu konstrukcyjnego całkowita wytrzymałość zmęczeniowa składa się z dwóch części:
⇒ żywotności, wynikającej z inicjacji pęknięcia
zmęczeniowego
⇒ żywotności, wynikającej
z propagacji
(rozwoju) pęknięcia zmęczeniowego.
Przy okresowo zmiennych obciążeniach osi jako elementu konstrukcyjnego w otoczeniu pęknięcia (rysy)
zmęczeniowego powstaje pole naprężeń σy(x,t), które
może być scharakteryzowane przez czasowo zmienną
intensywność naprężeń K(t), co jest pokazane na rys.1.
Cykliczna intensywność zmiany naprężeń ∆K jest
decydującym parametrem dla propagacji pęknięcia
przy obciążeniu zmęczeniowym.
2
Legenda:
a) część konstrukcyjna z pęknięciem (rysą) o długości „a” przy
czasowo zmiennym obciążeniu, określonej przy pomocy
współrzędnych biegunowych „r” i „φ” na wierzchołku rysy i
naprężeniem σy(x,t) w otoczeniu rysy
b) obciążenie części σ(t) z amplitudą σa względnie ∆σ lub σMAX i
σMIN
c) współczynnik intensywności naprężeń K(t) z cykliczną intensywnością naprężeń ∆K jak również maksymalnym współczynnikiem intensywności KMAX i minimalnym współczynnikiem intensywności naprężeń KMIN
Rys.1. Związek pomiędzy obciążeniem części i cyklicznym
czynnikiem intensywności naprężeń ∆K
Pomiędzy cykliczną rozpiętością naprężeń ∆σ i aktualną długością pęknięcia (rysy) jak również współczynnikiem geometrycznym Ya(a) i współczynnikiem
intensywności naprężeń ∆K obowiązuje zależność:
∆K = ∆σ ⋅ π ⋅ a ⋅ Y (a ) = 2σ a π ⋅ a ⋅ Y (a )
(1)
Wpływ na propagację pęknięć zmęczeniowych ma
również współczynnik asymetrii cyklu R dla obciążeń
okresowo zmiennych, który definiuje się zależnością:
R=
σ MIN
σ MAX
(2)
gdzie:
σMIN - minimalne naprężenia podczas cyklu zmęczeniowego
σMAX - maksymalne naprężenia podczas cyklu
zmęczeniowego.
Przy procesie propagacji pęknięcia zwiększa się długość rysy wraz ze zwiększającą się ilością cykli, przez
co zwiększa się również cykliczny współczynnik intensywności naprężeń. Prędkość powstawania pęknięcia (rysy) jest zależna od materiału i musi być ustalona
na drodze eksperymentalnej. Wraz ze wzrostem rysy
na próbkach normalnych otrzymuje się tzw. krzywą
prędkości powstawania rysy, która się zbliża asymptotycznie do dwóch granic, które są przedstawione na
rys.2.
POJAZDY SZYNOWE NR 1/2011
Legenda:
I zakres- małej prędkości pękania od 0÷10-5 mm/cykl
II zakres-średniej prędkości pękania od 10-5 ÷10-3 mm/cykl
III zakres- dużej prędkości pękania od 10-3 mm/cykl.
Rys.2. Przedstawienie zależności pomiędzy prędkością powstawania pęknięcia i cyklicznym współczynnikiem intensywności naprężeń ∆K za pomocą krzywej da/dN
Prędkość propagacji pęknięcia (rysy) można wyznaczyć z zależności:
da
= f ( ∆K )
dN
(3)
gdzie:
da - przyrost długości pęknięcia zmęczeniowego
dN - przyrost ilości cykli obciążeń zmęczeniowych.
Dolna granica wartości pulsującej przedstawia cykliczną intensywność naprężeń ∆Kth. Jeśli cykliczna
intensywność ∆K znajduje się poniżej wartości tętniącej to pękniecie (rysa zmęczeniowa), z punktu widzenia klasycznej teorii mechaniki pękania nie jest zdolne
do propagacji. Druga granica przedstawia obciążenie
pęknięcia, od którego propagacja pęknięcia (rysy) nie
jest już stabilna. Warunkiem, który obowiązuje jest to,
że KMAX osiągnie wartość KC względnie:
∆K = ∆K C = (1 − R ) ⋅ K C
(4)
gdzie:
KC - wielkość krytyczna współczynnika intensywności
naprężeń w przypadku, kiedy pęknięcie osiągnie długość krytyczną lKR i wystąpi naprężenie krytyczne σkr;
współczynnik ten nazywany jest odpornością na pękanie.
Przebieg krzywej propagacji pęknięcia jest zależny od
następujących czynników:
⇒ współczynnika asymetrii cyklu R
⇒ materiału osi
⇒ temperatury
⇒ mediów, znajdujących się w otoczeniu.
Wpływ tych czynników jest różny na zakresy oddziaływania tzn. na zakres 1 z małą prędkością propagacji, na zakres 2 ze średnią prędkością propagacji oraz
na zakres 3 z dużą prędkością propagacji pęknięcia.
Ww. przedziały mają charakter umowny. Przykładowo
wzrost współczynnika asymetrii cyklu R wywołuje
większą prędkość propagacji pęknięcia da/dN w 1 i 3
zakresie aniżeli w zakresie 2. Aby można było przeprowadzić prognozowanie żywotności konieczny jest
opis krzywej prędkości propagacji wg następującej
zależności:
da
= f (∆K , R )
dN
(5)
W tym przypadku występuje wiele koncepcji propagacji pęknięć. Tzw. prawo Parisa opisuje tylko i wyłącznie średni zakres (zakres 2), gdzie prędkość propagacji
pęknięcia zmęczeniowego można ustalić tylko i wyłącznie w średnim zakresie krzywej
prędkości propagacji pęknięcia zmęczeniowego. Ww.
prędkość propagacji można wyznaczyć ze wzoru
P.Parisa:
da
= C P ⋅ K mP
dN
(6)
Zarówno CP jak również mP są współczynnikami doświadczalnymi, zależnymi od rodzaju materiału, z
którego zbudowany jest element konstrukcyjny. Ponieważ prawa tego nie można zastosować dla dolnego
zakresu prędkości propagacji pęknięcia zmęczeniowego, nie można go również stosować do prognozowania
żywotności, ponieważ ogólnie biorąc prowadzi to do
bardzo zachowawczych obliczeń żywotności. Wzór
Parisa uznaje się za pierwszą zależność, w której
uwzględniono wielkości z mechaniki pękania. W przeciwieństwie do prawa Parisa wzór wg Formana-Mettu
opisuje krzywą propagacji pęknięcia w zależności od
współczynnika asymetrii cyklu zmęczeniowego R:
p
da
= C FM
dN
 (1 − γ )

 (1 − R ) ⋅ ∆K 


n FM
∆K th 

1 −

∆K 



K
1 − MAX 
KC 

(7)
Parametry ∆KTh (zakres progowego współczynnika
intensywności naprężeń), KC, CFM, nFM, p oraz q są
zależne od gatunku materiału i można je ustalić na
drodze doświadczalnej krzywej da/dN. Za wielkość
Kth należy uważać taką wielkość KMAX, dla której pęknięcie nie rozwija się w okresie odpowiadającym 106
cykli, a której zwiększenie o 3% powoduje rozwój
pęknięcia z prędkością nie większą od 3·10-7 mm/cykl.
Szczątkową (resztkową) wytrzymałość zmęczeniową
elementu konstrukcyjnego aż do pęknięcia, można
ustalić wychodząc z głębokości początkowej pęknięcia
aA poprzez całkowanie równania propagacji prędkości
tworzenia się rysy. Przekształcając równanie (5)
otrzymuje się zależność:
dN =
da
f (∆K , R )
(8)
Stąd można wyliczyć resztkową (szczątkową) wytrzymałość zmęczeniową NB aż do wystąpienia pęknięcia (krytyczna głębokość pęknięcia aC):
NB =
aC
da
∫ f (∆K , R )
(9)
aA
2.3. Analityczne i numeryczne badania propagacji
pęknięć zmęczeniowych
Do obliczeń wstępnych propagacji części i konstrukcji
są do dyspozycji programy obliczeniowe, które zawierają rozwiązania analityczne dla określonych przypadków tworzenia się rys zmęczeniowych. Z drugiej strony występują programy za pomocą których można
symulować metodą numeryczną propagację pęknięcia.
3
Dla prac studialnych nad parametrami propagacji rysy
w częściach konstrukcyjnych z relatywnie prostą
geometrią szczególnie przydatne są programy Nasgro
oraz Esacrack. Program Nasgro, który wcześniej był
opracowany przez NASA (ang. „National Aeronautics
und Space Administration”) posiada duże zastosowanie dla pojazdów lotniczych i kosmicznych. Nie mniej
jednak można go stosować w wielu innych dziedzinach techniki. Główny moduł Nasfla umożliwia między innymi badania propagacji pęknięcia w elementach i konstrukcjach przy cyklicznym obciążeniu.
Struktura tego programu jest przedstawiona w tabeli 1.
na powierzchni o głębokości „a” oraz długości „2c”
(rys.3).
Istotne moduły programu Nasgro do badań propagacji pęknięcia w elementach
konstrukcyjnych
Tabela 1
NASGRO
NASFLA
Badania propagacji
pęknięć zmęczeniowych
Obliczenie krytycznej
długości pęknięcia
NASMAT
Bank danych
dotyczących
materiału
Obliczenie współczynnika intensywności naprężeń
Program składa się z biblioteki konfiguracji geometrycznych i pęknięć (rys) zmęczeniowych z odpowiednimi rozwiązaniami współczynników intensywności wzrostu naprężeń. Konstruując na tych konfiguracjach pęknięć (rys) można przeprowadzić symulację
propagacji dla stałych i zmiennych amplitud obciążenia. Ponieważ program Nasgro sprawdził się w zastosowaniach praktycznych, można go zastosować w
propagacji pęknięć zmęczeniowych zestawów kołowych.
2.4. Czynniki wpływające na propagację uszkodzeń
w osiach zestawów kołowych
Aby przeprowadzić symulację propagacji pęknięć w osiach zestawów kołowych, stosuje się wyżej
omówiony program Nasgro. Za pomocą obliczeń wariacyjnych powinno się pokazać jakie poszczególne
czynniki działają na propagację pęknięcia zmęczeniowego:
• wielkość zespołu (kombinacji) obciążeń
• naprężenia montażowe (naprężenia średnie)
• dane materiałowe z uwagi na mechanikę
pękania
• głębokość / długość wykrytego pęknięcia
zmęczeniowego
• efekty sekwencyjne.
Symulacje propagacji pęknięcia dla osi zestawów kołowych dostarczają wytycznych dla ustalenia okresów
kontrolnych za pomocą badań nieniszczących. Do
symulacji dla osi zespołów trakcyjnych ICE przystosowanych do wysokich prędkości stosuje się model
SC05 wg programu SC05. Model składa się z osi drążonej z półeliptycznym pęknięciem, znajdującym się
4
Legenda:
a) naprężenie maksymalne: σ 0= σ m+ σa
b) naprężenie średnie: σ m
Rys.3. Model pęknięcia SC05 wg programu Nasgro
Niniejszy model przedstawia rzeczywiste pęknięcie,
który występuje w osi zestawu kołowego w pobliżu
miejsca na osadzenie. W tym modelu pęknięcia jest
możliwe, aby dokonać superpozycji stałego naprężenia i naprężenia zginającego. W obliczeniach osi zestawów kołowych naprężenie zginające odpowiada
kombinacji amplitud w płaszczyźnie pęknięcia. Naprężnie o wartości stałej przedstawia naprężenie normalne, które występuje w pobliżu osadzania koła
(podpiaścia) i jest ono wywołane przez siły montażu
koła na osi zestawu kołowego. Dla obliczeń propagacji pęknięcia wielkościami zmiennymi są amplituda
naprężenia, naprężnie średnie i geometria początkowego pęknięcia. Górną wartość naprężenia σ0 można
wyznaczyć z zależności:
σ0 = σm +σa
(10)
gdzie:
σm - naprężenie średnie
σa - amplituda naprężenia.
Kumulacja naprężeń dla badanych osi zestawów kołowych jest przedstawiona na rys. 4.
Rys.4. Kumulacja obciążeń dla badanych osi zestawów kołowych
Za pomocą programu Nasgro można obliczyć kształt
pęknięcia dla każdego cyklu. Kształt pęknięcia półeliptycznego o głębokości „a” oraz długości pęknięcia
„2c” jest punktem wyjścia dla propagacji pęknięcia.
Symulację przeprowadza się tak długo, aż współczynnik intensywności naprężeń KMAX osiągnie wartość
KC. Z otrzymanych wartości można wyznaczyć głębokość pęknięcia w zależności od przebiegu kilometrowego, co jest pokazane na rys. 5, 6 i 7.
Badania symulacyjne dostarczają wytycznych do ustalenia okresów kontrolnych dla badań nieniszczących
osi zestawów kołowych. Należy zwrócić przy tym
uwagę, że symulacje komputerowe można przeprowadzać dla osi zestawów kołowych przy uwzględnieniu
wszystkich czynników. Jak wykazały przeprowadzone
prace studialne znaczący wpływ na przebieg osi mają
już małe zmiany tych czynników.
3. Ustalenie okresów kontrolnych osi zestawów
kołowych na przykładzie zespołów trakcyjnych
metra
3.1. Uwagi ogólne
Rys.5. Zależność głębokości pęknięcia od przebiegu pojazdu w
kilometrach; wpływ wielkości wytężenia materiału na propagację
pęknięć w osiach zespołów trakcyjnych ICE a) zespół amplitud
wyprowadzony z jazd próbnych b) zespół amplitud zwiększony o
10% c) zespół amplitud zmniejszony o 10
Rys.6. Zależność głębokości pękania od przebiegu pojazdu w
kilometrach; wpływ średniego naprężenia na przebieg osi zestawu
kołowego z pęknięciem a) zespół amplitud wyznaczony z jazd
próbnych b) zespół z naprężeniem średnim 20,5 MPa c) zespół z
naprężeniem średnim 30,5 MPa
Rys.7. Wpływ głębokości początkowej pęknięcia na przebieg osi
zestawu kołowego; a) głębokość pęknięcia początkowego aA=2,0
mm b) głębokość pęknięcia początkowego aA=2,5 mm c) głębokość pęknięcia początkowego aA=1,5 mm
Zagadnienie wytrzymałości zestawów kołowych
uznano jako bardzo ważne z punktu widzenia dyspozycyjności i bezpieczeństwa eksploatacyjnego pojazdów trakcyjnych metra firmy Hamburger Hochbahn
AG. Częstotliwość kontroli stanu osi zestawów kołowych podczas eksploatacji jest wprawdzie zdefiniowana przez producenta w instrukcji obsługi i konserwacji, ale ostatecznie przyjęto założenie że to użytkownik musi opracować program kontroli stanu osi
zestawów kołowych, gdyż zna rzeczywiste warunki
eksploatacji i dysponuje odpowiednim doświadczeniem. Jako bazę do późniejszych rozważań na ww.
temat przyjęto badania ultradźwiękowe. Czynniki
wpływające na ograniczenie wytrzymałości zmęczeniowej można podzielić na trzy grupy:
• błędy powstające na etapie produkcji (konstrukcja, produkcja i obróbka wykańczająca)
• błędy eksploatacyjne (nieodpowiednia eksploatacja, błędy popełnione podczas procesów
kontrolno-naprawczych)
• nadzwyczajne wydarzenia podczas eksploatacji
(obciążenia nadzwyczajne, działanie czynników
obcych, wypadki kolejowe).
Opracowując nowe instrukcje kontroli należy wziąć
pod uwagę, aby wykryć lub uniknąć występowania
ww. błędów, które w istotny sposób zmniejszają wytrzymałość zmęczeniową osi. Jako granicę żywotności
osi zestawu kołowego uznaje się wystąpienie przełomu zmęczeniowego lub wystąpienie pęknięcia. Aby
uniknąć pęknięć osi zestawu kołowego bierze się z
podstawę koncepcję „safe-life”, natomiast w celu
uniknięcia przełomów zmęczeniowych bierze się za
podstawę koncepcję „fail–safe”. Dotychczasowa eksploatacja zestawów kołowych bazowała na koncepcji
„safe-life” i wychodziła z metody projektowania polegającej na przyjęciu kryterium bezpieczeństwa jakim
jest granica wytrzymałości zmęczeniowej. Wadą takiego projektowania osi zestawów kołowych jest to,
ze nie jest określona żadna wartość graniczna, przy
której oś może być jeszcze eksploatowana. Osie zestawów kołowych pojazdów kolejowych, które są
eksploatowane w warunkach ruchu miejskiego osiągają 2×109 cykli i znajdują się w warunkach wysokocyklicznej wytrzymałości zmęczeniowej (ang.
5
„high-cycle-fatique”), która nie została jeszcze
dokładnie zbadana. Jak wynika z praktyki
eksploatacyjnej osie zestawów kołowych mogą być
eksploatowane przez bardzo długi czas, wynikający z
przebiegu pojazdu szynowego. Jeśli określi się
graniczny przebieg w kilometrach, to ryzyko
eksploatacyjne jest bardzo małe, ponieważ okresy
kontrolne stanu osi zestawów kołowych ograniczają
się do potwierdzenia prawidłowości przyjętych
obciążeń podczas projektowania. Największe ryzyko
eksploatacyjne występuje wtedy, gdy zostanie
osiągnięta faza eksploatacji, kiedy należy się liczyć z
wystąpieniem pęknięć zmęczeniowych. W tym
przypadku należy skorzystać z koncepcji „ fail-safe”,
która uwzględnia nałożenie się wielu niekorzystnych
zdarzeń. W takiej fazie eksploatacji należałoby
zabezpieczyć przebieg eksploatacyjny po wystąpieniu
pęknięcia. Kontrole, które obecnie muszą wynikać z
propagacji pęknięcia, służą wykryciu rysy. Pomiędzy
dwoma ekstremami występuje faza przejściowa, w
której nie można z całkowitą pewnością wykluczyć
powstania pojedynczych pęknięć, ale zasadniczo nie
są one oczekiwane. Prawdopodobieństwo wystąpienia
pojedynczych pęknięć zmęczeniowych jest wyraźnie
małe. W takiej fazie eksploatacyjnej okresy kontrolne
wynikają z propagacji pęknięć. Biorąc pod uwagę
koncepcję bezpieczeństwa, należy wyjść z nałożenia
się wielu niekorzystnych zdarzeń. Tak więc należy
wyjść z założenia, że występują trzy zadania przy
określaniu koncepcji okresów kontrolnych stanów osi
zestawów kołowych:
• określenie granicznych przebiegów na bazie
doświadczeń eksploatacyjnych przy uwzględnieniu koncepcji bezpieczeństwa wynikającej
z granicy zmęczenia i niezawodności eksploatacji
• określenie szczątkowego (resztkowego) przebiegu po przyjęciu pęknięcia, biorąc pod
uwagę aspekt mechaniki pękania w zakresie
liniowym, jeśli chodzi o mechanikę pękania
• opracowanie zabiegów technicznych dla przejściowej fazy eksploatacyjnej.
3.2. Obciążenia osi zestawów kołowych pojazdów
trakcyjnych metra
W celu zagwarantowania większej wiarygodności jeśli chodzi o wytrzymałość zmęczeniową jest
konieczne, aby ustalić rzeczywiste obciążenia działające na oś zestawu kołowego. Obciążenia te wyznaczono dla starych osi zestawów kołowych pojazdów
trakcyjnych typu DT3 metra (rys.8) oraz nowych osi
zestawów kołowych dla pojazdów trakcyjnych typu
DT4 (rys.9).
Odpowiednie dane dotyczące zestawów kołowych są
przedstawione w tabeli 2.
Na całej sieci Hamburger Hochbahn zostały pomierzone obciążenia eksploatacyjne dla osi tocznych oraz
napędnych dla trzech pojazdów trakcyjnych. Jak wykazały przeprowadzone pomiary wysokość obciążenia
zależy znacząco od następujących warunków eksploatacyjnych:
• stopnia obsadzenia przez podróżnych, przy
czym główne oddziaływanie skierowane jest
na obciążenie statyczne koła
• usytuowania osi zestawu kołowego w wózku
(zestaw kołowy nabiegający lub swobodny)
• przejazd przez łuk toru (ekstremalny
przypadek eksploatacyjny z uwagi na
obciążenia)
• zastosowanie rozruchu i hamowania jako
dodatkowej superpozycji obciążeń.
Wartości pomiarowe, wynikające z jazdy w łuku zostały przeanalizowane bardzo dokładnie. Przeanalizowano łącznie 2000 jazd przez łuk, które wywołują
wysokie obciążenia podczas przejazdu dla osi tocznych i napędnych w przypadku zestawu kołowego
nabiegającego. Poza tym stwierdzono:
• bardzo wyraźną zależność obciążenia osi od
promienia łuku toru
• bardzo mały wpływ zarówno niezrównoważonego przyspieszenia poprzecznego jak również błędów ułożenia toru w ramach tolerancji eksploatacyjnych
• bardzo mały poziom obciążenia spowodowany momentem skręcającym.
Rys.8. Zespół trakcyjny typu DT3 metra Hamburger Hochbahn AG [2]
Rys.9. Zespół trakcyjny typu DT4 metra Hamburger Hochbahn AG [2]
6
Parametry zestawów kołowych pojazdów trakcyjnych typu DT3 i DT4 [2]
Tabela 2
Zespół trakcyjny typu
DT4
1989÷2000
DT4, seria 5-6
Rok budowy
Zespół trakcyjny typu
DT3
1969÷1971
Ilość zestawów kołowych
544
1032
480
Konstrukcja
wg DB Blatt Fw28.02.8
ORE-Bericht B136/Rp11
[12]
PN-EN 13104 [10]
Przebieg
3,4 miliona kilometrów
Brak pęknięcia
Brak pęknięcia
142 mm
142 mm
25CrMo4
25CrMo4
Rok budowy
Średnica podpiaścia
Po wystąpieniu pęknięcia
zmęczeniowego po 2,5
milionie cykli
140 mm
Materiał
34CrMo4
Wyniki po kontroli UT
Ponieważ wyników pomiarów nie można było odnieść
do normy PN-EN 13104:2009 [10] zbudowano dla
tych pojazdów model obliczeniowy wg metody
Heumanna, który uwzględnia opory tarcia przy
obrocie kompletnego wózka na odcinkach prostych
toru (rys.10).
Stopień obsadzenia
pojazdu
Ilość
pasażerów
Nacisk
zestawu
kołowego na
tor
Udział na
trasie
Rys.10. Siły działające na wózek podczas przejazdu przez łuk toru
wg metody Heumanna
Uwzględniono, że przy wysokich obciążeniach podczas przejazdu przez małe promienie łuku toru (R<80
m), należy wziąć pod uwagę bardzo wysokie współczynniki przyczepności wynoszące µ= 0,6. Ponieważ
warunki eksploatacyjne wpływają na rzeczywiste obciążenia osi zestawów kołowych, konieczne jest odtworzenie rzeczywistego „tła eksploatacyjnego”. Rzeczywiste warunki eksploatacyjne wynikają z tabeli 3.
Stopień obsadzenia podróżnymi zespołów trakcyjnych metra
Tabela 3
Hamburger Hochbahn AG [2]
2002÷2005
0÷25%
25÷50% 50÷75% 75÷100%
0÷138
139÷277 278÷415
416÷554
63÷72
72÷81
81÷90
90÷100
kN
kN
kN
kN
77,5%
21,2%
1,28%
0,02%
3.3. Określenie przebiegu eksploatacyjnego bez
wystąpienia pęknięć
Określenie przebiegu bez występowania pęknięć można było przeprowadzić tylko dla osi zespołów
trakcyjnych DT4 na bazie doświadczeń eksploatacyjnych zebranych z osi zestawów kołowych zespołów
trakcyjnych typu DT3, które posiadały większy przebieg kilometrowy. Przyjęto założenie, że można
uwzględniać tylko pozytywne doświadczenia eksploatacyjne, ale zdobyte tylko z rzeczywistymi obciążeniami eksploatacyjnymi, a nie z obciążeniami przyjętymi na etapie projektowania i zaczerpniętymi z odpowiednich przepisów. W przypadku osi zestawu kołowego zespołu trakcyjnego typu DT3 wykryto pęknięcie po przebiegu wynoszącym 2,5 miliona kilometrów. Pęknięcie to znajdowało się na podpiaściu pod
piastą koła. Nie wykryto dalszych pęknięć podczas
regularnych badań ultradźwiękowych, pomimo że
zespoły trakcyjne przejechały dalsze 900 000 km.
Doświadczenia eksploatacyjne zostały odpowiednio
udokumentowane i przestudiowane. Porównanie cyklicznego obciążenia trzech konstrukcji zestawów
kołowych zespołów trakcyjnych DT3 i DT4 w poszczególnych przekrojach osi przedstawiono na rys.11.
7
Rys.11. Porównanie względnych obciążeń osi zestawów kołowych w poszczególnych prze
krojach dla zespołów trakcyjnych typu DT3, DT4.1-4 oraz DT4.5-6 [2]
Jak wynika z porównania graficznego najbardziej wytężonym fragmentem osi zestawu kołowego jest wewnętrzna krawędź osadzenia (podpiaścia) koła i można go uznać jako „miejsce krytyczne”. Przyjmując
wytężenie materiału w tym miejscu dla osi zestawu
kołowego 100%, okazuje się, że miejsce to jest obciążone 85% dla osi zestawu kołowego zespołu trakcyjnego typu DT4.1-4 oraz 67% dla osi zestawu kołowego zespołu trakcyjnego typu DT4.5-6. Koncepcja zapewnienia bezpieczeństwa eksploatacyjnego polega na
określeniu sumy uszkodzeń D, którą można ustalić z
hipotezy kumulacji uszkodzeń na podstawie krzywej
Wöhlera. Korzystne jest to, że można włączyć wszystkie działające obciążenia zewnętrzne do „działania
powodującego uszkodzenia”. Wadą jest duży wpływ
przebiegu krzywej Wöhlera danego elementu konstrukcyjnego na wybór hipotezy kumulacji uszkodzeń,
co powoduje że obliczenie wytrzymałości eksploatacyjnej bez przeprowadzenia równoległych badań nie
może dostarczyć absolutnie pewnych wyników. Bardzo przydatne są obliczenia wytrzymałości eksploatacyjnej za pomocą fikcyjnych krzywych Wöhlera do
oceny rzeczywistych warunków eksploatacyjnych. Na
bazie zaproponowanej metody do ustalenia ekwiwalentnej amplitudy wywołującej uszkodzenia należy
określić sumę uszkodzeń dla poszczególnych osi zestawów kołowych, wskutek czego można porównać
wzajemnie przebiegi eksploatacyjne bez pęknięcia.
Obliczenia cyklicznych naprężeń wykazały, że wewnętrzna krawędź podpiaścia (osadzenia) koła jest
8
najbardziej wytężonym przekrojem osi. Określenie
sumy uszkodzeń odbyło się na bazie mieszanego zespołu obciążeń, stosownie do różnych przebiegów
eksploatacyjnych pojazdów. Aby określić sumę
uszkodzeń wyznacza się fikcyjną krzywą Wöhlera za
pomocą dwóch różnych metod. Obydwie metody odpowiadają modyfikacji hipotezy uszkodzeń wg Minera
zgodnie ze wzorem:
σ
ni = n D  D
 σi



