Wyklad_01 MACIERZE WYZNACZNIKI

Transkrypt

Temat wykładu:
Macierz. Wyznacznik macierzy.
Układ równań liniowych
Kody kolorów:
Ŝółty – nowe pojęcie
pomarańczowy – uwaga
kursywa – komentarz
* – materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
1
Zagadnienia
1. Pojęcia
2. Działania na macierzach
3. Wyznacznik macierzy
4. Macierzowy zapis ukladu równań
liniowych
5. Układ Cramera. Wzory Cramera
2
Pojęcie macierzy
Macierz to prostokątna tablica, w której
moŜna wyróŜnić wiersze i kolumny.
Przykład zapisu macierzy:
2 − 1 − 3 


1
0 ,5
0
2 wiersze
Macierze zapisuje
się w nawiasach
kwadratowych.
3 kolumny
3
Pojęcie macierzy cd.
Na przecięciu wiersza i kolumny zapisany
jest element macierzy.
Przykład:
2 − 1 − 3 


1
0 ,5
0
Elementami macierzy mogą być np.: liczby, funkcje,
inne macierze.
Na kaŜdym przecięciu wiersza i kolumny zapisany
jest pewien element macierzy.
4
Wymiar macierzy
Jeśli macierz ma m wierszy i n kolumn, to
mówimy, Ŝe jest wymiaru m x n (czyt.: m
na n).
Przykład:
4 wiersze, 2 kolumny
wymiar macierzy: 4 x 2
(czyt.: cztery na dwa)
10
 −1
 2

3


− 0 ,3
π


 4 ,5 − 5,2
4 x 2
5
Przykład
Zapisz wymiary danych macierzy.
 5
− 1,7 


 3 − 1
 13
2



1


 2 ,5
0
1
 8
3x2
5 x 1 (wektor kolumnowy)
[2 − 4 0,2 − 3]
[− 11]
1x1
1 x 4 (wektor wierszowy)
6
Oznaczenia macierzy
Macierze oznacza się duŜymi literami:
A, B, ... lub A 1 , A 2 , ...
lub
[a ij ],
i = 1, ..., m, j = 1, ..., n
7
Identyfikowanie elementów macierzy
A – macierz wymiaru m x n,
a ij – element macierzy A leŜący na
przecięciu i-tego wiersza z j-tą kolumną,
gdzie i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
a ij
numer
wiersza
numer
kolumny
8
Przyklad 1
Dana jest macierz A. Zapisz kaŜdy element
a ij , i = 1, 2, 3, j = 1, 2.
 3 − 1


A = 2
1
0
1
9
Przyklad 1, cd.
 3 − 1


A = 2
1
0
1
a 12 = -1
a 21 = 2
a 11 =
a 22 =
a 31 =
a 32 =
3
1
0
1
10
Przyklad 2
Dane są elementy macierzy B. Zapisz
macierz.
b 11 = 2, b 12 = -3, b 13 = 4, b 14 = -1,
b 21 = 1, b 22 = 5, b 23 = -7, b 24 = 0
11
Przyklad 2, cd.
b 11 = 2, b 12 = -3, b 13 = 4, b 14 = -1,
b 21 = 1, b 22 = 5, b 23 = -7, b 24 = 0
4 − 1
2 − 3
B=

5 −7
0
1
12
Wybrane postacie macierzy
Jeśli w macierzy A m x n liczba wierszy m
jest równa liczbie kolumn n, to macierz A
nazywamy kwadratową stopnia n;
ozn.:
An
Przykłady macierzy kwadratowych:
2
− 1 0
 0 1 − 1
1
2


