Lista 3. Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym.

Lista 3. Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym.
1. W czystym procesie urodzin Xt o przestrzeni stanów S = N mamy intensywności urodzin λ0 = λ1 =
1, λ2 = 2 oraz λn = 0 dla n > 2. Znaleźć P (Xt = n) i sprawdzić, że jest to właściwy rozkład
prawdopodobieństwa, jeżeli
a) P (X0 = 1) = 1,
b) P (X0 = 0) = 1.
2. W procesie urodzin i śmierci Xt o przestrzeni stanów S = N mamy intensywności urodzin λ0 =
λ1 = 3, λn = 0, n > 1 oraz intensywności umierania µ1 = 4, µn = 0, n 6= 1. Znaleźć P (Xt = n) i
sprawdzić, że jest to właściwy rozkład prawdopodobieństwa, jeżeli
a) P (X0 = 0) = 1,
b) P (X0 = 1) = 1.
3. Rozpatrujemy czysty proces urodzin o przestrzeni stanów S = N i o intensywnościach urodzin
λn , n ∈ N . W którym przypadku funkcja Pn (t) = P (Xt = n) będzie właściwym rozkładem prawdopodobieństwa (czyli nie wystąpi zjawisko eksplozji)?
1
.
a) λn = n+1
√
b) λn = n n.
2 +n+1
c) λn = n n+1
.
2n
d) λn = n2 +1 .
4. Które z poniższych macierzy
półgrupy przejścia.

0
a)  0
2
są generatorami pewnych łańcuchów o czasie ciągłym? Wyznaczyć ich

0 0
0 0 ,
1 −3
b)
−1 1
3 −3
,
c)
5. Znaleźć generator
a) łańcucha o macierzy przejścia P (t) =
1
3
2 + e−3t 1 − e−3t
2 − 2e−3t 1 + 2e−3t
b) procesu Poissona o intensywności λ,
c) procesu urodzin z zadania 1,
d) procesu urodzin i śmierci z zadania 2.
1
,
−2 2
−4 4
.