Dział 1. Funkcje uogólnione (dystrybucje Schwartza) Chapter 2

Transkrypt

Mathematics – A Brief Guide for Engineers and Technologists
Dział 1.
Funkcje uogólnione (dystrybucje Schwartza)
Chapter 2.
Generalized Functions (Schwartz Distributions)
1. Przestrzeń funkcji próbnych D = D(IRn )
1. Test function space D = D(IRn )
Zbiór D (IRn ) to zbiór wszystkich funkcji klasy C ∞ na IRn , zerujących się
poza pewną kulą.
Set D (IRn ) is a set of all functions belonging to the class C ∞ on IRn that
vanish outside a certain ball.
Definicja
Definition
n
Niech φ ∈ C(IR ). Nośnikiem funkcji φ nazywamy domknięcie zbioru tych punktów
x, dla których φ(x) 6= 0. Oznaczamy go przez supp φ.
Let φ ∈ C(IRn ). For a function φ, the closure of a set of such points x, for which
φ(x) 6= 0 will be termed its support, denoted by supp φ.
Definicja
Definition
Mówimy, że ciąg funkcji φ1 , φ2 , . . . z
D jest zbieżny do funkcji φ (φ ∈ D ) jeśli:
1. istnieje taka liczba R > 0, że supp φk ⊂ U R
2. dla każdego wielowskaźnika α = (α1 , . . . , αn )
x∈IRn
Dα φk (x) =⇒ Dα φ(x),
Piszemy wtedy φk → φ w
We say that a sequence of functions φ1 , φ2 , . . . from D is convergent to a function φ
(φ ∈ D ) if:
1. there exists such R > 0 that supp φk ⊂ U R
2. for each multi-index α = (α1 , . . . , αn )
x∈IRn
Dα φk (x) =⇒ Dα φ(x),
k→∞
D.
This will be denoted as φk → φ in
k→∞
D.
Notation
Oznaczenie
Wielowskaźnik α = (α1 , . . . , αn ), |α| =
Dα f =
Pn
i=1
Multi-index α = (α1 , . . . , αn ), |α| =
αi ,
∂ |α| f
n
. . . ∂xα
n
Pn
Dα f =
1
∂xα
1
Np. dla n = 2, 3 :
i=1
αi ,
∂ |α| f
n
. . . ∂xα
n
1
∂xα
1
For example for n = 2, 3:
2
D(1,1) f (x, y) =
∂ f
,
∂x∂y
D(2,2) f (x, y) =
D(1,2,3) f (x, y, z) =
∂6f
,
∂x∂y 2 ∂z 3
∂4f
,
∂x2 ∂y 2
D(7,13) f (x, y) =
D(1,0,5) f (x, y, z) =
∂ 20 f
.
∂x7 ∂y 13
∂6f
.
∂x∂y 5
Definicja
Definition
Przestrzeń liniowa D wyposażona w zbieżność określoną powyżej nazywa się
przestrzenią funkcji próbnych.
Vector space D equipped with convergence as described above is termed a test
function space.
Twierdzenie
Theorem
α
Operacja różniczkowania D φ(x) działa w sposób ciągły z
D do D .
Differentiation Dα φ(x) operates continuously from
D to D .
–2–
Twierdzenie
Theorem
Operacje liniowej zamiany zmiennych φ(Ay + b) i operacje mnożenia przez funkcję
a ∈ C ∞ (IRn ) są ciągłe z D w D .
Linear change of variables φ(Ay + b) and multiplication by a function a ∈ C ∞ (IRn )
are continuous from D to D .
Definicja
Definition
Zbiór wszystkich funkcji próbnych o nośnikach zawartych w obszarze
oznaczamy przez D(G) . Wtedy D(G) ⊂ D (IRn ) = D .
G ⊂ IRn
The set of all test functions with supports contained in a domain G ⊂ IRn is denoted
by D(G) . Then, D(G) ⊂ D (IRn ) = D .
Czy takie funkcje w ogóle istnieją? Tak, potwierdza to poniższy przykład.
ω (x) =
C – stała normalizacyjna taka, że
przestrzeni.
R
Rn
Do such functions exist at all? Yes, they do. This is confirmed by the example
below.
(
2
C exp − 2 −|x|
dla |x| ≤ ,
2
dla |x| > .
0
ω (x)dx = 1. C zależy od wymiaru
Twierdzenie (o regularyzacji)
n
Niech f będzie całkowalna i ograniczona na IR . Wtedy f dana jako
Z
f (x) =
ω (x − y)f (y)dy,
C – normalizing constant such that
of the space.
R
Rn
ω (x)dx = 1. C depends on the dimension
Theorem (regularization)
Let f be integrable and bounded on IRn . Then, f given as
Z
f (x) =
ω (x − y)f (y)dy,
IRn
IRn
∞
zwana regularyzacją funkcji f , jest klasy C . Obszar całkowania jest zwarty, więc
można różniczkować pod znakiem całki.
termed the regularization of function f , belongs to the class C ∞ . The domain
of integration is compact, therefore it is permissible to differentiate inside the
integrand.
Uwaga
Note
W ogólności f (x) ∈
/ D.
In general f (x) ∈
/ D.
–3–
2. Przestrzeń funkcji uogólnionych D 0
2. Generalized function space D 0
Definicja
Definition
Funkcją uogólnioną nazywamy funkcjonał liniowy i ciągły określony na przestrzeni
funkcji próbnych D .
A generalized function is a continuous linear functional defined on a test function
space D .
Wartości funkcjonału f na funkcji próbnej φ oznaczamy przez hf, φi. Będziemy też pisać f (x), aby wskazać na argument funkcji próbnych, na które działa
funkcjonał f .
The values of the functional f for a test function φ are denoted as hf, φi.
We will also use the notation f (x) to indicate the argument of the test funtion, on
which the functional f operates.
Wyjaśnienie definicji
Explanation
1. Funkcja uogólniona to funkcjonał, czyli hf, φi jest liczbą (w ogólności
zespoloną).
2. Funkcja uogólniona to funkcjonał liniowy, tzn. dla φ, ψ ∈ D i ∀λ, µ ∈ C
mamy:
hf, λφ + µψi = λhf, φi + µhf, ψi
3. Funkcja uogólniona to funkcjonał ciągły na
k → ∞ w D , to hf, φk i → 0, k → ∞
D tzn. jeśli φk → 0,
Zbiór wszystkich funkcji uogólnionych oznaczamy przez
D 0 = D 0 (IRn ).
Zdefiniujmy λf + µg, f, g ∈ D 0 (IRn ), λ, µ ∈ C jako
1. A generalized function is a functional, i.e. hf, φi is a number (in general,
a complex number).
2. A generalized function is a linear functional, i.e. for φ, ψ ∈ D and ∀λ, µ ∈ C:
hf, λφ + µψi = λhf, φi + µhf, ψi
3. A generalized function is a continuous functional on
k → ∞ in D , then hf, φk i → 0, k → ∞
The set of all generalized functions is denoted as
D 0 = D 0 (IRn ).