0 −1
 1 0
2


stopnia 2
stopnia 3
13
Przykład
Zapisz macierz kwadratową A n w postaci
ogólnej.
Zapis macierzy A n na tablicy.
14
Przekątna macierzy kwadratowej
W macierzy kwadratowej stopnia n
elementy a ii , i = 1, …, n tworzą główną
przekątną.
 a11 a12 K a1n 
przekątna (główna)
a

a
K
a
21
22
2n 

macierzy A n
An =
 M
M O
M


 an1 an 2 K ann 
15
Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz jednostkowa stopnia n, ozn. I n :
macierz z jedynkami na przekątnej
głównej oraz zerami poza przekątną.
a ii = 1 dla i = 1, 2, ..., n,
a ij = 0 dla i ≠ j.
 1 0 K 0
0 1 K 0 

An = 
 M M O M


0 0 K 1
Przykłady na tablicy.
16
Równość macierzy
Macierze A m x n oraz B p x q są równe, gdy
ich
wymiary
są
jednakowe
oraz
odpowiadające elementy są równe, czyli
m = p i n = q oraz a ij = b ij dla i = 1, ..., m,
j = 1, ..., n.
17
Przykład
Dane są macierze A, B, C, D. Podaj
warunki, przy których zachodzą równości:
A = B, C = D.
0
2 − 1
A=

0
1
0
,
5


y
x −1
B=

0
z
0
,
5


− 3
 4
C= 
 0
 
 1
 x1 
x 
2

D=
 x3 
 
 x4 
18
Działania na macierzach
Dodawanie, odejmowanie
MnoŜenie macierzy przez liczbę
Transponowanie
MnoŜenie macierzy przez macierz
19
Dodawanie macierzy
Amxn + Bmxn = Cmxn
c ij = a ij + b ij
i = 1, …, m, j = 1, …, n
krótszy zapis:
[a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ]
i = 1, …, m, j = 1, …, n
20
Odejmowanie macierzy
Amxn – Bmxn = C
c ij = a ij - b ij
mxn
i = 1, …, m, j = 1, …, n
krótszy zapis:
[a ij ] - [b ij ] = [a ij - b ij ]
i = 1, …, m, j = 1, …, n
21
MnoŜenie macierzy przez liczbę
k·Amxn = Cmxn
c ij = k · a ij
i = 1, …, m, j = 1, …, n
krótszy zapis:
k · [a ij ] = [k · a ij ]
i = 1, …, m, j = 1, …, n
22
Transponowanie macierzy
T
(A m x n ) = C n x m
c ij = a
T
ij
= a ji
i = 1, …, n, j = 1, …, m
krótszy zapis:
T
T
[a ij ] = [ a ji ]
i = 1, …, m, j = 1, …, n
23
MnoŜenie macierzy przez macierz
Amxn · Bnxp = C
mxp
n
cij = ∑ aik ⋅ bkj
i = 1, …, m, j = 1, …, p
k =1
krótszy zapis:
n
[a ij ] · [b ij ] = [
∑a
k =1
ik
⋅ bkj ]
i = 1, …, m, j = 1, …, p
24
Własność macierzy I
Dla dowolnej macierzy A m x n zachodzą
równości:
A m x n ·I n = A m x n
I m ·A m x n =A m x n
Zatem macierz I jest elementem obojętnym
mnoŜenia macierzy.
25
Kolejność działań
MnoŜenie przed dodawaniem i odejmowaniem
Transponowanie przed innymi działaniami
Najpierw działania w nawiasach
Przykład na tablicy.
26
Prawa działań na macierzach
Ozn.: A, B, C, D – macierze, k – liczba rzeczywista.
(A + B) + C = A + (B + C)
(A · B) · C = A · (B · C)
A +B = B + A
Uwaga. MnoŜenie macierzy nie jest przemienne.
k · (A · B) = (k · A) · B = A · (k · B)
k · (A + B) = k · A + k · B
27
Prawa działań na macierzach, cd.
C · (A + B) = C · A + C · B
(A + B) · D = A · D + B · D
T
T
T
T
(A + B) = A + B
(A · B) = B · A
T T
(A )
T
T
=A
28
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_dzialania.pdf
Uwaga
Do działań na macierzach moŜna
wykorzystać funkcje arkusza
kalkulacyjnego (np. CALC, EXCEL):
•
•
MACIERZ.ILOCZYN
TRANSPONUJ
29
Wyznacznik macierzy
30
Wyznacznik macierzy kwadratowej A n
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
jest pewna liczba jednoznacznie
przyporządkowana tej macierzy;
ozn.:
det A (ang. determinant), |A|.
Liczbę tą definiuje się podając metodę jej
obliczenia dla macierzy kwadratowej
stopnia n, przy n = 1, 2, ...
31
Obliczanie wyznacznika – metoda Laplace'a
Dla n = 1, 2, ... wyznacznik macierzy A n
oblicza się metodą Laplace’a rozwijania
wyznacznika względem wiersza lub
kolumny macierzy A n .
Dla n = 2 oraz n = 3 metodę Laplace’a
moŜna przedstawić w postaci uproszczonej.
32
Obliczanie det A 1
Dla n = 1:
det [a 11 ] = a 11
Przykłady:
det [-3] = -3
det [12] = 12
33
Obliczanie det A 2
Dla n = 2:
 a11 a12 
det 
= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21

