(a) ∧ 12 + 22 + 32 + - Informacje dla uzytkowników serwera antenor

Zestaw zadań z indukcji, rekurencji, przeliczania oraz schematów wyboru
INDUKCJA
Z. 1. Wykazać, że
^
n(n + 1)(2n + 1)
(a)
12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
,
6
n∈N
^
n
(b)
12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = (2n − 1)(2n + 1),
3
n∈N
2
^
n (n + 1)2
(c)
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
.
4
n∈N
Z. 2. Znaleźć (zgadnąć, badając małe wartości n) wzór na sumę
indukcyjnie.
1
1·2
+
1
2·3
+ ··· +
1
n(n+1)
i udowodnij wynik
Z. 3.^Wykazać, że
(a)
3 jest dzielnikiem liczby 7n − 1,
n∈N
(b)
^
7 jest dzielnikiem liczby 2n+2 + 32n+1 .
n∈N
Z. 4.^Wykazać, że
(a)
2n > 2n + 1,
n>2
(b)
^
n∈N
n3 ­
n(n + 1)
.
2
Z. 5. Pokazać indukcyjnie, że każdy n elementowy zbiór S posiada 2n podzbiorów (łącznie ze zbiorem pustym
i zbiorem S)
Z. 6. Wyznaczyć liczbę odcinków łączących n punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie są współliniowe.
Z. 7. Udowodnić indukcyjnie, że każdą kwotę n ­ 4 zł można rozmienić na dwuzłotówki i pięciozłotówki.
Z. 8. Jakie opłaty skarbowe możemy uiścić mając tylko znaczki skarbowe o nominałach 3 zł i 5 zł (znaczków
mamy dowolnie dużo). Odpowiedź poprzeć argumentem indukcyjnym.
Z. 9. Czekolada jest prostokątem złożonym z jednostkowych kwadracików. Zakładamy, że możemy je łamać
wzdłuż poziomych lub pionowych rowków, podobnie powstałe z przełamania kawałki (które też są prostokątami). Zakładamy, że w jednym ruchu dokonujemy jednego łamania tylko jednego z kawałków czekolady. Ile
ruchów potrzebujemy, aby podzielić czekoladę na kwadraciki jednostkowe? Trenując na prawdziwej czekoladzie, dojść do odpowiedzi, a otrzymany wynik udowodnić indukcyjnie.
REKURENCJA
Z. 10. Oblicz f (4), jeśli f (0) = 1, f (1) = −1, a dla n ­ 1
(a) f (n + 1) = (f (n))2 + f (n − 1),
(b) f (n + 1) = 2f (n) .
Z. 11. Podać rekurencyjną definicję ciągu (bn ), w której bn jest wyrażone przy pomocy bn−1 . Proszę pamiętać
o warunkach początkowych.
(a) bn = 10n dla n ­ 0, (b) bn = 5 dla n ­ 1, (c) bn = −3n dla n ­ 0.
Z. 12. Zgadnąć i udowodnić indukcyjnie wzor jawny na an , jeżeli
(a) a1 = 3, a2 = −1, an = 2an−1 − an−2 , dla n ­ 3.
(b) a0 = −2, an+1 = − 2a1n , dla n ­ 0.
Ponadto w punkcie (a) wyznaczyć wzór jawny, korzystając z odpowiedniego twierdzenia.
2
Z. 13. Udowodnić indukcyjnie, że am ­ 2m dla wszystkich wyrazów ciągu (an ), zdefiniowanego rekurencyjnie:
a0 = 2, a1 = 3, an = an−1 + 2an−2 , dla n ­ 2.
Następnie wysnaczyć wzór jawny, korzystając z odpowiedniego twierdzenia.
Z. 14. W pewnym mieście jeden człowiek zachorował na grypę. Załóżmy, że każda chora osoba zaraża
codziennie 4 zdrowe osoby. Ile będzie chorych n dniach? Podaj rozwiązanie w postaci jawnej i rekurencyjnej.
Z. 15. Pewna cząsteczka porusza się w kierunku poziomym i w każdej sekundzie pokonuje odległość równą podwojonej odległości pokonanej w sekundzie poprzedzającej. Niech an oznacza pozycję cząteczki po n
sekundach. Podać rekurencyjną zależność dla an , wiedząc, że a0 = 3, zaś a3 = 10.
Z. 16. Każda poruszająca się piłka wprawia w ruch w ciągu sekundy 3 inne piłki, po czym po 2 sekundch
zatrzymuje się. W chwili „zero” jest jedna poruszjąca się piłka. Niech p(n) oznacza liczbę poruszających się
piłek po n sekundach. Podać rekurencyjną definicję ciągu p(n).
Z. 17. Dla każdego n ­ 1 niech tn oznacza liczbę ciągów długości n zbudowanych z symboli 0,1,2, w których
żadne dwie jedynki nie występują obok siebie. Znaleźć zależność rekurencyjną dla tn .
PRAWA PRZELICZANIA
Z. 18. W konkursie startuje 20 skoczków. Ile jest możliwości zajęcia trzech miejsc na podium ?
Z. 19. Rzucamy trzema kostkami do gry: zieloną, czerwoną i niebieską.
a) Ile różnych wyników możemy otrzymać ?
b) W ilu wynikach wszystkie trzy liczby oczek są różne ?
c) W ilu wynikach nie uzyskamy tej samej liczby oczek na wszystkich trzech kostkach ?
