Wykład 6 - DFT, liniowe układy ciagłe

Akwizycja i przetwarzanie
sygnałów cyfrowych
Tadeusz Chmaj
Instytut Teleinformatyki
ITI PK Kraków
21 luty 2011
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Analiza czestotliwościowa sygnałów dyskretnych
Do tej pory - dwie metody analizy cz˛estotliwościowej
sygnałów
szereg Fouriera - do analizy periodycznych ciagłych
˛
funkcji
czasu; wynik - przeliczalny ciag
˛ współczynników
transformata Fouriera - całkowe przekształcenie, zamienia
ciagł
˛ a˛ funkcje˛ czasu na ciagła
˛
funkcje˛ czestości
˛
powyższe metody - choć daja˛ wyniki analityczne uciażliwe
˛
w stosowaniu, o sporej złożności
najbardziej popularne podejście - analiza numeryczna z
wykorzystaniem komputerow i specjalizowanych układów
mikroprocesorów (DSP - digital signal procesor)
podstawowe narz˛edzie analityczne - dyskretne
przekształcenie Fouriera (DFT)
zanim to zrobimy, wprowadźmy pojecie
˛
transformaty
Fouriera sygnału dyskretnego (DTFT - discrete time
Fourier transform)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Definicja DTFT
Niech x[nTs ] – dyskretny sygnał – wynik okresowego
próbkowania sygnału w chwilach n ∗ Ts , gdzie Ts - odstep
˛
czasowy miedzy
˛
próbkami
zwykłe (proste) przekształceniem Fouriera sygnału
dyskretnego (DTFT) określamy wzorem:
∞
P
X (ejωTs ) =
x(nTs )e−jnωTs
n=−∞
transformata DTFT – przyporzadkowanie
˛
sygnałowi
˛
funkcji zespolonej X (e−jωTs )
dyskretnemu x(nTs ) ciagłej
zmiennej rzeczywistej ω
zwyczajowo (by podkreślić dyskretność sygnału) argument
tej funkcji zapisujemy jako ejωTs (zamiast ω).
funkcja X (ejωTs ) - okresowa funkcja zmiennej ω o okresie
ωs = 2π/Ts . Powód: dla ω + ωs wykladnik eksponenty
ulega zwiekszeniu
˛
o 2πni co pociaga
˛ tez˛e.
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Własności DTFT
Okresowość widm – podstawowa cech sygnałów
dyskretnych.
Inny opis spróbkowanego sygnału analogowego traktujemy go jako ciagły
˛ sygnał analogowy, widmo –
R∞
ciagła
˛
transformata Fouriera Xδ (jω) =
xδ (t)e−jωt dt =
−∞
R∞
−∞
x(t)
∞
P
δ(t −
n∆t)e−jωt dt
=
n=−∞
∞
P
x(n∆t)e−jnω∆t –
n=−∞
dokładnie równoważne formule DTFT.
Cz˛esto DTFT rozpatruje sie˛ nie jako funkcje˛ pulsacji ω tylko
pulsacji θ unormowanej wzgledem
˛
okresu próbkowania Ts ,
θ = ωTs (lub cz˛estotliwości próbkowania fs , θ = ω/fs ). W
tych zmiennych – widmo to funkcja okresowa o okresie 2π.
DTFT jako funkcja pulsacji unormowanej:
∞
P
X (ejθ ) =
x(n)e−jnθ
n=−∞
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Od DTFT do DFT
Odwrotne przekształcenie DTFT:
1
x(n) =
2π
Zπ
X (eiΩ )einΩ d Ω
−π
Typowe zagadnienie analizy widmowej
sygnał dostepny
˛
w skończonym przedziale czasowym [0, T ]
próbkowany z ustalonym odstepem
˛
czasowym Ts w
chwilach tn = n ∗ Ts ,
n = 0, 1, . . . N − 1;
gdy czas w jednostkach Ts to x (tn ) → x (n) o skończonym
czasie trwania N = T /Ts - dyskretny sygnał okresowy o
okresie N : x (n + N) = x (n)
DFTF wymaga znajomości ∞-wielu próbek; daje
periodyczne widmo ciagłe
˛
idea DFT - weźmy skończony zbiór próbek czasowych
sygnału i ma jego podstawie określmy widmo w
skończonej ilośći wartości pulsacji (cz˛estotliwości)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Definicja DFT
DFT: w oparciu o dyskretny zbiór N próbek sygnału
czasowego x(n) określamy przepis na widmo X dla N
dyskretnych wartości pulsacji unormowanej θn
widmo X (ejθ ) – okresowa funkcja zmiennej θ o okresie 2 π
– wystarczy określić je o przedziale [0, 2π); obliczamy
widmo X (ejθn ) dla θn = 2π
N n
to prowadzi do formuły na dyskretna˛ transformate˛ Fouriera
(DFT):
X (ejθk ) = X (k) =
N−1
X
x(n)exp(−j
n=0
2π
kn)
N
oraz relacji odwrotnej :
x(n) =
N−1
1 X
2π
X (k)exp(j nk)
N
N
k =0
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Własności DFT
Okresowość: X (k + N) = X (k)
Dowód: dla każdego składnika sumy wyznaczjacej
˛ X (k)
od indeksu k (numerujacego
˛
próbk˛e cz˛estości) zależy tylko
˛
czynnik fazowy F (k, n) = exp(−j 2π
N kn). Spełnia on relacje:
2π
2π
F (k + N, n)= exp(−j N (k + N)n)=exp(−j N kn)
exp(−j 2π
N Nn) = F (k, n)exp(−j2πn) = F (k, n).