a21 a22 
Przykład:
1 2
det 
= 1⋅ 8 − 2 ⋅ 3 = 8 − 6 = 2

3 8 
34
Obliczanie det A 3 - schemat Sarrusa
Dla n = 3 wyznacznik moŜna obliczyć
stosując schemat Sarrusa:
1. Pod trzecim wierszem
przepisać pierwszy wiersz,
a pod nim drugi.
 a11

det a21
 a31
a11
a21
a12
a22
a32
a12
a22
a13 

a23  =
a33 
a13
a23
35
Obliczanie det A 3 - schemat Sarrusa cd.
 a11

det a21
 a31
a11
a21
a12
a22
a32
a12
a22
2. Obliczyć iloczyny elementów
na przekątnej głównej i dwóch
przekątnych równoległych do
niej; niech S g oznacza sumę
tych iloczynów.
a13 

a23  =
a33 
a13
a23
a11·a22·a33
a21·a32·a13
a31·a12·a23
suma Sg = ...
36
a13·a22·a31
a23·a32·a11
a33·a12·a21
 a11

det a21
 a31
a11
a21
suma Sd = ...
a12
a22
a32
a12
a22
a13 

a23  =
a33 
a13
a23
3. Obliczyć iloczyny elementów
na drugiej przekątnej i dwóch
przekątnych równoległych do
niej; niech S d oznacza sumę
tych iloczynów.
37
4.
det A = S g – S d
Uwaga
Zamiast dopisywać dwa pierwsze wiersze pod
trzecim, moŜna dopisać dwie pierwsze
kolumny za trzecią lub wyznaczyć pewne
„trójkąty” w macierzy. Wszystkie te
graficzne
sposoby
słuŜą
ułatwieniu
zapamiętania i stosowania podanego dalej
wzoru.
38
Obliczanie det A 3
Wzór na det A 3 :
 a11

det a21
 a31
a12
a22
a32
a13 

a23  = S g − S d ,
a33 
gdzie:
S g = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 + a31 ⋅ a12 ⋅ a23
S d = a31 ⋅ a22 ⋅ a13 + a21 ⋅ a12 ⋅ a33 + a11 ⋅ a32 ⋅ a23
39
Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy.
 1 2 3


det − 1 0 4 = 11 − (− 6) = 17
 1 − 1 1
0
-4
+ -2
Sd = - 6
1
−1
2
3
0
0 4
3
+ 8
Sg = 11
40
*
Obliczanie wyznacznika macierzy A n
Metoda Laplace’a rozwijania wyznacznika
względem i-tego (dowolnego) wiersza macierzy A n
a11 a12 K a1n 