k
(11)
Obydwie metody 1 i 2 różnią się wzajemnie parametrami, co jest przedstawione w tabeli 4.
Parametry fikcyjnych krzywych Wöhlera wg metody 1 i 2
Tabela 4
Określenie
Metoda 1
Metoda 2
Punkt załamania krzywej
Wöhlera
Współczynnik pochylenia
krzywej Wöhlera przed
punktem załamania k=k1
Współczynnik pochylenia
krzywej Wöhlera przed
punktem załamania k=k2
Suma uszkodzeń do
określenia naprężenia na
punkcie załamania D krzywej
Wöhlera
106
107
7
5
k2=2k1-1
k2=2k1-2
0,3
0,5
Sumę uszkodzeń tworzy się z udziałów uszkodzeń „n”
klas naprężeń wg następującej zależności:
n
D = ∑ Di
(12)
i =1
Doświadczenia eksploatacyjne wykazały, że nie powstało żadne pęknięcie osi zestawu kołowego napędnego zespołu trakcyjnego typu DT3 po osiągnięciu
przebiegu wynoszącego 2,5 miliona kilometrów. W
wyniku obliczeń granicy zmęczenia dla osadzenia koła
dla zespołów trakcyjnych typu DT4.1-4 oraz DT4.5-6
okazało się, że jest ona odpowiednio o 26% oraz 18%
większa niż dla zespołu trakcyjnego DT3, co wykazują następujące zależności:
(13)
σD· (DT4.1-4)=1,26·σD (DT3)
(14)
σD· (DT4.5-6)=1,18·σD DT3)
Sumę uszkodzeń D dla poszczególnych osi zestawów
kołowych przedstawiono w tabeli 5.
Suma uszkodzeń D dla poszczególnych osi zestawów kołowych
zespołów trakcyjnych DT3 i DT4 Hamburger Hochbahn AG
wg [2]
Tabela 5
Suma uszkodzeń
Metoda 1
Metoda 2
Zespół trakcyjny typu DT3
0,03
0,5
Zespół trakcyjny typu DT4.1-4
0,05
0,18
Zespół trakcyjny typu DT4.5-6
0,002
0,027
3.4. Podsumowanie wyników przeprowadzonych
badań oraz analiz
Tak więc przedsiębiorstwo Hamburger Hochbahn
AG dysponuje 35-cio letnimi doświadczeniami w zakresie eksploatacji osi zestawów kołowych zespołu
trakcyjnego typu DT3. Doświadczenia te odnoszą się
do przebiegu wynoszącego maksymalnie 3 400 000
km. Po przebiegu 2 500 000 kilometrów wykryto pęknięcie w jednej osi zestawu kołowego. W wyniku
przeprowadzonej kontroli za pomocą badań ultradźwiękowych okazało się, że pozostałe 543 zespołów
trakcyjnych typu DT3 osie nie wykazały żadnych pęknięć. Biorąc pod uwagę, że sieć kolejowa metra jest
zamknięta, sposób eksploatacji w przedsiębiorstwie
przewozowym, jak również baza danych jest określona przez pomiary, obciążenia są wyznaczane wystarczająco dokładnie. Dane te mogę służyć jako baza
referencyjna. Poprzez obliczenia z uwzględnieniem
obciążeń, przyjętych z rzeczywistej eksploatacji można udowodnić na podstawie koncepcji bezpieczeństwa
opartej o kryteria wytrzymałości zmęczeniowej oraz
eksploatacyjnej można udowodnić, że zarówno
względne cykliczne obciążenia jak również względne
kumulacje uszkodzeń dla osi zestawów kołowych
zespołu trakcyjnego typu DT4 wypadają korzystniej
aniżeli dla zespołu trakcyjnego typu DT3. Można
stwierdzić, że dla osi zestawów kołowych zespołów
trakcyjnych typu DT4
występuje duży zapas
bezpieczeństwa, który gwarantuje przebieg wynoszący
2 500 000 kilometrów bez wystąpienia pęknięcia, pod
warunkiem że nie ma oddziaływań żadnych
nadzwyczajnych obciążeń.
4. Znaczenie badań nieniszczących
4.1. Uwagi ogólne
Aby zapewnić prawidłowy przebieg procesu
prognozowania stanu osi zestawów kołowych pojazdów trakcyjnych konieczne jest prawidłowe przeprowadzenie badań nieniszczących. One umożliwiają rozstrzygnięcie, czy badana część konstrukcyjna lub
badany podzespół w zależności od ustalonych przepisów naprawczych może być dalej eksploatowana lub
wymontowana względnie naprawiana. Z przeprowadzonej analizy wynika, że badania nieniszczące muszą
być wykonane w sposób niezawodny, gwarantujący
odpowiedni poziom jakości.
Badania nieniszczące można zaliczyć do procesów
specjalnych tj. procesów, które z uwagi na ich dużą
subiektywność ocen, powodują że ich wiarygodność
zależy od wielu różnorodnych czynników i działań,
wymagających odpowiednich kwalifikacji oraz przeprowadzenia walidacji/kwalifikacji ich zdolności do
określonego celu oraz potwierdzenia określonych
kompetencji. Do takich czynników i działań można
zaliczyć te przedstawione poniżej i które można połączyć w tzw. łańcuch zapewnienia jakości jaki powinien być zastosowany celem spełnienia i akceptacji
określonych wymagań oraz potwierdzenia określonych
kompetencji:
1. Badania naukowe i rozwój badań nieniszczących
2. Normalizacja w dziedzinie badań nieniszczących
• normy wyboru i badań
• specyfikacje techniczne
• przepisy techniczne
3. Procedury/instrukcje badawcze badań nieniszczących
• walidacja i kwalifikacja procedur/ instrukcji
badawczych
• niepewność pomiaru /badania
4. Wyposażenie pomiarowe i badawcze ( WP i B)
• wzorcowania/ kontrola/ charakterystyka/nadzór
nad WP i B
• walidacja i kwalifikacja WP i B
• szkolenia w zakresie wykorzystania WP i B
5. Personel przeprowadzający badania nieniszczące
• szkolenie i certyfikacja personelu badań
nieniszczących
• certyfikacja personelu badań nieniszczących
• upoważnienie i nadzór nad personelem
• czynnik ludzki- cechy i czynniki psychofizyczne
6. Środowisko przeprowadzenia badań
7. Audity
9
Spełnianie przedstawionych zależności może być
uzyskane w przypadku, jeżeli:
• każdy z wymienionych elementów będzie
oddziaływał w sposób skuteczny na inne
• pod warunkiem spełnienia odpowiednich
wymagań i kryteriów akceptacji lub kwalifikacji (np. spełnienia odpowiednich wymagań,
kryteriów akceptacji lub kwalifikacji metody)
• sam element będzie „mocny” np. stanem dotyczących swego udokumentowania (normami, specyfikacjami lub wytycznymi) lub
zapewnieniem odpowiednich instrukcji stosowania lub określonych uznanych zasad
kwalifikacji personelu przeprowadzającego
odpowiednie badania.
Zasadniczym warunkiem zapewnienia jakości badań
nieniszczących jest ustanowienie odpowiedniego systemu zarządzania jakością w celu sterowania wszystkimi działaniami, które dotyczą jakości świadczonych
usług badawczych. System jakości producenta, jednostki badawczej lub laboratorium badawczego prowadzącego badania nieniszczące powinien uwzględniać w „jednolity i uporządkowany sposób”, a przede
wszystkim w skuteczny sposób przedstawione wyżej
elementy łańcucha zapewnienia jakości w celu wykazania, że wszystkie zostały przewidziane i istnieją
między nimi zależności i relacje.
4.2. Status badań nieniszczących zgodnie z kartą
UIC 960 [8]
Zgodnie z kartą UIC 960 [8] przez badania
nieniszczące definiuje się jako metody, które przeprowadza się bez uszkodzenia części pojazdu lub podzespołów i które służą wykryciu możliwych pęknięć
(rys) lub innych uszkodzeń spowodowanych w eksploatacji podczas napraw.
W zapewnieniu prawidłowej jakości badań nieniszczących istotnym czynnikiem jest kwalifikacja i certyfikacja personelu do badań, co jest szczegółowo
przedstawione w karcie UIC 960 [8]. Zgodnie z niniejszą kartą:
•
10
kwalifikacja pracownika polega na uznaniu
jego zawodowej wiedzy, jego zdolności,
doświadczenia i przydatności fizycznej,
wskutek czego jest w stanie, aby wykonać
powierzone mu zadania w zakresie badań
nieniszczących. W przypadku certyfikacji
chodzi o metodę, w wyniku której niezależna
instytucja udziela pisemnego zapewnienia co
do tego, że sprawdzający metodami nieniszczącymi posiada niezbędne kompe-tencje
w zgodności z ustalonymi warunkami ramowymi w normie europejskiej EN 473 [5].
Powyższa norma zawiera przepisy na temat
udzielania certyfikatu dla kwalifikowanych
pracowników.
•
autoryzacja badawcza polega na uznaniu
kompetencji i wystawieniu wykwalifikowanemu pracownikowi zgodnie z EN 473 [5]
pisemnej autoryzacji badawczej przez przełożonych przy uwzględnieniu szczególnych
wiadomości i przydatności do pracy jak
również znajomości przepisów bezpieczeństwa i higieny pracy, które należy przestrzegać.
• niezależna
instytucja
certyfikująca
administruje metodami certyfikacji personelu
do badań nieniszczących w zgodności z
normą europejską EN 473 [5] i wymaganiami
normy europejskiej EN 45013 [6]. W
większości krajów Unii Europejskiej działają
niezależne instytucje, które są akredytowane
przez instancje krajowe.
• autoryzowana instytucja certyfikująca jest
całkowicie niezależna i jest autoryzowana
przez niezależną instytucję, aby przygotować
i przeprowadzać badania kwalifikacyjne
personelu do badań nieniszczących. W przypadku kwalifikacji i certyfikacji przedstawionej w niniejszej karcie chodzi o Komitet
Certyfikacyjny Kolejnictwa do Napraw, który
był autoryzowany przez niezależną, krajową
instytucję do przeprowadzenia certyfikacji w
zakresie napraw krajowych.
• centrum badawcze jest dopuszczone
bezpośrednio przez niezależną instytucję lub
przez autoryzowaną instytucję, w której
odbywają się badania kwalifikacyjne. W tym
przypadku chodzi o centrum, które dysponuje
odpowiednimi kompetencjami, urządzeniami
i pomieszczeniami do badań w jednym z
obszarów zastosowań napraw kolejowych:
1. zestawy kołowe (koła, pełne osie i
osie drążone, układy biegowe)
2. wózki i połączenia (ramy wózków,
wahacze, prowadniki, pojedyncze
części jak również części usprężynowania urządzenia cięgłowozderznego).
Wykaz instytucji certyfikujących oraz instytucji
akredytujących jest przedstawiony w tabeli 6.
a. ZFP: badania nieniszczące
Instytucje certyfikujące
DGZfP-DPZ- Niemieckie Towarzystwo dla Badań
Nieniszczących-Ośrodek Certyfikujący Personel
BANT- Belgijskie Stowarzyszenie Badań Nieniszczących
COFREND- Francuskie Stowarzyszenie Badań Nieniszczących
PCN- Ośrodek Certyfikacji Personelu dla Badań Nieniszczących
CIC-PND- Włoski Ośrodek Badań Nieniszczących
Wykaz instytucji certyfikujących oraz akredytujących zgodnie z załącznikiem A karty UIC 960 [8]
Tabela 6
Kraj Unii
Europejskiej
Instytucja
certyfikująca
personel dla ZFPa
Akredytacja
Data
Niemcy
DGZfP
1.3.1994
TGA
DGZfP(DGZ)
Belgia
BANT
(procedura w toku)
BELCERT
(procedura w toku)
Francja
CONFRED
(procedura w toku)
BELCERT
(procedura w toku)
Wielka Brytania
PCN
04.1993
NACCB
Railways Sektor
Włochy
CIC-PND
25.01.1994
SINCERT
CIC-PND
Holandia
SKO
25.06.95
Road Voor de
Zintegrowany Sektor
kolejowy w zakresie
przedsiębiorstwa
Autoryzowana
instytucja kolejowa
Krajowa instytucja lub równorzędna
certificate
SKO- Szwajcarska Organizacja Kadrowa
Instytucje akredytujące
TGA- Stowarzyszenie d.s. Akredytacji Sp. z o.o.
BELCERT- Belgijskie Stowarzyszenie Akredytacji
COFRAC- Francuski Komitet Akredytacji dla Certyfikowanych Pojazdów
NACCB- Rada Narodowa Akredytacji dla Certyfikowanych Pojazdów
SICERT- Narodowy Urząd ds. Akredytacji dla Certyfikowanych Pojazdów
Karta UIC 960 [8] uwzględnia trzy stopnie kwalifikacji dla pracowników, wykonujących badania nieniszczące:
• pracownik stopnia 1, który posiada
kwalifikacje do przeprowadzenia badań
nieniszczących według pisemnych wskazówek, w których jest ustalony sposób
postępowania dla badań oraz regulacje, które
należy przeprowadzić jak również kryteria
klasyfikacyjne wyrażone w sposób jak przy
podaniu danych o nieregularnościach
zastosowanej metody
• pracownik stopnia 2, który jest wykwalifikowany do przeprowadzenia badań i
kontroli tych prac, które zostały powierzone
pracownikowi stopnia 1 i któremu on
świadczy pomoc w problemach interpretacyjnych otrzymanych wyników badań;
pracownik ten musi posiadać kwalifikacje do
przygotowania i opracowania pisemnych
instrukcji w zależności od poleceń, które
zostały mu wydane
• pracownik
stopnia
3,
który
jest
wykwalifikowany do określenia metody i do
ustalenia metod zastosowania jak również
metod badawczych, które należy zastosować
w zależności od przepisów naprawczych i
rzeczywistych warunków pracy; pracownik
musi dalej wykazywać zdolności do
weryfikacji przygotowanych instrukcji przez
pracowników stopnia 2 i do kontroli ich
właściwego zastosowania. Pracownik stopnia 3 może być powołany do kontroli badań
kwalifikacyjnych w centrum badawczym.
Badania kwalifikacyjne odbywają się w centrum
badawczym, które może być dopuszczone przez niezależną instytucję certyfikującą lub autoryzowany komitet sektora kolejowego. Badania kwalifikacyjne są
prowadzone przez pracowników stopnia 3, którzy są
wyznaczani przez ww. instytucje. Badania te przeprowadza się zgodnie z przepisami normy europejskiej
EN 473 [5] wg sporządzonego na piśmie porządku
metodologicznego, który został dopuszczony przez
ww. wymienioną niezależną instytucję.
Kandydaci do kwalifikowania muszą być przeszkoleni w zasadniczych podstawach stosowanych metod
pomiarowych jak również metod zastosowania w odpowiednim zakresie częściowym przy wprowadzeniu
do techniki kolejowej, przy czym czas szkolenia pozostawia się do uznania przedsiębiorstwu kolejowemu.
Dla pracowników stopnia 1 i 2 wymagane czasy szkolenia dla różnych metod badawczych są przedstawione
w tabeli 7.
Dla pracowników stopnia 3, którzy dysponują fachową wiedzą naukową i inżynierską ustala się dodatkowe wykształcenie do przeprowadzenia badań nieniszczących i wytycznych normy europejskiej EN-473 [5].
Badania kwalifikacyjne dla pracowników stopnia 1 i 2
składają się z trzech części:
• ogólnej ankiety do podstawowych zasad
odpowiedniej metody badawczej
• specjalnej ankiety do metody badawczej oraz
odpowiednio
zastosowanych
zakresów
częściowych kolejnictwa
• praktycznej kontroli o wybranej metodzie
badawczej, która jest reprezentatywna dla
metod i badań, które są rzeczywiście
praktykowane w odpowiednim zakresie
częściowym kolejnictwa i odbywa się na
podstawie bezbłędnych, wzorcowanych części
lub podzespołów.
11
Minimalne czasy szkolenia dla pracowników stopnia 1 i 2 w godzinach wg karty UIC 960 [8] Tabela 7
Stopień 2 szkolenia
Metoda badań
nieniszczących
Stopień 1 szkolenia
Jako dołączenie do
szkolenia stopnia 1
Bezpośrednie
przystąpienie do
szkolenia
badań ultradźwiękowych
(UT)
badań magnetycznych
(MT)
badań prądami wirowymi
(ET)
badań penetracyjnych
(PT)
badań optycznych (VT)
80
80
160
24
24
48
40
14
80
16
24
40
czas zastrzeżony
5. Wnioski
Na podstawie przeprowadzonych analiz można stwierdzić, że dla osi zestawów kołowych tocznych
oraz trakcyjnych można prognozować ich stan techniczny. Do tego celu służą postawy teoretyczne, do
której można zaliczyć mechanikę pękania oraz metody
doświadczalne. Z opisanych metod teoretycznodoświadczalnych wynika, że określanie wieku zestawów kołowych jako kryterium kwalifikacji jest pozbawione sensu technicznego. Bardziej obiecujące są
techniki prognozowania oparte na ustaleniu rzeczywistej granicy zmęczenia opartej o realne siły występujące w eksploatacji [1]. Jednym z kryteriów kwalifikacji
osi może być przebieg kilometrowy, który w przypadku pojazdów trakcyjnych musi być powiązany z rzeczywistym zespołem obciążeń, działającym na oś zestawu kołowego. Stąd wynika konieczność „rejestracji
rzeczywistego widma obciążeń”, o które powinien
zabiegać właściciel pojazdu oraz infrastruktury. Jednym z istotnych parametrów decydującym o kwalifikacji osi zestawów kołowych do eksploatacji jest stosowanie badań nieniszczących. Ważna jest częstotliwość wykonywanych badań kontrolnych, aby można
było zawczasu wykryć pęknięcie zmęczeniowe w osi
zestawu kołowego. Poważnym wsparciem dla zwiększenia żywotności osi zestawów kołowych jest norma
europejska PN-EN 13261:2009 [11]. Przepisy tej normy w zakresie wytwarzania, procesów kontrolnych i
odbiorczych stanowią istotny postęp w stosunku do
dotychczas obowiązującej karty UIC 811-1 [7]. Podniesienie jakości wyprodukowanych zestawów kołowych, a w szczególności poprawienie zabezpieczenia
przed korozją przez zastosowanie odpowiedniej jakości powłok malarskich przyczynia się niewątpliwie do
zwiększenia żywotności osi zestawów kołowych [3].
Zgodnie z obecnymi oczekiwaniami ze strony użytkowników taboru kolejowego producent powłok malarskich powinien udzielić gwarancji na okres 5 do 8miu lat. Wynika to z dotychczasowych negatywnych
doświadczeń z eksploatacji, gdzie stwierdzono że skuteczność powłoki malarskiej jest szacowana na okres
co najwyżej 2 do 3 lat.
12
czas zastrzeżony
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
Hasslinger H.: Lastannahmen für Radsatzwellen–
Bestandsanalyse. Eisenbahntechnische Rundsachau.
Nr 12, 12.2009.
Liedgens K.: Inspektionskonzept für Radsatzwellen
bei der Hamburger Hochbahn. Eisenbahningenieur.
Nr 3/2010.
Murawa F., Winkler M..: Randschichtbehandelte
Radsatzwellen. Eisenbahningenieur
Nr.7 /2007.
Richard A., Sander M., Wirxel M., Lebehahn J.: Ermittlung von Inspektionsinterwallen mittels Risswachstumsuntersuchungen. Eisenbahningenieur. Luty 2010.
EN 473: Kwalifikacja i certyfikacja personelu do
badań nieniszczących. Ogólne zasady. Marzec 1993.
EN 45013: Ogólne wymagania dotyczące opinii i
akredytacji placówek certyfikujących (ISO/IEC Tom
61:1996).1998.
Karta UIC 811-1: Warunki techniczne na dostawę osi
zestawów kołowych dla pojazdów trakcyjnych i wagonów
Karta UIC 960: Kwalifikacja i certyfikacja personelu
odpowiedzialnego za prowadzenie badań nieniszczących elementów zespołów pojazdów szynowych w
procesie ich utrzymania.2-gie wydanie z grudnia
2001.
PN-EN 13103:2009: Kolejnictwo. Zestawy kołowe i
wózki. Osie zestawów kołowych tocznych. Zasady
konstrukcji.
wózki. Osie zestawów kołowych napędnych. Zasady
konstrukcji.
wózki. Osie. Wymagania dotyczące wyrobu.
Raport ORE/ERRI B136/Rp.11/D. Zestawy kołowe z
nasadzanymi łożyskami tocznymi. Konstrukcja,
utrzymanie i standaryzacja. Obliczenie osi zestawów
kołowych dla wagonów towarowych i osobowych.
Utrecht, kwiecień 1979.
OR-9666: „Diagnostyka układów biegowych pojazdów tocznych i trakcyjnych.” Wrzesień 2010.
dr inż. Stanisław Bocian
Złożoność półgrupy charakterystycznej iloczynu prostego
automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów
+
ich rozszerzeń dla każdego słowa z języka ∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 )
Niniejsza publikacja kontynuuje cykl artykułów [6,7,8,9,12,14,15,16,17] dotyczący
złożoności obliczeniowej półgrupy charakterystycznej automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń. W projektowaniu sterowania pojazdów szynowych wykorzystuje się coraz częściej mikrosystemy cyfrowe dorealizowania sterowania inteligentnego, rozproszonego. W mikrosystemach
cyfrowych tworzenie oprogramowania możliwe jest z wykorzystaniem maszyny stanowej (automatu),któryumożliwia tworzenie oprogramowania w oparciu o sporządzony wcześniej graf automatu. Umożliwia to analizę pracy mikrosystemu cyfrowego w pojazdach szynowych i oszacowanie złożoności obliczeniowej pólgrup charakterystycznych automatów. Ma to istotny wpływ na złożoność czasową obliczeń,
jak również wielkości pamięci, potrzebnej do rozwiązania problemu.
Artykuł powstał w wyniku realizacji projektu badawczego MN i SzW nr N N509
398236 „Mikrosystemy cyfrowe do inteligentnego, rozproszonego i współbieżnego
sterowania pojazdami szynowymi.”
1. Wstęp
Maszyna o skończonej liczbie stanów FSM
(Finite State Machine – Skończona Maszyna Stanowa,
lub automat cyfrowy) jest jednym z modeli opisującym zachowanie systemów sterowania, w którym
chwilowe działanie systemu jest w sposób naturalny
reprezentowane w formie stanów i przejść między
nimi. W teorii automatów rozważa się pewne abstrakcyjne modele układów cyfrowych, to znaczy elementów i układów pracujących w dyskretnych chwilach
czasu, przy czym sygnały mają skończoną liczbę wartości. Teoria automatów będąca teoretycznym rozwinięciem układów logicznych – jest skutecznym narzędziem, umożliwiającym formalne projektowanie złożonych układów cyfrowych z zastosowaniem standartowych układów elementarnych.
Rozwój teorii automatów był stymulowany
przez dwie uzupełniające się tendencje:
a.) konstruowanie modeli bliżej związanych ze
współczesnym sprzętem i oprogramowaniem,
b.) znajdowanie poprawnych narzędzi matematycznych (języka matematycznego), przy pomocy
którego można wyrazić procesy obliczeniowe o
dużej różnorodności.
Algebraiczna teoria automatów jest z jednej
strony teoretycznym uogólnieniem teorii układów
logicznych, z drugiej strony może być traktowana jako
dział algebry.
Z postaci abstrakcyjnej, w procesie syntezy, można
je przekształcić w schemat logiczny, wzrastające co do
wielkości i złożoności problemy w informatyce, oprogramowanie lub ich kombinację. Tym samym uczy
teoria automatów jak koncepcyjnie i obliczeniowo
rozważać wzrastające co do wielkości i złożoności
problemy w informatyce.
Rozwój teorii automatów związany jest ze wzrostem znaczenia techniki komputerowej w różnych
gałęziach przemysłu, jak również z doskonaleniem
metod analizy i syntezy cyfrowych układów sterowania z uwzględnieniem skali scalania i złożoności funkcjonalnej
podzespołów cyfrowych. Ten ostatni czynnik miał
szczególny wpływ na rozwój teorii automatów zmiennych w czasie, bowiem automat zmienny w czasie jest
adekwatnym modelem dla wielu procesów technicznych i obliczeniowych czasu rzeczywistego. Dlatego
też interesujące są takie realizacje automatu, które z
jednej strony symulują pracę kilku automatów za pomocą jednego automatu zmiennego w czasie, a z drugiej strony są niezależne od aktualnego stanu technologii bądź uwzględniają jej najnowsze trendy.
W zakresie teorii automatów zmiennych w
czasie pojawiło się szereg opracowań [19,20,21,
22,25,27,28,29,30]. Wyniki dotyczące spójności i
silnej spójności [5,26,29,30], rozszerzeń automatów
[5,27,29,30] oraz funkcji zachowujących operacje
[5,18,21,22,28,29,30], miały istotny wpływ na poszukiwanie złożoności półgrup charakterystycznych automatów, które stosunkowo prosto opisują niektóre
13
własności automatów. Problemy półgrup charakterystycznych automatów przedstawiono w pracach
[22,27,28,29,30]. W pracach [28,29,30] opisano badanie właściwości półgrupy charakterystycznej automatu
silnie spójnego, a także półgrupy charakterystycznej
ustalonego analogu różnych sum okresowych związanych z izomorfizmami stanowymi.
Algebraiczna teoria automatów jest dynamicznie
rozwijającą się teorią, która z jednej strony jest teoretycznym uogólnieniem teorii układów logicznych, z
drugiej strony może być traktowana jako dział algebry
[1,3,19,22,24,30]. Pojęcia z algebry w postaci sformalizowanej są analizowane i przekształcane do postaci
dogodnych do optymalizacji.
Od wielu lat jesteśmy świadkami intensywnego rozwoju teorii automatów, szczególnie algebraicznej teorii automatów rozwijanej na gruncie teorii półgrup [4,27,28,29,30]. Definicja relacji równoważności
Myhilla na zbiorze stanów automatu oraz półgrup
charakterystycznych automatu pozwoliły wydobyć zeń
możliwości obliczeniowe. Dekompozycja półgrup
pozwala wprowadzić pojęcie automatów nieredukowalnych, z których można złożyć wszystkie pozostałe
automaty.
Półgrupa charakterystyczna jest szczególnie
istotnym pojęciem w teorii automatów; jest nośnikiem
ważnych informacji i określa zdolność do przetwarzania informacji. Ma to bezpośrednio ważkie konsekwencje praktyczne w sferze projektowania optymalnych układów logicznych.
Dla badań złożoności półgrupy charakterystycznej
automatów ważne są następujące motywacje:
a) w ogólnym przypadku półgrupa charakterystyczna posiada nn elementów, dlatego interesujące jest pokazanie klasy automatów, które posiadają wielomianową zależność liczby
elementów półgrupy charakterystycznej od
liczby stanów
b) półgrupa charakterystyczna, zgodnie z
[28,29,30], ingeruje w algorytm obliczeniowy
uogólnionych homomorfizmów automatów,
zatem wyznaczanie złożoności półgrupy charakterystycznej pozwala na oszacowanie złożoności uogólnionych homomorfizmów automatów
c) algorytm obliczeniowy uogólnionych homomorfizmów automatów stanowi rozwiązanie
problemu wyznaczania automatu, który „ma
możliwość” drugiego automatu.
W publikacjach [6,7,8] przedstawiono między innymi
wyniki na złożoność półgrup charakterystycznych
iloczynu prostego automatu DFASC2 (deterministic
finite asynchronous strongly connected) i EXT
DFASC2 (deterministic finite asynchronous strongly
connected extensions) dla słowa z alfabetu dwuliterowego. Dla tej klasy automatów przeprowadzono
uproszczony dowód na złożoność półgrupy charakte14
rystycznej iloczynu prostego automatu dla słów
x0 = σ 0σ 1 ; x1 = σ 1σ 0 .
W celu przeprowadzenia dowodu tw.3 na złożoność półgrup charakterystycznych iloczynu prostego
automatów z klasy EXT DFASC2 dla każdego słowa z
języka ∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 ) , należy przeprowadzić pełen dowód, na złożoność półgrup charakterystycznych
iloczynu prostego automatu z klasy EXT DFASC2 dla
słowa x0 = σ 0σ 1 , x1 = σ 1σ 0 .
+
W pracach [14,16] przeprowadzono dowody na złożoność półgrup charakterystycznych iloczynu prostego
automatu z klasy DFASC2 i EXT DFASC2 dla słowa z
alfabetu dwuliterowego.
W pracy przeprowadzono także dowód na złożoność półgrup charakterystycznych automatu z klasy
EXT DFASC2 dla każdego słowa z języka
∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 ) (tw. 3)
+
Ze względu na zrozumienie dowodu tw. 3
przedstawiono także dowody tw. 1 [14] i
tw. 2 [16]. Przedstawiono także dowody na izomorfizm półgrup charakterystycznych sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie
spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń [15].
2. Rozważania wprowadzające
Relację R ⊆ X × Y nazywamy funkcją, gdy dla
każdego a ∈ X
istnieje dokładnie jeden element
b ∈ Y taki że a R b . Zbiór X jest nazywany zbiorem określoności, a zbiór Y zbiorem wartości funkcji.
Funkcja f jest 1 ÷ 1 (różnowartościowa, jednoznacza1 ≠ a2 implikuje, że f (a1 ) ≠ f (a2 )) .
na), gdy
Funkcja jest „na ”, gdy
Y = b : b = f (a ), a ∈ X . Grupoidem nazywamy
{
}
parę uporządkowaną (S ,o ) gdzie: S niepusty zbiór,
(o )
operacja binarna na zbiorze stanów S. Operacją
binarną na zbiorze S nazywamy przekształcenie niepustego podzbioru zbioru (S × S ) w zbiór S. Binarną
operacją (o ) na zbiorze S nazywamy łączną (asocjatywną), jeśli a o (b o c ) = (a o b o c ) dla wszystkich
a, b, c ∈ S . Półgrupą nazywamy taki grupoid (S ,o ) , w
którym operacja (o ) jest asocjatywna. Niech Σ będzie
dowolnym zbiorem niepustym. Zbiór Σ będziemy
nazywali alfabetem, a jego elementy literami. Słowem
x w alfabecie Σ nazywamy dowolny ciąg liter alfabetu, napisanych obok siebie, a długością słowa (oznaczoną przez x ) nazywamy liczbę tych liter σ.
Skończonym automatem zdeterminowanym
wyjść nazywamy uporządkowaną trójkę
(S ,Σ, M ) , gdzie:
bez
S–skończony, niepusty zbiór stanów,
Σ–skończony, niepusty zbiór wejść,
M : S × Σ → S : jest funkcją przejść.
Symbolem ∑ + oznaczać będziemy przeliczalny nieskończony zbiór ciągów o skończonej długości, utworzony z elementów zbioru Σ. Zbiór ∑ +
razem z operacją konkatenacji (operacja połączenia
dwóch słów, polegającą na napisaniu ich obok siebie
w celu otrzymania nowego słowa), tworzy półgrupę
wolną zwaną półgrupą wejściową. Symbolem ∑∗
oznaczać będziemy monoid wejściowy, czyli
Σ∗ = Σ + ∪ λ , gdzie λ jest ciągiem pustym.
Funkcję M rozszerzamy do obszaru określoności
S × Σ + w podany poniżej sposób: niech: M (s, x )
będzie zdefiniowane, wtedy:
M (s, xσ ) = M (M (s, x,), σ )
dla
każdego
s ∈ S , x ∈ Σ + ,σ ∈ Σ .
Na zbiorze ∑ ∗ zdefiniujemy relację:
wtedy
i
tylko
xRy
∀s∈S M (s, x ) = M (x, y ).
wtedy,
gdy
R jest relacją równoważności (relacja Myhilla).
Klasę
równoważności
zawierającą
element
∗
x ∈ Σ oznaczać będziemy x , a zbiór wszystkich klas
równoważności oznaczać będziemy I . Zbiór I łącznie z operacją (o ) , gdzie x o y = xy tworzy półgrupę
(odpowiednio monoid), zwaną półgrupą charakterystyczną (odpowiednio monoidem charakterystycznym). Półgrupę charakterystyczną automatu A oznaczać będziemy I (A) .
Dla automatu A = (S ,Σ, M ) definiujemy automat
charakterystyczny
A = (S , I (A), M ) , gdzie funkcja
przejść M jest zdefiniowana następująco:
M (s, x ) = M (s, x ).
Składnikiem
autonomicznym
automatu
A = ( S , ∑, M ) nazywamy automat Ax = ( S , {x}, M x )
gdzie
x ∈ ∑∗
i
Mx
jest
ograniczeniem
M do S × {x}.
∗
Dla każdego x ∈ Σ definiujemy przekształcenie
fx zbioru S w siebie, gdzie :
f x (s ) = M (s, x ), dla każdego s ∈ S . Przekształcenie
fx jest implikowane przez x. Zbiór przekształceń
zbioru S w siebie implikowanych przez wszystkie
elementy z Σ będziemy oznaczać symbolem J. J ze
względu na operację superpozycji, jest zbiorem generatorów pewnej półgrupy.
Półgrupa F jest antyizomorficzna z I ponieważ:
ϕ : I → F , ϕ (x ) = f x ,
gdzie x ∈ I , x ∈ I przy czym:
ϕ (x o y ) = ϕ (xy ) = f xy = f y ( f x ) = ϕ (y ) ϕ (x )
(i)
(brak zachowania operacji)
() ()
ϕ x = ϕ y ⇒ f x = f y ⇒ ∀ s∈S M (s , x ) =
(ii)
,
= M (s , x ) ⇒ xRy ⇒ x = y
a zatem φ jest, „ 1 ÷ 1 ”
(iii) ϕ (x ) = f x ⇒ ϕ −1ϕ (x ) = ϕ −1 ( f x ) ⇒ x = ϕ −1 f x , a
zatem φ jest „na”.
Automat można zatem zdefiniować jako parę (S, J ) ,
(S, J )
a automat charakterystyczny automatu
parę (S, F ) .
jako
A = (S ,Σ, M ) jest silnie spójny
wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdej pary (s1 , s2 ) stanów automatu A istnieje element x z półgrupy wejAutomat
ściowej taki, że
M (s1 , x ) = s2 .
Automat A = (S ,Σ, M ) będziemy nazywać asynchronicznym wtedy i tylko wtedy gdy, dla każdego
(
)
s ∈ S i σ ∈ Σ zachodzi M (s, σ ) = M s, σ σ .
Automat A = (S ,Σ, M ) jest zupełny, jeśli jego
funkcja przejścia jest zupełna.
Automat A = (S ,Σ, M ) jest w pełni określony,
jeśli jego funkcja przejść jest w pełni określona.
Niech A =
( S , Σ, M )
A
A
i B=
( S , Σ, M )
B
B
będą
automatami deterministycznymi. Funkcję f : A → B
jest rozumiana jako funkcja przekształcająca
A
S w
B
S . Funkcja
f : A → B nazywamy homomorfizmem (zachowuje
operacje), jeżeli:
f
( M (s,σ )) = BM ( f (s ),σ ) ,
A
dla
każdego.
s∈S i σ ∈Σ
Jeżeli f : A → B jest „1 ÷ 1 ” i „na” oraz
zachowuje operacje, to f nazywamy izomorfizmem.
Homomorfizmem uogólnionym automatu
A w B nazywamy parę przekształceń
kich, że:
( f1 , f 2 )
ta-
w
w
B
B
f1 : A S 
→
S ,..., f 2 : A ∑∗ 
→
∑∗ ,
oraz
f1 ( AM ( s, x)) = B M ( f1 ( s ), f 2 ( x))
dla każdego
s ∈ A S , x ∈ A ∑∗ .
15
(
)
Niech q ≥ 2 i A0 = S 0 , ∑, M 0 będzie automatem oraz niech,
(
)
A1 = S 1 , ∑, M 1 ,..., Aq−1 = ( S q−1 , ∑, M q−1 ) będą
obrazami izomorficznymi związanymi z izomorfizmami stanowymi
g 1 ∈ Iz ( A0 → A1 ),..., g q −1 ∈ Iz ( Aq − 2 → Aq −1 ) .
Rozszerzeniem q automatu A0 związanym z izomorfizmami stanowymi g 0 , g 1 ,..., g q −1 nazywamy trójkę
extq (A) =
uporządkowaną
gdzie:
ext q ( A )
(
)
)
(
S , ∑,
ext q ( A )
S = S 0 , S 1 ,..., S q −1 ;
= M q ,0 , M q ,1 ,..., M q , q −1
(
ext q ( A )
)
ext q ( A )
M
S = {s 0 , s1 ,..., s n −1 } ; S i = s 0i , s1i ,..., s ni −1
s ij = g i (s j ) ;
Ustalonym
}
j = 0,1,..., n − 1
analogiem
rozszerzeni
automatu
A = S , ∑, M
(
extq A = ( S , ∑, M )
0
)
ext q ( A )
∗
q
ext q ( A )
)
ext q ( A )
M ∗ gdzie:
S ∗ = U qi=−01 S i ;
ext q ( A )
a
S ∗ , ∑,
M∗ :
(
( A× B )
S , ∑,( A× B )M
Niech A × B =
prostym
S ∗ × Σ→
ext q ( A )
( S , ∑, M )
k0 =
będzie iloczynem
( S , ∑, M )
A
A
i
B
(m − d 0 )
n
, gdzie: d0 – reszta z dzielenia liczb m,
n; b0 = n – d0.
Dowód.
Na rys.1. przedstawiono automaty A i B z klasy
DFASC2. Zbiory stanów automatów A i B
A
są następujące:
S = A s 0 , A s1 ,..., A s m − 2 , A s m −1 ;
B
ext q
A=
automatów
B
)
q −1
1
związanego z izomorfizmami g , g ,..., g
jest trójka
uporządkowana
(ext (A)) = (
Twierdzenie 1.
z klasy DFASC2; wtedy półgrupa
charakterystyczna I (A × B ) iloczynu prostego automatów A × B ma własność:
card (I (A × B )) = 2[m, n]
(1)
A
B
gdzie: card ( S) = m > 2; card S = n > 2; m, n liczby
naturalne m > n; card Σ= 2;
x0 = σ0 σ1; x1 = σ1 σ0; [m, n] – najmniejsza wspólna
wielokrotność liczb m, n, patrz [13].
g i : S → S i ; i = 0,1,..., q − 1
natomiast
3. Złożoność półgrupy charakterystycznej iloczynu
prostego automatów asynchronicznych silnie
spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń
3.1. Złożoność półgrupy charakterystycznej iloczynu prostego automatów z klasy DFASC2 [14]
B=
Mq =
{
∀ s∈S f x ( s ) = f x 'σ ( s ) = f σ ( f x ' ( s )) .
;
S=
{s,
B
0
{
B
B
B
s1 ,..., s n − 2 , s n −1
}
}
Wiadomo, że iloczyn prosty zbiorów stanów automatów A i B wynosi:
S∗
jest funkcją przejść zdefiniowaną dla dowolnych
s ∈ S i , jak następuje
M ∗ (s, σ ) = M q ,i ( s, σ ) .
ext q ( A )
Iloczyn prosty automatów
A =
A
S , ∑, A M
i
B=
(
(
B
)
S , ∑, B M jest trójką
)
uporządkowaną A × B = ( A× B )S , ∑, ( A× B )M , gdzie
( A× B )
( A× B )
S = S× S ;
M :( A× B ) S × ∑→ ( A× B )S , a funkcja przejść jest
A
B
zdefiniowana jak następuje
A× B
M
((
A
) ) ( M(
s, B s , (σ ) =
A
A
)
s, σ ,
B
M
(
B
))
s, σ .
Dla wszystkich przedstawionych rozważań
∑ = {σ 0 ,σ 1},
Rys. 1. Automaty
A
i B z klasy DFASC2
wprowadzamy x0 = σ 0 , σ 1 i x1 = σ 1σ 0 , dla których
( )
( )
f x0 = fσ 1 fσ 0 , f x1 = fσ 0 fσ 1 . Dla dowolnego
x ∈ ∑∗ zdefiniujemy przekształcenie
w
fx : S 
→
S określone jak następuje:
∀s∈S f x ( s ) = M ( s, x) gdzie: dla x = x 'σ mamy
16
(
(
(
)(
)(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
 A s , B s , A s , B s ,..., A s , B s , A s , B s , A s , B s , A s , B s ,..,
1
0
0
0
0
1
1
1
m−2
m −1
 0 0



