zadanie_domowe

Zadanie domowe z drgań harmonicznych
- rozwiązanie trzech wybranych zadań
Ireneusz Mańkowski
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
28 kwietnia 2016
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Wybrane zadania domowe
1
Zadanie 5.4.4
Rozwiązanie zadania 5.4.4
2
Zadanie 5.4.5
Rozwiązanie zadania 5.4.5
3
Zadanie 5.4.6
Rozwiązanie zadania 5.4.6
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Zadanie domowe
Zadanie 5.4.4
Na lekcji fizyki uczniowie przywiązali cienki nierozciągliwy sznurek do
ogonka jabłka. Otrzymali model wahadła matematycznego. Po
wychyleniu z położenia równowagi o niewielki kąt jabłko wykonywało
drgania harmoniczne o stałej amplitudzie. Oblicz stosunek energii
potencjalnej grawitacji EP i energii kinetycznej EK drgającego na sznurku
jabłka, gdy jest ono wychylone z położenia równowagi o x = 14 A
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Rozwiązanie zadania 5.4.4
W rozwiązaniu zadania skorzystamy ze wzoru na energię całkowitą i
energię kinetyczną ruchu harmonicznego naszego modelu wahadła.
x(t) = Asin(ωt)
x(t) − wychylenie
1
mω 2 A2
2
1
EP = mω 2 x 2
2
EC = EK + EP =
(1)
(2)
(3)
Mając wyrażenie (3) opisujące energię potencjalną możemy wyznaczyć
energię kinetyczną wahadła jako różnicę energii całkowitej i energii
potencjalnej czyli:
EK =
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
1
1
1
mω 2 A2 − mω 2 x 2 = mω 2 (A2 − x2 )
2
2
2
1
x= A
4
(4)
(5)
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Rozwiązanie zadania 5.4.4
Korzystając z warunków zadania dla x = 14 A uzyskujemy podstawiając do
(4) wyrażenie na energię kinetyczną EK w postaci:
EK =
1
1
A2
15
mω 2 (A2 − x 2 ) = mω 2 (A2 −
)=
mω 2 A2
2
2
16
32
(6)
A ponadto po podstawieniu x = 14 A do (3) dostajemy:
EP =
1
1
A2
1
mω 2 x 2 = mω 2
=
mω 2 A2
2
2
16
32
(7)
Ostatecznie z dwóch ostatnich wyrażeń wyznaczymy szukany stosunek
energii EP do EK .
EP
=
EK
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
1
2 2
32 mω A
15
2 2
32 mω A
=
1
15
(8)
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Zadanie domowe
Zadanie 5.4.5
Metalowa nakrętka o masie m = 0, 05 kg zawieszona na nierozciągliwym
cienkim sznurku stanowi wahadło matematyczne, które wykonuje drgania
o amplitudzie A = 5 cm i częstotliwości f = 2 Hz. Oblicz energię
potencjalną grawitacji i energię kinetyczną metalowej nakrętki, gdy
wychyla się ona z położenia równowagi o x = 3 cm.
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Rozwiązanie zadania 5.4.5
Podobnie jak przy rozwiązaniu pierwszego zadania korzystamy z wyrażeń
opisujących energię dla ruchu harmonicznego prostego. Dla drgań
harmonicznych wahadła matematycznego energia potencjalna
grawitacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu wychylenia masy
z położenia równowagi co wyraża wzór:
EP (x) =
1
mω 2 x 2
2
(9)
Przekształcając wzór (9) otrzymamy wyrażenie w postaci:
EP (x) =
1
m(2πf )2 x 2 = 2mπ 2 f 2 x2
2
(10)
Podobnie dla energii kinetycznej otrzymamy wyrażenie w postaci:
EK (x) =
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
1
mω 2 (A2 − x 2 ) = 2mπ 2 f 2 (A2 − x2 )
2
(11)
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Rozwiązanie zadania 5.4.5
Korzystając z danych zadania wyznaczamy szukane energie podstawiając
do wzorów (10) i (11):
Ostateczne wyniki rozwiązania zadania
EP ≈ 2 · 3, 142 · 0, 05 kg · 22
EK ≈ 2 · 3, 142 · 0, 05 kg · 22
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
1
· (5 · 10−2 )2 m2 ≈ 3, 55 · 10−3 J
s2
1 2
(5 − 32 ) · 10−4 m2 ≈ 6, 32 · 10−3 J
s2
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Zadanie domowe
Zadanie 5.4.6
Huśtawkę wykonaną ze zużytej opony zawieszonej na linie żeglarskiej
przywiązanej do poziomego konara drzewa wychylono z położenia
równowagi. Wyznacz stosunek energii kinetycznej i energii całkowitej
drgań huśtawki po upływie czasu t = T8 od momentu jej przejścia przez
położenie równowagi.
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14
Zadanie 5.4.4
Zadanie 5.4.5
Zadanie 5.4.6
Rozwiązanie zadania 5.4.6
W rozwiązaniu zadania skorzystamy z zasady zachowania energii dla
ruchu harmonicznego. Wiemy, że całkowita energia ruchu harmonicznego
jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy tzn.
1
mω 2 A2
2
1
2π
1
EP = mω 2 A2 sin2 (ωt) = mω 2 A2 sin2 ( t)
2
2
T
EC = EK + EP =
Po wstawieniu za t =
EP =
T
8
(12)
(13)
do (2) dostajemy:
1
2π T
1
π
mω 2 A2 sin2 (
) = mω 2 A2 sin2 ( )
2
T 8
2
4
√
1
2
1
EP = mω 2 A2 (
)2 = mω 2 A2
2
2
4
Mając EP wyznaczymy EK czyli ostatecznie szukany stosunek wynosi:
EK
EC − EP
1
=
=
EC
EC
2
Ireneusz Mańkowski
Zadanie domowe z drgań harmonicznych
(14)
I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku ul. Dygasińskiego 14