M
M
M 

det  ai1 ai 2 K ain  = ai1 ⋅ (− 1) i +1⋅ det Ai1 +


M
M 
M
an1 an 2 K ann 
i+2
i+n
+ ai 2 ⋅ (− 1) ⋅ det Ai 2 + K + ain ⋅ (− 1) ⋅ det Ain
gdzie A ij jest macierzą, która powstaje po wykreśleniu
z macierzy A i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
41
*
Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy A.
Polecenie moŜna wykonać wybierając
rozwinięcie względem np. drugiego
wiersza.
1 −1 0
3 − 1 1
A=
2
1 4

3 −1
0
2

0
3

1
42
*
Przykład
2
1 −1 0
3 − 1
0
1
2+1

det
= 3 ⋅ (− 1) ⋅ det
2
3
1 4


1
3 −1
0
 1 − 1 0 2
3 − 1

1
0
2+ 2
 + 1 ⋅ (− 1)2+3 ⋅ det
+ (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ det 
2
1 4 3


0
3
1
1
−


 1 − 1 0 2
3 − 1

1
0
2+ 4
=
+ 0 ⋅ (− 1) ⋅ det 
2
1 4 3


0
3
−
1
1


1 −1 0
3 − 1
1

2
1 4

3 −1
0
2
0
+
3

1
1 −1 0
3 − 1
1

2
1 4

3 −1
0
2
0
3

1
43
*
Przykład
= - 33
=3
 − 1 0 2
2 +1
2+ 2


= 3 ⋅ (− 1) ⋅ det  1 4 3 + (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ det
 3 − 1 1
=6
 1 − 1 2
2+3
+ 1 ⋅ (− 1) ⋅ det 2
1 3 + 0 =
0
3 1
 1 0 2
+
2
4
3


0 − 1 1
Wyznaczniki zakreślonych
macierzy moŜna policzyć
wg schematu Sarrusa lub
ogólną metodą Laplace'a.
= 3 ⋅ (− 1) ⋅ (− 33) + (− 1) ⋅ 3 ⋅ (− 1) + 3 ⋅ (− 1) ⋅ 6 = 90
Odp.: det A = 90.
44
*
Własności wyznacznika
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej
(dolnej) jest równy iloczynowi elementów
na głównej przekątnej.
2. JeŜeli macierz kwadratowa ma
w pewnym wierszu (lub kolumnie) same
zera, to jej wyznacznik jest równy zeru.
45
*
Własności wyznacznika cd.
3. JeŜeli dwa wiersze (lub kolumny)
macierzy kwadratowej są
proporcjonalne, to jej wyznacznik jest
równy zeru.
4. Wyznacznik macierzy jednostkowej
dowolnego stopnia jest równy jeden.
det I n = 1
T
5. Wyznaczniki macierzy A oraz A są
równe.
T
det A = det A
46
*
Własności wyznacznika cd.
6. Dla macierzy A stopnia n:
n
det (k·A) = k ·det A,
k ∈R
7. Wyznacznik iloczynu macierzy
kwadratowych tego samego stopnia jest
równy iloczynowi wyznaczników tych
macierzy:
det (A·B) = det A · det B
47
Macierz osobliwa, nieosobliwa
Macierz kwadratową A nazywamy
osobliwą, gdy det A = 0.
Macierz kwadratową A nazywamy
nieosobliwą, gdy det A ≠ 0 .
48
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_wyznacznik.pdf
Uwaga
Do obliczania wyznacznika macierzy
moŜna wykorzystać funkcję arkusza
kalkulacyjnego (np. CALC, EXCEL):
WYZNACZNIK.MACIERZY
49
50
Zagadnienia – Układy równań liniowych
1. Zapis macierzowy układu równań
2. Układ Cramera
3. Wzory Cramera
51
Wprowadzenie
Przykład 1.
Dla danych macierzy A, x, b wykonaj:
a) oblicz iloczyn A·x,
b) zapisz warunki, przy których zachodzi
równanie Ax = b.
 x1 
x 
− 5
2 − 2
− 1 0