( A× B )
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
S = S × S =  s m − 2 , s1 , s m −1 , s1 ,..., s 0 , s n − 2 , s1 , s n − 2 ,..., s m − 2 , s n − 2 , 
 A

B
A
B
A
B
A
B
A
B
 s m −1 , s n − 2 , s 0 , s n −1 , s1 , s n −1 ,..., s m − 2 , s n −1 , s m −1 , s n −1



)
)(
(
)
)(
(
)
(
)(
)
)
Po przekształceniu zbioru uporządkowanych par stanów automatów A i B pod wpływem lite-
ry σ 0 otrzymujemy:
( A×B )
fσ 0
(
(
(
)(
) (
)(
) (
)(
)(
Pod wpływem słowa x0 otrzymujemy przekształcenie:
(
(
(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
) (
)(
)
 A s , B s , A s , B s ,..., A s , B s , A s , B s , A s , B s , A s , B s ,.., 
1
1
1
1
1
1
1
1
m −1
m −1
 1 1

 A

=  sm−1 , B s1 , A sm−1 , B s1 ,..., A s1 , B sn−1 , A s1 , B sn−1 ,..., A sm−1 , B sn−1 , 
 A

 sm−1 , B sn−1 , A s1 , B sn−1 , A s1 , B sn−1 ,..., A sm−1 , B sn−1 , A sm−1 , B sn−1 


) (
)(
) (
)(
)(
) (
)(
) (
)(
)(
) (
)
)(
)
)
)
)
 A s , B s , A s , B s ,..., A s , B s , A s , B s , A s , B s , A s , B s ,.., 
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
 2 2



( A× B )
f x0 =  A s 0 , B s 2 , A s 0 , B s 2 ,..., A s 2 , B s 0 , A s 2 , B s 0 ,..., A s 0 , B s 0 ,

 A B

 s 0 , s 0 , A s 2 , B s 0 , A s 2 , B s 0 ,..., A s 0 , B s 0 , A s 0 , B s 0



( A× B )
( A× B )
f x 0σ 1 =
f x0
Po
n
– krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
( A× B )
f
n
x02


 A

A
 A

 A

B
B
B
B







  s m − d 0 , s 0  s m − d 0 , s 0  ,...,  s m − d 0 − 2 , s 0  s m − d 0 − 2 , s 0 

k0
k0
k0
k0
















 A

B
A
B
B
A
B
A
  s m − d 0 , s 0  s m − d 0 , s 0  ,...,  s m − d 0 − 2 , s 0  s m − d 0 − 2 , s 0  ,..., 


k0
k0
k0
k0





= 







  A s m − d 0 , B s n − 2  A s m − d0 , B s n − 2  ,...,  A s m − d 0 , B s n − 2  A s m − d0 , B s n− 2  





−2
−2
 
k0
k0
k0
k0








 A


 A

B
B
B
B
 A s
 s
 ,...,  A s
 s

,
s
,
s
,
s
,
s
 mk− d 0 − 2 n − 2  mk− d0 − 2 n− 2  
  mk− d 0 n − 2  mk− d0 n − 2 
0
0
0
0






gdzie: d0 =m – k0 n ; b0 =n – d0 .
n
2
 A sm − d 0 , B s0 , A sm − d 0 , B s0 ,..., A sm − d 0 − 2 , B s0 A sm − d 0 − 2 , B s0 ,

 A s − , B s A s − , B s ,..., A s − − , B s A s − − , B s ,...,
0
0
0
0
m d0
m d0
m d0 2
m d0 2
( A× B )
f k n = A
B
A
B
A
B
A
0
 sm − d , sn − 2 sm − d , sn − 2 ,..., sm − d − 2 , sn − 2 sm − d − 2 , B sn − 2
x0 2
0
0
0
0

A
B
A
B
A
B
A
 sm − d , sn − 2 sm − d , sn − 2 ,..., sm − d − 2 , sn − 2 sm − d − 2 , B sn − 2
0
0
0
0

Po k0
(
(
(
(
)(
)(
)(
)(
) (
) (
) (
) (
)(
)(
)(
)(
)
)








)
)
Po k0 n – krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
17
( A× B )
f x k0n
0



=




(
(
(
(
)( s
)( s
)( s
)( s
A
s m − d1 , B s 0 ,
A
s m − d1 , B s 0
A
A
) (s
, s ),..., ( s
, s ),..., (
, s ),..., (
m − d1
m − d1
A
s m − d1 , B s n − 2
A
A
s m − d1 , B s n − 2
A
, B s 0 ,...,
B
A
0
m − d1
m − d1
A
B
B
m − d1 − 2
m − d1 − 2
n−2
n−2
)( s
)( s
, B s0
, B s0
A
A
m − d1 − 2
m − d1 − 2
A
s m − d1 − 2 , B s n − 2
A
s m − d1 − 2 , B s n − 2
)(
)(
)
),...,
, B s0 ,
, B s0
A
s m − d1 − 2 , B s n − 2
A
s m − d1 − 2 , B s n − 2








)
)
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n] mamy: d1 = m – b0 – k0n; b1 = n1 – d1
wm [m, n ]
=
2
2
 A s m − d w , B s 0 , A s m − d w , B s 0 ,..., A s m − d w − 2 , B s 0 A s m − d w − 2 , B s 0 ,

B
A
 As
s m − d w , B s 0 ,..., A s m − d w − 2 , B s 0 A s m − d w − 2 , B s 0 ,...,
m− d w , s 0
( A× B )

f [m , n ] = A
 s m − d , B s n− 2 A s m − d , B s n − 2 ,..., A s m − d − 2 , B s n − 2 A s m − d − 2 , B s n − 2
x0 2
w
w
w
w

 A s m − d , B s n− 2 A s m − d , B s n − 2 ,..., A s m − d − 2 , B s n − 2 A s m − d − 2 , B s n − 2
w
w
w
w

Po
(
(
(
(
)(
)(
)(
)(
) (
) (
) (
) (
)(
)(
)
)
)(
)(








)
)
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n] mamy:
d w−1 = m − bw− 2 − k 0 n = 0;
Stąd:
( A×B )
f
[m , n ]
x0 2
[m , n ]
Po x0
( A×B )
( A× B )
f
f
2
(
(
(
)(
[m, n] = mw = p
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
)(
)
 A s0 , B s0 A s0 , B s0 ,..., A sm−2 , B s0 A sm−2 , B s0 A s0 , B s0 A s0 , B s0 ,..., 


=  A sm−2 , B s0 A sm−2 , B s0 ,..., A s0 , B sn−2 A s0 , B sn−2 ,..., A sm−2 , B sn−2 
 A

 s −2 , B s −2 A s0 , B s −2 A s0 , B s −2 ,..., A s −2 , B s −2 A s −2 , B s −2 
n
n
n
m
n
m
n
 m

)(
) (
σ 0 – krotnej konkatenacji otrzymujemy:
[m , n ]
x0 2 σ 0
[m , n ]
x0 2 σ 0
(
(
(
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
) (
)(
)(
) (
)(
)
)
)
 A s1 , B s1 A s1 , B s1 ,..., A sm−1 , B s1 A sm−1 , B s1 A s1 , B s1 A s1 , B s1 ,..., 


=  A sm−1 , B s1 A sm−1 , B s1 ,..., A s1 , B sn−1 A s1 , B sn−1 ,..., A sm−1 , B sn−1 
 A

 s −1 , B s −1 A s1 , B s −1 A s1 , B s −1 ,..., A s −1 , B s −1 A s −1 , B s −1 
m
n
n
n
m
n
m
n


( A× B )
fσ 0
=
)(
) (
)
)
Identyczną liczbę przekształceń uzyskujemy rozpoczynając przekształcenie zbioru uporządkowanych
par stanów automatów A i B pod wpływem
[m,n]
2
krotnej konkatenacji słowa x1 = σ 1σ 0 . Zatem
otrzymujemy wzór (1).
C.B.D.O.
3.2. Złożoność półgrupy charakterystycznej iloczynu prostego automatów z klasy
EXT DFASC2 [16]
Twierdzenie 2.
ext q ( A × B )
ext ( A × B )
S,∑ , q
M będzie rozszerzeniem stanowym związanym
Niech ext q ( A × B ) =
(
)
z izomorfizmami g0, g1,..., gq-1 iloczynu prostego A × B =
A=
( S , ∑,
A
A
M
)
i B=
( S , ∑,
B
B
)
(
A× B
)
S , ∑ , A× B M automatów
M z klasy DFASC2 ; wtedy półgrupa charakterystyczna
I (extq (A × B )) ustalonego analogu rozszerzenia ma własność:
∗
card (I (ext )q (A × B )) = 2[m, n, q ]× q
∗
A
(2)
B
gdzie: card ( S) = m > 2; card ( S) = n >2; m, n liczby naturalne m > n; card Σ= 2;
x0 = σ0 σ1; x1 = σ1 σ0; [m, n] – najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m, n, patrz [13].
18
Dowód.
Uwzględniając rys.2 otrzymujemy następujące uporządkowane pary stanów:
ext q ( A× B )
S=
(
(
(
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
)
 A s00 , B s00 , A s00 , B s10 ,..., A s00 , B sn0− 2 , A s00 , B sn0−1 , A s10 , B s00 , A s10 , B s10 ,..., 


 A s10 , B sn0− 2 , A s10 , B sn0−1 ,..., A sm0 − 2 , B s00 , A sm0 − 2 , B s10 ,..., A sm0 − 2 , B sn0− 2 , 
 A 0 B 0

 s , s , A s 0 , B s 0 , A s 0 , B s 0 ,..., A s 0 , B s 0 , A s 0 , B s 0

−
−
−
−
−
−
−
−
2
1
1
0
1
1
1
2
1
1
m
n
m
m
m
n
m
n


.
.
.






(
(
(
)( s
), ( s
), ( s
A
s 0q −1 , B s 0q −1 ,
A
q −1 B q −1
0
1
A
q −1 B q −1
1
n−2
s
A
q −1 B q −1
1
n −1
A
s mq −−12 , B s nq−−11
, s
A
, s
, s
) (
)(
),..., ( s , s ), ( s
),..., ( s , s ), ( s
), ( s , s ),..., ( s
q −1 B q −1
0
m −1
, s
)(
) (
A
q −1 B q −1
n− 2
0
A
A
q −1 B q −1
0
m− 2
A
q −1 B q −1
1
m −2
A
q −1 B q −1
m −1
n−2
q −1 B q −1
1
m −1
q −1 B q −1
n −1
0
), ( s
),..., (
), ( s
A
, s
, s
, s
), (
)
s1q −1 , B s1q −1 ,..., 

A q −1 B q −1

s m −2 , s n− 2 ,

q −1 B q −1

m −1 , s n −1

q −1 B q −1
1
0
A
A
, s
A
)
)
Po przekształceniu pod wpływem σ 0 uporządkowanych par stanów rozszerzenia stanowego iloczynu
prostego A i B otrzymujemy
ext q ( A× B )
(
(
(
fσ0 =
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
 A s11 , B s11 , A s11 , B s11 ,..., A s11 , B s1n−1 , A s11 , B s1n−1 , A s11 , B s11 , A s11 , B s11 ,..., 


 A s11 , B s1n−1 , A s11 , B s1n−1 ,..., A s1m−1 , B s11 , A s1m−1 , B s11 ,..., A s1m−1 , B s1n−1 , 
 A 1 B 1

 s , s , A s1 , B s1 , A s1 , B s1 ,..., A s1 , B s1 , A s1 , B s1

1
1
m −1
m −1
m −1
n −1
m −1
n −1
 m−1 n−1

.
.
.
(
(
(
)(
)(
)(
) (
) (
)(
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)
)
 A s10 , B s10 , A s10 , B s10 ,..., A s10 , B sn0−1 , A s10 , B sn0−1 , A s10 , B s10 , A s10 , B s10 ,..., 


 A s10 , B sn0−1 , A s10 , B sn0−1 ,..., A sm0 −1 , B s00 , A sm0 −1 , B s10 ,..., A sm0 1 , B sn0−2 ,

 A 0 B 0

 s , s , A s 0 , B s 0 , A s 0 , B s 0 ,..., A s 0 , B s 0 , A s 0 , B s 0

1
1
m −1
m −1
m −1
n −1
m −1
n −1
 m−1 n−1

)(
) (
) (
)(
)
)
Po q – krotnej konkatenacji σ 0 otrzymujemy:
ext q ( A× B )
(
(
(
fσ q =
0
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
)
 s , s , A s10 , B s10 ,..., A s10 , B sn0−1 , A s10 , B sn0−1 , A s10 , B s10 , A s10 , B s10 ,..., 


 A s10 , B sn0−1 , A s10 , B sn0−1 ,..., A sm0 −1 , B s10 , A sm0 −1 , B s10 ,..., A sm0 −1 , B sn0−1 , 
 A 0 B 0

 s −1 , s −1 , A s 0 −1 , B s10 , A s 0 −1 , B s10 ,..., A s 0 −1 , B s 0−1 , A s 0 −1 , B s 0−1 
m
n
m
m
m
n
m
n


.
.
.






(
(
(
A 0 B 0
1
1
)( s
),..., (
), ( s
A
s1q −1 , B s1q −1 ,
A
q −1 B q −1
1
1
A
s
, s
s
q −1 B q −1
m −1
n −1
, s
A
A
),..., (
s ), (
), ( s
q −1 B q −1
1
1
, s
A
q −1 B q −1
n −1
1
s
,
q −1 B q −1
m −1
n −1
, s
A
)(
) (
) ( s , s ), ( s , s ),
, s ),..., ( s , s ), ( s , s ),...,
s ), ( s , s ),..., ( s , s ), ( s
A
s1q −1 , B s nq−−11 ,
A
q −1 B q −1
n −1
1
s
q −1 B q −1
1
m −1
,
) (
)(
A
q −1 B q −1
n −1
1
A
A
A
q −1 B q −1
m −1
1
q −1 B q −1
1
m −1
q −1 B q −1
1
1
A
A
q −1 B q −1
m −1
1
q −1 B q −1
m −1
n −1
A
q −1 B q −1
m −1
n −1
, s






)
Po (q+1) – krotnej konkatenacji litery σ 0 otrzymujemy:
ext q ( A× B )
fσ q+1 =
ext q ( A× B )
0
fσ 0
19
Rys. 2. Ustalone analogi ((extq(A))* i ((extq(B))* automatów A i B
20
Z kolei pod wpływem słowa x0 = σ 0σ 1 otrzymujemy:
ext q ( A× B )




.
.
.




(
(
(
(
f x0 =
)(
), (
) (
),..., (
)(
), (
)(
), (
)(
), (
) (
),..., (
)(
), (
A
s 22 , B s 22 ,
A
s 22 , B s 22 ,...,
A
s 22 , B s 02 ,
A
s 22 , B s 02 ,
A
s 22 , B s 22 ,
A
s 22 , B s 22 ,...,
A
s 22 , B s 02 ,
A
s 02 , B s 22
A
s 02 , B s 22
A
s 02 , B s 02
A
s 02 , B s 02
A
s 02 , B s 22
A
s 02 , B s 22
A
s 02 , B s 02
A 1 B 1
2
2
)(
), (
s , s ,
A 1 B 1
0
2
s , s
A 1 B 1
2
2
) (
),..., (
s , s ,...,
A 1 B 1
0
2
s , s
A 1 B 1
2
0
)(
), (
s , s ,
A 1 B 1
0
0
s , s
A 1 B 1
2
0
)(
), (
s , s ,
A 1 B 1
0
0
s , s
A 1 B 1
2
2
)(
), (
s , s ,
A 1 B 1
0
2
s , s
A 1 B 1
2
2
) (
),..., (
s , s ,...,
A 1 B 1
0
2
s , s
A 1 B 1
2
0
)(
), (
s , s ,
A 1 B 1
0
0
s , s
)
)
s 22 , B s 02 ,..., 

A 2 B 2

s0 , s0

A
)
)
s , s ,..., 

A 1 B 1

s0 , s0

A 1 B 1
2
0
n
2
ext q ( A× B )
f n =
Po
x 02



 


 A n

B n  A n
B n
B n   A n
B n 
 Asn
s
,
s
,
s
,
s
,...,
,
s
,
s
,
s
,
   m − d o  0    m − d o  0    m − d o  n − 2    m − d o  n − 2 

   k 0 

   k 0 
   k 0 
   k 0 




 


  A n

B n  A n
B n
B n   A n
B n 
A n
  s m − d o  , s0 ,  s m − d o  , s0 ,...,  s m − d o  , sn − 2 ,  s m − d o  , sn − 2 ,...,

   k 0 

   k 0 
   k 0 
   k 0 





 

  A n
B n  A n
B n
B n   A n
B n 
A n
  s m − d o  , s0 ,  s m − d o  , s0 ,...,  s m − d o  , sn − 2 ,  s m − d o  , sn − 2 , 




− 2 
− 2 
− 2 
− 2 
   k0 

   k0 
   k0 
   k0 



 



  A snm − d  , B s0n ,  A snm − d  , B s0n ,...,  A snm − d  , B snn− 2 ,  A snm − d  , B snn− 2  
   o − 2 
   o − 2 
   o − 2 

   k o − 2 
   k0 
   k0 
   k0 

  0 
.
.
.