Let us define λf + µg, f, g ∈ D 0 (IRn ), λ, µ ∈ C
hλf + µg, φi = λhf, φi + µhg, φi, φ ∈ D
Twierdzenie
D , i.e. if φk → 0,
hλf + µg, φi = λhf, φi + µhg, φi, φ ∈ D as
Theorem
Funkcjonał λf + µg jest liniowy i ciągły na
D , czyli λf + µg ∈ D’ .
The functional λf + µg is linear and continuous on
D , therefore λf + µg ∈ D’ .
Theorem
Twierdzenie
D’ (IR ) jest przestrzenią wektorową (liniową).
D’ (IRn ) is a vector (linear) space.
Zdefiniujmy zbieżność w zbiorze funkcji uogólnionych.
Let us define convergence in the set of generalized functions.
Definicja (zbieżność ciągu dystrybucji)
Definition (convergence of a sequence of distributions)
Mówimy, że ciąg dystrybucji f1 , f2 , . . . z D’ jest zbieżny do dystrybucji f ∈ D’ ,
jeśli
hfk , φi → hf, φi, k → ∞
A sequence of distributions f1 , f2 , . . . z D’ is convergent to a distribution f ∈ D’ ,
if
hfk , φi → hf, φi, k → ∞
n
Piszemy wtedy fk → f , przy k → ∞ w
0
D’ .
Zbiór D ze zbieżnością określoną powyższą definicją nazywamy przestrzenią
funkcji uogólnionych D’
This will be denoted as fk → f , for k → ∞ in
0
D’ .
Set D equipped with convergence described by the above definition is termed
a generalized function space D’
–4–
3. Nośnik dystrybucji (funkcji uogólnionej)
3. Support of a distribution (generalized function)
Mówimy, że dystrybucja f jest równa zero w obszarze G , jeśli
hf, gi = 0 ∀φ ∈ D(G) . Piszemy wtedy f = 0, x ∈ G lub f (x) = 0, x ∈ G .
We say that a distribution f is equal to zero in a domain G ,
if hf, gi = 0 ∀φ ∈ D(G) . This will be denoted as f = 0, x ∈ G or f (x) = 0, x ∈ G .
Dwie dystrybucje f i g nazywamy równymi w obszarze G jeśli f − g = 0, φ ∈ D(G) .
Piszemy f = g. G może być równe całemu IRn , wtedy mówimy, że dystrybucje f
i g są równe.
Two distributions f and g are called equal in a domain G if f − g = 0, φ ∈ D(G) .
This will be denoted as f = g. G can be equal to the entire IRn , in which case the
distributions f and g are said to be equal.
Definicja
Definition
0
Niech f ∈ D . Sumę mnogościową wszystkich obszarów, gdzie f = 0 oznaczamy
O f i nazywamy zbiorem zerowym dystrybucji f . O f jest największym zbiorem
otwartym, na którym f jest zerem.
Let f ∈ D 0 . The union of all domains where f = 0 is denoted by O f and termed
the null set of the distribution f . O f is the largest open set where f vanishes.
Definicja
Nośnikiem dystrybucji f nazywamy dopełnienie O f do IR . Oznaczamy go supp f ,
supp f = IRn \O f i jest domknięty (z definicji). Jeśli supp f jest ograniczony, to
dystrybucję nazywamy dystrybucją o ograniczonym nośniku lub dystrybucją o
zwartym nośniku.
Definition
The support of a distribution f is the complement of O f with respect to IRn . It
is denoted by supp f , supp f = IRn \O f and is closed (by definition). If supp f is
bounded, the distribution is termed a bounded support distribution or compact
support distribution.
Wnioski
Conclusions
W dowolnym obszarze spoza supp f dystrybucja f jest zerem, tzn.:
In any domain outside supp f , the distribution f vanishes, i.e.:
n
hf, φi = 0,
φ∈D
supp f ∧ supp φ = ∅
hf, φi = 0,
4. Dystrybucje regularne
φ∈D
supp f ∧ supp φ = ∅
4. Regular distributions
n
Niech f będzie funkcją określoną na IR i lokalnie całkowalną. Można z nią
związać funkcjonał określony na D :
Z
hf, φi = f (x)φ(x)dx, φ ∈ D
Let f be a locally integrable function defined on IRn . We can associate with
it a functional defined on D :
Z
hf, φi = f (x)φ(x)dx, φ ∈ D
Funkcjonał ten jest liniowy – wynika to z liniowości całki.
Funkcjonał ten jest ciągły, bo:
Z
k→0
hf, φk i =
f (x)φk (x)dx −−−→ 0, jeśli φk −−→ 0
This functional is linear – this follows from the linearity of the integral.
This functional is continuous, since:
Z
k→0
hf, φk i =
f (x)φk (x)dx −−−→ 0, if φk −−→ 0 in D
UR
k→∞
wD
UR
k→∞
–5–
(z twierdzenia o przejściu granicznym pod znakiem całki). Zatem zdefiniowany
funkcjonał jest dystrybucją.
(from the theorem on the passage to the limit under the integral sign). This means
that the defined functional is a distribution.
Dystrybucje generowane przez funkcje lokalnie całkowalne j.w. nazywają się
regularnymi. Wszystkie pozostałe są singularne (osobliwe).
The distributions generated by locally integrable functions (as above) are
termed regular. All other distributions are singular.
Twierdzenie
Theorem
Funkcja f (x) lokalnie całkowalna w G jest zerem w sensie dystrybucyjnym
w obszarze G wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = 0 w sensie zwykłym prawie wszędzie
w obszarze G .
Wniosek
A function f (x) locally integrable in G is zero in the distributional sense in
a domain G , if and only if f (x) = 0 in the usual sense almost everywhere in G .
Dystrybucje regularne są wyznaczone z dokładnością do zbioru miary Lebesgue’a 0. Każdą funkcję lokalnie całkowalną f można utożsamiać z dystrybucją
f (oba punkty są równoważne). Znając zatem wartości hf, φi ∀φ, można (z dokładnością do zbioru miary Lebesgue’a 0) wyznaczyć samo f .
Regular distributions are determined modulo a set of Lebesgue measure 0. Any
locally integrable function f can be equated with the distribution f (both points
are equivalent) Therefore, knowing the values of hf, φi ∀φ, we can determine f
(modulo Lebesgue measure 0).
Twierdzenie
Theorem
Jeśli ciąg fk (x) funkcji lokalnie całkowalnych jest zbieżny jednostajnie do funkcji
f na każdym zbiorze domkniętym i ograniczonym, to ciąg ten jest zbieżny do f w
D 0 (IRn ).
If sequence fk (x) of locally integrable functions uniformly converges to a function f
on every closed and bounded set, then the sequence is convergent to f in D 0 (IRn ).
Mówimy, że dystrybucja f jest klasy C p (G), jeśli funkcja fG (x) odpowiadająca
dystrybucji f na obszarze G jest klasy C p (G).
We say that a distribution f belongs to a class C p (G), if a function fG (x)
corresponding to the distribution f in the domain G belongs to the class C p (G).
5. Dystrybucje singularne (osobliwe, nieregularne)
5. Singular (irregular) distributions
Dystrybucjami signularnymi nazywamy wszystkie te dystrybucje, których nie
można utożsamić z żadną funkcją lokalnie całkowalną.
Singular distributions are all distributions that cannot be equated with any locally
integrable function.