To pociaga
˛ za soba˛ okresowość widma.
Symetria DFT dla rzeczywistych sygnałów: gdy
x(n)∗ = x(n), to X (k) = X ∗ (N − k)
Dowód: dla rzeczywistych x(n) mamy: X (k) =
N−1
N−1
P
P
∗
∗
x(n)exp(−j 2π
x(n)exp(j 2π
N nk) = [
N nk)] = X (−k).
n=0
n=0
Z tej relacji oraz z okresowości widma mamy:
X ∗ (N − k) = X ∗ (N − k − N) = X ∗ (−k) = X (k)
Gdy x(t) rzeczywiste, a N parzyste, to mamy:
X ( N2 + k) = X ∗ ( N2 − k)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Parametry DFT
dziedzina czasowa:
ilość N próbek czasowych ,
odstep
˛ czasowy pomiedzy
˛
kolejnymi próbkami Ts ,
długość sygnału (N − 1) ∗ Ts ,
okresowość danych czasowych T = NTs
dziedzina cz˛estotliwości:
maksymalna czestość
˛
- zadana przez maksymalna˛ wartość
pulsacji unormowanej:
2π = θmax = ωmax Ts = 2πfmax Ts → fmax = T1s ; dodatkowo
musimy uwzglednić
˛
symetrie˛ sygnału, co daje:
Fmax =
1
2 ∗ Ts
odległość miedzy
˛
kolejnymi prażkami
˛
widma
fs = fmax 1/N = 1/(NTs ) = T1 ,
okresowość spektrum Fp = Nfs = 1/Ts
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Własności DFT - c.d.
Dla rzeczywistych danych x(n):
N wartości prażków
˛
(liczb zespolonych) jest zadanych
przez N liczb rzeczywistych (symetria wzgledem
˛
N/2)
N−1
P
zerowy prażek
˛
widma rzeczywisty i równy X (0) =
x (n)
n=0
Liniowość:
DFT (a x(n) + b y(n)) = a DFT (x(n)) + b DFT (y(n))
Własność splotu: niech X (k), Y (k) – widma DFT sygnałów
x(k), y(k), niech Z (k) = X (k)Y (k). Wtedy, gdy określimy
z(n) jako IDFT widma Z (k), to dostajemy:
N−1
P
x(m) =
x(n)y(m − n), czyli widmo DFT splotu
n=0
czasowego dwóch dyskretnych sygnałów N-okresowych
jest równe iloczynowi ich widm DFT
Własność iloczynu: widmo DFT iloczynu = splot widm
Tadeusz Chmaj
Wykład II
DFT jako aproksymacja FT
DFT może być użyta jako aproksymacja ciagłej
˛
transformaty
dla transformaty wyrażonej jako funkcja cz˛estotliwości
mamy, sygnału kauzalnego (x(t) = 0 dla t < 0) mamy:
R∞
X (f ) = x(t)e−j2πft dt
0
zastepujemy
˛
wielkości ciagłe
˛
próbkowanymi wielkościami
k
dyskretnymi: t → nTs , dt → Ts , f → kfs = NT
co prowadzi
s
do:
N−1
X
2πf
k
X(
) = Ts
x(nTs )e−j N nk
NTs
n=0
tak można uzyskać niezłe przybliżenie widma
amplitudowego funkcji szybko spadajacej
˛
problemy z widmem fazowym
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Definicja układów LTI
Układ - obiekt - czarna skrzynka na której wejście podaje
sie˛ sygnał wejściowy x (pobudzenie) a z wyjścia pobiera
sygnał wyjściowy y (odpowiedź
Opis transmisyjny: układ – operator T wykonujacy
˛ pewna˛
operacje˛ na sygnale y = T [x]
Niech X - zbiór dopuszczalnych wejść, Y - zbiór
dopuszczalych wyjść - dziedzina i zbiór wartości operatora
T.