 


  A n −1


B n −1   A n −1
B n −1 
A n −1
B n −1   A n −1
B n −1 

  s  m − d o  , s 0 ,  s m − d o  , s 0 ,...,  s  m − d o  , s n − 2 ,  s  m − d o  , s n − 2 ,
   k0 

   k0 
   k0 
   k0 




 


  A n −1

B n −1   A n −1
B n −1 
A n −1
B n −1   A n −1

B n −1 
  s  m − d o  , s 0 ,  s m − d o  , s 0 ,...,  s  m − d o  , s n − 2 ,  s  m − d o  , s n − 2 ,...,

 k 
 k 
 k 
   k0 

  0 
   0 
  0 




 


  A n −1
  s  m − d o  , B s 0n −1 ,  A snm−1− d o  , B s 0n −1 ,...,  A snm−1− d o  , B s nn−−12 ,  A snm−1− d o  , B s nn−−12 , 



−2 
−2 
−2 
   k0 − 2 
   k0 
   k0 
   k0 





 


  A s n −1
, B s 0n −1 ,  A snm−1− d  , B s 0n −1 ,...,  A snm−1− d  , B s nn−−12 ,  A snm−1− d  , B s nn−−12  
 m− do 

   o −2 
   o −2 
   o − 2 


− 2 


   k0 
   k0 
   k0 

   k0 
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n] mamy: d0 = m – k0 n ;
Po k0
b0 = n – d0
n
– krotnej konkatenacji słowa xo otrzymujemy:
2
21








.
.
.








(s
(s
(s
(s
), ( s
, s ), ( s
, s ), ( s
, s )( s
A ko n
B kon
m−d0
0
A ko n
B ko n
m−d0
n−2
A ko n
B ko n
m−d0
n−2
A kon
B kon
m−d0
0
A ko n
B kon
m−d0
0
A ko n
B ko n
m−d0
n−2
A ko n
B ko n
m−d0
n−2
, s
A kon
B ko n
m−d0 −2
0
, s
A ko n
B kon
m−d0 −2
0
A kon
B ko n
m−d0 −2
0
(
(
(
(

),..., ( s , s ), ( s , s )

, s ),..., ( s
, s ), ( s
, s ),..., 

, s ),..., ( s
, s ), ( s
, s ), 

, s ),..., ( s
, s ), ( s
, s )
A kon
B kon
m−d0
0
A ko n
B ko n
m−d0 −2
n−2
A ko n
B ko n
m−d0 −2
0
)( s
), ( s
), ( s
)( s
A ko n
B ko n
m−d0 −2
n−2
),..., ( s ,
),..., ( s ,
s
, s
),..., ( s
),..., ( s
, s
A
s mko−nd−01 , B s 0ko n −1 ,
A
k o n −1 B k o n −1
0
m −d0
, s
A
A
s mko−nd−01 , B s 0ko n −1
A
k o n −1 B k o n −1
0
m −d0
A
A
s mko−nd−01− 2 , B s 0ko n −1
A
s mko−nd−01− 2 , B s 0ko n −1
A
,
k o n −1
B k o n −1
0
m− d0 − 2
k o n −1
B k o n −1
0
m − d0 −2
A
A kon
B kon
m−d0
n−2
A ko n
B kon
m−d0 −2
n−2
), (
), (
)
),...,


k o n −1 B k o n −1
A k o n −1 B k o n −1

sn−2
s m −d0 , s n− 2
m− d0

A k o n −1
B k o n −1
A k o n −1 B k o n −1 
,
s
,
s
,
s
,
n−2
n−2
m −d0 − 2
m− d0

B k o n −1 
B k o n −1
A k o n −1
A k o n −1
,
s
,
s
,
s
n− 2
n− 2
m − d0 −2
m − d0 −2

k o n −1 B k o n −1
n−2
m−d0
s
A
s mko−nd−01 , B s nk−o n2−1
)(
)(
)
)
Po k0 n – krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
ext q ( A× B )








.
.
.








f x k0 n =
0
(s
(s
(s
(s
A 2k o n B 2ko n
m − d1
0
, s
A 2k o n B 2ko n
0
m − d1
, s
), ( s
), ( s
), ( s
)( s
A 2k o n B 2ko n
m − d1
n−2
A 2k on B 2ko n
m − d1
n−2
A 2k on B 2ko n
0
m − d1
A 2k o n B 2ko n
m − d1
n−2
A 2k on B 2ko n
m − d1
n−2
A 2k o n
B 2ko n
0
m − d1 − 2
, s
(
(
(
(
, s
A 2ko n
B 2ko n
0
m − d1 − 2
A 2k o n
B 2ko n
0
m − d1 − 2
, s

),..., ( s , s ), ( s , s )

, s ),..., ( s
, s ), ( s
, s ),..., 

, s ),..., ( s
, s ), ( s
, s ), 

, s ),..., ( s
, s ), ( s
, s )
A 2k on B 2ko n
m − d1
0
A 2k on
B 2ko n
m − d1 − 2
n−2
A 2k o n
B 2k on
0
m − d1 − 2
)( s
), ( s
), ( s
)( s
A
s m2 k−odn1−1 , B s 02 ko n −1 ,
A
2 k o n −1 B 2 k o n −1
0
m − d1
A
s m2 k−odn1−1 , B s 02 ko n −1
A
2 k o n −1 B 2 k o n −1
0
m − d1
A
s m2 k−odn1−−12 , B s 02 ko n −1
A
s m2 k−odn1−−12 , B s 02 ko n −1
A
A
, s
, s
A 2ko n
B 2ko n
m − d1 − 2
n−2
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
2 k o n −1 B 2 k o n −1
0
m − d1 − 2
, s
2 k o n −1 B 2 k o n −1
0
m − d1 − 2
, s
A 2ko n B 2ko n
m − d1
n−2
A 2k on
B 2ko n
m − d1 − 2
n−2
A
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1
A
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1
A
A
, s
, s
), ( s
), ( s
), ( s
), ( s
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1 − 2
, s
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1 − 2
, s
A
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1
A
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1
A
A
, s
, s
) 
),..., 
), 
) 
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n− 2
m − d1
, s
2 k o n −1 B 2 k o n −1
n−2
m − d1 − 2
, s
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n] mamy:
d1 = m – b0 – k0 n ; b1 = n – d1
Po
wm [w, n]
=
– krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy, że:
2
2
dw-1 = m – bw-2 – k0 n = 0 i wtedy mamy następujące przekształcenie:
extq ( A× B )
(
f
[m , n ]
x0 2
=
)(
) (
)(
) (
)(
)(
) (
)(
)(
A wm , B wm A wm , B wm A wm , B wm
 A s0wm , , B s0wm A s0wm , , B s0wm ,..., A s0wm , , B snwm
s0 , s n − 2 s0 , s0
s0 , s0
−2

A wm , B wm A wm , B wm
A wm , B wm A wm , B wm
A wm , B wm
 ,..., s0 , sn−2 s0 , sn−2 ,..., sm−2 , s0
sm−2 , s0 ,..., sm−2 , sn−2
 A wm , B wm A wm , B wm A wm , B wm
,
A
wm
A wm , B wm
 s − , s−
sm−2 , s0 ,..., sm−2 , B snwm
sm − 2 , sn − 2
−2
 m 2 n 2 sm−2 , s0
(
.
.
.
22
(
)(
)(
)(
) (
)
)
)











(
(
(
(
A
s1wm −1, , B s1wm −1
A
s1wm −1, , B s1wm −1
A
s mwm−1−1, , B s1wm −1
A
s mwm−1−1, , B s1wm −1
Po σ 0 i
ext q ( A× B )







f
) (
),..., (
),..., (
),..., (
A
s1wm −1, , B s1wm −1 ,...,
A
−1
s1wm −1, , B s nwm
−1
A
s1wm −1, , B s1wm −1
A
−1
−1
A
s mwm−1−1, , B s1wm −1
A
−1
s mwm−1−1, , B s nwm
−1
A
s mwm−1−1, , B s1wm −1
A
−1
−1
)(
)(
)(
)(
A
−1
−1
A
−1
−1
A
−1
−1
A
−1
−1
) 
),..., 
) 
) 
wm [m, n ]
=
2
2
[m , n ] =
σ 0 x0
(s
(s
(s
(s
)(
)(
)(
)(
2
A wm +1, B wm +1
1
1
, s
A wm +1, B wm +1
1
1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
1
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
A wm +1, B wm +1
1
1
, s
A wm +1, B wm +1
1
1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
1
, s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
A wm +1, B wm +1
n −1
1
, s
A wm +1, B wm +1
n −1
1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
n −1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
n −1
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
A wm +1, B wm +1
n −1
1
, s
A wm +1, B wm +1
n −1
1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
n −1
, s
A wm +1, B wm +1
m −1
n −1
, s
) 
),..., 
) 
) 
.
.
.
A wm , B wm
 ( A s1wm , , B s1wm )( A s1wm , , B s1wm ),..., ( A s1wm , , B s nwm
, s n −1 )( A s1wm , , B s1wm )( A s1wm , , B s1wm ),..., 
−1 )( s1


A wm , B wm
A wm , B wm
A wm , B wm
A wm , B wm
A wm , B wm
 ( A s1wm , , B s nwm

)(
)
(
)(
)
(
)(
)
s
,
s
,...,
s
,
s
s
,
s
,...,
s
,
s
s
,
s
1
1
1
−1
n −1
m −1
m −1
m −1
n −1
m −1
n −1
 A wm , B wm A wm , B wm

A wm , B wm
 ( s m −1 , s1 )( s m −1 , s1 )..., ( A s mwm−1, , B s nwm

−1 )( s m −1 , s n −1 )


wm [wm ]
Po σ 0q +1 i
=
2
2
ext q ( A× B )
f
[m , n ]
σ 0q +1 x0
ext q ( A× B )
=
f
2
Dla przekształcenia
ext q ( A× B )
[m , n ]
σ 0 x0 2
f
pod wpływem q – krotnego działania literyσ 0 otrzymujemy po-
wm
σ 0 x0 2
nownie przekształcenie
ext q ( A× B )
f
wm
.
σ 0 x0 2
W dalszych rozważaniach będziemy analizować przekształcenie
ext q ( A× B )
f
wm
. Rozważania dla prze-
x0 2
kształceń
ext q ( A× B )
f
wm
σ 0 x0 2
,...,
ext q ( A× B )
f
wm
σ 0q x0 2
są analogiczne. Z przytoczonych powyżej rozważań opartych na sposobie wyznaczania najmniejszej
wspólnej wielokrotności dwóch liczb oraz uwzględniając definicję rozszerzenia stanowego automatu z
klasy EXT DFASC2 wynika, że liczba dotychczas wygenerowanych przekształceń wynosi q[m, n] .
Niech [m, n] = m w = p. Z przytoczonych rozważań opartych na sposobie wyznaczania najmniejszej
wspólnej wielokrotności dwóch liczb [13] oraz uwzględniając definicje rozszerzenia automatu
asynchronicznego silnie spójnego wynika, że liczba dotychczas wygenerowanych przekształceń
wynosi p . Wtedy po
p
– krotnej konkatenacji słowa otrzymujemy:
2
23
ext q ( A× B )
f
p
=
x02
q −d o ,o
  q − d o ,o
  A s k1 , B s k1
0
 0

  q − d o ,o
q −d o ,o
  A s k1 , B s k1
0
 0


q −d o ,o
  q − d o ,o
  A s k1 , B s k1
0
  m−2

q −d o ,o
  q − d o ,o
  A s k1 , B s k1
0
  m −2






q − d o ,o
q −do,o
q −do,o
q −d o ,o
q −do,o
q −d o ,o

 

 
 A s k1 , B s k1 ,...,  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1 ,..., 
0
n−2
n−2
 0
  0
 0
 

 

 
q − d o ,o
q − d o ,o
 q − d o ,o −1 q − d o ,o   q − d o ,o
 q − d o ,o
 
 A s k1 , B s k1 ,...,  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1  
0
n−2
n−2
 m − 2
  m−2
 m − 2
 

 

 
q − d o ,o
q −do,o
q −do,o
q −d o ,o
q −do,o
q −d o ,o

 

 
 A s k1 , B s k1 ,...,  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1  
0
n−2
n−2
  m− 2
 m − 2
 
 m − 2
 

 

q −do,o
 q − d o ,o
 A s k1 , B s k1
0
 0

q −d o ,o
  q −do,o
,...,  A s k1 , B s k1
n−2
  0
 
q −d o ,o
 q − d o , o
 A s k1 , B s k1
n−2
 0





.
.
.
q −d o ,o
q−do,o
q − d o ,o
q −d o ,o
  q − d o ,o
  q −do,o
 q − do ,o
 
 q − d o ,o
  A s k1 −1 , B s k1 −1  A s k1 −1 , B s k1 −1 ,...,  A s k1 −1 , B s k1 −1  A s k1 −1 , B s k1 −1  
n−2
0
0
n−2
 0
 0
 
 0
  0
 

 


  q − d o ,o −1 q − d o ,o −1  q − d o ,o −1 q − d o , o −1   q − d o , o −1 q − d o ,o −1  q − do ,o −1 q − d o ,o −1  
  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1 ,...,  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1 ,..., 
n−2
n−2
0
0
 0
 0
  0
 0
 







 

  q − d o ,o −1 q − d o ,o −1  q − d o ,o −1 q − d o , o −1   q − d o , o −1 q − d o ,o −11  q − d o ,o −1 q − d o ,o −1  
  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1 ,...,  A s k1 , B s k1
 A s k1 , B s k1  
m− 2
n−2
n−2
m− 2
0
0
  m −2

 
 m − 2
 

 

 

  q − d o ,o −1 q − d o ,o −1  q − d o ,o −1 q − d o , o −1   q − d o , o −1 q − d o ,o −1  q − do ,o −1 q − d o ,o −1  
  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1 ,...,  A s k1 , B s k1  A s k1 , B s k1  
n−2
n−2
0
0
  m −2
 m − 2
  m− 2
 m − 2
 

 

 

gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności, dla trzech liczb [m,
n, q] = [[m, n],q] = [p, q], gdzie p = [m, n], patrz[13]:
q>p
k1 - całkowita wielokrotność liczby p w q;
b0,0 = p – d0,0 ,
d0,0 = q – k1p,
d1,1 = q – b0,0 – k1p,
b1,1 = p – d1,1
.
.
.
bt-2,t-2 = p – dt-2,t-2
dt-2,t-2 = q – bt-3,t-3 – k1p
dt-1,t-1 = q – bt-2,t-2 – k1p = 0
[m, n, q] = [p, q] =[[m, n], q] = q t
W przypadku gdy dx < 0; gdzie 0 < x < t–1, to w miejsce bx wpisujemy bezwzględna wartość liczby
dx i obliczenia kontynuujemy dalej.
b0 = q – d0,0 i dalej postępujemy analogicznie.
Gdy p > q to d0,0 = p – k1 q ,
Dowód przeprowadzamy zakładając, że q > p .
Po k1
24
p
2
ext q ( A× B )







.
.
.







(s
(s
(s
(s
f
k1
x0
p
=
2
A
q −d 0, 0 B q −d 0, 0
0
0
A
q −d 0, 0 B q −d 0, 0
0
0
A
q −d0, 0 B q −d0, 0
0
m −2
, s
, s
, s
A q −d0, 0 B q −d0, 0
0
m −2
(s
(s
(s
(s
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
A
q −d 0, 0 B q −d 0, 0
0
0
A
q −d 0, 0 B q −d 0, 0
0
0
A
q −d0, 0 B q −d0, 0
0
m −2
, s
, s
, s
A q −d0, 0 B q −d0, 0
0
m −2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
0
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
0
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
m −2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
m −2
, s
, s
, s
, s
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
A
q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
0
n−2
A
q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
0
n−2
A
q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
m −2
n−2
, s
, s
, s
A q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
m −2
n−2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
0
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
0
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
m −2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
m −2
, s
, s
, s
, s
, s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
)( s
)( s
)( s
)( s
A
q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
0
n−2
A
q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
0
n−2
A
q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
m −2
n−2
, s
, s
, s
A q − d 0, 0 B q − d 0 ,0
m −2
n−2
, s
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
n−2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
n−2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
n−2
m −2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
m −2
n−2
, s
, s
, s
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
) 
),..., 
) 
) 
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
n−2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
0
n−2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
n−2
m −2
A
q − d 0 , 0 −1 B q − d 0 , 0 −1
m −2
n−2
, s
, s
, s
, s
Po k1 p – krotnej konkatenacji słowa otrzymujemy:
ext q ( A× B )
f
k1
x0
(
(
p
=
2
 A s 0q − d1,1 , B s 0q − d1,1

 A s q − d1 , 1 , B s q − d1 , 1
0
 0
 ,...,
 A q − d1 , 1 B q − d1 , 1
 sm−2 , s0
 A s q − d1 , 1 , B s q − d1 , 1
0
 m−2
(
(
.
.
.







(s
(s
(s
(s
)( s
)( s
A
q − d1,1 B q − d1,1
0
0
A
q − d1,1 B q − d1,1
0
0
)( s
)( s
, s
, s
A q − d1,1 B q − d1,1
0
m−2
A
, s
q − d1,1 B q − d1,1
0
m −2
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
),..., ( s
),..., ( s
A
q − d1,1 B q − d1,1
0
n−2
A
q − d1,1 B q − d1,1
0
n−2
),..., ( s
),..., ( s
, s
, s
A q − d1,1 B q − d1,1
m−2
n−2
A
, s
q − d1,1 B q − d1,1
m −2
n−2
, s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
)( s
)( s
A
q − d1 , 1 B q − d1 , 1
0
n− 2
A
q − d1 , 1 B q − d1 , 1
0
n− 2
)( s
)( s
, s
, s
A q − d1 , 1 B q − d1 , 1
m−2
n− 2
A
, s
q − d 1 , 1 B q − d1 , 1
m −2
n− 2
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
)
)





)
)
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
n−2
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
n−2
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
n−2
A
qq − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
n−2
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
m−2
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
m−2
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m −2
n−2
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m−2
n−2
, s
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1
0
m−2
, s
, s
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
m− 2
, s
, s
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m −2
n− 2
, s
, s
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m− 2
n−2
, s
)
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n, q]:
d1,1 = q – b0,0 – k1 p ; b1,1 = p – d1,1
(s
(s
(s
(s
f
qt
=
x02
A
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
0
A
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
0
, s
, s
A q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
m −2
A


qt
- krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
2
ext q ( A× B )







) 
),..., 
) 
A
Po
) 
),..., 
) 
) 
, s
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
m −2
, s
)( s
)( s
)( s
)( s
A
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
0
A
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
0
, s
, s
A q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
m −2
A
, s
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
m −2
, s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
)( s
)( s
)( s
)( s
A
q − d t −1, t −1 B q − d t −1,t −1
n− 2
0
A
q − d t −1, t −1 B qq − d t −1, t −1
n− 2
0
, s
, s
A q − d t −1, t −1 B q − d t −1,t −1
m− 2
n− 2
A
, s
q − d t −1, t −1 B q − d t −1,t −1
m− 2
n− 2
, s
A
A
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
n−2
0
, s
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
0
n−2
, s
A q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
m− 2
n−2
A
) 
),..., 
) 
) 
, s
q − d t −1, t −1 B q − d t −1, t −1
m− 2
n−2
, s
.
.
.
25







(s
(s
(s
(s
)( s
)( s
)( s
)( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
)( s
)( s
)( s
)( s
) 
),..., 
) 
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
n− 2
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
n− 2
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
0
A
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
n− 2
0
A
qq − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
n−2
0
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m−2
0
, s
q − d1,1 −1 B q − d1,1
0
m −2
A
, s
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m −2
0
, s
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
0
m −2
A
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m− 2
n− 2
, s
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m−2
n−2
A
, s
, s
, s
, s
, s
A q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m− 2
n− 2
A
, s
q − d1,1 −1 B q − d1,1 −1
m−2
n−2
, s
)
gdzie: zgodnie ze sposobem wyznaczania [m, n, q]:
dt-1,t-1 = q – bt-2,t-2 – k1 p = 0.
ext q ( A× B )
Dla dt-1,t-1 = 0 możemy napisać przekształcenie
ext q ( A× B )






.
.
.






(
(
(
(
(
(
f
.
.
.






(
(
(
(
(
(
) ( s , s )( s , s )( s , s )( s , s ),..., 
s )( s , s ),..., ( s , s )( s , s ),..., ( s , s ) 

, s )( s , s )( s , s ),..., ( s , s )( s , s ) 
s 00 , B s 00
A
s 00 , B
A
s m0 − 2
A
s 0q −1 , B s 0q −1
A
s 0q −1 , B s nq−−12
A
s mq −−12 , B s 0q −1
A
s 00 , B s 00 ,...,
A
0
n− 2
0
n−2
B
s , s
0
B 0
0
m −2
A
)( s
)( s
)( s
A
q −1 B q −1
n−2
0
A
q −1 B q −1
0
m−2
, s
, s
, s
)(
s , s ,...,
)( s ,
s )( s
A 1
B 1
0
m −1
A 1
B 1
1
m −1
,
A
0 B 0
1
1
0 B 0
n −1
1
A
0
B 0
0
m −1
A
s
)( s
)( s
)( s
q −1 B q −1
0
n−2
A
q −1 B q −1
m− 2
0
, s
, s
0
B 0
m −2
n−2
)( s , s )( s , s ),..., 
),..., ( s , s )( s , s )


)

A
q −1 B q −1
m− 2
0
A
q −1 B q −1
m −2
n−2
, s
A
, s
0 B 0
0
0
B 0
0
m −2
n− 2
A
q −1 B q −1
0
n−2
A
, s
A
0
B 0
m− 2
n−2
A
A
q −1 B q −1
0
0
A
A
q −1 B q −1
0
0
q −1 B q −1
m−2
n−2
A
q −1 B q −1
m −2
n− 2
q −1 B q −1
m− 2
n−2
, s
A 1 B 1
n −1
1
A 1 B 1
n −1
1
A 1
B 1
1
m −1
A 1 B 1
1
1
A 1
B 1
1
m −1
A 1
B 1
m −1
n −1
A 1 B 1
1
1
A 1
B 1
m −1
n −1
A
0 B 0
n −1
1
0 B 0
n −1
1
A
0
B 0
1
m −11
A
0 B 0
n −1
1
B 0
0
m −1
1
A
A 1
B 1
m −1
n −1
, s
A
0
B 0
m −1
n −1
A
0 B 0
1
1
B 0
0
m −1
1
A
A
A
)
)(
s10 , B s10 ,...,
B 0
0
m −1
n −1
, s
A
s






)
A 1
B 1
m −1
n −1
)( s , s ),..., ( s , s )( s , s )( s , s )(
, s )( s , s ),..., ( s , s )( s , s ),..., ( s
, s )( s , s ),..., ( s , s )( s , s )
s10 , B s10
s
0 B 0
0
0
B 0
0
m−2
0
A
A
A
) ( s , s )( s , s )( s , s )( s , s ),...,
s ),..., ( s , s )( s , s ),..., ( s , s )( s
, s ),..., ( s , s )( s , s )
A 1 B 1
1
1
A 1 B 1
1
n −1
s , s
A
A
0
B 0
0
m −2
),..., ( s
),..., ( s
),..., ( s
q −1 B q −1
0
0
0 B 0
n−2
0
B 0
0
m−2
0
A
A
A 1 B 1
1
n −1
A
A
A
=
qt
A 1 B 1
1
1
A
0 B 0
n−2
0
qt
- krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy
2
f
s
A
0 B 0
n−2
0
σ 0 x02
B 0
0
m −1
n −1
, s
0
B 0
m −1
n −1






)
qt
- krotnej konkatenacji słowa x 0 otrzymujemy:
2
ext q ( A× B )
(
(
(
)(
A
Po σ 0q






=
qt
Po σ 0 i






w następującej postaci:
qt
x02
x02
ext q ( A× B )
f


f
=
qt
σ 0q x02
)( s , s ),..., ( s , s )( s , s )( s , s )(
, s )( s , s ),..., ( s , s )( s , s ),..., ( s
, s )( s , s ),..., ( s , s )( s , s )
A
s10 , B s10
A
s10
A
s m0 −1
B
A
0 B 0
1
1
0
n −1
A
0
0
A
B
0 B 0
n −1
1
0
B 0
1
m −1
A
0 B 0
n −1
1
A
A
A
0 B 0
n −1
1
B 0
0
m −1
1
0
B 0
m −1
n −1
A
A
0 B 0
1
1
B 0
0
m −1
1
A
A
0
B 0
m −1
n −1
A
)
)(
s10 , B s10 ,...,
B 0
0
m −1
n −1
, s
A
s m0 −1 , B s n0−1






)
.
.
.
26







(
(
(
(
A
s1q −1 , B s1q −1
A
s1q −1 , B s1q −1
A
s mq −−11 , B s nq−−11
)( s
),..., (
)( s
)
A
A
),..., (
s )(
)( s
q −1 B q −1
1
1
, s
A
s1q −1 , B
q −1
n −1
q −1 B q −1
m −1
n −1
, s
A
A
s1q −1 , B s nq−−11
A
s1q −1 , B s nq−−11
q −1 B q −1
m −1
0
, s
)(
A
)( s
),..., (
A
q −1 B q −1
n −1
1
, s
A
)(
A
s1q −1 , B s1q −1
s mq −−11 , B s1q −1
) (
s mq −−11 , B s1q −1 ,...,
A
)(
A
)
s mq −−11 , B s1q −1
s mq −−11 , B s nq−−11
s mq −−11 , B s nq−−11
qt
- krotnej konkatenacji słowa x0 otrzymujemy:
Po σ 0q+1 i
2
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
ext ( A× B )
f
f qt = q
fσ 0
qt =
A
σ 0q +1 x02
)


,..., 




)
σ 0 x02
Z przedstawionych powyżej rozważań opartych na sposobie wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności wynika, że liczba dotychczas wygenerowanych przekształceń wynosi
[m, n, q]. Dla pozostałych przekształceń otrzymujemy:
ext q ( A× B )
f
qt
σ 0 x02
=
.
.
.
ext q ( A× B )
f
=
qt
σ 0q x02
ext q ( A× B )
f σ 0σ 0
ext q ( A× B )
f σ q +1
0
Stąd liczba wykonanych przekształceń jest równa q[m, n, q].
Identyczną liczbę przekształceń uzyskamy rozpoczynając przekształcenie zbioru uporządkowanych
par stanów rozszerzenia stanowego iloczynu prostego automatów A i B pod wpływem litery σ1 zatem
otrzymujemy wzór (2).
C.B.D.O.
3.3. Złożoność połgrupy charakterystycznej iloczynu prostego automatów z klasy
+
EXT DFASC2 dla każdego słowa z języka Σ + = (σ 0 ∪ σ 1 )
Twierdzenie 3.
Niech ext q (A × B ) =
(
ext q ( A× B )
S , ∑,
ext q ( A× B )
)
M będzie rozszerzeniem stanowym związanym z izo-
morfizmami g0,g1,...,gq-1 iloczynu prostego A × B =
B=
( S , ∑, M ) z DFASC
B
B
(
A× B
)
S ∑, A× B M automatów A =
( S ,∑, M ) i
A
B
takim, że:
card( S) = m >2, card( S) = n >2, card (∑) = 2 ; q – stopień rozszerzenia; wtedy dla każdego słowa z
2
A
B
języka ∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 )
szerzenia ma własność:
+
(
półgrupa charakterystyczna I ext q (A × B )
(( (
card I ext q A × B
)∗ ) ustalonego analogu roz-
) )∗ ) = 2[m, n, q ]× q
(3)
Dowód.
Rozważmy język ∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 ) .
+
Niech x0 ' ∈ ∑ + słowa rozpoczynające się od litery σ 0
(
x1' ∈ ∑ + słowa rozpoczynające się do litery σ 1
x0' = σ 0k σ 1l σ 0w ,..., σ 1p
)
+
(
,..., x1' = σ 1k σ 0l σ 1w ,..., σ 0p
)
+
;
k , l , w,..., p = 1,2,...
Wtedy uwzględniając rys.2 otrzymujemy następujące uporządkowane pary stanów:
(
(
(
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
)
 A s00 , B s00 , A s00 , B s10 ,..., A s00 , B sn0− 2 , A s00 , B sn0−1 , A s10 , B s00 , A s10 , B s10 ,..., 


A 0 B 0
A 0 B 0
A 0
B 0
A 0
B 0
A 0
B 0
ext q ( A× B )
S =  s1 , sn − 2 , s1 , sn −1 ,..., sm − 2 , s0 , sm − 2 , s1 ,..., sm − 2 , sn − 2 , 
 A 0 B 0

 s − 2 , s −1 , A s 0 −1 , B s00 , A s 0 −1 , B s10 ,..., A s 0 −1 , B s 0− 2 , A s 0 −1 , B s 0−1 
n
m
m
m
n
m
n
 m

)(
) (
) (
)(
27






(
(
(
.
.
.
)(
), (
), (
A
s 0q −1 , B s 0q −1 ,
A
A
q −1 B q −1
1
n−2
A
A
s
, s
s
q −1 B q −1
0
m −1
, s
ext q ( A× B )
(
(
(
) (s
),..., ( s
),..., ( s
s 0q −1 , B s1q −1 ,...,
q −1 B q −1
1
n −1
s
, s
s
q −1 B q −1
1
m −1
A
, s
fσ0 =
)(
) (
)(
) (
)(
)(
), ( s
), ( s
), ( s
q −1 B q −1
0
n−2
A
q −1 B q −1
0
m −2
A
q −1 B q −1
1
m −2
A
q −1 B q −1
m −1
n− 2
A
q −1 B q −1
m −1
n −1
)(
A
, s
, s
, s
)(
q −1 B q −1
0
n −1
), ( s
),..., (
)
A
, s
, s
, s
)(
)
)
), (
)
s1q −1 , B s1q −1 ,..., 

A q −1 B q −1
s m − 2 , s n − 2 , A s mq −−12 , B s nq−−11 , 



q −1 B q −1
1
0
A
, s
A
)(
)
 A s11 , B s11 , A s11 , B s11 ,..., A s11 , B s1n−1 , A s11 , B s1n−1 , A s11 , B s11 , A s11 , B s11 ,..., 


 A s11 , B s1n−1 , A s11 , B s1n−1 ,..., A s1m−1 , B s11 , A s1m−1 , B s11 ,..., A s1m−1 , B s1n−1 , 
 A 1 B 1

 sm−1 , sn−1 , A s1m−1 , B s11 , A s1m−1 , B s11 ,..., A s1m−1 , B s1n−1 , A s1m−1 , B s1n−1 


.
.
.