2

x
=




A= 0
1 −2
1
 x3  b =  1
 
 2 − 1
 1
1 − 1
x
 4
52
Przykład 1. cd.
 x1 
2 − 2  
− 1 0
x
2



=
A 3 x 4 ⋅ x 4 x 1=  0
1 −2
1 ⋅
 x3 
 2 − 1
1 − 1  
 x4 
(− 1) ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 2 ⋅ x3 + (− 2 ) ⋅ x4 
 − x1 + 2 x3 − 2 x4 
 0 ⋅ x + 1 ⋅ x + (− 2 ) ⋅ x + 1 ⋅ x  =  x − 2 x + x 
1
2
3
4
3
4


 2

 2 ⋅ x1 + (− 1) ⋅ x2 + 1 ⋅ x3 + (− 1) ⋅ x4  3 x1 2 x1 − x2 + x3 − x4  3 x1
53
Przykład 1. cd.
 − x1 + 2 x3 − 2 x4   − 5




Ax =  x2 − 2 x3 + x4  =  1 = b
 2 x1 − x2 + x3 − x4   1
− x1 + 2 x3 − 2 x4 = −5
Ax = b

 x 2 − 2 x3 + x 4 = 1
układ równań liniowych
2 x − x + x − x = 1
w zapisie macierzowym
3
4
 1 2
układ równań liniowych
w zapisie klasycznym
54
Przykład 2.
Dany układ równań zapisz w postaci
macierzowej.
− x1 + 2 x3 − 2 x 4 = −5

 x 2 − 2 x3 + x 4 = 1
2 x − x + x − x = 1
2
3
4
 1
55
Przykład 2. cd.
Macierzowy zapis układu równań: Ax = b.
− x1 + 2 x3 − 2 x 4 = −5

 x 2 − 2 x3 + x 4 = 1
2 x − x + x − x = 1
2
3
4
 1
Układ równań zapisany z wyszczególnieniem
współczynnika przy kaŜdej niewiadomej:
(− 1) ⋅ x1 +

 0 ⋅ x1 +
 2⋅ x +
1

0 ⋅ x2 +
1⋅ x2 +
(− 1) ⋅ x2 +
2 ⋅ x3 +
(− 2 ) ⋅ x3 +
1 ⋅ x3 +
(− 2 ) ⋅ x4 =
−5
1 ⋅ x4 =
1
(− 1) ⋅ x4 =
1
56
Przykład 2. cd.
(− 1) ⋅ x1 +

 0 ⋅ x1 +
 2⋅ x +
1

x1
0 ⋅ x2 +
1⋅ x2 +
(− 1) ⋅ x 2 +
x2
2 ⋅ x3 +
(− 2 ) ⋅ x3 +
x3
2 − 2
− 1 0


A= 0
1 −2
1
 2 − 1
1 − 1
1 ⋅ x3 +
(− 2 ) ⋅ x4 =
1 ⋅ x4 =
(− 1) ⋅ x4 =
−5
1
1
x4
 x1 
x 
2

x=
 x3 
 
 x4 
 − 5


b =  1
 1
57
Zapis macierzowy układu równań liniowych
Układ równań liniowych:
 a11 x1 +
a x +
 21 1

 M
am1 x1 +
a12 x2 +
a22 x2 +
K
K
+ a1n xn = b1
+ a2 n xn = b2
M
M
a m 2 x2 +
+ amn xn = bm
moŜna zapisać w postaci Ax = b, gdzie:
 a11 a12 K a1n 
a