Przykład
Example
Funkcja δ - Diraca, jest zdefiniowana następująco:
The δ function (or Dirac delta function) defined in the following way:
Conclusion
hδ, φi = φ (0) , φ ∈ D .
Powyższy funkcjonał jest liniowy
hδ, φi = φ (0) , φ ∈ D .
The above functional is linear
hδ, λφ + µψi = λφ (0) + µψ (0) = λ hδ, φi + µ hδ, ψi
i ciągły:
φk →0
hδ, φk i −−−→ 0,
k→∞
skąd wynika, że δ ∈ D’ . Ponadto δ (x) = 0, x 6= 0, suppδ = {0}.
hδ, λφ + µψi = λφ (0) + µψ (0) = λ hδ, φi + µ hδ, ψi
and continuous:
φk →0
hδ, φk i −−−→ 0,
k→∞
which implies δ ∈ D’ . Moreover δ (x) = 0, x 6= 0, suppδ = {0}.
–6–
Udowodnimy singularność δ (nie wprost). Załóżmy, że istnieje funkcja lokalnie
całkowalna, f (x) taka, że:
Z
∀φ∈D f (x) φ (x) dx = φ (0) . (•)
We will prove the singularity of δ (by contradiction). Let us assume that there
exists such locally integrable function f (x) such that:
Z
∀φ∈D f (x) φ (x) dx = φ (0) . (•)
Rozważymy x1 φ (x), gdzie x1 jest jedną ze współrzędnych z IRn . x1 φ (x) także
należy do D . Z równania (•) wynika wtedy:
Z
∀φ∈D f (x) x1 φ (x) dx = x1 φ (x)|x=0 = 0 = hx1 f, φi .
Let us consider x1 φ (x), where x1 is one of the coordinates from IRn . x1 φ (x) also
belongs to D . Then, from equation (•) it follows that:
Z
∀φ∈D f (x) x1 φ (x) dx = x1 φ (x)|x=0 = 0 = hx1 f, φi .
Wynika stąd, że funkcja lokalnie całkowalna w IRn x1 f (x) = 0 w sensie funkcji
uogólnionych (w sensie dystrybucyjnym), a zatem x1 f (x) jest równe zeru prawie
wszędzie i sama f (x) jest również równa zeru prawie wszędzie, co przeczy równaniu (•). C.N.O.
Thus locally integrable function in IRn x1 f (x) = 0 in the sense of generalized functions (in the distributional sense), and x1 f (x) is equal to zero almost everywhere
hence f (x) is also equal to zero almost everywhere, which contradicts eq. (•).
Q.E.D.
Twierdzenie
Theorem
Z
lim
→+0
ω (x) φ (x) dx = φ (0) , φ ∈ D
Z
lim
→+0
ω (x) φ (x) dx = φ (0) , φ ∈ D
Proof
Dowód
From the continuity of the function φ (x) ⇒ ∀η>0 ∃0 >0 |φ (x) − φ (0)| < η if |x| < 0 .
Z ciągłości funkcji φ (x) ⇒ ∀η>0 ∃0 >0 |φ (x) − φ (0)| < η jeśli |x| < 0 . ∀≤0 mamy:
∀≤0 we have:
Z
Z
Z
ω (x) φ (x) dx − φ (0) ≤ ω (x) |φ (x) − φ (0)| dx < η ω (x) dx = η Q.E.D.
Przykład
Example
Niech S będzie kawałkami gładką powierzchnią a µ (x) funkcją ciągła określoną na
S . Zdefiniujmy funkcjonał µδS :
Z
µδS , φ = µ (x) φ (x) dS , φ ∈ D .
Let S be a piecewise smooth surface and let µ (x) be a continuous function defined
on S . Let us define the functional µδS :
Z
µδS , φ = µ (x) φ (x) dS , φ ∈ D .
S
S
Jako ćwiczenie sprawdzić, że:
1. µδS ∈ D 0
2. µδS (x) = 0, ∀x∈/ S ∀φ∈D (IRn − S )
3. suppµδS ⊂ S
As an excercise verify that:
1. µδS ∈ D 0
2. µδS (x) = 0, ∀x∈/ S ∀φ∈D (IRn − S )
3. suppµδS ⊂ S
–7–
Przykład
Example
1
x
Let us introduce a functional P x1 : (n = 1)
Z − Z ∞ Z
1
φ (x) df
P , φ = vp
dx = lim
+
dx, φ ∈ D .
→+0
x
x
−∞
Wprowadźmy funkcjonał P : (n = 1)
Z − Z ∞ Z
1
φ (x) df
P , φ = vp
dx = lim
+
dx, φ ∈ D .
→+0
x
x
−∞
k→∞
k→∞
Trzeba sprawdzić liniowość i ciągłość. Niech φk −−−→ 0 w D , tzn. φk (x) = 0, |x| > R
i
k→∞
−−→ 0, wtedy:
D αφk (x) −
zatem P x1 ∈ D 0 . Dystrybucja
wartością główną całki z x1 .
We must verify linearity and continuity. Let φk −−−→ 0 in D , i.e. φk (x) = 0, |x| > R
k→∞
−−→ 0, then:
D αφk (x) −
Z
Z R
Z
R
φk (0) + xφ0k (x0 ) k→0
P 1 , φk = vp φk (x) dx = vp
≤
dx
|φ0k (x0 )| dx ≤ 2R max |φ0k (x)| −−→ 0
x
x
x
|x|≤R
−R
−R
and
P x1 jest równa funkcji
1
x
i.e. P x1 ∈ D 0 . The distribution P x1 is equal to the function
a principal value of the integral of x1 .
dla x 6= 0. Nazywa się ją
1
x
for x 6= 0. It is termed
6. Operations on distributions
6. Operacje na dystrybucjach
6.1. Linear change of variables
6.1. Liniowa zamiana zmiennych
Niech f (x) - lokalnie całkowalna i x = Ay + b, det A 6= 0 wtedy:
Z
∀φ∈D hf (Ay + b) , φi = f (Ay + b) φ (y) dy =
Let f (x) be locally integrable and x = Ay + b, det A 6= 0 then:
1
|det A|
Z
f (x) φ A−1 (x − b) dx =
1 f, φ A−1 (x − b)
|det A|
Uogólniając, za definicję dystrybucji f (Ay + b) dla dowolnej f ∈ D 0 przyjmiemy:
*
More generally, the distibution f (Ay + b) for f ∈ D 0 will be defined as:
+
φ A−1 (x − b)
hf (Ay + b) , φ (y)i = f (x) ,
, φ∈D
|det A|
Jako ćwiczenie sprawdzić liniowość i ciągłość.
As an excercise verify linearity and continuity.