(
(
(
)(
) (
) (
)(
)
) ( s , s ),..., ( s , s ), ( s , s ), ( s , s ), ( s , s ),..., 

, s ), ( s , s ),..., ( s , s ), ( s , s ),..., ( s , s ),

, s ), ( s , s ), ( s , s ),..., ( s , s ), ( s , s ) 
A
s10 , B s10 ,
A
s10
A
s m0 −1
B
A
0 B 0
1
1
A
0
n −1
0
n −1
B
A
0 B 0
n −1
1
A
0 B 0
n −1
1
A
0
B 0
1
m −1
A
A
0 B 0
n −1
1
B 0
0
m −1
1
A
0
B 0
1
m −1
A
0 B 0
1
1
B 0
0
m −1
1
A
0
B 0
m −1
n −1
A
A
A
0 B 0
1
1
B 0
0
m −1
n −1
0
B 0
m −1
n −1
Po q – krotnej konkatenacji σ 0 otrzymujemy:
ext q ( A× B )
(
(
(
fσ q =
0
)(
) (
)(
) (
)(
)(
)(
)(
)(
)
)
)
 s , s , A s10 , B s10 ,..., A s10 , B sn0−1 , A s10 , B sn0−1 , A s10 , B s10 , A s10 , B s10 ,..., 


 A s10 , B sn0−1 , A s10 , B sn0−1 ,..., A sm0 −1 , B s10 , A sm0 −1 , B s10 ,..., A sm0 −1 , B sn0−1 , 
 A 0 B 0

 s −1 , s −1 , A s 0 −1 , B s10 , A s 0 −1 , B s10 ,..., A s 0 −1 , B s 0−1 , A s 0 −1 , B s 0−1 
n
m
m
m
n
m
n
 m

.
.
.






(
(
(
A 0 B 0
1
1
)( s
),..., (
), ( s
A
s1q −1 , B s1q −1 ,
A
s1q −1 , B s1q −1
A
s mq −−11 , B s nq−−11
A
),..., (
s ), (
), ( s
q −1 B q −1
1
1
A
, s
A
s1q −1 , B
q −1
n −1
q −1 B q −1
m −1
n −1
, s
A
)(
) (
) ( s , s ), ( s , s ),
, s ),..., ( s , s ), ( s , s ),...,
s ), ( s , s ),..., ( s , s ), ( s
A
s1q −1 , B s nq−−11 ,
A
s1q −1
B
q −1
n −1
q −1 B q −1
1
m −1
,
) (
)(
A
q −1 B q −1
n −1
1
A
A
A
q −1 B q −1
m −1
1
q −1 B q −1
1
m −1
q −1 B q −1
1
1
A
A
q −1 B q −1
m −1
1
q −1 B q −1
m −1
n −1
A
q −1 B q −1
m −1
n −1
, s






)
q – przekształceń.
Po (q+1) – krotnej konkatenacji litery σ0 otrzymujemy
ext q ( A× B )
f σ q +1 =
ext q ( A× B )
0
Dla przekształcenia
nie przekształcenia
fσ 0 .
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
analizować przekształcenia
f σ 0 pod wpływem q – krotnego działania litery σ 0 otrzymujemy ponow-
f σ 0 . W dalszych rozważaniach będziemy
ext q ( A× B )
f σ 0 . Rozważania dla przekształceń
ext q ( A× B )
f σ 0σ 0 ,...,
ext q ( A× B )
f σ q są
0
analogiczne.
ext q ( A× B )
fσ k =
0
28
(
(
(
(







.
.
.











(
(
(
(
(
(
.
.
.
(
(
(
(
(
(
) (s(
)
),..., ( s (
)
),..., ( s (
)
),..., ( s (
s1k (mod q ) , B s1k (mod q ) ,
A
s1k (mod q ) , B s1(mod q ) ,...,
A
s1k (mod q ) , B s1k (mod q
A
s1k (mod q ) , B s1k (mod q
A
q ) B k (mod q
s mk (−mod
, s1
1
A
q ) B k (mod q
s mk (−mod
, s1
1
A
q ) B k (mod q
s mk (−mod
, s1
1
A
q ) B k (mod q
s mk (−mod
, s1
1
A
s1(k −1)mod q , B s1(k −1) mod q ,
A
s1(k −1)mod q , B s n(k−−11) mod q
A
A
A
s1(k −1)mod q , B s n(k−−11) mod q
A
s m(k−−11)mod q , B s1(k −1) mod q
A
s m(k−−11)mod q , B s1(k −1) mod q
A
s m(k−−11)mod q , B s n(k−−11) mod q
ext q ( A× B )











)(
)
), (
)
), (
)
), (
A
f σ k +1 =
0
A
A
A
(k +1) mod q
s1
s1(k +1)mod q , B s n(k−+11)mod q
A
s m(k−+11)mod q , B s1(k +1)mod q
A
s m(k−+11)mod q , B s1(k +1)mod q
A
s m(k−+11)mod q , B s n(k−+11)mod q
(
(
k mod q ) B k (mod q )
1
n −1
, s
A
k mod q ) B k (mod q
1
n −1
A
m −1
n −1
A
m −1
n −1
, s
, s
, s
) ( s( )
), ( s ( )
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s ( )
)
, s1(k −1)mod q ,...,
) ( s( )
), ( s ( )
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s ( )
)
, s1(k +1)mod q ,...,
k −1 mod q B
1
1
A
)(
)(
, s
, s
k +1 mod q B
1
, s1(k +1)mod q
k +1 mod q B
A
1
, s n(k−+11)mod q
k +1 mod q B
A
1
A
A
k +1 mod q B (k +1) mod q
1
m −1
, s
A
k mod q ) B k (mod q )
1
n −1
A
, s
A
1
n −1
A
m −1
n −1
A
m −1
n −1
, s
, s
, s
1
k −1) mod q B
), 
)
),..., 
)
), 
)
) 
)
, s n(k−−11)mod q , 

k −1 mod q B (k −1) mod q

,
s
,...,
1
1

A k −1) mod q B (k −1) mod q
, s1
,
m −1
A k −1) mod q B (k −1) mod q 
, s n −1
,
m −1
A k −1) mod q B (k −1) mod q 
, s n −1
,
m −1



A
)
) ( s(
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
k +1) mod q B (k +1) mod q
m −1
n −1
, s
), ( s (
)
), ( s (
)
), ( s (
)
), ( s (
) ( s(
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
k −1) mod q B (k −1) mod q
m −1
n −1
k −1 mod q B (k −1) mod q
1
m −1
A
A
, s n(k−−11)mod q
k −1 mod q B
A
A
, s1(k −1)mod q
k −1 mod q B
1
, B s1(k +1)mod q ,
s1(k +1)mod q , B s n(k−+11)mod q
A
)
, s n(k−+11)mod q , 

k +1 mod q B (k +1) mod q

,
s
,...,
1
1

A k +1) mod q B (k +1) mod q
, s1
,
m −1
A k +1) mod q B (k +1) mod q 
, s n −1
,
m −1
A k +1) mod q B (k +1) mod q 
, s n −1
,
m −1



A
1
k +1) mod q B
)
)
)
) (
) (
) (
) (
)
)(
)(
)
)
)
)
)
q)
q)
 A s1k (mod q ) , B s1k (mod q ) , A s1k (mod q ) , B s1(mod q ) ,..., A s1k (mod q ) , B s nk−(mod
, A s1k (mod q ) , B s nk−(mod
,
1
1

A k (mod q ) B k (mod q ) A k (mod q ) B k (mod q )
A k (mod q ) B k (mod q )
 s1
, s1
s1
, s1
,..., s1
, s n −1
, s1
, s n −1

A k (mod q ) B k (mod q ) A k (mod q ) B k (mod q )
s m −1 , s1
,..., s m −1 , s n −1
, s m −1 , s n −1
 ,..., , s m −1 , s1
 A k (mod q ) B k (mod q ) A k (mod q ) B k (mod q )
, s m −1 , s1
,..., s m −1 , s n−1
, s m −1 , s n−1
 s m −1 , s1
(
(
ext q ( A× B )
)(
fσ k +q =
0
ext q ( A× B )
)(
)(
)(
)




,


)
fσ k
0
q – przekształceń
Dla σ 0kσ 1l otrzymujemy następujące przekształcenia:
ext q ( A× B )











(
(
(
(
(
(
fσ k σ l =
0
1
(k + l ) mod q
) ( s( )
), ( s ( )
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s ( )
)
, B s 2(k + l )mod q ,
A
s2
A
s 2(k + l )mod q , B s 0(k + l )mod q
A
A
A
A
A
k + l mod q B (k + l ) mod q
2
2
A
2
2
A
2
0
A
A
, s
, s
, s
),..., ( s (
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
k + l ) mod q B (k + l ) mod q
0
0
, s
0
2
, s
A
A
2
0
, s
2
2
, s
),..., 

),  .
), 
), 
A
0
2
A
0
0
A
0
0
, s
, s
, s
), 


29
.
.
.











(
(
(
(
(
(
A
(k −1+ l ) mod q
s2
A
s 2(k −1+ l )mod q , B s 0(k −1+ l )mod q
A
A
(k −1+ l ) mod q
s0
(k −1+ l ) mod q
s0
(k −1+ l ) mod q
s0
ext q ( A× B )











(
(
(
(
(
(











(
(
(
(
(
(
(k −1+ l ) mod q
A
A
B
, s0
B
(k −1+ l ) mod q
B
(k −1+ l ) mod q
B
(k −1+ l ) mod q
, s2
, s2
, s0
f σ k +1σ l =
0
1
(k +1+ l ) mod q
s2
A
s 2(k +1+ l )mod q , B s 0(k +1+l )mod q
A
A
A
A
A
s 2(k + l )mod q , B s 2(k +l )mod q ,
(k + l ) mod q
(k +l ) mod q
A
s2
A
s 2(k + l )mod q , B s 0(k +l )mod q
A
A
(k + l ) mod q
s0
(k + l ) mod q
s0
(k + l ) mod q
s0
B
, s0
B
(k +l ) mod q
B
(k +l ) mod q
B
(k +l ) mod q
, s2
, s2
, s0
.
.
.
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
f σ k + qσ l =
1
0
f σ kσ l +1 =
0
ext q ( A× B )
0
A
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
2
2
A
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
2
0
A
, s
, s
, s
, s
, s
) ( s(
), ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
)
A
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
2
2
A
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
2
2
A
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
2
0
A
, s
, s
, s
, s
, s
A
2
2
A
2
2
A
2
0
A
A
A
, s
, s
, s
, s
, s
, s
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
2
2
, s
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
0
2
A
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
0
0
A
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
0
0
, s
, s
, s
A
A
A
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
2
0
, s
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
2
2
, s
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
0
2
A
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
0
0
A
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
0
0
, s
, s
2
0
, s
2
2
A
, s
0
2
A
0
0
A
0
0
, s
, s
), 


), 
),..., 

), 
), 
), 
A
, s


),..., 

), 
), 
), 
A
, s
), 
),..., 

), 
), 
), 
A
),..., ( s (
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
0
0
0
2
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
2
0
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
0
0
k +1+ l ) mod q B (k +1+ l ) mod q
0
2
) ( s( )
), ( s ( )
), ( s ( )
),..., ( s (
), ( s ( )
)
A
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
0
0
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
0
2
A
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (


f σ kσ l
0
1
f σ k +1σ l
1
f σ kσ l + q =
k −1+ l ) mod q B (k −1+ l ) mod q
2
2
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
.
.
.
A
A
, B s 2(k +1+l )mod q ,
A
A
) ( s(
), ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
)
s 2(k −1+ l )mod q , B s 2(k −1+ l )mod q ,
0
1
ext q ( A× B )
1
f σ k + qσ l =
0
1
ext q ( A× B )
f σ kσ l =
0
1
ext q ( A× B )
f σ k + qσ l + q =
0
1
ext q ( A× B )
f
[m , n ]
x0 2
Dla σ 0kσ 1lσ 0w otrzymujemy następujące przekształcenia:
ext q ( A× B )
f σ k σ lσ w =
0
30
1
0











(
(
(
(
(
(
.
.
.











s3(k +l + w ) mod q , B s3(k +l + w )mod q ,
A
k + l + w ) mod q B (k + l + w ) mod q
3
3
A
s3(k +l + w ) mod q , B s1(k +l + w )mod q
A
3
3
A
A
3
1
A
A
A
(
(
(
(
(
(
.
.
.











(
(
(
(
(
(
1
A
1
, s
, s
k + l + w ) mod q B
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
A
, s3(k +l + w )mod q
) ( s(
), ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
)
1
A
1
A
1
A
k −1+ l + w ) mod q B (k −1+ l + w ) mod q
3
3
A
s 3(k −1+ l + w ) mod q , B s1(k −1+l + w )mod q
A
3
3
A
s 3(k −1+ l + w ) mod q , B s1(k −1+l + w )mod q
A
3
1
A
A
A
s1(k −1+ l + w ) mod q , B s 3(k −1+l + w )mod q
s1(k −1+ l + w ) mod q , B s 3(k −1+l + w )mod q
s1(k −1+ l + w ) mod q , B s1(k −1+l + w )mod q
k +1
0
σ σ
l
1
A
A
A
A
1
1
A
1
, s
, s
, s
k −1+ l + w ) mod q B
k −1+ l + w ) mod q B
, s 3(k −1+ l + w )mod q
0
(k +1+ l + w ) mod q
s3
(k +1+ l + w ) mod q
s3
(k +1+ l + w ) mod q
s3
(k +1+ l + w ) mod q
s1
) ( s(
), ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
)
, B s 3(k +1+l + w )mod q ,
B
(k +1+l + w ) mod q
B
(k +1+l + w ) mod q
B
(k +1+l + w ) mod q
, s1
, s1
, s3
s1(k +1+ l + w ) mod q , B s 3(k +1+l + w )mod q
A
k +1+ l + w ) mod q B (k +1+ l + w ) mod q
3
3
A
3
3
A
3
1
A
1
A
1
, s
, s
, s
k +1+ l + w ) mod q B
, s1
k +1+ l + w ) mod q B
, s 3(k +1+ l + w )mod q
s 3(k + l + w )mod q , B s3(k + l + w )mod q ,
A
3
3
A
s 3(k + l + w )mod q , B s1(k + l + w )mod q
A
3
3
A
s 3(k + l + w )mod q , B s1(k + l + w )mod q
A
3
1
s1(k + l + w )mod q , B s3(k + l + w )mod q
ext q ( A× B )
f σ k + qσ l σ w =
1
0
ext q ( A× B )
f σ k σ l + qσ w =
0
0
1
f σ kσ lσ w+1 =
0
1
ext q ( A× B )
0
) ( s(
), ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
)
A
1
A
1
k + l + w ) mod q B
, s1(k +l + w ) mod q
k + l + w ) mod q B
, s1(k +l + w ) mod q
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s ((
A
A


3
1
, s
),...,
)
),
)
),
)
),
3
3
A
1
A
1
, s
k −1+ l + w ) mod q B
1

, s3(k −1+ l + w mod q
k −1+ l + w ) mod q B
A
),
, s1(k −1+ l + w mod q
k −1+ l + w )) mod q B
, s1(k −1+ l + w mod q
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
, s
, s
, s
k + l + w ) mod q B
A
A
, s 3(k + l + w ) mod q
A
A
3
1
, s
3
3
A
1
A
1
A
1
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
k + l + w ) mod q B
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
),..., ( s (
, s
k +1+ l + w ) mod q B
, s3
k +1+ l + w ) mod q B
, s1(k +1+ l + w )mod q
k +1+ l + w ) mod q B
, s1(k +1+ l + w )mod q
, s
3
3
1
A
1
A
1
),..., 

), 
), 
), 
(k +1+ l + w ) mod q
3
1
A
), 
, s
k + l + w ) mod q B


), 
),..., 

), 
), 
), 
, s 3(k + l + w )mod q
k + l + w ) mod q B
, s1(k + l + w )mod q
k + l + w ) mod q B
, s1(k + l + w )mod q


f σ k σ lσ w
0
0
.
.
.
ext q ( A× B )
, s3(k +l + w ) mod q
(k +1+ l + w ) mod q
A
A
),..., 

),  .
), 
), 

s1(k +1+ l + w ) mod q , B s1(k +1+l + w )mod q
A
k + l + w ) mod q B
, s1(k −1+ l + w )mod q
A
A
, s
), 
otrzymujemy następujące przekształcenia:
f σ k +1σ lσ w =
0
A
w
0
A
, s
3
3
A
k + l + w ) mod q B
3
1
A
s 3(k −1+ l + w ) mod q , B s 3(k −1+l + w )mod q ,
ext q ( A× B )
(
(
(
(
(
(
A
, s
A
Dla σ











) ( s(
), ( s (
), ( s (
),..., ( s (
), ( s (
)
A
1
0
0
1
0
f σ k +1σ lσ w =
0
1
0
ext q ( A× B )
f σ k σ lσ w
0
ext q ( A× B )
1
0
f σ kσ l +1σ w
0
1
0
31
.
.
.
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
f σ kσ lσ w+ q =
0
1
0
f σ k + qσ lσ w+ q =
1
0
ext q ( A× B )
0
1
0
ext q ( A× B )
0
0
ext q ( A× B )
f σ k + qσ l + qσ w =
0
1
f σ kσ l + qσ w =
0
ext q ( A× B )
0
1
f σ kσ l + qσ w+ q =
0
1
f σ k σ lσ w =
0
1
ext q ( A× B )
0
0
f σ k + qσ l + qσ w+ q =
0
1
ext q ( A× B )
0
f
[m , n , q ]
x0 2
.
.
.
Dla σ 0kσ 1lσ 0w ,..., σ 1p otrzymujemy następujące przekształcenia:.
ext q ( A× B )














.
.
.














(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
f σ kσ lσ w ,...,σ p =
0
1
0
1
(k + l + w + ,..., p ) mod q
)(
), (
), (
), (
), (
), (
), (
), (
, B s 0(k + l + w + ,..., p )mod q ,
)
)
)
)
)
)
)
)
s 0(k + l + w + ,..., p )mod q , B s 0(k +l + w + ,..., p )mod q ,..., 

A (k + l + w + ,..., p ) mod q B (k + l + w + ,..., p ) mod q
s0
, s n−2
, 

s0
, s0
,..., 

s0
, s n−2
,..., 
s m− 2
, s0
,..., 

s m− 2
, s n−2


A (k + l + w + ,..., p ) mod q A (k + l + w + ,..., p ) mod q
s m− 2
, s0
,..., 

s m− 2
, s n−2

A
s0
A
A
s 0(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+2l + w + ,..., p )mod q
A
s 0(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s 0(k + l + w + ,..., p )mod q
A
s 0(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+2l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+2l + w + ,..., p ) mod q , B s 0(k + l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+2l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+2l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+2l + w + ,..., p ) mod q , B s 0(k + l + w + ,..., p )mod q
A
A
s 0(k −1+l + w + ,..., p )mod q , B s 0(k −1+ l + w + ,..., p )mod q ,
A
s 0(k −1+l + w + ,..., p )mod q , B s n(k−−21+ l + w + ,..., p )mod q
A
s 0(k −1+l + w + ,..., p )mod q , B s 0(k −1+ l + w + ,..., p )mod q
A
s 0(k −1+l + w + ,..., p )mod q , B s n(k−−21+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−−21+l + w + ,..., p )mod q , B s 0(k −1+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−−21+l + w + ,..., p )mod q , B s n(k−−21+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−−21+l + w + ,..., p )mod q , B s 0(k −1+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−−21+l + w + ,..., p )mod q , B s n(k−−21+ l + w + ,..., p )mod q
)(
), (
), (
), (
), (
), (
), (
), (
)
)
)
)
)
)
)
)
s 0(k −1+l + w + ,..., p ) mod q , B s 0(k −1+l + w + ,..., p )mod q ,..., 

A (k −1+ l + w + ,..., p ) mod q B (k −1+ l + w + ,..., p ) mod q
s0
, s n− 2
, 

s0
, s0
,..., 

s0
, s n− 2
,..., 
s m− 2
, s0
,..., 

s m− 2
, s n− 2


A (k −1+ l + w + ,..., p ) mod q A (k −1+ l + w + ,..., p ) mod q
s m− 2
, s0
,..., 

s m−2
, s n− 2

A
Dla słowa σ 0k σ 1l σ 0w ,..., σ 1pσ 0 otrzymujemy przekształcenie, które już poprzednio zostało wygenerowane.
ext q ( A× B )














32
(
(
(
(
(
(
(
(
f σ k +1σ lσ w ,...,σ p =
0
A
1
0
1
(k +1+ l + w + ,..., p ) mod q
s1
(k +1+ l + w + ,..., p ) mod q
)(
), (
), (
), (
), (
), (
), (
), (
, B s1(k +1+ l + w + ,..., p )mod q ,
B
(k +1+ l + w + ,..., p ) mod q
A
s1
A
s1(k +1+ l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k +1+ l + w + ,..., p )mod q
A
s1(k +1+ l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+11+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+11+ l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k +1+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+11+ l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+11+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+11+ l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k +1+ l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+11+l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+11+l + w + ,..., p )mod q
, s n −1
)
)
)
)
)
)
)
)
s1(k +1+ l + w + ,..., p )mod q , B s1(k +1+l + w + ,..., p )mod q ,..., 

A (k +1+ l + w + ,..., p ) mod q B (k +1+ l + w + ,..., p ) mod q
s1
, s n −1
, 

s1
, s1
,..., 

s1
, s n −1
,..., 
s m −1
, s1
,..., 

s m −1
, s n −1


A (k +1+ l + w + ,..., p ) mod q A (k +1+ l + w + ,..., p ) mod q
s m −1
, s1
,..., 

s m −1
, s n −1

A
.
.
.














(
(
(
(
(
(
(
(
)(
), (
), (
), (
), (
), (
), (
), (
A
s1(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k + l + w + ,..., p )mod q ,
A
s1(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+1l + w + ,..., p )mod q
A
s1(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k + l + w + ,..., p )mod q
A
s1(k + l + w + ,..., p ) mod q , B s n(k−+1l + w + ,..., p )mod q
A
s m(k−+1l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k + l + w + ,..., p )mod q
A
A
s m(k−+1l + w + ,..., p ) mod q , B s1(k + l + w + ,..., p )mod q
A
ext q ( A× B )
f σ k + qσ lσ w ...σ p =
ext q ( A× B )
f σ kσ l +1σ w ...σ p =
ext q ( A× B )
f σ kσ l + qσ w ...σ p =
ext q ( A× B )
f σ kσ lσ w +1 ...σ p =
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
f σ k +1σ lσ w ...σ p =
ext q ( A× B )
1
0
ext q ( A× B )
0
0
1
0
f σ kσ lσ w ...σ p
0
1
1
0
1
f σ k +1σ lσ w ...σ p
0
1
)
)
)
)
)
)
)
)
s1(k +l + w + ,..., p )mod q , B s1(k +l + w + ,..., p )mod q ,..., 

s1
, s n −1
, 

s1
, s1
,..., 

s1
, s n −1
,..., 
s m −1
, s1
,..., 

s m −1
, s n −1


A (k + l + w + ,..., p ) mod q A (k + l + w + ,..., p ) mod q
s m −1
, s1
,..., 

s m −1
, s n −1

A
1
0
1
.
.
.
ext q ( A× B )
0
ext q ( A× B )
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
ext q ( A× B )
0
1 0
1
0
1
f σ kσ l +1σ w ...σ p =
0
1
ext q ( A× B )
f σ kσ lσ w+ q ...σ p =
1
f σ k +1σ lσ w ...σ p =
0
1
ext q ( A× B )
0
ext q ( A× B )
0
1
0
1
1
1
0
1
.
.
.
ext q ( A× B )
1
0
0
f σ kσ l + qσ w ...σ p =
0
1
0
1
ext q ( A× B )
f σ kσ lσ w+ q ...σ p = ... =
0
1
1
0
ext q ( A× B )
f σ kσ lσ w ...σ p + q
0
1
1
0
1
.
.
.
ext q ( A× B )
0
1
0
f σ kσ l +1σ w ...σ p =
0
1
1
0
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
f σ kσ lσ w+1 ...σ p = ... =
0
1
1
0
f σ kσ lσ w ...σ p +1
0
1
1
0
1
.
.
.
ext q ( A× B )
1
0
ext q ( A× B )
1 0
ext q ( A× B )
1
f σ k + qσ lσ w ...σ p + q =
1
0
0
ext q ( A× B )
0
ext q ( A× B )
f σ k σ lσ w + q ...σ p + q = ... =
0
ext q ( A× B )
1
0
extq ( A× B )
0
f
0
1
1
ext q ( A× B )
1
1
1
0
ext q ( A× B )
1
0
ext q ( A× B )
1
0
0
ext q ( A× B )
1
1
0
1
0
1
0
1
f σ kσ l + qσ w ...σ p + q = ... =
f σ k + qσ lσ w+ q ...σ p + q = ... =
0
1
0
1
1
f σ k + qσ lσ w+ q ...σ p + q = ... =
ext q ( A× B )
f σ k + qσ l + qσ w + q ...σ p = ... =
0
f σ kσ lσ w+ q ...σ p + q = ... =
0
1
f σ kσ l + qσ w+ q ...σ p = ... =
f σ kσ l + qσ w+ q ...σ p + q = ... =
0
0
1
f σ k + qσ l + qσ w ...σ p = ... =
0
1
ext q ( A× B )
f σ kσ l + qσ w ...σ p = ... =
1
f σ kσ lσ w ...σ p + q =
0
ext q ( A× B )
0
ext q ( A× B )
0
1
1
f σ k + qσ l + qσ w ...σ p + q = ... =
0
1
ext q ( A× B )
0
1
f σ k + qσ l + qσ w+ q ...σ p + q =
0
1
0
1
[m , n , q ]
x0 2
33
(
Jak wynika z powyższych rozważań dla każdego słowa x0' = σ 0kσ 1lσ 0w ,..., σ 1p
)
+
możemy wygenero-
wać tylko następujące przekształcenia:
[m, n, q]- przekształceń

fσ 0

 ext q ( A× B )
fσ 2

0

.

.