Z. 20. Na ile sposobów można wybrać kolejno dwie karty z talii 52 kart tak, aby
a) pierwszą kartą był as, a drugą nie była dama,
b) pierwszą była karta koloru karo, a drugą nie była dama ?
Z. 21. Ile haseł długości nie większej niż 7 można utworzyć z liter a, b, c ?
Z. 22. a) Ile jest liczb 5-cyfrowych ?
b) Ile jest parzystych liczb 5-cyfrowych ?
c) Ile liczb 5-cyfrowych parzystych zawiera dokładnie jedną jedynkę ?
d) Ile liczb 5-cyfrowych parzystych zawiera przynajmniej jedną jedynkę ?
Z. 23. Ile liczb od 1 do 2005
a) dzieli się przez 3 lub przez 4 ?
b) dzieli się przez 10 lub przez 25 ?
c) nie dzieli się ani przez 3 ani przez 4 ?
d) nie dzieli się ani przez 10 ani przez 25 ?
Z. 24. Są 3 różne drogi z miasta A do miasta B, 2 różne drogi z B do miasta C i 4 różne drogi z A do C. Na
ile sposobów można dojechać (pośrednio lub bezpośrednio)
a) z A do C i z powrotem ?
b) z A do C i z powrotem, nie przejeżdżając żadnego odcinka trasy dwa razy ?
Z. 25. Wypisać wszystkie podzbiory zbioru {a, b, c, d} i odpowiadające im ciągi binarne.
Z. 26. Wypisać wszystkie podzbiory 3-elementowe zbioru {1, 2, 3, 4, 5}, a przy każdym z nich wypisać ciągi
długości 3, zbudowane z wszystkich elementów danego podzbioru.
Z. 27. a) Narysować wszystkie możliwe rozmieszczenia 3 identycznych kulek w 3 różnych kapeluszach.
b) Narysować wszystkie możliwe pokolorowania 3 identycznych kulek, jeśli mamy kolory: czerwony, zielony i
niebieski.
c) Czy widać jakąś zależność (bijekcję ?) między wynikiem a) i b) ?
SCHEMATY WYBORU
3
Z. 28. Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek używając sześciu barw? Chorągiewki składają
się z trzech poziomych pasków.
Z. 29. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się żadna cyfra?
Z. 30. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 4,5,6 ?
Z. 31. Na ile sposobów możemy utworzyć 6-osobową delegację z grupy 10 studentek i 20 studentów, aby
a) pań było tyle samo, ile panów?
b) panów było więcej niż pań?
Z. 32. Iloma sposobami można rozmieścić 5 osób na pięciu numerowanych krzesłach? A wokół okrągłego
stołu, gdy krzesła nie są numerowane?
Z. 33. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy w szereg tak, aby każde trzy
po sobie następujące kule były różnej barwy. Na ile sposobów można je ułożyć?
Z. 34. Rzucamy 10 razy kostką do gry. Ile jest możliwych wyników, w których
a) nie ma żadnej czwórki?
b) jest przynajmniej jedna czwórka?
c) są dokładnie dwie czwórki?
d) są przynajmniej dwie czwórki?
Z. 35. W przedziale wagonu są ustawione naprzeciw siebie dwie ławki mające po 5 numerowanych miejsc.
Na pierwszej ławce siedzą 3 osoby oznaczone A, B, C, a na drugiej 2 osoby: D i E. Na ile różnych sposobów
mogą usiąść pasażerowie tak, aby zawsze dwie osoby siedziały naprzeciw dwu osób?
Z. 36. Ile jest możliwych wyników przy rzucie trzema identycznymi kostkami do gry?
Z. 37. Na ile sposobów można rozmieścić 12 jednakowych przedmiotów w 4 różnych pudełkach?
Z. 38. Ile jest ciągów binarnych długości 15, w których cyfra 1 występuje dokładnie 3 razy? Jaki jest związek
z poprzednim zadaniem?
Z. 39. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 12?
Narysować odpowiednią kratę.
Z. 40. Na ile sposobów można rozmieścić cztery identyczne pomarańcze i sześć różnych jabłek (każde innego
gatunku) w pięciu różnych skrzynkach?
Z. 41. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których suma cyfr wynosi dokładnie 9?
Z. 42. Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, by na pierwszej półce znajdowało
się 6 książek, na drugiej 4, a na trzeciej reszta?
Z. 43. Ile różnych wyrazów (mających sens lub nie) można ułożyć z liter wyrazu MATEMATYKA ?
Z. 44. Mamy do dyspozycji cztery rodzaje owoców: jabłka, gruszki, morele i pomarańcze. Tworzymy paczki
po 5 owoców w każdej. Ile różnych paczek możemy otrzymać w ten sposób?
Z. 45. Iloma sposobami można rozdzielić 4 różne nagrody między trzech pracowników, jeżeli każdy z nich
ma otrzymać co najmniej jedną nagrodę?
Z. 46. W ilu punktach przecina się 10 prostych leżących na płaszczyźnie, jeżeli cztery z nich są równoległe?
Z. 47. Ile jest dróg z lewego dolnego rogu szachownicy do prawego górnego, jeśli możemy się poruszać tylko
w prawo i do góry?
Z. 48. Ile jest sposobów pomalowania 8 jednakowych kul pięcioma kolorami?
Z. 49. Ile całkowitych nieujemnych rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 = 10?
Z. 50. Ile jest najkrótszych dróg w kracie 5 × 4?