Przykłady
Examples
1
1
hδ (ax + b) , φ (x)i = δ (x) , φ
(x − b)
|a|
a
1
0
1
hδ (2x) , φ (x)i = φ
= φ (0)
2
2
2
Dla nieliniowej zamiany zmiennych mam zależność jedynie lokalną:
*
+
φ a−1 (x)
hf (a (y)) , φ (y)i = f (x) ,
, φ∈D
|J |
1
1
hδ (ax + b) , φ (x)i = δ (x) , φ
(x − b)
|a|
a
1
0
1
hδ (2x) , φ (x)i = φ
= φ (0)
2
2
2
For a nonlinear change of variables, only locally:
*
+
φ a−1 (x)
hf (a (y)) , φ (y)i = f (x) ,
, φ∈D
|J |
–8–
6.2. Mnożenie dystrybucji przez funkcję
6.2. Multiplication of distributions by a function
Niech f (x) będzie lokalnie całkowalna w IRn , a (x) ∈ C ∞ (IRn ). Wtedy f (x)a(x)
jest też lokalnie całkowalna:
Z
∀φ∈D haf, φi = a (x) f (x) φ (x) dx = hf, aφi .
Let f (x) be locally integrable in IRn , a (x) ∈ C ∞ (IRn ). Then f (x)a(x) is also
locally integrable and:
Z
∀φ∈D haf, φi = a (x) f (x) φ (x) dx = hf, aφi .
Ostatnią równość można przyjąć za definicję iloczynu dystrybucji f ∈ D 0 i a ∈ C ∞
haf, φi = hf, aφi , φ ∈ D .
af jest dystrybucją, ponieważ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na
Operacja mnożenia f przez a jest też ciągła i liniowa z D 0 w D 0 , bo:
D.
This equality can be assumed as the definition of a product of distributions f ∈ D 0
and a ∈ C ∞
haf, φi = hf, aφi , φ ∈ D .
af is a distribution, since it is linear and continuous on D . The multiplication of
f by a is also continuous and linear from D 0 to D 0 , because:
a (λf + µg) = λ (af ) + µ (ag) , f, g ∈ D 0 ,
k→∞
oraz afk −−−→ 0 w
k→∞
−−→ 0 w D .
D 0 , gdy fk −
a (λf + µg) = λ (af ) + µ (ag) , f, g ∈ D 0 ,
k→∞
and afk −−−→ 0 in
k→∞
−−→ 0 in D .
D 0 , when fk −
Twierdzenie
Theorem
Jeśli f ∈ D 0 , to f = ηf , gdzie η jest dowolną funkcją klasy C ∞ (IRn ) równą 1 na
pewnym otoczeniu nośnika f .
If f ∈ D 0 , then f = ηf , where η is any function that belongs to the class C ∞ (IRn )
and is equal 1 in a neighborhood of the support f .
Dowód
Proof
hf − ηf, φi = hf, (1 − η) φi = 0
hf − ηf, φi = hf, (1 − η) φi = 0
Przykład
Example
a (x) δ (x) = a (0) δ (x), bo haδ, φi = hδ, aφi = a (0) φ (0) = ha (0) δ, φi .
a (x) δ (x) = a (0) δ (x), since haδ, φi = hδ, aφi = a (0) φ (0) = ha (0) δ, φi .
Przykład
Example
xP = 1, bo:
Z
Z
1
1
xφ (x)
xP , φ = P , xφ = vp
dx = φ (x) dx = h1, φi .
x
x
x
xP x1 = 1, since:
Z
Z
1
1
xφ (x)
xP , φ = P , xφ = vp
dx = φ (x) dx = h1, φi .
x
x
x
Iloczynu dwóch dowolnych dystrybucji nie można dobrze określić.
A product of two distributions cannot be well-defined.
Przykład
Example
Iloczyn dwóch funkcji lokalnie całkowalnych nie musi być lokalnie całkowalny, np.:
A product of two locally integrable functions is not necessarily locally integrable,
i.e.:
1
1
1
p ·p =
|x|
|x| |x|
1
x
1
1
1
p ·p =
|x|
|x|
|x|
–9–
Schwartz wykazał, że nie można dla jego dystrybucji z
aby było łączne i przemienne, np.:
D 0 określić mnożenia tak,
Schwartz proved that for his distribution from D 0 , multiplication cannot be defined
so as to be associative and commutative, i.e.:
1
1
(xδ (x)) P = 0 · P = 0
x
x
1
x δ (x) P
=x · 1=x
x
1
1
(xδ (x)) P = 0 · P = 0
x
x
1
x δ (x) P
=x · 1=x
x
7. Różniczkowanie dystrybucji (pochodna uogólniona)
7. Differentiation of distributions (generalized derivative)
Przy dogodnym uogólnieniu pojęcia pochodnej wszystkie dystrybucje są różniczkowalne nieskończenie wiele razy a zbieżne szeregi można różniczkować wyraz po
wyrazie.
Niech f ∈ C p (IRn ). Wtedy dla dowolnego wielowskaźnika α, |α| ≤ p i φ ∈ D
zachodzi wzór na całkowanie przez części:
Z
Z
hDα f, φi = Dα f (x)φ(x)dx = (−1)|α| f (x)Dα φ(x)dx = (−1)|α| hf, Dα φi.
After a suitable generalization of the concept of a derivative, all distributions are
differentiable infinitely many times, and convergent series can be differentiated one
term at a time.
Let f ∈ C p (IRn ). Then for each multi-index α, |α| ≤ p and φ ∈ D the following
formula for integration by parts holds:
Z
Z
hDα f, φi = Dα f (x)φ(x)dx = (−1)|α| f (x)Dα φ(x)dx = (−1)|α| hf, Dα φi.
Ostatni wzór można przyjąć za definicję pochodnej Dα f dowolnej dystrybucji z D 0 .
Dα f to taka dystrybucja, która spełnia równanie:
This formula can be assumed as a definition of the derivative Dα f of any
distribution from D 0 . Dα f is a distribution that satisfies the following equation:
hDα f, φi = (−1)|α| hf, Dα φi, φ ∈ D .
hDα f, φi = (−1)|α| hf, Dα φi, φ ∈ D .
Czy Dα f jest rzeczywiście dystrybucją? Sprawdźmy liniowość i ciągłość.
1. Liniowość:
Is Dα f really a distribution? Let us verify linearity and continuity.
1. Linearity:
hDα f, λφ + µψi = (−1)|α| hf, Dα (λφ + µψ)i =
= (−1)|α| hf, λDα φ + µDα ψi =
= (−1)|α| λhf, Dα φi + (−1)|α| µhDα ψi = λhDα f, φi + µhDα f, ψi
2. Ciągłość:
D
hDα f, φk i = (−1)|α| hf, Dα φk i → 0, k → ∞, gdy φk −→ 0.
2. Continuity:
D
hDα f, φk i = (−1)|α| hf, Dα φk i → 0, k → ∞, when φk −→ 0.
– 10 –
Właściwości pochodnej uogólnionej
Properties of a generalized derivative
1. Operacja różniczkowania D jest liniowym i ciągłym odwzorowaniem z
D 0 w D 0 : Dα (λf + µg) = λDα f + µDα g, f, g ∈ D 0 oraz Dα fk → 0, k → ∞ w
D 0 , jeśli fk → 0 w D 0 . Wykażmy liniowość:
1. Differentiation Dα is a linear and continuous map from D 0 to D 0 : Dα (λf +
µg) = λDα f + µDα g, f, g ∈ D 0 and Dα fk → 0, k → ∞ w D 0 , if fk → 0 in D 0 .