.
 ext q ( A× B )
fσ q

0



σ 0 x0

ext q ( A× B )
ext ( A× B )
f σ 2σ ... q
f [m , n , q ] 
0 1
σ 02 x0 2


 q - przekształceń



ext q ( A× B )
ext q ( A× B )

f σ qσ ...
f [m , n , q ] 
1
0
σ 0q x0 2 
Liczba przekształceń wynosi [m, n, q ]× q .
ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
f σ 0σ 1 ...
ext q ( A× B )
f
[m , n , q ]
2
(
Analogicznie dla słowa, x1' = σ 1kσ 0l σ 1w ,..., σ 0p
)
+
możemy wygenerować tylko następujące prze-
kształcenia
[m, n, q]- przekształceń

fσ1

 ext ( A× B )
 q
fσ 2
1


.
.

.
 ext q ( A× B )
fσ q

1

ext q ( A× B )



ext q ( A× B )
ext ( A× B )
f σ 2σ ... q
f [m , n , q ] 
1 0

σ 12 x1 2

 q - przekształceń




ext q ( A× B )
ext q ( A× B )
f σ qσ ...
f [m , n , q ] 
0
1
σ 1q x1 2

ext q ( A× B )
f σ 1σ 0 ...
ext q ( A× B )
f
[m , n , q ]
σ 1 x1 2
Liczba tych przekształceń wynosi również [m, n, q ]× q . A zatem otrzymujemy 2 [m, n, q ]× q różnych
(( (
przekształceń. Wynika stąd, że dla każdego słowa card I ext q A × B
) )∗ ) = 2[m, n, q ]× q . Zatem
otrzymujemy wzór 3.
C.B.D.O.
4. Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń.
4.1. Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych z klasy DFASC2 [15]
Twierdzenie 4.
i
Niech A = A S , Σ, A M
B = B S , Σ, B M będą automatami z klasyDFASC2 takimi, że
( )
A
(
card S > 2 i
)
(
)
card ( S ) > 2 oraz Σ = {σ , σ } ; wtedy półgrupa charakterystyczna I (A ∪ B )
B
0
1
sumy prostej automatów A i B jest izomorficzna z półgrupą charakterystyczną I (A × B ) iloczynu
prostego automatów A i B;
gdzie: card (AS) = m > 2; card (BS) = n >2, m, n liczby naturalne m > n; card Σ= 2;
x0 = σ0 σ1; x1 = σ1 σ0; [m, n] – najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m, n, patrz [13].
34
Dowód.
Wiadomo z [8] jak również z rozważań wprowadzających niniejszej pracy że:
na zbiorze ∑∗ zdefiniujemy relację:
x R y wtedy i tylko wtedy, gdy ∀s∈S M ( s , x ) = M ( s , y ).
Relacja R jest relacją równoważności (relacja Myhilla). Klasę równoważności zawierającą element
x ∈ ∑∗ oznaczać będziemy x , a zbiór wszystkich klas równoważności oznaczać będziemy I . Zbiór I
łącznie z operacją ( o ) , gdzie x o y = xy tworzy półgrupę (odpowiednio monoid), zwaną półgrupa
charakterystyczną (odpowiednio monoidem charakterystycznym). Półgrupę charakterystyczną
automatu A oznaczać będziemy I ( A) .
W twierdzeniach 1 i 2 [14]
wykazano równoliczność rozważanych półgrup
charakterystycznych dla sumy prostej i iloczynu prostego automatów
Teraz dowodzimy własność izomorfizmów:
niech
(ϕ ) : I (A ∪ B ) 
→ I (A × B )
ϕ (x ) = x
niech
(def.1)
Z rozważań wprowadzających [8] wynika że ϕ (x ) = f x
(def.2)
∀ s∈S f x = M (s, x ) , gdzie x jest dowolnym reprezentantem klasy x
(def.3)
Aby wykazać, że ϕ jest izomorfizmem półgrupy charakterystycznej, należy sprawdzić:
(i)
(ii)
ϕ (x1 o x 2 ) = ϕ (x1 x 2 ) = x1 x 2 = x1 o x 2 = ϕ (x1 ) o ϕ (x 2 ) (zachowana operacja)
ϕ (x 1 ) = ϕ (x 2 ) ⇒ z def .2
( A× B )
( A× B )
f x1 =
f x2 ⇔
( A∪ B )
f x1 =
( A∪ B )
f x2 ⇒
z def .3 ∀ s∈A∪ B S M (s, x1 ) = M (s, x 2 ) ⇔ x1 ≡ x 2 ⇒ x1 = x 2
a zatem ϕ jest „ 1 ÷ 1 ”
(iii) ϕ (x ) = x jest oczywiście „na”.
Na podstawie twierdzenia 1 i 2 [14] wykazano równoliczność ( taki sam zbiór przekształceń)
odpowiednich półgrup charakterystycznych dla sumy prostej i iloczynu prostego automatów
DFSC2.
C.B.D.O.
4.2. Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych z klasy EXT DFASC2 [15]
Twierdzenie 5.
Niech ext q (A ∪ B ) =
(
ext q ( A∪ B )
S , Σ,
)
M i ext q (A × B ) =
ext q ( A∪ B )
0
1
q-1
rzeniami związanymi z izomorfizmami g , g ... g
iloczynu prostego A × B =
(
( A× B )
( A× B )
)
(
ext q ( A× B )
S , Σ,
sumy prostej A ∪ B =
(
)
)
ext q ( A× B )
(
M będą rozsze-
( A∪ B )
)
)
S , Σ, ( A∪ B )M i
i B = B S , Σ, B M z
(
S , Σ,
M automatów A = S , Σ, M
klasy DFSC2 takimi, że card S > 2 i card B S > 2 oraz Σ = {σ 0 , σ 1 }; wtedy półgrupa charak-
( )
( )
A
((
A
A
) ) ustalonego analogu rozszerzenia sumy prostej automatów A i B jest
izomorficzna z półgrupą charakterystyczną I ((ext (A × B )) ) ustalonego analogu rozszerzenia iloczy-
terystyczna I ext q (A ∪ B )
∗
∗
q
nu prostego automatów A i B.
Dowód.
W twierdzeniu 1 [16] i twierdzeniu 2 [17] i wykazano równoliczność odpowiednich półgrup charakterystycznych ustalonych analogów rozszerzenia dla sumy prostej i iloczynu prostego automatów:
(
)
(
)
niech ϕ : I ext q ( A ∪ B ) → I ext q (A × B )
∗
niech ϕ (x ) = x
∗
Z rozważań wprowadzających [3] wynika że ϕ (x )=
∀ s∈extq S ∗
(extq ( A ))∗
fx
∗
= M ∗ (s, x )
(def.1)
ext q ( A )
fx
(def.2)
(def.3)
35
gdzie:
(extq ( A ))∗
x jest dowolnym reprezentantem z klasy x , a
∗
f x jest przekształceniem ustalonego analogu
rozszerzenia stanowego automatu A związanego z izomorfizmami stanowymi g 0 , g 1 ,..., g q −1 .
Aby wykazać, że ϕ jest izomorfizmem półgrup charakterystycznych należy udowodnić, że:
(i)
ϕ (x1 o x 2 ) = ϕ (x1 x 2 ) = x1 x 2 = x1 o x 2 = ϕ (x1 ) o ϕ (x 2 ) (zachowana operacja)
(ii) ϕ (x1 ) = ϕ (x 2 ) ⇒ z def .2
z def .3
(extq ( A∪ B ))∗
∗
f x1 =
ext q ( A× B )
(extq ( A∪ B ))∗
f x2
∗
f x1 =
ext q ( A× B )
f x2 ⇔
⇒∀
ext q ( A ∪ B ) ∗
s∈
S
ext q ( A∪ B )
f x1 =
ext q ( A∪ B )
f x2 ⇒
M ∗ (s, x1 ) = M ∗ (s, x 2 ) ⇔
⇔ x1 ≡ x 2 ⇒ x1 = x 2
a zatem ϕ jest „ 1 ÷ 1 ”
(iii) ϕ (x ) = x jest oczywiście „na”.
Na podstawie twierdzenia 1 [16] i twierdzenia 2 [17] wykazano równoliczność ( taki sam zbiór
przekształceń) dla odpowiednich półgrup charakterystycznych iloczynu prostego i sumy prostej automatów z klasy EXT DFASC2.
C.B.D.O.
4.3. Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych z klasy EXT DFASC2 dla każdego słowa z języka
Σ + = (σ 0 ∪ σ 1 )
+
Twierdzenie 6.
Niech ext q (A ∪ B ) =
(
ext q ( A∪ B )
S , Σ,
ext q ( A∪ B )
)
(
M i ext q (A × B ) =
ext q ( A× B )
S , Σ,
)
ext q ( A× B )
M będą roz-
(
)
M) z
szerzeniami związanymi z izomorfizmami g0, g1 ... gq-1 sumy prostej A ∪ B = ( A∪ B )S , Σ, ( A∪ B )M i
iloczynu prostego A × B =
(
( A× B )
S , Σ,
( A× B )
)
M automatów A =
(
A
S , Σ, M
A
)
i B=
(
B
S , Σ,
B
( S ) > 2 i card ( S ) > 2 oraz ∑ = (σ ∪ σ ) ; wtedy półgrupa
charakterystyczna I ((ext (A ∪ B )) ) ustalonego analogu rozszerzenia sumy prostej automatów A i
B jest izomorficzna z półgrupą charakterystyczną I ((ext (A × B )) ) ustalonego analogu rozszerzenia
klasy DFSC2 takimi, że card
A
+
+
B
0
1
∗
q
∗
q
iloczynu prostego automatów A i B.
Dowód.
W pracy [17] twierdzenie 3 przedstawiono złożoność półgrupy charakterystycznej sumy prostej automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń dla każdego słowa z
języka ∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 ) . W pracy twierdzenie 3.3. przedstawiono złożoność półgrupy charakterystycznej iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich
+
rozszerzeń dla każdego słowa z języka ∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 ) .
Dowód na izomorfizm tych półgrup jest analogiczny jak dowód z twierdzenia 4.2.
+
5. Wnioski
Definicje relacji równoważności Myhilla na zbiorze stanów automatu oraz półgrupy
charakterystycznej automatu pozwoliły wydobyć zeń możliwości obliczeniowe . Tak więc na automat
spojrzeć można zarówno pod kątem widzenia systemu algebraicznego o charakterze strukturalno
językowym, jak i modelu obliczeń.
Wziąwszy pod uwagę iż półgrupa charakterystyczna określa zdolność do przetwarzania informacji, zaś sumę prostą i iloczyn prosty można uważać za realizację – odpowiednio sekwencyjnych
i równoległych obliczeń uzyskane rezultaty oznaczają iż owa zdolność nie zależy od realizacji sekwencyjnej lub równoległej (taka sama liczba klas abstrakcji odpowiednich półgrup charakterystycznych)
Dalsze prace powinny być kontynuowane przy wyznaczaniu złożoności półgrup charakterystycznych automatów asynchronicznych spójnych. Szczegółowe rozpatrywanie klas automatów asynchronicznych silnie spójnych i spójnych wynika z powszechnego stosowania tych klas automatów w
realizacjach technicznych cyfrowych układów sterujących. Wykorzystując teorię automatów możemy
36
oszacować lub obliczyć złożoność półgrup charakterystycznych automatów. Ma to istotny wpływ na
oszacowanie złożoności programów i czasu wizualizacje stanów automatów. Wykorzystując narzędzia
programistyczne PsoC Expres mikrosystemu cyfrowego możemy przedstawić model sterowania
pojazdu szynowego w postaci grafu automatu (maszyny stanowej) i realizować program w oparciu o
sporządzony wcześniej graf automatu. Umożliwia to analizę graficzną zjawisk podczas symulacji
sterowania pojazdem szynowym. Mikrosystemy cyfrowe stosowane są obecnie do sterowania
hamulców (tablic pneumatycznych) w lokomotywach i jednostkach elektrycznych.
Literatura
[1] Arbib M.A.: Algebraic theory of machines languages and semigroups, Acadimic Press, New York and London 1968.
[2] Aho A.V., Hopcrofy I.E., Ullman I.D.:Projektowanie i analiza algorytmów komputerowych,PWN,Warszawa
1983.
[3] Barnes B.: On the groups of automorhism of strongly connected automata, Math.Syst.
Theory 4, 4 (1970).
[4] Beatty I. C.;On some properties of semigroup of a machine which are preserved under state minimization,
Information and Control 11, 3 (1970).
[5] Beyga L.: On periodic sums of automata associated with isomorphism, Foundations of Control Enginiering
1,3 (1976).
[6] Bocian S.: Złożoność półgrupy charakterystycznej automatów asynchronicznych i ich rozszerzeń, Prace
Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk
nr 552, Warszawa, 1984.
[7] Bocian S., Mikołajczak.: Computational aspect of assigning characteristic semigroup asychronous automata and their extensions, Colloqia Mathematica Societatis Janos Bolyai nr 44,Amsterdam, New York, Budapest, 1985.
[8] Bocian S.: Rozprawa doktorska , Politechnika Poznańska, 1986.
[9] Bocian S.: The complexity of semigroup characterization of asynchronous strongly connection automation and their extensions, Computational topology and geometry and computation in teaching mathematic,
Universal de Sevilla,1987.
[10] Bocian S.: A new method of calculating the smallest common multiple, Computational topology and geometry and computation in teaching mathematic, Universal de Sevilla,1987.
[11] Bocian S.: Nowy sposób wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb naturalnych, jako model
matematyczny automatu w technice komputerowej, Pojazdy szynowe 1/2002.
[12] Bocian S.: Złożoność pólgrupy charakterystycznej automatów asynchronicznych silnie spójnych ustalonych
analogów ich rozszerzeń związanych z izomorfizmami, TRANSCOMP - XIII INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCES, INDUSTRY AND TRANSPORT(Logistyka 6/2009),
Zakopane 2009.
[13] Bocian S.: Nowy sposób wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb naturalnych, OR – 9834
(praca nie publikowana).
[14] Bocian S: Złożoność półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych, TRANSCOMP - XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS
AIDED SCIENCES, INDUSTRY AND TRANSPORT(Logistyka 6/2010), Zakopane 2010.
[15] Bocian S: Izomorfizm półgrupy charakterystycznej sumy prostej i iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń TRANSCOMP - XIV INTERNATIONAL
CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCES, INDUSTRY AND TRANSPORT(Logistyka
6/2010), Zakopane 2010.
[16] Bocian S: Złożoność półgrupy charakterystycznej iloczynu prostego automatów asynchronicznych silnie
spójnych ustalonych analogów rozszerzeń związanych z izomorfizmami, TRANSCOMP - XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCES, INDUSTRY AND TRANSPORT(Logistyka6/2010), Zakopane 2010.
[17] Bocian S.: Złożoność półgrupy charakterystycznej sumy prostej automatów asynchronicznych silnie spójnych i ustalonych analogów ich rozszerzeń dla każdego słowa z języka
∑ + = (σ 0 ∪ σ 1 ) , Pojazdy Szy+
nowe Nr 4/2010.
[18] Fleck A.C.: Isomorphism groups of automata, J. Assoc. Comp. Mach. 9, 4 (1962).
[19] Gecseg F.,Peak J.: Algebraic theory of automata, Akademia Kiado, Budapest, 1972.
[20] Grzymała-Busse J.W.: On the periodic reprezentation and reducibility of periodic automata, J.Assoc.
Comput. Mach. 16, 3(1969).
[21] Grzymała-Busse J.W.: On the endomorphisms of finite automata, Mach. Syst. Theory 4, 4 (1970).
37
[22] Grzymała-Busse J.W.: Podautomaty automatów skończonych związane ze zmianączsu pracy, Politechnika
Poznańska, Rozprawy nr.46, Poznań, 1972.
[23] Kerntopf P.: Podstawowe pojęcia matematyczne w teorii automatów, PWN, Warszawa 1967.
[24] Mikołajczak B., Miądowicz Z.: On the automorphisms group of strongly related automata and structural
properties of finite automata and extensions, Foundations of Control Engineering,1,2 (1976).
[25] Mikołajczak B.: On the structure of cyclic automata and their generalized periodic sums, Technical
Report, Computer Science Department, Cornell University, 1977.
[26] Mikołajczak B.: On the structure of cyclic automata and their generalized periodic sums, Foundations of
Control Engineering, 3,1 (1978).
[27] Mikołajczak B.: Uogólnione przekształcenia okresowe automatów skończonych, Politechnika Poznańska,
Rozprawy nr.98, Poznań 1979.
[28] Mikołajczak B.: Algebraiczna i strukturalna teoria automatów, PWN Warszawa - Łódź, 1985.
[29] Mikołajczak B.: Przekształcenia i złożoność obliczeniowa problemów w teorii automatów, PWN Warszawa
– Poznań, 1988.
[30] Oehmke R.H.: The semigroup of a strongly connected automaton, Math. Systems Theory, 15 (178).
38
dr inż. Tomasz Kądziołka
Instytut Techniczny, Państwowej Wyższej
Szkoły Zawodowej w Nowym Sączu
dr inż. Sławomir Kowalski
mgr inż. Dariusz Smolarski
Politechnika Krakowska
Analiza porównawcza wrażliwości dźwigniowych
hamulców kolejowych
W artykule przedstawiono analizę porównawczą badania wrażliwości dźwigniowych
hamulców kolejowych. Porównania dokonano badając wrażliwość szczękowych hamulców kolejowych z hamulcami tarczowymi, które stosowane są w nowoczesnych szybkobieżnych wagonach kolejowych.
Oznaczenia
Xi, Yi – współrzędne i – tej par kinematycznej,
SAE – człon o zmiennym wymiarze (np. siłownik
pneumatyczny),
Fci – funkcja celu i – tego członu,
µ
– wskaźnik wrażliwości mechanizmu.
opisanego typu z powodu lokalizacji między kołami
zespołów napędowych. Warunkiem stosowania pierścieni ciernych na kołach jest zastosowanie kół monoblokowych. Pierścienie cierne w omawianym typie
montowane są z obu stron tarcz kół jezdnych [5].
1. Wstęp
W obecnym czasie, gdzie prędkość pociągów ciągle wzrasta zachodzi potrzeba zastosowania odpowiednich układów hamulcowych, które umożliwią
zatrzymanie pociągu w pożądanym czasie. Hamulce
szczękowo – bębnowe z racji swej skomplikowanej
budowy nie spełniają kryteriów dostosowania do
zwiększającej się prędkości pociągów. Dlatego chcąc
spełnić wymogi bezpieczeństwa we współczesnych
pociągach zastosowano hamulec tarczowy, który
przez zastosowanie mniejszej ilości dźwigni mógł
spełnić zadane wielkości.
W pracy został porównany klasyczny hamulec
szczękowy z hamulcem tarczowym. Została zbadana
wrażliwość kinematyczna obu rozwiązań. Poprzez
analizę badań zostały opracowane wnioski, które dały
jasny obraz dotyczący bezpieczeństwa podróżujących
pociągami.
2. Przegląd rozwiązań tarczowych hamulców wagonowych
W pojazdach kolejowych stosowane są dwa rodzaje hamulców tarczowych:
- z tarczami umieszczonymi na osiach zestawów
kołowych (rys 1, rys 2).- rozwiązanie to jest eksploatowane najczęściej w wózkach tocznych i umożliwia
zastosowanie do trzech zespołów hamulcowych na
jednej osi,
- z tarczami (pierścieniami ciernymi) umieszczonymi na kołach pojazdu (rys 3, rys 4)- rozwiązanie to najczęściej stosowane jest w pojazdach trakcyjnych, gdzie nie ma miejsca na zastosowanie wcześniej
Rys 1. Trzy
zespoły hamulców tarczowych
na osi (RABe
514) [5]
Rys 2. Dwa zespoły hamulców
tarczowych na
osi (wagon pasażerski) [5]
Rys 3. Zespól
hamulca z pierścieniami ciernymi na kole
EN81 [5]
39
Rys 4. Pierścień
cierny zewnętrzny na kole –
Bombardier
TRAXX [5]
Rys. 6. Schemat
kinematyczny
tarczowego
hamulca kolejowego
Tarcze hamulcowe wykonane są z żeliwa lub staliwa
[5]. Podczas hamowania na styku trących o siebie
elementów ciernych powstaje wysoka temperatura
(zmiana energii kinetycznej na cieplną) dochodząca
nawet do 250 0C. W celu zapewnienia możliwe najlepszego chłodzenia, tarcze posiadają specjalne układ
otworów / żeber pełniących rolę radiatorów - zwiększenie powierzchni oddającej ciepło (rys 5). Okładziny cierne montowane w obsadach szczęk wykonywane są z tworzyw organicznych lub niekiedy ze spieków i również w nich występują specjalne nacięcia
(rowki) poprawiające chłodzenie. Tarcze (pierścienie
cierne) montowane na tarczach kół jezdnych mają
mniej skuteczne chłodzenie, gdyż powstające ciepło
jest oddawane częściowo na koło jezdne, a częściowo
przez wewnętrzne użebrowanie pierścienia ciernego
stykającego się z tarczą koła. Stopień rozgrzewania się
elementów trących o siebie jest zależny od siły docisku oraz prędkości jazdy.
Rys. 5. Użebrowanie tarczy hamulcowej
dla
celów chłodzenia [5]
Rys. 7. Schemat
strukturalny tarczowego hamulca kolejowego
3.1. Ruchliwość mechanizmu
Ruchliwość mechanizmu [4] wyznaczono zgodnie
ze wzorem:
W ' = 3nr − 2 p5 − p 4
3. Analiza kinematyczna kolejowych hamulców
tarczowych
W celu dokonania analizy kinematycznej tarczowych hamulców kolejowych, został sporządzony ich
schemat kinematyczny (rys. 6) i strukturalny (rys. 7).
40
(1)
gdzie:
nr – ilość członów ruchomych,
p5 – ilość par kinematycznych klasy piątej (jeden stopień ruchliwości),
p4 – ilość par kinematycznych klasy czwartej (dwa
stopnie ruchliwości).
W badanym mechanizmie:
nr = 11,
p5 = 15,
p4 = 0.
Stąd ruchliwość mechanizmu W’ = 3. Mechanizm
posiada więc trzy stopnie swobody.
Ponieważ układ mechaniczny hamulca tarczowego
jest tak skonstruowany, że ma możliwość samoczynnego dopasowania się do tarczy hamulcowej, ruchliwość hamulca należy obliczyć zakładając że szczęka
stykająca się z tarczą hamulcową tworzy parę kinematyczną. Wówczas:
nr = 11,
p5 = 16,
p4 = 0.
Stąd ruchliwość mechanizmu W’ = 1. Mechanizm
posiada więc jeden stopień ruchliwości.
3.2. Analiza kinematyczna tarczowego hamulca
kolejowego
Badany mechanizm klasy III składa się z zespołu
kinematycznego klasy III szeregu 3. Poniżej przedstawiono sposób wyznaczenia położenia członów i
współrzędnych par kinematycznych. Obliczeń dokonano przyjmując założenie, że podczas wysuwu siłownika para kinematyczna A pozostaje nieruchoma
tym samym tylko jedna szczęka zaczyna zbliżać się do
tarczy hamulcowej (pierwsza faza ruchu). Po zetknięciu szczęki 10 z tarczą hamulcową para kinematyczna
E (rys. 7) pozostaje nieruchoma a ruch przejmuje
dźwignia 4 napędzająca szczękę 6 (druga faza ruchu).
 X E = X A1 + S AE ⋅ cos(α 3 )
,

YE = Y A1 + S AE ⋅ sin (α 3 )
(2)
gdzie:
XA2, YA2 – współrzędne pary kinematycznej A podczas drugiej fazy ruchu,
 X A 2 + l A 2 J ⋅ cos(α 4 ) + l JL ⋅ cos(α 5 ) − X L = 0
⇒ α 4 , α 5 ,(8)

Y A2 + l A 2 J ⋅ sin (α 4 ) + l JL ⋅ sin (α 5 ) − YL = 0
 X I = X A 2 + l AI ⋅ cos(α 4 − κ 4 A )
,

YI = Y A 2 + l AI ⋅ sin (α 4 − κ 4 A )
(9)
 X J = X A 2 + l AJ ⋅ cos(α 4 )
.

YJ = Y A 2 + l AJ ⋅ sin (α 4 )
(10)
W celu określenia drogi jaką musi pokonać szczęka
by mogła zetknąć się z tarczą hamulcową wyznaczono
tak zwaną funkcję celu (11):
Fc = b −
(X J − X M )2 + (YJ − YM )2 →
0
(11)
gdzie:
b – grubość tarczy hamulcowej.
Po podstawieniu wymiarów członów i określeniu
współrzędnych par kinematycznych przyostojowych i
przy założeniu, że kąt α1 = α3 + 1800 (rys. 7) sporządzono wykres funkcji celu w postaci:
gdzie:
XA1, YA1 – współrzędne pary kinematycznej A podczas pierwszej fazy ruchu,
 X E + l EM ⋅ cos(α 9 ) + l MO ⋅ cos(α 10 ) − X 0 = 0
⇒ α 9 ,α 10

YE + l EM ⋅ sin (α 9 ) + l MO ⋅ sin (α 10 ) − Y0 = 0
(3)
 X F = X E + l EF ⋅ cos(α 9 + κ 9 E )
,

YF = YE + l EF ⋅ sin (α 9 + κ 9 E )
(4)
 X F + l FG ⋅ cos(α 8 + κ 8 F ) + l GH ⋅ cos(α 7 ) − X H = 0
⇒ α 7 ,α 8 ,

YF + l FG ⋅ sin (α 8 + κ 8 F ) + l GH ⋅ sin (α 7 ) − YH = 0
(5)
 X G = X F + l FG ⋅ cos(α 8 + κ 8 F )
,