gdy X , Y sygnały ciagłe
˛
w czasie - układy analogowe
gdy X , Y sygnały dyskretne w czasie - uklady dyskretne
szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy:
liniowe: T [ax + by ] = aT [x ] + bT [y ]
stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia˛ na
x (t) jest y (t), to odpowiedzia˛ na x (t − t0 ) jest y (t − t0 )
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Analogowe układy LTI
Działanie analogowych układów LTI:
opis w dziedzinie czasu: y (t) =
R∞
h(τ )x (t − τ )dτ ; h(t) -
−∞
odpowiedź impulsowa – odpowiedź układu na impuls
R∞
Diraca: y (t) =
h(τ )δ(t − τ )dτ = h(t)
−∞
uzasadnienie: x (t) =
R∞
x (τ )δ(t − τ )dτ
−∞
x (t) → y (t), prawa strona to suma przesunietych
˛
w czasie
(t − τ ) i przeskalowanych w amplitudzie (* x (τ )) sygnałów
δ(t) - z liniowości i stacjonarności dostajemy prawa˛ strone˛
górnej relacji
opis w dziedzinie czestotliwości:
˛
Y (ω) = H(ω)X (ω), dla
impulsu Diraca Y (ω) = H(ω)∆(ω) = H(ω)
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Projekt układu , transmitancja
Jak dobrać h(t)? Odpowiedz w dziedzinie cz˛estotliwości:
Wiemy, że Y (ω) = H(ω)X (ω)
Zasada: gdy chcemy osłabić sygnał dla pulsacji ω
kladziemy H(ω) → 0, gdy dana˛ pulsacje˛ przepuszczamy –
kładziemy H(ω) = 1
układy LTI - w dziedzinie czasu opisywane przez liniowe
równania różniczkowe:
N
X
n=0
an
M
X
d n y(t)
d m x(t)
=
b
m
dt n
dt m
m=0
Ważna własność transformaty Fouriera: gdy x(t) ↔ X (ω),
m
to d dtx(t)
↔ (iω)n X (ω)
m
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Projekt układu , transmitancja c.d.
Ostatnia relacja daje równanie na transformaty:
N
X
an (iω)n Y (ω) =
n=0
M
X
bm (iω)m X (ω)
m=0
Skad
˛ - transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej
(transmitancja Fouriera)
M
P
Y (ω)
m=0
=
H(ω) =
N
X (ω)
P
bm (iω)m
an (iω)n
n=0
Projekt ukladu - określenie rz˛edów równań M, N oraz
stałych ai , bj
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Metodologia projektowania
Transmitancja Fouriera - ułamek, którego licznik i
mianownik - wielomiany zmiennej (iω)
nazywam: z1 , z2 , . . . , zM miejsca zerowe licznika
transmitancji (zera transmitancji), zaś p1 , p2 , . . . , pN
miejsca zerowe mianownika transmitancji (bieguny
transmitancji)
W tym jezyku
˛
mamy:
bM (iω − z1 )(iω − z2 ) . . . (iω − zM )
Y (ω)
=
X (ω)
bN (iω − p1 )(iω − p2 ) . . . (iω − pN )
12
10
8
Im s
H(ω) =
6
4
2
-12
-10
Tadeusz Chmaj
-8
-6
-4
Re s
-2
Wykład II
0
2
Metodologia projektowania c.d.
Zasady projektowania
20
0
18
-2
16
H(ω)=(z0-iω)/(pk-iω)
14
z0=-10+i*10
12
pk=-10+i*ωk
-4
ωk
-6
1
2
4
6
10
10
20 log10 |H(ω)|
20 log10 |H(ω)|
by wyzerować transmitancje˛ dla pewnej pulsacji ω
dobieramy parametry tak by jednen z czynników (iω − zm )
był równy 0 dla tej wartości ω
podobnie – wzmocnienie gdy w interesujacym
˛
nas
obszarze jest jeden z biegunów transmitancji
8
p0=-10+i*10
-12
zk=-10+i*ωk
6
-14
4
-16
2
H(ω)=(zk-iω)/(p0-iω)
-8
-10
ωk
1
2
4
6
10
-18
0
-20
0.1
1
10
ω [rd/s]
100
Tadeusz Chmaj
1000
0.1
Wykład II
1
10
ω [rd/s]
100
1000
Metodologia projektowania c.d.