Let us prove linearity:
hDα (λf + µg), φi = (−1)|α| hλf + µg, Dα φi = (−1)|α| λhf, Dα φi + (−1)|α| µhg, Dα φi.
hDα (λf + µg), φi = (−1)|α| hλf + µg, Dα φi = (−1)|α| λhf, Dα φi + (−1)|α| µhg, Dα φi.
α
Podobnie wykazujemy ciągłość.
Continuity can be proved similarly.
2. Dowolna dystrybucja jest różniczkowalna nieskończoną ilość razy.
α
Jeśli f ∈ D 0 , to Dα f ∈ D 0 , Dβ (D f ) ∈ D 0 itd.
2. Any distribution is differentiable infinitely many times. If f ∈ D 0 , then
α
Dα f ∈ D 0 , Dβ (D f ) ∈ D 0 etc.
3. Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ) (bo różniczkujemy φ ∈ D ).
3. Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ) (since we are differentiating φ ∈ D ).
4. Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ) (bo różniczkujemy φ ∈ D ). Jeśli f ∈ D 0
i a ∈ C ∞ (IRn ) to zachodzi wzór o pochodnej iloczynu af . Na przykład:
∂(af )
∂f
∂a
∂x1 = ∂x1 f + a ∂x1 , ponieważ:
4. If f ∈ D 0 and a ∈ C ∞ (IRn ), then the formula for the derivative of a product
)
∂f
∂a
af holds. For instance: ∂(af
∂x1 = ∂x1 f + a ∂x1 , since:
h
∂(af )
∂φ
∂φ
∂(af )
∂a
∂(af )
∂a
∂f
∂a
∂f
∂a
∂f
∂a
, φi = −haf,
i = −hf, a
i = −hf,
−
φi = −hf,
i + hf,
φi = h
, aφi + h
f, φi = ha
, φi + h
f, φi = ha
+
f, φi.
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
∂x1
5. Jeśli f = 0, to Dα f = 0. hDα f, φi = hf, Dα φi(−1)|α| = 0.
P∞
6. Jeśli szereg
k=1 uk (x) = s(x) funkcji lokalnie całkowalnych jest zbieżny
jednostajnie na dowolnym zbiorze zwartym, to można go różniczkować
dowolną ilość razy wyraz po wyrazie i szeregi pochodnych są zbieżne do
pochodnej s(x) w D 0 . (Zbiór zwarty w przestrzeni topologicznej to taki
zbiór, że z dowolnego pokrycia tego zbioru zbiorami otwartymi przestrzeni
można wybrać podpokrycie skończone. W przestrzeni IRn zbiór ograniczony
i domknięty jest zwarty.)
5. If f = 0, then Dα f = 0. hDα f, φi = hf, Dα φi(−1)|α| = 0.
P∞
6. If a series
k=1 uk (x) = s(x) of locally integrable functions is uniformly
convergent on any compact set, then it can be differentiated any number of
times, one term at a time and the series of derivatives are convergent to the
derivative of s(x) in D 0 . (A compact set in a topological space is a set such
that from any cover of this set with open sets of a space, we can choose a
finite subcover. In IRn space a bounded and closed set is compact.)
– 11 –
Przykłady (n = 1)
Examples (n = 1)
1. Ładunki i dipole punktowe. Rozważmy gęstość ładunku:
1. Charges and point dipoles. Let us consider a charge density:
1
1
ρ = δ(x − ) − δ(x), → 0
Przechodząc do granicy → 0
1
1
ρ = δ(x − ) − δ(x), → 0
Passing to the limit → 0
1
1
1
→0
h δ(x − ) − δ(x), φi = [φ() − φ(0)] −→ φ0 (0) = hδ, φ0 i = −hδ 0 , φi
otrzymujemy gęstość ładunku dipola punktowego równą −δ 0 (x).
1
1
1
→0
h δ(x − ) − δ(x), φi = [φ() − φ(0)] −→ φ0 (0) = hδ, φ0 i = −hδ 0 , φi
we obtain the charge density of a point dipole equal to −δ 0 (x).
Ładunek całkowity dipola jest zerowy, h−δ 0 , 1i = hδ, 10 i = hδ, 0i = 0, podczas
The total charge of the dipole is equal to zero, h−δ 0 , 1i = hδ, 10 i = hδ, 0i = 0,
gdy pierwszy moment rozkładu jego ładunku jest jednostkowy:
while the first moment of its charge distribution is equal to 1:
h−δ 0 , xi = hδ, x0 i = hδ, 1i = 1
h−δ 0 , xi = hδ, x0 i = hδ, 1i = 1
2. Zachodzi hDα δ, φi = (−1)|α| Dα φ(0), φ ∈ D .
2. The following holds hDα δ, φi = (−1)|α| Dα φ(0), φ ∈ D .
3. Pochodna funkcji nieciągłej. Niech f będzie nieciągła w punkcie x0 , f ∈
C 1 (x ≤ x0 ) i f ∈ C 1 (x ≥ x0 ). Wtedy: f 0 = {f 0 } + [f ]x0 δ(x − x0 ), gdzie
{f 0 }-pochodna klasyczna, [f ]x0 = f (x0 + 0+ ) − f (x0 + 0− ).
3. Derivative of a discontinuous function. Let f be discontinuous at a point x0 ,
f ∈ C 1 (x ≤ x0 ) and f ∈ C 1 (x ≥ x0 ). Then: f 0 = {f 0 } + [f ]x0 δ(x − x0 ), where
{f 0 }-classical derivative, [f ]x0 = f (x0 + 0+ ) − f (x0 + 0− ).
4. Jeśli f (x) ma izolowane nieciągłości w punktach {xk }, a {f 0 (x)} istnieje
P
i jest kawałkami ciągła, to: f 0 = {f 0 (x)} + k [f ]xk δ(x − xk ). Na przykład,
x
, x ∈ [0, 2π) i f - periodyczne, wówczas:
niech f0 (x) = 21 − 2π
P∞
0
−1
f1 (x) = 2π + k=−∞ δ(x − 2kπ)
4. If f (x) has isolated discontinuities at points {xk }, and {f 0 (x)} exists and is
P
piecewise continuous, then: f 0 = {f 0 (x)} + k [f ]xk δ(x − xk ). For instance,
x
, x ∈ [0, 2π) and f be periodic, then:
let f0 (x) = 21 − 2π
P∞
0
−1
f1 (x) = 2π + k=−∞ δ(x − 2kπ)
5. Zachodzi wzór:
5. The following formula holds:
1
2π
∞
X
k=−∞
e−ikx =
∞
X
(δ − 2kπ).
k=−∞
∞
∞
X
1 X −ikx
e
=
(δ − 2kπ).
2π
k=−∞
k=−∞
Dla dowodu rozważmy pomocniczo funkcję 2π-periodyczną:
Z x
0
x
x2
f0 (x )dx0 = −
2 4π
o
For proof let us briefly consider a 2π-periodic function:
Z x
0
x
x2
f0 (x )dx0 = −
2 4π
o
Rozkładając ją na szereg Fouriera mamy:
Z x
∞
X
0
π
1
f0 (x )dx0 = −
6
2π
o
By expanding it into a Fourier series, we obtain:
Z x
∞
X
0
π
1
1 −ikx
f0 (x )dx0 = −
e
.