YG = YF + l FG ⋅ sin (α 8 + κ 8 F )
(6)
 X A 2 = X E + S AE ⋅ cos(α 1 )
,

Y A 2 = YE + S AE ⋅ sin (α 1 )
(7)
Rys. 8. Wykres funkcji celu
3.3. Wrażliwość kinematyczna
Ze względu na luz, jaki występuje między sworzniem a panewką, sworzeń może zajmować różne położenia w otworze [3]. Odległość między osiami
sworzni więc zwiększa się lub zmniejsza. Wyznaczono funkcję celu odpowiadające granicznym położeniom sworznia w panewce. Tworzą one wstęgę funkcji celu, wewnątrz której przebiega funkcja celu odpowiadająca rzeczywistemu położeniu sworznia. Na
rys. 9 przedstawiono wstęgę funkcji celu, wewnątrz
której linią kreskową zaznaczono funkcję celu odpowiadającą nominalnym wymiarom mechanizmu.
41
Po wyznaczeniu współrzędnych par kinematycznych i określeniu położenia członów, przyjmując pasowanie H8/e8, postępując w sposób analogiczny jak
w rozdziale 3.3 otrzymano wstęgę funkcji celu (rys.
12).
Rys. 9. Wstęga funkcji celu dla pasowania H8/e8
Wyznaczono wskaźnik wrażliwości mechanizmu [1,3]
zgodnie z wzorem
µ = 1−
L
∆S AE
(12)
gdzie:
µ - wskaźnik wrażliwości mechanizmu,
L – odległość między punktami przecięcia osi odciętych przez graniczne funkcje celu wstęgi,
∆SAE – zakres ruchu członu napędowego do chwili
zetknięcia się klocków z tarczą hamulcową (funkcja
celu przecina oś odciętych).
Dla rozpatrywanego rodzaju pasowań H8/e8
otrzymano L = 0,1 mm, ∆SAE = 7 mm. Stąd wrażliwość mechanizmu µ = 0,986 (µ = 98,6 %).
4. Analiza wrażliwości szczękowo – kołowego hamulca kolejowego
Badanie wrażliwości szczękowo – kołowego hamulca kolejowego zostały opisane w [3]. Dlatego w
niniejszym artykule zostanie zaprezentowany tylko
szkic obliczeń.
Przeprowadzając analizę kinematyczną zauważono, że mechanizm hamulca składa się czterech analogicznych zespołów (rys. 10) dlatego badania przeprowadzono dla jednego (rys. 11).
Rys. 10. Schemat kinematyczny mechanizmu uruchamiania hamulców kolejowych
Rys. 11. Schemat kinematyczny mechanizmu hamulca kolejowego
42
Rys. 12. Wstęga funkcji celu dla pasowania H8/e8
Analizując rys. 12 i znając zakres ruchu członu napędowego (w badanym przypadku ∆α1 = 0,032 rad, L
= 0,0021 rad), określono wrażliwość hamulców kolejowych µ = 0,934 (µ = 93,4 %).
5. Podsumowanie i wnioski końcowe
Porównując wyniki otrzymane w rozdziale 3.3 z
wynikami z rozdziału 4, stwierdzić można, że wrażliwość kinematyczna tarczowego hamulca wagonowego
wynosi 98,6 %, natomiast wrażliwość hamulca szczękowo – kołowego równa się 93,4 % [3].
Analiza ta jasno stwierdza przydatność w/w hamulców. Przez zmniejszenie ilości dźwigni i łączących je par kinematycznych (sworzeń – panewka)
zwiększono wrażliwość kinematyczną o 5,2 % tym
samym została zwiększona sprawność kinematyczna
hamulca. Niestety pociągło to za sobą zwiększenie
ilości siłowników pneumatycznych co spowodowało
zmniejszenie niezawodności układu.
Literatura
[1] K ą d z i o ł k a T., Wpływ struktury i dokładności wykonania członów na wrażliwość wag uchylnych, rozprawa doktorska, Akademia Techniczno - Humanistyczna, Bielsko – Biała 2006.
[2] M ł y n a r s k i T., Uogólniona metoda analityczna
analizy kinematycznej mechanizmów płaskich, Monografia 168, Politechnika Krakowska, Kraków 1994.
[3] M ł y n a r s k i T., Kądziołka T., Romaniak K., Badanie
wrażliwości kinematyczne układów hamulcowych wagonów kolejowych, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Seria Transport, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1999.
[4] M o r e c k i A., Knapczyk J., Kędzior K., Teoria mechanizmów i manipulatorów, Wydawnictwo WNT, Warszawa 2002.
[5] Górowski M., Transport szynowy niezależna strona
informacyjna,http://www.transportszynowy.pl/kolhamulcetarczowe.php
mgr. inż. Rafał Cichy
prof.dr hab. inż. Franciszek Tomaszewski
Politechnika Poznańska
Możliwości rozwoju taboru bimodalnego w aspekcie
ograniczeń skrajni kolejowych
W opracowaniu zaprezentowano przepisy jakie spełniać powinny pojazdy poruszające się po torach kolejowych w Polsce. Zaprezentowano również systemy przewozu naczep na tle zintegrowanych jednostek ładunkowych.
1. Wstęp
Globalizacja w dziedzinie gospodarczej powoduje
dynamiczny rozwój transportu. Materiały potrzebne
do wytworzenia produktów, miejsca ich wytworzenia,
odbiorca końcowy (klient) usytuowane bywają w odległych miejscach kraju, a nawet świata, co powoduje
konieczność transportu surowców i wyrobów na znaczące odległości. Dziś największym udziałowcem w
transporcie jest transport samochodowy, za pomocą
którego dokonuje się 84% przewozów [1]. Jednocześnie coraz częściej zwraca się uwagę na niekorzystne
aspekty związane ze skutkami dynamicznego rozwoju
transportu takie jak: zmiany klimatu, zanieczyszczenie
powietrza, wypadki, hałas itp. W wielu miastach nie
są spełnione normy dotyczące czystości powietrza, a
emisja gazów cieplarnianych już dawno przekroczyła
normy zawarte w protokóle z Kioto. W ramach protokołu z Kioto Polska zmniejszyła emisję gazów cieplarnianych o 29% zamiast wymaganych 6% dzięki
czemu otrzymała możliwość sprzedaży 500 mln. ton
CO2 , które są warte ok. 2 mld. euro [2]. Transport
generuje 21% gazów cieplarnianych. Dane te wskazują, że poza zyskami społecznymi jak zmniejszenie
liczby wypadków, zyskami ekonomicznymi szczególnie w przypadkach obliczania kosztów zewnętrznych
opisanych szerzej w [3] istnieje możliwość osiągania
znaczących dochodów w przypadku ograniczenia
emisji gazów cieplarnianych.
Powszechnie stosowane zaczynają być używane
rozwiązania ograniczające możliwości emisji gazów
cieplarnianych, do których możemy zaliczyć:
- zakaz poruszania się w miastach pojazdów bez
odpowiednich atestów,
- konieczność stosowania katalizatorów i filtrów
przeciwpyłowych,
- ograniczenie poruszania samochodów ciężarowych na terenie krajów,
- subwencje na zakup taboru intermodalnego,
- subwencje do przewozów intermodalnych,
- tworzenie centrów logistycznych w celu ułatwienia kontaktu między przewoźnikami,
-
zwolnienia z ograniczeń dotyczących poruszania się pojazdów intermodalnych w dni gdzie
obowiązują one dla pojazdów samochodowych
.
Transport
intermodalny jest jednym z elementów
mogących w znacznym stopniu przyczynić się do
ograniczenia:
- zmian klimatu,
- zmian krajobrazu,
- wypadków,
- emisji hałasu,
- zanieczyszczenia powietrza,
- zużycia energii.
2. Przepisy definiujące skrajnie taboru kolejowego
na terenie Polski
Dla taboru poruszającego się po liniach kolejowych na terenie polski konieczne jest spełnienie przepisów Kodeksu UIC 505-1 [4]. Kodeks ten nakazuje
stosowanie jej przepisów dla wszystkich budowanych
rodzajów pojazdów (pojazdy trakcyjne, wagony osobowe, wagony bagażowe i wagony towarowe). Można
tam jednocześnie znaleźć zapis: „do pewnych kombinacji wagon – ładunek (kontenery i pojemniki wymienne), patrz karta UIC 506” [5]. Kodeks ten określa
zarysy odniesienia skrajni GA, GB, GC które posiadają większe wymiary w górnym zakresie w porównaniu
do zarysu ustalonego w kodeksie UIC 505-1 (rys.1).
Stosowanie skrajni wg Kodeksu UIC 506 podczas
budowy pojazdu wiąże się z określonymi ograniczeniami. Ładunki i pojazdy mogą poruszać się jako
przesyłki regularne tylko na sprawdzonych i dopuszczonych trasach. Skrajnia wg zarysów odniesienia
GA, GB, GC ma zastosowanie:
Skrajnia GA – jest długoterminowo realizowana na
wszystkich trasach kolei,
43
Rys. 1. Skrajnie wg UIC 505-1, oraz skrajnie powiększone GA, GB, GC wg UIC 506
Skrajnia GB – obejmuje skrajnię GA i jest przewidziana w ramach krótko- i długoterminowego planowania na możliwie wielu trasach, aby otrzymać rozciągniętą i powiązaną sieć kolejową,
Skrajnia GC – która obejmuje skrajnię GA i GB i
jest do wprowadzenia na nowych trasach i dla dużych
budowli (np. tunel) na ustalonych w sposób szczególny trasach.
Skrajnie GA, GB, GC wg [6] będą stosowane do
ściśle wytyczonych tras, natomiast skrajnie G2, 3.3,
GB-M6, GB1, GB2 itd. mogą być stosowane gdy
istnieje wcześniejsze porozumienie między zainteresowanymi zarządcami infrastruktury. Umową taką
może być umowa europejska o ważnych międzynarodowych liniach transportu kombinowanego i obiektach towarzyszących.
Dodatkowo kodeks UIC 506 podaje, że ładunki i
pojazdy szynowe według rozszerzonych skrajni GA,
GB, GC mogą się poruszać jako przesyłki regularne
na sprawdzonych i dopuszczonych trasach, oraz określa ładunki wzorcowe, dla krórych zostały określone
skrajnie:
Skrajnia GA:
- Kontenery o szerokości 8’ (2,438 m) i wysokości 8’6 ½” (2,604 m), załadowane na
wagonach towarowych o wysokości podłogi a ≤ 1,246 m, (dokładność centrowania ±
10 mm, rozstaw czopów skrętu a ≤ 16 m),
- Kontenery o szerokości 8’ (2,468 m) i
wysokości 9’6” (2,896 m), załadowane na
wagony towarowe o wysokości podłogi
a ≤ 0,954 m (dokładność centrowania ±
10 mm, rozstaw czopów skrętu a ≤ 16 m),
44
-
-
Zbiornik wymienne o szerokości 2,50 m i
wysokości 2,60 m, załadowanego na
wagony towarowe o wysokości podłogi
a ≤ 1,246 m, (dokładność centrowania ±
10 mm,
rozstaw
czopów
skrętu
a ≤ 12,50 m),
Specjalne naczepy wymienne o szerokości
2,50 m dla szynowego ruchu ulicznego,
załadowane na wagonach kieszeniowych
lub wagonach typu „kangur”, którego
wysokość naroży nie przekracza wysokości
3,85 m ponad główkę szyny (dokładność
centrowania ± 10 mm, rozstaw czopów
skrętu a ≤ 12,50 m).
Skrajnia GB
- Kontenery o szerokości 8’ (2,438 m) i wysokości 9’6” (2,896 m), załadowane na wagony towarowe o wysokości podłogi
1,18 m (dokładność centrowania ± 10 mm,
rozstaw czopów skrętu a ≤ 16 m),
Skrajnia GC
- Kontenery o szerokości 8’ (2,438 m) i wysokości 9’6” (2,896 m), na wszystkich
normalnych platformach (rozstaw czopów
skrętu a ≤ 16 m),
- Samochody ciężarowe i naczepy wymienne
o wymiarach dopuszczonych do ruchu drogowego o szerokości 2,50 m i wysokości
4,00 m, załadowane na specjalne wagony
towarowe, i o wysokości podłogi ≤ 0,65 m
(dokładność centrowania ± 100 mm, rozstaw czopów skrętu a ≤ 12,50 m).
Jak widać przewozy naczep siodłowych są
uwzględnione z dużymi ograniczeniami. Dla skrajni
GA zalecana jest naczepa o wysokości 3,85 m, a dopiero dla skrajni GC (przyszłościowej) zaleca się jako
ładunek wzorcowy naczepę siodłową o wysokości 4.0
m co jest standardem dla obecnie powszechnie produkowanych naczep [7,8]. W literaturze [9] zaczyna już
być podawana wielkość standardowa naczepy 4,1 m,
która może sprawić, że naczepy nie będą mogły być
przewożone za pomocą transportu kombinowanego.
Dodatkowo można zauważyć, że podawana w przepisie szerokość naczep wynosi 2,5 m, natomiast wielkość standardowa naczep to 2,55 m. Wielkość ta również wpływa na możliwości projektowe wysokości
przestrzeni ładunkowej, gdyż analizując kształt skrajni
w jej górnym zarysie dochodzimy do wniosku, że im
bliżej pionowej osi symetrii pojazdu tym jest możliwa
większa wysokość przestrzeni ładunkowej.
Kiedy w latach 60-tych ubiegłego stulecia nastąpił
rozwój transportu kontenerowego, a kontenery przewożono przy użyciu dostępnych wówczas standardowych platform kolejowych, okazało się, że dopuszczona górna przestrzeń skrajni kolejowej jest niewystarczająca. Rozwijane później inne systemy transportu intermodalnego również wymagały powiększonego
zarysu górnej strefy skrajni kolejowej. Aby umożliwić
w Europie rozwój transportu intermodalnego, zawarto
w 1991 roku w Genewie porozumienie (Europejska
Umowa o ważniejszych międzynarodowych liniach
transportu kombinowanego i obiektach towarzyszących, skrót „AGTC”), na mocy którego zobowiązano
kraje członkowskie Europejskiej Komisji Ekonomicznej Narodów Zjednoczonych do wypełnienia warunków umowy.
W załączniku III umowy podzielono linie kolejowe
na dwie kategorie; istniejące linie i linie nowobudowane. Równocześnie zalecono aby dla linii nowo budowanych stosować skrajnię „C”, która określa największy dopuszczony w części górnej gabaryt taboru,
a dla linii istniejących, modernizowanych stosować co
najmniej skrajnię „B”. Kontury zarysu skrajni na liniach kolejowych przewidzianych do transportu intermodalnego określają przepisy karty UIC 506.
Typ
20’
40’
45’
(20)*
(21)
(26)
(30)
31
42
(44)
(45)
Długość
[mm]
3. Systemy przewozu naczep na tle zintegrowanych jednostek ładunkowych
Pod pojęciem zintegrowanych jednostek ładunkowych rozumiemy najczęściej [9, 10] kontener, nadwozie wymienne i naczepa drogowa.
Poniżej przedstawiono gabaryty najbardziej popularnych, zalecane w normach, zintegrowanych jednostek ładunkowych (tabela 1).
Jak widać z przytoczonych przykładów największymi gabarytami charakteryzują się naczepy samochodowe.
Z pośród trzech najbardziej znanych zintegrowanych jednostek ładunkowych, dwie tj.: kontenery i
nadwozia wymienne przystosowane są do transportu
na różnych środkach transportu. Świadczy o tym między innymi ich budowa, która umożliwia przeładunek,
wielopoziomowe składowanie, wysoka standaryzacja
oraz jednolite dostosowanie urządzeń magazynowych
i przeładunkowych. Również ich gabaryty pozwalają
na transport różnymi gałęziami transportu, bez zbędnej integracji w szlaki przewozowe (skrajnia). Naczepa drogowa natomiast przystosowana jest głównie do
transportu drogowego. W związku z tym jej gabaryty i
budowa ograniczone są głównie poprzez infrastrukturę drogową (tj. naciski na oś, skrajnię drogową). Dąży
się przy tym do maksymalizacji przestrzeni ładunkowej. Generuje to problemy przy próbach dostosowania
naczep do transportu za pomocą innych środków
transportu w szczególności kolei. Transport kombinowany oparty na naczepach samochodowych cechuje się tym, iż przystosowuje transport typowo drogowy do poruszania się po trasach kolejowych. Wymaga
to dwojaki sposób podejścia do problemu przystosowania taboru do przewozów intermodalnych naczep:
Nie integrowanie w budowę naczep, a dostosowanie wagonów do transportu pojazdów (systemy ruchomej drogi, wagonów koszowych, modalor),
Ingerencja w budowę naczepy i dostosowanie wagonów lub samych wózków to ich transportu (wagony
kieszeniowe, które nie są przystosowane do przeładunku pionowego, systemy bimodalne).
Szerokość
[mm]
Kontenery**
6058
2438
12192
2438
13716
2438
Nadwozia wymienne**
2440 - 2500
6050
6250
8150
9125
9300
12500
13 100
13 716
Naczepa samochodowa **
13 900
2550
TABELA 1
Wysokość
[mm]
2591
2591
2896
2675
* Pozycje typu w nawiasach nie są
zalecane
** Gabaryty zewnętrzne
2730
45
Pierwszy sposób podejścia ma tę zaletę, że większość naczep (poza naczepami o specjalnej budowie)
można transportować tymi metodami. W przypadku
tym jedna istotną rolę odgrywa skrajnia, która szczególnie przez naczepy skrzyniowe jest przekraczana, co
pokazano w [11].
Drugi sposób podejścia posiada podstawową wadę,
którą jest konieczność przebudowy naczep. Dodatkowo w znanych systemach przewozów intermodalnych
naczep przewozy za pomocą wagonów kieszeniowych
i systemów bimodalnych nie powodują rozwiązania
problemów ze skrajnią. Systemy bimodalne, które
mają najkorzystniejsze parametry jeżeli chodzi o wykorzystanie skrajni, jako jedyne mogą poruszać się w
skrajni GB, i tak muszą być nadawane jako przesyłki
specjalne.
Wady systemów bimodalnych dotychczas eliminują je z udziału w przewozach kolejowych. Można się
zastanowić nad wykorzystaniem do zupełnie nowatorskiego podejścia do bimodalnego systemu transportu.
Celem ma być stworzenie zintegrowanej jednostki
ładunkowej na bazie systemu bimodalnego. Podstawą
tworzenia zarysu gabarytowego naczepy będzie skrajnia oparta na kodeksie UIC 505-1. Z uwagi na duży
nacisk przewoźników należy dążyć do maksymalnego
wykorzystania przestrzeni ładunkowej. Określoną
maksymalną przestrzeń ładunkową należy porównać z
przestrzeniami ładunkowymi istniejących zintegrowanych jednostek ładunkowych, oraz zastanowić się nad
tym, czy niewątpliwe ograniczenia przestrzeni ładunkowej można zaakceptować do przewozów intermodalnych. Naczepy bimodalne podlegają tak znacznej
przebudowie, że najlepiej nadają się do stworzenia
nowej jednostki ładunkowej.
W dokumencie [12] obliczono skrajnię dla naczepy
bimodalnej. Na rysunkach 2 – 5 przedstawiono położenie wybranych elementów konstrukcji naczepy samochodowej na tle zawężonego i podwyższonego/obniżonego zarysu skrajni kinematycznej według
Karty UIC 505-1 [1].
Rys. 2. Górne naroże naczepy samochodowej w przekroju
środkowym na tle zarysu odniesienia oraz skrajni zawężonej i
podwyższonej/obniżonej według Karty UIC 505-1
46
Rys. 3. Koło drogowe naczepy samochodowej na tle zarysu
odniesienia oraz skrajni zawężonej i podwyższonej według Karty
UIC 505-1
Rys. 4. Podpora drogowa naczepy samochodowej na tle zarysu
odniesienia oraz skrajni zawężonej i podwyższonej według Karty
UIC 505-1
Rys. 5. Stopień manewrowego w przekroju końcowym naczepy
samochodowej (na adapterze końcowym) na tle zarysu odniesienia
oraz skrajni zawężonej i podwyższonej według Karty UIC 505-1
Jak można zauważyć istotny problem stanowi
skrajnia w przestrzeni górnej. Wysokość jej ograniczenia w części górnej wynosi 440 mm. Istotne więc
staje się poszukanie możliwości wyznaczenia optymalnych gabarytów naczep, poprzez analizę konstrukcji naczepy i kolejowego układu biegowego, metod
pomiarów, selekcjonowania transportowanych ładunków itp. Zagadnienia te są obecnie przedmiotem prac
badawczych w Instytucie Pojazdów Szynowych.
5. Podsumowanie
Stworzenie systemu transportu bimodalnego użytkowanego w bez konieczności specjalnego dostosowania trasy przejazdu wymaga stworzenia jednostki o
gabarytach mieszczących się w skrajni wg kodeksu
505-1. Zastosowanie do tego celu naczep jest doskonałym uzupełnieniem istniejących zintegrowanych
jednostek ładunkowych. Pozytywne cechy transportu
bimodalnego, jak duża mobilność podczas załadunku
i rozładunku [13], brak konieczności używania specjalistycznego sprzętu przeładunkowego czy brak konieczności wielkich przestrzeni magazynowych itp.
spowoduje zainteresowanie systemami przewoźników. Cechy te w powiązaniu z omawianymi wcześniej pozytywnymi aspektami użytkowania nowoczesnych gałęzi transportu może stanowić istotny impuls
do ich rozwoju.
Literatura
[1] What the admission of Mega – Trucks would really
mean for Europe. Facts and arguments. Publikacja informacyjna UIC, CER, EIM, UNIFE, ERFA. Paryż,
czerwiec 2007.
[2] Kozmala M.; Ochrona klimatu poległa w walce ze
wzrostem PKB, www.rp.pl/ekonomia.
[3] Medwid M., Cichy R.: Analiza porównawcza wybranych systemów transportu intermodalnego, Pojazdy
Szynowe 1/2009.
[4] Karta UIC 505-1. Pojazdy kolejowe. Skrajnia pojazdów. Wydanie 9 z 11. 2003r.
[5] Karta UIC 506. Reguły dotyczące zastosowania
skrajni powiększonych GA, GB, GC. Wydanie z
01.01.1987r.
[6 ]Decyzja komisji z dnia 28lipca 2006 r. dotycząca
technicznej specyfikacji dla interoperacyjności odnoszącej się do podsystemu „tabor kolejowy – wagony
towarowe” transeuropejskiego systemu kolei konwencjonalnych.
[7] Materiały firmy ZREMB.
[8] Materiały firmy Wielton.
[9] Jakubowski L.: Technologia prac ładunkowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003.
[10] Kwaśniowski S., Nowakowski T., Zając M.: Transport
intermodalny w sieciach logistycznych, Wrocław
2008.
[11] Medwid M., Cichy R.: Systemy transportu intermodalnego na tle wymagań skrajni kolejowej, XVIII Konferencja Naukowa Pojazdy Szynowe - Katowice
Ustroń 2008, materiały konferencyjne.
[12] Obliczenia skrajni pociągu bimodalnego – archiwum
IPS.
[13] Medwid M., Cichy R.: Koncepcja wykorzystania
techniki bimodalnej transportu do budowy autostrad.
Pojazdy Szynowe 3/2009.
47
mgr inż. Marcin Dębiński
mgr inż. Krystian Kiercz
dr inż. Sławomir Kowalski
NEWAG S.A. Nowy Sącz
dr inż. Tomasz Kądziołka
Państwowa Wyższa Szkoła
Zawodowa w Nowym Sączu
Przegląd rozwiązań konstrukcyjnych wybranych
elektrycznych zespołów trakcyjnych
W artykule przedstawiono przegląd rozwiązań konstrukcyjnych współczesnych elektrycznych zespołów trakcyjnych na przykładzie wybranych jednostek, które w ostatnich
latach zmodernizowano lub wyprodukowano w NEWAG S.A. Nowy Sącz
1. Wprowadzenie
Elektryczne zespoły trakcyjne serii EN i WE są
przeznaczone do obsługi lokalnego ruchu pasażerskiego. Wszystkie wagony w tych pojazdach są sprzęgnięte w sposób zapewniający trwałe połączenie w
czasie eksploatacji, jednocześnie zapewniając przejście pomiędzy poszczególnymi wagonami. W skład
elektrycznego zespołu trakcyjnego wchodzą wagony
silnikowe oraz wagony doczepne, które na czas remontów i przeglądów mogą być rozłączane. Pociągi
mogą poruszać się w trakcji wielokrotnej dzięki zastosowaniu automatycznych sprzęgów samoczynnych
Scharfenberga. Kabina sterownicza niezależnie od
konfiguracji członów znajduje się po obu końcach
pojazdu. Jednostki serii EN i WE pokryte zostały farbami o zwiększonej trwałości i odpornymi na działanie czynników atmosferycznych oraz powłokami antygraffiti. Wygląd zewnętrzny i kolorystyka każdorazowo jest dopasowywana do potrzeb klienta jednocześnie nadając pojazdom nowoczesny i estetyczny wygląd. Dla podniesienia komfortu jazdy, elektryczne
zespoły trakcyjne wyposażono w nowoczesne układy
biegowe. Na rysunku 1 przedstawiono podział
elektrycznych zespołów trakcyjnych na trzyczłonowe
i czteroczłonowe, które wyprodukowano lub zmodernizowano w ostatnich latach w NEWAG S.A.
Nowy Sącz. Natomiast podstawowe dane techniczne
tych zespołów przedstawiono w tabeli 1.
2. Opis pojazdów
Zespół trakcyjny typu 14 WE – SKM
Elektryczny zespół trakcyjny 14WE (rys. 2.) jest najbardziej zaawansowaną modernizacją jednostek typu
EN57. Z pierwotnej konstrukcji pozostała jedynie
ostoja i elementy ramy, które dla potrzeb modernizacji
zregenerowano. Pojazdowi nadano nowoczesny i aerodynamiczny wygląd.
Rys. 2 Widok 14WE-SKMWA
Rys 1. Podział elektrycznych zespołów trakcyjnych
48
Układ wagonów w jednostce jest oparty na systemie 410B-309B-410B (Wagon sterowniczy – wagon
silnikowy – wagon sterowniczy). Podczas modernizacji zmniejszono liczbę miejsc siedzących na rzecz
Dane techniczne elektrycznych zespołów trakcyjnych
Dane
Rok produkcji
Długość (ze sprzęgami)
Masa pojazdu
próżnego
Maksymalna masa
brutto pojazdu
Liczba drzwi wejściowych
Szerokość przejścia w części pasażerskiej
Wysokość podłogi
od główki szyny
Układ miejsc
yp
wózka
Liczba miejsc
siedzące/stojące
Liczba miejsc dla
osób niepełnospraw.
Winda dla niepełnospraw.
Maksymalna prędkość eksploatacyjna
Łączna moc ciągła
silników trakcyjnych
Przyśpieszenie
rozruchu około:
toczny
napędny
Układ osi
14WE
SKMWA
2005
EN61
Papieski
2005/2006
EN57
AKM
2008/2009
EN71
SKMT
2009
19WE
SKMWA
2009/2010
68 400 mm
68 400 mm
64770 mm
86 840 mm
86 500 mm
125 t
125 t
126t ±3%
170 t
190 t ±3%
165 t
165 t
165 t
182 t
260 t
12
12
12
16
20
820 mm
820 mm
820 mm
820 mm
800 mm
1 157 mm
1 157 mm
1 157 mm
1 157 mm
1 150 mm
2+2
Autobus i
2+2
2+2
Metro i
2+2
Metro i
2+2
184/225
181/283
190/210
234/288
182/374
2 miejsca
8 miejsc
2 miejsca
2 miejsca
2 miejsca
TAK
TAK
TAK
brak
TAK
110 km/h
110 km/h
120 km/h
120 km/h
160 km/h
608 kW
740 kW
1000 kW
2000 kW
2240 kW
2
2
0,5 m/s
0,5 m/s
0,8 m/s2
0,8 m/s2
ok. 1 m/s2
36AN
23MN
36AN
23MN
36AN
23MN
36AN
23MN
70RSTa
70RSNa
2’2’+ Bo’Bo’+
Bo’Bo’+
2’2’
Bo’Bo’+
2’2’ + Bo’Bo’
2’2’ + Bo’Bo’
+ 2’2’
2’2’ + Bo’Bo’
+ 2’2’
miejsc stojących, co jest bardziej praktyczne
w przewozach aglomeracyjnych. Fotele dwumiejscowe zamontowano w układzie rzędowym lub naprzeciwległym (rys. 3). Wnętrze pojazdu w pełni przystosowano do przewozów osób niepełnosprawnych na
wózkach inwalidzkich. Wydzielono również miejsce
dla osób z większym bagażem i rowerzystów. W pojeździe zamontowano podnośniki umożliwiające
wsiadanie osobom niepełnosprawnym do jednostki.
W celu zwiększenia bezpieczeństwa podróżnych w
zespole trakcyjnym dotychczas stosowane lusterka
zewnętrzne umożliwiające obserwację otoczenia zewnętrznego pojazdu zastąpiono zestawem kamer zewnętrznych zamontowanych na zewnątrz pojazdu.
Tabela 1
2’2’ + Bo’Bo’
+ 2’2’
W każdym wagonie rozrządczym, na zewnątrz po
obydwu stronach kabiny maszynisty zamontowane i
okablowane zostały dwie kamery zewnętrzne, hermetyczne. Kamery te współpracują z monitorem 14”
umieszczonym na pulpicie.
W kabinie maszynisty dokonano modernizacji pulpitu
(rys. 3) dostosowując go do obecnie istniejących standardów ergonomii i wyposażenia.
Pojazd wyposażono w zmodernizowane wózki
23MN z silnikami LKF450 o mocy 185 kW i
wózki 36AN.
49
knięty firmy SEMCO, który współpracuje ze zbiornikami umieszczonymi za jej tylną ścianą. Konstrukcja
oraz wyposażenie umożliwia korzystanie z toalety