Projekt - ustalenie N, M, pozycji zer i biegunów
transmitancji
Ograniczenia projektowe - stabilność (odpowiedź na
sygnałem o ograniczonej amplitudzie ma być sygnał o
ograniczonej amplitudzie)
rzad
˛ mianownika conajmniej równy rzedowi
˛
licznika N ≥ M
gdy współczynnki ai , bj rzeczywiste – bieguny i zera
wystepuj
˛ a˛ jako sprzeżone
˛
pary
zera transmitancji - moga˛ być wszedzie
˛
bieguny transmitancji tylko w lewej półpłaszczyźnie (Re
omega)<0
Sprawdzenie - obliczenie transmitancji wzdłuż osi urojonej
wszystkich charakterystyk układu
wyliczenie odpowiedzi impulsowej jako odwrotnej
transformaty Fouriera transmitancji
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Warunki stabilności
Założenie - transmitancja ma rozład na sume˛ składników z
jednym biegunem (czyli bieguny sa˛ jednokrotne)
postać transmitancji:
bM
c1
c2
cN
H(ω) =
+
+ ··· +
aN iω − p1 iω − p2
iω − pN
parametryzacja biegunów pk = σk + iωk
Transformata odwrotna:
h(t) ∼ ck e(σk +iω)t lub:
h(t) + h∗ ∼ eσt cos(ωt + β)
w obu przypadkach gdy σ > 0 - niestabilność
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Asymptotyka transmitancji
Gdy |ω| ≫ |zk | oraz |ω| ≫ |pk |, to dostajemy:
M
N
m=1
n=1
X
bM X
20log10(H(ω)) = 20log10
+
20log10|ω|−
20log10 |ω|
aN
asymptotycznie (dla dużych pulsacji):
każde zero transmitancji - wzrost nachylenia
charakterystyki amplitudowej o 20 dB/dekade˛
każdy biegun transmitancji - spadek nachylenia
charakterystyki amplitudowej o 20 dB/dekade˛
wykresy charakterystyki amplitudowej (w dB) w funkcji
logarytmu pulsacji - wykresy Bodego
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Przyklad pojektowania – metoda zer i biegunów
Zadanie - zaprojektować filtr górnoprzepustowy
Analiza - wymagania:
3
3
2
2
1
1
Im(s)
Im(s)
- filtr górnoprzepustowy - asymptotycznie (duże pulsacje)
nachylenie charakterystyki powinno dażyć
˛
do zera =⇒ taka
sama liczba zer co biegunów
- pulsacja ω = 0 ma nie przechodzić =⇒ punkt z1 = (0, 0)
powinien być zerem transmitancji
górnoprzepustowość =⇒ zera transmitancji rozmieszczone
na osi urojonej w okolicy z = (0, 0)
każde zero skompensowane leżacym
˛
w pobliżu biegunem
dla małych pulsacji - osłabienie
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-1
Re(s)
Tadeusz Chmaj
-0.8
-0.6
-0.4
Re(s)
Wykład II
-0.2
0
Przyklad pojektowania – metoda zer i biegunów
Wyniki - zależność od rz˛edu modelu
3
0
2
-10
-20
20 log10 |H(ω)|
Im(s)
1
0
-1
-30
-40
-50
-2
-60
-3
-70
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.1
1
-80
0
-90
-10
100
1000
100
1000
-20
20 log10 |H(ω)|
-100
20 log10 |H(ω)|
10
ω [rd/s]
Re(s)
-110
-120
-130
-140
-30
-40
-50
-60
-70
-150
-80
-160
-90
10
100
1000
ω [rd/s]
10000
Tadeusz Chmaj
100000
0.1
Wykład II
1
10
ω [rd/s]
Metoda zer i biegunów - podsumowanie
Metoda intuicyjnie prosta, ale o małej wydajności
Wymaga wielu prób, brak deterministycznego algorytmu
prowadzacego
˛
do poprawy rozwiazania
˛
Trudno uzyskać rozwiazania
˛
spełniajace
˛ wymagania:
liniowość pasma przepuszczania
duże tłumienie w paśmie zaporowym
duża stromość zboczy charaktrystyk
amplitudowo-czestotliwościowych
˛
Bardziej wydajne podejście - stosowanie modeli
(aproksymacji) filtrów (np. Butterwortha, Czebyszewa I,
Czebyszewa II, eliptyczny.
wybór prototypu - narzucenie rozkladu zer i biegunów
transmitancji – wstepne
˛
określenie charakterystyk filtra
Istotny element procesu projektowania - transformacja
cz˛estotliwości, która pozwala na transformacje˛ wybranego
typu filtra (który umiemy zaprojektować) na taki, który jest
wymagany.
Tadeusz Chmaj
Wykład II