6
2π
k2
o
k=−∞,k6=0
1 −ikx
e
.
k2
k=−∞,k6=0
– 12 –
Różniczkując dwa razy ostatni wzór, otrzymujemy:
f00 = −
∞
X
1
1
+
δ(x − 2kπ) =
2π
2π
k=−∞
przy czym
1
− 2π
1 i0x
= − 2π
e ,
czyli
P∞
k=−∞ (δ
6. Rozwiązaniem równania xm u = 0 w
ck jest dowolną stałą.
By differentiating twice, we have:
∞
X
f00 = −
e−ikx
k=−∞,k6=0
− 2kπ) =
D 0 (IR1 ) jest u =
1
2π
∞
X
1
1
+
δ(x − 2kπ) =
2π
2π
k=−∞
P∞
k=−∞
Pm−1
k=0
e
−ikx
ck δ (k) (x), gdzie
Dowód:
∞
X
e−ikx
k=−∞,k6=0
P∞
1
−ikx
− 2kπ) = 2π
k=−∞ e
Pm−1
6. The solution of xm u = 0 in D 0 (IR1 ) is u = k=0 ck δ (k) (x), where ck is an
arbitrary constant.
where
1
− 2π
1 i0x
= − 2π
e ,
i.e.
P∞
k=−∞ (δ
Proof:
hxm δ (k) , φi = hδ (k) , xm φi = (−1)k hδ, (xm φ)k i = (−1)k (xm φ(x))k czyli u =
Pm−1
xm u = 0 w
k=0
0
x=0
, k<m
ck δ (k) (x) jest też rozwiązaniem uogólnionym równania
hxm δ (k) , φi = hδ (k) , xm φi = (−1)k hδ, (xm φ)k i = (−1)k (xm φ(x))k x=0 , k < m
therefore u =
Pm−1
k=0
ck δ (k) (x) is also a general solution of xm u = 0 in
D 0 (IR1 ).
D (IR1 ).
7. Let Z(t) be the solution of a homogeneous equation:
7. Niech Z(t) będzie rozwiązaniem równania jednorodnego:
LZ ≡ Z m (t) + a1 (t)Z (m−1) (t) + ... + am (t)Z(t) = 0
LZ ≡ Z m (t) + a1 (t)Z (m−1) (t) + ... + am (t)Z(t) = 0
z warunkiem początkowym
with the initial condition
Z(0) = Z 0 (0) = ... = Z (m−2) (0) = 0,
Z(0) = Z 0 (0) = ... = Z (m−2) (0) = 0,
Z (m−1) (0) = 1.
Wtedy E(t) = Θ(t)Z(t) spełnia równanie LE(t) = δ(t).
Then E(t) = Θ(t)Z(t) satisfies LE(t) = δ(t).
Rzeczywiście,
Indeed,
=0
=0
z}|{
E 0 (t) = Θ(t)Z 0 (t) + Z(t) δ(t)
z}|{
E (t) = Θ(t)Z (t) + Z(t) δ(t)
E 00 (t) = δ(t) Z 0 (t) +Θ(t)Z 00 (t)
| {z }
E 00 (t) = δ(t) Z 0 (t) +Θ(t)Z 00 (t)
| {z }
0
0
=0
=0
..
.
..
.
=0
=0
z }| {
E (m−1) = δ(t) Z (m−2) (t) +Θ(t)Z (m−1) (t)
z }| {
E (m−1) = δ(t) Z (m−2) (t) +Θ(t)Z (m−1) (t)
E (m−1) = δ(t) Z (m−1) (t) +Θ(t)Z (m) (t)
| {z }
E (m−1) = δ(t) Z (m−1) (t) +Θ(t)Z (m) (t)
| {z }
=1
=1
LE(t) = E
Z (m−1) (0) = 1.
m(t)
+ a1 (t)E
(m−1)
+ ... + am (t)E(t) = Θ(t) LZ(t) +δ(t),
| {z }
=0
zatem LE(t) = δ(t) (funkcja Greena dla operatora L).
LE(t) = E
m(t)
+ a1 (t)E
(m−1)
+ ... + am (t)E(t) = Θ(t) LZ(t) +δ(t),
| {z }
=0
i.e. LE(t) = δ(t) (Green’s function of the operator L).
– 13 –
Przykłady (n ≥ 2
Examples (n ≥ 2
1. Warstwa podwójna.
1. Double layer.
Niech S - kawałkami gładka powierzchnia, n̄ - wersor normalny do S,
ν(x) - ciągła na S, określona na S.
Wprowadźmy dystrybucję − ∂∂n̄ (νδS ), działająca następująco:
Z
∂
∂φ(x)
h− (νδS ), φi = ν(x)
dS, φ ∈ D .
∂ n̄
∂ n̄
S
Let S - piecewise smooth surface, n̄ - a unit vector normal to S,
ν(x) - continuous on S, defined on S.
Let us introduce a distribution − ∂∂n̄ (νδS ), operating as follows:
Z
∂
∂φ(x)
h− (νδS ), φi = ν(x)
dS, φ ∈ D .
∂ n̄
∂ n̄
S
Taki funkcjonał należy do D 0 . supp[ ∂∂n̄ (νδS )] ⊂ S. − ∂∂n̄ (νδS ) nazywa się
warstwą podwójną na powierzchni S z gęstością ν(x), zorientowaną zgodnie
z wektorem normalnym n̄, opisuje gęstość ładunków odpowiadającą rozkładowi dipoli elektrycznych na powierzchni S z gęstością powierzchniową
momentu dipolowego ν(x).
Warstwa pojedyncza. S - kawałkami gładka, µ- ciągła na S. µδs :
Z
hµδs , φi = µ(x)φ(x)dS, φ ∈ D .
Such a functional belongs to D 0 . supp[ ∂∂n̄ (νδS )] ⊂ S. − ∂∂n̄ (νδS ) is termed
a double layer on the surface S with a density ν(x), oriented according to
the normal vector n̄; it describes the charge density corresponding to the
distribution of electric dipoles on the surface S with a dipole moment surface
density ν(x).
Single layer. S - piecewise smooth, µ- continuous on S. µδs :
Z
hµδs , φi = µ(x)φ(x)dS, φ ∈ D .
S
S
2. Niech obszar G ma kawałkami gładki brzeg S i niech f ∈ C (G) ∩ C¯1 (G1 ),
gdzie G1 = IRn \ G. Wtedy
∂f (x)
∂f
=
+ [f ]s cos(nxi )δS , i = 1, 2, ..., n
∂xi
∂xi
1
2. Let the domain G have a piecewise smooth boundary S and let f ∈
C 1 (G) ∩ C¯1 (G1 ), where G1 = IRn \ G. Then
∂f (x)
∂f
=
+ [f ]s cos(nxi )δS , i = 1, 2, ..., n
∂xi
∂xi
gdzie n = nx wersor zewnętrznie normalny do S w punkcie x ∈ S,
where n = nx is a unit vector outwardly normal to S at a point x ∈ S,
a [f ]S - skok funkcji f na powierzchni:
and [f ]S is the jump of the function f on the surface:
lim f (x0 ) − lim f (x0 ) ≡ [f ]S (x), x ∈ S.
x0 → x
x0 → x
x0 ∈ G1
Dowód:
lim f (x0 ) − lim f (x0 ) ≡ [f ]S (x), x ∈ S.