a
a
K
21
22
2n 

A=
 M
M
M 


am n 
am1 am 2
 x1 
x 
x =  2
M
 
 xn 
 b1 
b 
b=  2
M
 
bm 
58
Zapis macierzowy układu równań liniowych cd.
W odniesieniu do układu równań liniowych
w postaci Ax = b , stosowane są określenia:
A - macierz układu (wymiar m x n)
x - wektor niewiadomych (wymiar n x 1)
b - wektor prawych stron (wymiar m x 1)
59
Układ równań liniowych Cramera
Ax = b
nazywa się układem Cramera, jeśli
macierz układu A jest kwadratowa
i nieosobliwa.
Układ Cramera posiada dokładnie jedno
rozwiązanie.
Uwaga na tablicy.
60
Metody rozwiązywania układu Cramera
wzory Cramera
metoda macierzy odwrotnej *
61
Wzory Cramera
Rozwiązanie układu równań Cramera Ax = b,
gdzie:
A – macierz stopnia n,
T
T
b = [b 1 , b 2 , ..., b n ] ,
x = [x 1 , x 2 , ..., x n ] ,
podają wzory Cramera:
det A i
xi =
,
i = 1, 2, ..., n
det A
gdzie: A i - macierz powstała po zastąpieniu
i-tej kolumny macierzy A kolumną
prawych stron b.
62
Przykład
Wyznacz rozwiązanie układu równań przy uŜyciu
wzorów Cramera.
2 x1 + 2 x3 = −1

 x2 − 2 x3 = 1
− x − x + 3 x = 0
3
 1 2
Postać macierzowa układu, to Ax=b, gdzie
2
 2 0


A= 0
1 − 2
− 1 − 1
3
 x1 
x =  x2 
 x3 
− 1
b =  1
 0
63
Przykład cd.
Czy dany układ jest układem Cramera?
0
2
 2


1 − 2 =
det A = det  0
− 1 − 1
3
2
0
0
1
2
−2
= [6 + 0 + 0] − [(−2) + 4 + 0] = 6 − 2 = 4
Mamy det A ≠ 0 , więc układ Ax = b jest
układem Cramera.
64
Przykład cd.
Macierz A 1 :
2
 2 0


A= 0
1 − 2
− 1 − 1
3
2
− 1 0


det A 1 = det  1 1 − 2 = −3
 0 − 1
3
− 1


b =  1
 0
65
Przykład cd.
Macierz A 2 :
2
 2 0


A= 0
1 − 2
− 1 − 1
3
2
 2 −1


det A 2 = det  0
1 − 2 = 6
− 1 0
3
− 1


b =  1
 0
66
Przykład cd.
Macierz A 3 :
2
 2 0


A= 0
1 − 2
− 1 − 1
3
 2 0 − 1


det A 3 = det  0
1 1 = 1
− 1 − 1 0
− 1


b =  1
 0
67
Przykład cd.
Po podstawieniu do wzorów Cramera:
det A 1 − 3
3
x1 =
=
=−
det A
4
4
det A 2 6
1
x2 =
= =1
det A 4
2
det A3 1
x3 =
=
det A 4
Uwaga. Te trzy liczby
stanowią JEDNO
rozwiązanie układu równań
liniowych. MoŜna je zapisać
w postaci wektora:
− 3 
 4
 
 
1 1 
x= 2
 
 1 
 4 
 
 
68
Przykład cd.
Sprawdzamy, czy zachodzi Ax = b:
0
2  − 43  2 ⋅ (− 43 ) + 0 ⋅ 1 21 + 2 ⋅ 41
 2
 − 1

   
  
1 − 2  ⋅  1 21  = 0 ⋅ (− 43 ) + 1 ⋅ 1 21 + (− 2 ) ⋅ 41  =  1
Ax =  0
 − 1 − 1
3  41  (− 1) ⋅ (− 43 ) + (− 1) ⋅ 1 21 + 3 ⋅ 41   0 
− 1
b =  1
 0
Zatem wektor x = [− 43 1 21 41 ] jest
poszukiwanym rozwiązaniem układu
równań Ax = b.
T
69

Wyklad_01 MACIERZE WYZNACZNIKI

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zestaw 5. 1. Znaleźć macierze odwrotne do macierzy: A = ( 2 3 1 4

ROZWIĄZANIA Zadanie 13. (3 pkt)

więcej

PROGRAM DNI SGGW WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5.

Kossowska Monika Magister inżynier Kontakt SGGW Wydział

patrz treść zaproszenia

Rozbicki Tomasz - Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

podanie wakacyjne 2016