osobom niepełnosprawnym.
Kanapy, siedzenia odchylne, fotele dwumiejscowe
(rys. 5) usytuowane w układzie rzędowym lub naprzeciwległym (2+2) są wykonane z materiału zapewniającego odpowiedni komfort i trwałość.
Rys. 3 Wnętrze 14WE – SKMWA
Zespół trakcyjny typu EN61 – „Papieski”
Elektryczny zespół trakcyjny EN61 – „Papieski”
(rys. 4) został zaprojektowany przez krakowską firmę
EC Engineering i wykonany przez nowosądecką firmę
Newag jako podziękowanie polskich kolejarzy za
pontyfikat Jana Pawła II. W dniu 28 maja 2006 roku
pociąg poświęcił podczas wizyty w Polsce Papież
Benedykt XIV.
Rys. 4 Widok EN61 Pociąg Papieski"
Pociąg papieski został zbudowany na podstawie
elektrycznego zespołu trakcyjnego 14WE. Różnica
pomiędzy pojazdami występuje jedynie w kolorystyce
i wyposażeniu przedziału pasażerskiego. Wnętrze
pojazdu zaopatrzono w jedną toaletę w członie rozrządczym A. Toaleta jest wyposażona w system zam50
Rys. 5 Wnętrze EN61 „Pociąg Papieski”
W członie rozrządczym C wydzielono przedział
„studio”, w którym zamontowano urządzenia do obsługi systemu multimedialnego. Przedział „studio”
wyposażono m.in. w monitory 17” LCD, odtwarzacze
DVD, wielokanałowy system audio z indywidualnymi
panelami odsłuchowymi dla każdego pasażera pozwalający na odsłuch prezentacji multimedialnych w różnych językach, kamery kolorowe obserwujące obraz z
czoła pociągu. W przedziale tym można oglądać emitowane materiały filmowe i zdjęcia dotyczące życia
Jana Pawła II.
Kolorystyka zewnętrzna pojazdu została wykonana
w barwach papieskich, tj. w kolorach: złotym i białym, oraz wykonano napis TOTUS TUUS.
W elektrycznym zespole trakcyjnym EN61 jak i w
14WE zmodernizowano układ cięgłowo-zderzny. W
pojazdach zastosowano sprzęgi czołowe typu Scharfenberga, które umożliwiają automatyczne połączenie
dwóch pojazdów bez dodatkowej obsługi.
Pociąg papieski wyposażono w taki sam układ jezdny
jak EZT 14WE.
Zespoły trakcyjne typu: EN57 – AKM i EN –
71 SKM
Przy okazji napraw głównych elektrycznych zespołów trakcyjnych EN-57 i EN-71 dokonano modernizacji niektórych elementów pojazdów. Zakres modernizacji obejmował m.in.: zastąpienie przetwornicy
wirującej przetwornicą statyczną, zabudowę nowego
wyłącznika szybkiego, montaż stojaków na rowery,
zastosowanie silników asynchronicznych do napędu,
zabudowę systemu monitoringu, modernizację czoła
(rys. 6) i kabiny maszynisty.
Konstrukcja kabiny maszynisty została zmieniona
poprzez wykonanie nowego szkieletu stalowego
wkomponowanego w pozostałą część jednostki. Na
szkielet, stosując klejenie, nałożono samonośne czoło
z laminatu poliestrowo – szklanego. W czole wklejono szybę panoramiczną.
W modernizowanych pojazdach zrezygnowano z
drzwi zewnętrznych do przedziałów dla podróżnych z
większym bagażem ręcznym, natomiast zabudowano
nowe drzwi zewnętrzne bezpośrednio do kabin maszynisty. Powierzchnię zewnętrzną jednostek, oraz
drzwi wejściowe pomalowano w ustalonej z użytkownikami kolorystyce farbami poliuretanowymi chemoutwardzalnymi, oraz farbami proszkowymi.
W modernizowanych elektrycznych zespołach trakcyjnych zlikwidowano ściany i drzwi przedziałowe. W
to miejsce zamontowano „wiatrochrony” wykonane w
dolnej części z blach nierdzewnych, w górnej część ze
szkła bezpiecznego a na ściance wiatrochronu zamontowano uchwyty dla stojących pasażerów.
a)
b)
Rys. 7 Wnętrze pojazdów a) EN57 –
AKM, b) EN 71 SKM
a)
b)
Rys 6 Widok a) EN57 – AKM, b) EN71 - SKM
Pozostałe wyłożenie wnętrza (rys. 7), jak ściany
boczne i sufit wykonano z paneli z niepalnych żywic
poliestrowo szklanych. Niezbędne listwy wykończeniowe wykonano z tworzyw sztucznych niepalnych
lub
profili
stalowych.
Izolację
termiczną
i dźwiękochłonną wagonów stanowi w ścianach bocznych i suficie mata z wełny mineralnej o grubości 50 i
30 mm pokryta jednostronnie folią aluminiową, a w
podłodze wagonów płyty styropianowe o grubości 30
mm. Całość podłogi wyłożono w systemie wannowym
wykładziną podłogową o grubości 3 mm trudnościeralną, ułatwiając czyszczenie i mycie wagonu.
W pojazdach przewidziano przedziały służbowe,
które dostosowano do przewozu osób na wózkach
inwalidzkich. Przedziały te zostały dodatkowo wyposażone w specjalne stojaki do przewożenia rowerów w
pozycji pionowej. Ponadto w wagonie rozrządczym
EZT EN71-SKM wydzielono przedział drugiej klasy z
siedzeniami w układzie „metro”.
Napęd elektrycznych zespołów trakcyjnych jest realizowany przez asynchroniczne silniki trakcyjne
2xANT-500-3000-UF. Napęd ten składa się z dwóch
51
falowników napięcia ANT500-3000, silników napędowych M1, M2, M3, M4 z czujnikami prędkości
oraz temperatury, układu łagodnego włączenia falowników oraz dławików sieciowych EN57, zabudowanych w rozdzielni wysokiego napięcia RWN EN57.
Obwód wysokiego napięcia składa się ponadto z
dwóch pantografów, jednego odłącznika trakcyjnego,
jednego wyłącznika szybkiego i zespołu uziemiaczy.
W EZT EN57 – KM zamontowano system pomiaru potoków pasażerskich, który jest przeznaczony do
rejestrowania strumienia pasażerów korzystających z
pojazdów. Zapewnia on rejestrację stopnia zapełnienia
i liczby pasażerów w rozbiciu na wsiadających
i wysiadających - w korelacji z poszczególnymi przystankami i kursami. Zebrane przez niego dane umożliwiają prowadzenie obliczeń i zaawansowanych analiz statystycznych, które ułatwiają optymalizację
funkcjonowania całej sieci komunikacyjnej oraz poszczególnych kursów i linii. Część pomiarowa podsystemu składa się z sensorów (aktywnych czujników
ruchu w podczerwieni) typu IRS-320, modułów wejść
cyfrowych typu INP-450 oraz koncentratorów TSL998/IBIS.
Na czole EZT-ów oraz w wnękach bocznych zainstalowanych po bokach wagonu silnikowego zostały
zabudowane tablice świetlne serii ETLP12420007
informujące o kierunku jazdy. Ponadto wykonano
instalację rozgłoszeniową przeznaczoną do nadawania
i odtwarzania komunikatów.
W celu zwiększenia bezpieczeństwa podróżnym
podczas jazdy, w elektrycznych jednostkach trakcyjnych zainstalowano system monitoringu, który jest
przeznaczony do obserwacji i rejestracji zdarzeń we
wszystkich wagonach. Realizowany jest przez ukryte
kamery. Obraz z kamer wyświetla się na 2 monitorach
17’’ LCD umieszczonych po jednym w każdej z
dwóch kabin maszynisty.
EN57 – AKM i EN71 – SKM wyposażono w zmodernizowane wózki napędne 23MN z silnikiem asynchronicznym LK 450X6 o mocy znamionowej 250
kW i sprawności przekraczającej 94% oraz wózki
toczne 36AN.
Ze względu na trakcję wielokrotną wykonano
modernizację sprzęgów czołowych typu ZEa, w firmie
Dellner Couplers, zgodnie z dokumentacją modernizacji sprzęgów zatwierdzoną przez Urząd Transportu
Kolejowego. Sprzęgi te umożliwiają automatyczne
połączenie dwóch pojazdów bez dodatkowej obsługi.
Rozłączanie jest realizowane przyciskiem z kabiny
maszynisty lub manualnie. Sprzęg pozwala na pochłonięcie energii zderzenia oraz absorbuje szarpnięcia pomiędzy pojazdami.
Połączenie dwóch członów jest zrealizowane
przez dotychczas stosowane sprzęgi stałe ZEk. Ze
względu na konstrukcję i budowę pojazdu, do przeprowadzenia połączeń elektrycznych pomiędzy poszczególnymi członami, zastosowano wiązki kablowe
52
zakończone wtykami oraz gniazdami hermetycznymi
Hartinga.
Zespół trakcyjny typu 19WE - SKM
Elektryczny zespół trakcyjny 19WE w odróżnieniu
od wcześniej opisanych konstrukcji jest pojazdem
całkowicie nowym zarówno pod względem konstrukcyjnym jak i wykonania. Podstawowym układem wagonów jest układ s'+d+d+s' (wagon silnikowy + wagon doczepny + wagon doczepny + wagon silnikowy).
Na rysunku 8 pokazano ogólny widok elektrycznego
zespołu trakcyjnego 19WE.
Rys. 8. Widok zewnętrzny EZT 19WE
Konstrukcja pudła EZT 19WE jest konstrukcją
spawaną, składaną z elementów łączonych systemem
interlock. Wszystkie elementy użyte do budowy pojazdu spełniają wymogi norm w zakresie bezpieczeństwa przeciwpożarowego oraz nie zawierają azbestu.
Konstrukcja pudła jest konstrukcją samonośną przenoszącą obciążenia bez trwałych odkształceń, wykonaną ze stali niskostopowych o podwyższonych parametrach wytrzymałościowych i podwyższonej odporności na korozję. Pudło pojazdu zabezpieczono antykorozyjnie, dźwiękochłonnie i w sposób tłumiący
drgania. Ściany wyłożono izolacją typu moniflex,
natomiast podłogę wełną mineralną.
W pojeździe zastosowano nowy zespół drzwi
bocznych odskokowo-przesuwnych firmy Ultimate o
prześwicie 1300 mm ze stałymi oknami. Drzwi posiadają napęd główny ruchu drzwi odskok + przesunięcie
realizowany przy zastosowaniu silników elektrycznych krokowych. Po wejściu pasażera drzwi zamykają
się automatycznie po czasie 3 sekund. Jeżeli w przestrzeni drzwiowej w momencie zamykania pojawi się
pasażer, jego obecność sygnalizowana jest do układu
sterowania przez zespół fotokomórek umieszczonych
w obrębie drzwi co powoduje ponowne ich otwarcie.
Wszystkie drzwi pojazdu są automatycznie zamykane
w ruchu pojazdu po przekroczeniu przez pojazd prędkości 5km/h. Podczas ruchu pojazdu drzwi są blokowane i nie ma możliwości ich otwarcia lub wysterowania.
Kabinę maszynisty (rys. 9) wykonano w taki
sposób, żeby spełniała wymagania bezpieczeństwa
pracy i ergonomii określone w normie PN-90/K11001. Natężenie oświetlenia w kabinie maszynisty
posiada regulację w zakresie 0-150 lx.
Rys. 9 Wnętrze 19WE – SKMWA
W skład systemu informacji głosowej wchodzą:
urządzenie głośnomówiące GRG-4500M1, wzmacniacz linii WL-100, transformatory głośnikowe i mikrofon. Dodatkowo zamontowano ekrany LCD, na
których mogą być wyświetlane różne ogłoszenia a
nawet reklamy.
Elektryczne zespoły trakcyjne wyposażono w system rejestracji drogi, prędkości i parametrów pojazdu. Jego zadaniem jest zbieranie i rejestracja informacji o stanie i pracy pojazdu oraz jego podzespołów oraz wyświetlanie maszyniście podstawowych
parametrów jazdy na wyświetlaczu ATM-PW3.
Ze względu na trakcję wielokrotną zastosowano
sprzęgi czołowe firmy Voith. Sprzęgi te umożliwiają
automatyczne połączenie dwóch pojazdów bez dodatkowej obsługi. Rozłączanie jest realizowane przyciskiem z kabiny maszynisty lub manualnie. Sprzęg
pozwala na pochłonięcie energii zderzenia oraz absorbuje szarpnięcia pomiędzy pojazdami. Połączenie
dwóch członów jest zrealizowane przez sprzęg półstały produkcji firmy Voith. Połówki tego sprzęgu są
połączone sprzęgłem łubkowym.
Jednostki wyposażono w wózki napędne typu
70RSNa z silnikami asynchronicznymi typu ANT3003000 o mocy znamionowej 300 kW , oraz w wózki
toczne typu 70RSTa. Szczegółową budowę tych wózków przedstawiono w rozdziale 3.
3.Opis wózków
Wózki typu: 23MN i 36AN
W celu uzyskania jak największej przestrzeni pasażerskiej w pojeździe zamontowano fotele w układzie „metro” (rys. 9). Ponadto w wagonie pierwszym i
ostatnim oprócz układu foteli „metro” zamontowano
po dwa rzędy foteli w układzie rzędowym, naprzeciwległym.
W wagonie silnikowym, wydzielono dwa miejsca
dla osób niepełnosprawnych korzystających z wózków inwalidzkich. W miejscach tych zamontowano
fotele odchylne jednoosobowe i zaczepy mocujące
wózek inwalidzki. Ponadto w wagonie tym zamontowano dwa podnośniki dla niepełnosprawnych.
Wnętrze elektrycznego zespołu trakcyjnego 19WE
jest w pełni klimatyzowane. Funkcja wentylacji i
schładzania powietrza jest realizowana przez niezależne układy, po jednym na każdy z członów pojazdu.
Agregaty wentylacyjne zlokalizowano w centralnej
części dachu każdego z członów. Nominalna wydajność chłodnicza pojedynczej centrali wynosi
QCHVAC=35kW, nominalny przepływ powietrza cyrkulacyjnego wynosi VNHVAC=3800m3/h.
Pojazd posiada system informacji audio-wizualnej.
W tym celu zastosowano tablice informacyjne nowej
generacji typu ETLZ-U. Wszystkie informacje wyświetlane na tablicach są dosyłane szyną transmisji
RS485.
Wózki typu 5B i 6B zastosowane w elektrycznych
zespołach trakcyjnych EN57 i EN71, w trakcie naprawy uległy modernizacji zgodnie z dokumentacją
konstrukcyjną nr RL – 4780 i RL – 4781 wykonaną
przez Instytut Pojazdów Szynowych w Poznaniu.
Modernizacja ta polega na zmianie sposobu usprężynowania zestawów kołowych z podwójnego na usprężynowanie z zastosowaniem sprężyn gumowometalowych stożkowych (rys. 10).
stożkowa sprężyna
gumowo – metalowa
Rys. 10. Usprężynowanie I-go stopnia elektrycznego zespołu
trakcyjnego EN57
Automatycznie zmianie uległo prowadzenie
zestawów kołowych poprzez zastosowanie nowego
typu oprawy łożysk specjalnie wykonanej dla ww.
modernizacji. Modernizacja ta znacznie poprawia
53
spokojność biegu pojazdu, a zatem i komfort podróżowania. Ponadto dla tłumienia drgań poprzecznych i
pionowych, wózki są zaopatrzone w amortyzatory
hydrauliczne pionowe i poziome. Zarówno wózki
napędne i toczne posiadają nowy typ oprawy dla łożysk NJ + NJP 130 x 240 x 80 mm, uwzględniający
zmiany usprężynowania I stopnia.
Wózki typu: 70RSNa i 70RSTa
Wózki 70RSNa i 70RSTa (rys.11) zamontowano w
elektrycznych zespołach trakcyjnych 19WE. Rama
wózka, stanowiąca przestrzenną konstrukcję spawaną,
składa się z dwóch ostojnic, połączonych kształtową
poprzecznicą tak, aby uzyskać w miejscu połączenia
jak najmniejszy teoretyczny współczynnik koncentracji naprężeń.
Rys.10. Wózek 70RSTa
Zestaw kołowy jest prowadzony w ramie wózka za
pomocą jednostronnego wahacza połączonego z ramą
przegubem gumowo-metalowym, składającym się ze
sworznia amortyzującego i pierścieni amortyzujących.
Usprężynowanie I-go stopnia składa się z czterech
kompletów współśrodkowych podwójnych sprężyn
śrubowych. Sprężyny każdego kompletu spoczywają
na wahaczach w prowadzeniach i są naciskane ramą
wózka przez podkładkę gumową i prowadzenie. Jako
usprężynowanie II-go stopnia zastosowano w wózku
dwie sprężyny pneumatyczne firmy PHOENIX typu
SEK 680-12.
4. Zakończenie
Przedstawione w niniejszym artykule przykłady
rozwiązań konstrukcyjnych elektrycznych zespołów
trakcyjnych pokazują, że użytkownicy taboru szynowego chętniej poddają modernizacji posiadany tabor
niż kupują nowy. Fakt ten jest uzasadniony, gdyż
koszt modernizacji równy jest ok. 50% wartości kupna nowego pojazdu. Decyzja o modernizacji taboru
wynika także ze względu na krótszy czas i mniejszy
koszt przeprowadzania badań potrzebnych do dopuszczenia do eksploatacji. Ponadto zmodernizowane pojazdy spełniają wszelkie wymagania techniczne stawiane nowobudowanym pojazdom szynowym, co
można zauważyć porównując zmodernizowane elektryczne zespoły trakcyjne EN57 i EN71 z nowobudowanym pojazdem 19WE.
Literatura
[1] „DTR EZT EN71 z napędem asynchronicznym”, Nowy
Sącz 2009.
[2] „DTR EZT EN57 z napędem asynchronicznym”, Nowy
Sącz 2009.
[3] „DTR EZT typu 19WE”, Nowy Sącz 2009.
54
mgr inż. Jarosław Czerwiński.
mgr inż. Jan Świątczak
Ogniotrwałe drzwi rozsuwane na ścianie czołowej
wagonów osobowych
W artykule przedstawiono przebieg procesu projektowania ogniotrwałych drzwi wagonu
osobowego. Opisano wykonane badania i uzyskane wyniki. Artykuł powstał w wyniku
realizacji projektu celowego nr ROW-11-453/2008 „Ogniotrwałe drzwi rozsuwane na
ścianie czołowej wagonów pasażerskich”.
1. Wprowadzenie
2. Realizacja projektu
Na wstępie projektu dokonano przeglądu dostępnych i powszechnie stosowanych materiałów charakteryzujących się odpornością na działanie wysokich
temperatur. W wyniku weryfikacji dla warunków występujących w wagonach, wytypowano do izolacji
drzwi wełnę mineralną, płyty „chłodzące” i uszczelki
Standardowa krzywa nagrzewania
1000
900
800
Temperatura [ oC ]
Konstrukcja końca wagonu osobowego powinna
powstrzymywać rozprzestrzenianie się ognia, dymu i
promieniowania ciepła tak, aby nie nastąpił pożar kolejnego pojazdu. Odporność ogniową bada się działając termicznie na ścianę zgodnie ze standardową
krzywą temperatury i czasu przedstawioną na rys.1.
Dla wymiernego określenia odporności ogniowej
ocenia się zdolność do powstrzy-mywania ognia
(szczelność) oraz przenoszenia ciepła (izolacyjność).
Kryteriami stanu granicznego szczelności ogniowej są:
− płomień trwający dłużej niż 10 sekund na powierzchni nie nagrzewanej
− powstanie szczeliny o grubości 25 lub 6 mm i
150 mm długości
− zapalenie próbnika z waty
− uszkodzenie zamka lub zawiasów.
Kryteriami stanu granicznego izolacyjności są
przyrosty temperatury na nie nagrzewanej powierzchni
drzwi:
− średnia 140oC
− maksymalna 180oC.
Wymagania takie zawarte w karcie UIC 564-2 [2]
muszą spełniać również drzwi zabudowane w ścianach
czołowych wagonów. Pozostałe wymagania konstrukcyjne drzwi zawiera karta UIC 560 [1], a wytrzymałościowe karta UIC 566 [3].
Z wymienionymi kartami jest zgodna obowiązująca
norma PN-K-88208 [5].
Celem realizowanego projektu było opracowanie
dokumentacji, wykonania modelu drzwi oraz wykonanie badań. Założono uzyskanie co najmniej 10 minutowej odporności ogniowej.
700
600
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Cz as [min]
Rys. 1. Standardowa krzywa nagrzewania
pęczniejące. Duży gradient temperatur wymagał opracowania konstrukcji drzwi bez mostków cieplnych i z
minimalnymi odkształceniami termicznymi.
Opracowano wstępny model drzwi oparty na stalowym szkielecie z profili cienkościennych wypełnionym wełną mineralną oraz przyklejonym poszyciem z
blachy stalowej i płyt Polstop „PAX”. W płytach tych
pod wpływem wysokiej temperatury zachodzi reakcja
chemiczna w wyniku której następuje schłodzenie
powierzchni poszycia. Wykonane analizy wytrzymałości drzwi na obciążenie próbne [7] oraz odporność
termiczną [8] potwierdziły prawidłowość przyjętej
konstrukcji skrzydła drzwi. Z uwagi na złożoność
zachodzących procesów podczas oddziaływania termicznego, niepełne dane techniczne zastosowanych
materiałów, badania modelowe zostały uproszczone, a
konstrukcję zweryfikowano poddając próbie rzeczywistą próbkę wycinka drzwi. Próbki drzwi do badań zostały wykonane przez Fabrykę Urządzeń Technicznych ALCON w Żmigrodzie. Materiały izolacyjne
zostały dostarczone przez firmy Branddex oraz Rockwoll.
Badania wykonano w firmie Branddex w Stargardzie
Szczecińskim. Zabudowę próbki w piecu przedstawiono na rys.2
Czas trwania próby wyniósł 35 minut. Zmierzono
przyrosty temperatury w piecu i na powierzchni nie
ogrzewanej strony próbki. Wyniki próby przedstawiono na rys.3. Szczelność i izolacyjność termiczna
została zachowana.
55
Temperatura [°C]
Rys. 2. Przekrój przez próbkę nr 1
175
150
125
100
75
50
25
0
Strona nie nagrzewana
Strona nagrzewana
Rys. 5. Próbka nr 2 po badaniach
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Czas [min]
Rys. 3. Próba 1. Różnica temperaturna nie
nagrzewanej powierzchni próbki nr 1
Celem drugiej próby było zweryfikowanie poprawności dwóch koncepcji konstrukcyjnych. Pierwsza
dotyczyła sposobu osadzenia, zamknięcia oraz
uszczelnienia szyby ognioodpornej. Druga dotyczyła
uszczelnienia miejsca styku obu płatów.
Do przeprowadzenia drugiej próby skonstruowano
próbkę składającą się z jednego kompletnego skrzydła
drzwi oraz wycinka konstrukcji skrzydła drugiego
(rys.4).
Wyniki przeprowadzonych badań dały podstawę do
zaprojektowania kompletnych skrzydeł drzwi typu
100ZW przygotowanych do zabudowy w ścianie czołowej wagonu pasażerskiego osobowego typu Z1.
Zaprojektowane drzwi rozsuwane typu 100ZW
składają się z dwóch skrzydeł drzwiowych (rys.6)
których konstrukcja jest niemal identyczna. Jedno ze
skrzydeł wyposażono w gniazdo blokady, a drugie w
zamek drzwiowy typu 101ZW.
Rys. 6. Ognioodporne
drzwi rozsuwane typu
100ZW
Rys. 4. Próbka nr 2
Próbka nr 2 zachowała odporność ogniową przez
35 minut Stan próbki po badaniach pokazano na
rys.5.
56
Konstrukcję drzwi stanowią: stalowy szkielet, izolacja, poszycia, ognioodporna szyba, uszczelki boczne
i prowadnik drzwi.
Stalowy szkielet składa się z: ramy, wzmocnienia i
obejmy okna. Rama szkieletu została wykonana w
dwóch profili bocznych, górnego oraz dolnego. Profile
boczne zostały zaprojektowane tak, aby umożliwić
montaż uszczelek bocznych w tych profilach. Profil
górny wyposażono w pręty gwintowane, na których
skrzydła podwieszane są do mechanizmu otwierania i
zamykania drzwi. Profil dolny przystosowano do montażu prowadnika drzwi.
Ramę szkieletu wzmocniono dodatkowymi profilami, które oprócz głównej funkcji jaką jest zapewnienie nośności całej konstrukcji drzwi, stanowią dodatkowo oparcie dla izolacji i obejmy okna.
Izolacja drzwi została wykonana z wełny minimalnej i poszyć. Wełna mineralna osadzona jest w szkielecie drzwi i zamykana od zewnątrz poszyciami. Poszycia zbudowane są z blachy stalowej i płyty Palstop
„PAX”.
Drzwi wyposażono także w ognioodporną szybę
„Promaglass 30”. Osadzona jest ona w obejmie okna i
zamknięta od zewnątrz specjalnymi profilami. Do
bocznych profili zamontowano uszczelki wykonane z
silikonu uniepalnionego, a w dolnym profilu zabudowano prowadnik drzwi wykonany z tworzywa sztucznego.
Drzwi zostały wyposażone także w szereg uszczelek pęczniejących. Celem ich jest wypełnienie wszelkich szczelin powstałych w konstrukcji samych drzwi
jak i między drzwiami a ścianą czołową, przez które
możliwe jest przedostanie się ognia. Szczeliny takie
istnieją przede wszystkim w węzłach takich jak: styk
obu skrzydeł drzwiowych, boczne górne i dolne krawędzie skrzydeł drzwiowych oraz miejsce osadzenia
szyby i zamka drzwiowego.
Przekrój poziomy przez skrzydło drzwi przedstawiono na rys.7, natomiast przekrój pionowy na rys.8.
Na podstawie przygotowanej dokumentacji wykonano model drzwi w rzeczywistej skali. Drzwi zabudowano w przygotowanym do prób wycinku ściany
czołowej wagonu typu Z1. Drzwi do prób nie zostały
wyposażone w mechanizm zamykający.
Badanie odporności ogniowej drzwi odbyło się w
Centrum Techniki Okrętowej w Gdańsku. Metodyka i
warunki badania były zgodne z normą PN-EN 1363-1
[3] oraz PN-EN 1634-1 [5].
Podczas próby w 10 minucie nastąpiło rozsunięcie
skrzydeł drzwi i utrata szczelności ogniowej pomiędzy
płatami drzwi. Izolacyjność termiczna drzwi została
zachowana.
Do kolejnej próby drzwi wyposażono w układ symulacyjny docisk skrzydeł drzwi przez mechanizm
otwierania i zamykania. Zabudowane drzwi do próby
pokazano na rys.9. Na rys.10 przedstawiono przyrost
temperatury na nie nagrzewanej powierzchni drzwi.
Izolacyjność termiczna drzwi została zachowana.
Szczelność ogniowa została utracona w 14 minucie
próby. Zostało przekroczone kryterium płomienia
trwającego dłużej niż 10s. Utrata szczelności spowodowana była przepaleniem uszczelki z silikonu na
styku skrzydeł drzwi.
Na rys.11 pokazano nagrzewaną stronę drzwi bezpośrednio po odsunięciu od pieca.
Rys. 7. Przekrój poziomy przez skrzydło drzwi
Rys. 9. Drzwi zabudowane w piecu przed próbą
Rys. 10. Przyrost temperatury na nie nagrzewanej powierzchni
drzwi 100ZW
Rys. 8. Przekrój poziomy
przez skrzydło drzwi
57
Literatura
Rys. 10. Drzwi
100ZW po próbie
4. Podsumowanie
Zaprezentowane drzwi typu 100ZW zapewniają
kilkunastominutowe powstrzymanie ognia płonącego
wewnątrz wagonu osobowego. IPS „Tabor” prowadzi
dalsze prace konstrukcyjne, którym celem jest uzyskanie dłuższego czasu odporności ogniowej drzwi.
Efekt wprowadzonych zmian konstrukcyjnych geometria i materiał uszczelnienia, zostanie sprawdzony w kolejnych badaniach.
58
[1] K a r t a U I C 5 6 0 Drzwi, pomosty wejściowe, okna,
stopnie, uchwyty i poręcze wagonów osobowych i wagonów bagażowych.
[2] K a r t a U I C 5 6 4 - 2 Przepisy o zapobieganiu
przeciw pożarowym i zwalczaniu ognia w pojazdach
szynowych do komunikacji międzynarodowej, w których
przewozi się pasażerów lub przyłączanych wagonach
typu pasażerskiego.
[3] K a r t a U I C 5 6 6 Obciążenia pudeł wagonów
pasażerskich i ich części dobudowanych.
[4] P N - E N 1 3 6 3 - 1 Badania odporności ogniowej.
Część 1: Wymagania ogólne.
[5] P N - E N 1 6 3 4 Badania odporności ogniowej i
dymoszczelności zespołów drzwiowych żaluzjowych i
otwieranych okien oraz elementów budowlanych –
cześć 1. Badania odporności ogniowej drzwi, żaluzji i
otwieranych drzwi.
[6] P N - K - 8 8 2 0 8 Wagony osobowe. Drzwi czołowe
rozsuwane. Wymagania i metody badań.
[7] O R - 9 6 5 1 Sprawozdanie z analizy wytrzymałości
drzwi czołowych rozsuwanych.
[8] O R - 9 6 5 5 Sprawozdanie z analizy termicznej w
strukturze drzwi czołowych rozsuwanych.

Kryteria obiektywnej oceny prognozwanych stanów osi zestawów

Transkrypt

Podobne dokumenty

OPTYKA 1 2016 Pantone

magia okularów kontaktologia optometria

SyStem identyfikacji celów iff - WZU | Wojskowe Zakłady Uzbrojenia

system identyfikacji celów iff - Wojskowe Zakłady Uzbrojenia SA