x0 → x
x0 → x
x0 ∈ G1
x0 ∈ G1
x0 ∈ G1
Proof:
Z
∂f
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
h
, φi = −hf,
i=−
f (x)
dx = −
f (x)
dx −
f (x)
dx = (from Green0 s theorem) =
n
∂xi
∂xi
∂x
∂x
∂x
i
i
i
IR
G1
G
Z Z
∂f
∂f
=
φ(x)dx + [f ]S (x)cos(nxi )φ(x)dS = h
+ [f ]S cos(nxi )δS , φi
∂xi
∂xi
IRn
S
Z
Z
– 14 –
3. Niech przy założeniach poprzedniego przykładu będzie f ∈ C 2 (G) ∩ C 2 (G1 ).
3. With the above assumptions, let f ∈ C 2 (G) ∩ C 2 (G1 ).
Wtedy:
Then:
∂2f
∂f
∂2f
∂
=
+
([f ]S cos(nxi )δS ) +
cos(nxj )δS
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
∂xj
∂xi S
Dowód:
Proof:
Trzeba zróżniczkować wzór z poprzedniego przykładu względem xj , ale przy
∂f
różniczkowaniu ∂x
zastosować ponownie wzór z poprzedniego przykładu:
i
We must differentiate the formula from the previous example with respect
∂f
to xj , however, when differentiating ∂x
let us apply the formula from the
i
previous example:
2 ∂
∂f
∂ f
∂f
cos(nxj )δS
=
+
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
∂xi S
Q.E.D.
C.N.O.
In particular, after summation, for i = j, i = 1, 2, ..., n we have:
n
n X
X
∂
∂f
∆f = {∆f } +
cos(nxi )δS
([f ]S cos(nxi )δS ) +
∂xi
∂xi S
i=1
i=1
W szczególności dla i = j, i = 1, 2, ..., n mamy po wysumowaniu:
biorąc pod uwagę, że:
and taking into account that:
∂
∂
([f ]S cos(nxi )δS ) =
([f ]S δS )
∂xi
∂n
i=1
n X
∂f
∂f
cos(nxi )δS =
δS ,
∂xi S
∂n S
i=1
n
X
∂
∂
([f ]S δS )
∂xi
∂n
i=1
n X
∂f
∂f
cos(nxi )δS =
δS ,
∂xi S
∂n S
i=1
ostatni wzór na ∆f przyjmuje postać:
∂f
∂
∆f = {∆f } +
δS +
([f ]S δS ) ,
∂n S
∂n
the latter formula for ∆f becomes:
∂f
∂
∆f = {∆f } +
δS +
([f ]S δS ) ,
∂n S
∂n
jeśli f ≡ 0, x ∈ G1 , to:
if f ≡ 0, x ∈ G1 , then:
∂f
∂
δS −
(f δS ) .
∂n
∂n
Jest to wzór Greena II w języku dystrybucji:
Z
Z ∂φ
∂f
f
(f ∆φ − ∆f φ) dx =
−φ
dS.
∂n
∂n
G
S
∂f
∂
δS −
(f δS ) .
∂n
∂n
This is Green’s second formula expressed in the language of distributions:
Z
Z ∂φ
∂f
f
(f ∆φ − ∆f φ) dx =
−φ
dS.
∂n
∂n
G
S
Ostatni wzór jest słuszny nawet dla φ ∈ C 2 (G).
The latter formula holds even for φ ∈ C 2 (G).
n
X
∆f = {∆f } −
∆f = {∆f } −
– 15 –
Uwaga
Note
Korzystaliśmy z dwóch wzorów:
We applied two formulas:
n
X
n
X
∂
∂
([f ]S δS ) ,
∂xi
∂n
i=1
n X
∂f
∂f
δS .
cos(nxi )δS =
∂xi S
∂n S
i=1
∂
∂
([f ]S δS ) ,
∂xi
∂n
i=1
n X
∂f
∂f
δS .
cos(nxi )δS =
∂xi S
∂n S
i=1
Udowodnijmy pierwszy z nich:
h
Let us prove the first of these:
Z
Z
n
n
n Z
n
X
X
X
X
∂
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
∂
([f ]S cos(nxi )δS ) , φi = −
h[f ]S cos(nxi )δS ,
i=−
[f ]S cos(nxi )
dS = − [f ]S
cos(nxi )dS = − [f ]S
dS = h
([f ]S , δS ) , φi
∂x
∂x
∂x
∂x
∂n
∂n
i
i
i
i
S
S
i=1
i=1
i=1 S
i=1
Q.E.D.
C.N.O.
4. Niech n = 2. Wyliczyć ∆ ln |x|.
• ln |x| jest lokalnie całkowalne w IR2
• Jeśli x 6= 0, to ln |x| ∈ C ∞ i Dα ln |x| = {Dα ln |x|}, wtedy:
1 ∂
∂ ln r
1 ∂ r 0
∆ ln |x| =
r
=
= = 0, x 6= 0.
r ∂r
∂r
r ∂r r
r
4. Let n = 2. Calculate ∆ ln |x|.
• ln |x| is locally integrable in IR2
• If x =
6 0, then ln |x| ∈ C ∞ and Dα ln |x| = {Dα ln |x|}, then:
1 ∂
∂ ln r
1 ∂ r 0
∆ ln |x| =
r
=
= = 0, x 6= 0.
r ∂r
∂r
r ∂r r
r
• Niech φ ∈ D , suppφ ⊂ U R , wtedy:
• Let φ ∈ D , suppφ ⊂ U R , then:
Z
Z
h∆ ln |x| , φi = hln |x| , ∆φi =
ln |x| ∆φ (x) dx =
UR Z
= lim
ln |x| ∆φ (x) dx.
→0+
ln |x| ∆φ (x) dx =
UR Z
ln |x| ∆φ (x) dx.
= lim
→0+
<|x|<R
Zastosujmy II-gi wzór Greena dla f = ln |x| i G = [ < |x| < R]:
Z
hZ
h∆ ln |x| , φi = lim
∆ ln |x| φ (x) dx +
→0+
h∆ ln |x| , φi = hln |x| , ∆φi =
<|x|<R
Let us apply Green’s second formula for f = ln |x| and G = [ < |x| < R]:
i
Z ∂ ln |x|
∂φ
1
∂φ
+φ
dS = lim
− ln |x|
+φ
dS =
+
ln |x|
∂ n̄
∂ n̄
∂ |x|
|x|
→0+ S
<|x|<R
S
SR
Z
Z
1
1
= lim
φdS = lim
[φ (x) − φ (0)] dS + 2πφ (0) = 2πφ (0) = h2πδ, φi ,
S
→0+ S
→0+
czyli ostatecznie:
Z
finally, we obtain:
∆ ln |x| = 2πδ (x) ,
n = 2.
∆ ln |x| = 2πδ (x) ,
n = 2.
– 16 –
Analogicznie, dla n ≥ 3 zachodzi:
∆
1
n−2
|x|
Analogously, for n ≥ 3:
= − (n − 2) σn δ (x)
x ∈ IRn ,
gdzie σn to pole powierzchni kuli jednostkowej w IRn
Z
2π n/2
,
σn =
ds =
Γ n2
S1
Z ∞
Γ (z) =
e−t tz−1 dt.
∆
1
|x|
n−2
= − (n − 2) σn δ (x)
where σn is the surface area of a unit ball in IRn
Z
2π n/2
,
σn =
ds =
Γ n2
S1
Z ∞
Γ (z) =
e−t tz−1 dt.
0
0
W szczególności dla n = 3:
∆
In particular, for n = 3:
1
= −4πδ (x) .
|x|
5. Dystrybucje
E (x) = −
e±ik|x|
4π |x|
przy n = 3 spełniają równanie:
∆
1
= −4πδ (x) .
|x|
5. Distributions
E (x) = −
e±ik|x|
4π |x|
with n = 3, satisfy the equation:
∆E + k 2 E = δ (x) .
∆E + k 2 E = δ (x) .
Obliczmy
x ∈ IRn ,
Let us calculate
xj
∂ 1
=− 3
∂xj |x|
|x|
∂ ik|x| ikxj ik|x|
e
=
e
∂xj
|x|
2ik
∆eik|x| =
− k 2 eik|x|
|x|
∂ 1
xj
=− 3
∂xj |x|
|x|
∂ ik|x| ikxj ik|x|
e
=
e
∂xj
|x|
2ik
ik|x|
2
− k eik|x|
∆e
=
|x|


3
X
1
1
1
1
1
x
(−x
)
1 2ik
1
j
j
2
ik|x|
ik|x|
ik|x|
ik|x|
2
ik|x|
ik|x|
ik|x| 
2

∆+k
e
=e
∆
+ 2grade
· grad
+
∆e
+k
e
= −4πe
δ (x) + 2e
ik
·
+
− k eik|x| + k 2 eik|x| =
3
|x|
|x|
|x| |x|
|x|
|x|
|x|
|x|
|x|
|x|
j=1
!
2ik
2ik
k2
k2
+
= −4πδ (x) ,
= −4πδ (x) + eik|x| − 2 + 2 −
|x| |x|
|x|
|x|
gdzie wykorzystano:
where the following formula was used:
∆ (f g) = ∇ [∇ (f g)] = ∇ [g∇f + f ∇g] = ∇g · ∇f + g∇2 f + ∇f ∇g + f ∇2 g = 2gradf · gradg + g∇2 f + f ∇2 g.
6. Niech
– 17 –
2
θ (t)
|x|
E (x, t) = −
√ n exp − 2
4a t
2a πt
Wykazać, że:
6. Let
!
.
2
θ (t)
|x|
E (x, t) = −
√ n exp − 2
4a t
2a πt
Prove that:
∂E
− a2 ∆E = δ (x, t) . (•)
∂t
Wykorzystać lemat o unormowaniu E (x, t):
Z
E (x, t) dx = 1 , t > 0
Use the normalization lemma E (x, t):
Z
E (x, t) dx = 1 ,
Proof of the lemma:
1
√ n
2a πt
Z
e
|x|2
− 2
4a t
Z ∞
n
Y
2
1
√
dx =
e−ξi dξi = 1
π
−∞
i−1
Z
E (x, t) dx =
C.N.O.
Dowód (•):
Jeśli t > 0, to E ∈ C ∞ i wtedy:
2
n
|x|
−
4a2 t 2t
∂E
=
∂t
1
√ n
2a πt
Z
|x|2
e− 4a2 t dx =
Z ∞
n
Y
2
1
√
e−ξi dξi = 1
π
−∞
i−1
Q.E.D.
Proof (•):
If t > 0, then E ∈ C ∞ and thus:
!
∂E
=
∂t
E
∂E
xi
=− 2 E
∂xi
2a t
2
xi
1
∂2E
=
− 2 E,
∂x2i
4a4 t2
2a t
2
2
∂E
x
n
x
n
2
− a ∆E =
E−
E = 0.
−
−
∂t
4a2 t2
2t
4a2 t2
2t
Wykorzystując ostatni fakt, ∀φ ∈ D IRn+1 mamy:
t>0
IRn
Dowód lematu:
E (x, t) dx =
.
∂E
− a2 ∆E = δ (x, t) . (•)
∂t
IRn
Z
!
2
n
|x|
−
4a2 t 2t
!
E
∂E
xi
=− 2 E
∂xi
2a t
2
xi
1
∂2E
=
− 2 E,
∂x2i
4a4 t2
2a t
2
2
∂E
x
n
x
n
2
− a ∆E =
E−
E = 0.
−
−
∂t
4a2 t2
2t
4a2 t2
2t
Hence, ∀φ ∈ D IRn+1 we have:
∂E
∂φ
− a2 ∆E, φ = − E,
+ a2 ∆φ =
∂t
∂t
∂E
∂φ
♣
, φ − a2 h∆E, φi = − E,
− a2 hE, ∆φi ♣
∂t
∂t
Z∞ Z
Z∞ Z
Z∞ Z
Z∞ Z
∂φ
∂φ
∂φ
2
2
=−
+ a ∆φ dxdt = − lim
+ a ∆φ dxdt = − lim
dxdt + lim
E (x, t)
E (x, t)
E (x, t)
E (x, t) a2 ∆φdxdt =
∂t
∂t
∂t
→0+
→0+
→0+
0 IRn
Z∞ Z
= lim
→0+
IRn
IRn
∂
E (x, t) φdxdt + lim
∂t
→0+
IRn
Z∞ Z
Z
IRn
E (x, ) φ (x, ) dx − lim
→0+
IRn
IRn
a2 ∆E (x, t) φdxdt = I + II + III = lim
Z
→0+
IRn
E (x, ) φ (x, 0) dx
– 18 –
ponieważ I + III = 0, a także:
since I + III = 0, and also:
Z
lim
→0+
IRn
Z
E (x, ) φ (x, ) dx = lim
→0+
IRn
Z
E (x, ) [φ (x, ) − φ (x, 0)] dx + lim
E (x, ) φ (x, 0) dx = lim K
→0+
IRn
(4πa2 t)
{z
E (x, ) φ (x, 0) dx.
}
⇒0
The last formula means that E ∼ δ (t).
Note that:
2
n/2
→0+
IRn
IRn
Ostatni wzór oznacza, że E ∼ δ (t).
Teraz zauważmy, że:
E (x, t) =
E (x, ) dx + lim
→0+
|
1
Z
Z
|x|
exp − 2
4a t
!
D0
−−−→ δ (x)
t→0
E (x, t) =
+
bo:
2
1
n/2
(4πa2 t)
|x|
exp − 2
4a t
!
D0
−−−→
+ δ (x)
t→0
since:
Z
E (x, t) [φ (x) − φ (0)] dx ≤
Z
K
n/2
(4πa2 t)
e
−
|x|2
4a2 t
|x| dx =
Z∞
Kσn
e
n/2
(4πa2 t)
−
r2
4a2 t
r·r
n−1
√ Z∞
√ t→0+
2
2Kσn ta
dr =
e−u un du = C t −−−→ 0,
n/2
π
0
0
therefore
stąd
Z
hE (x, t) , φ (x)ix =
Z
E (x, t) φ (x) = φ (0)
Z
E (x, t) +
Z dwóch ostatnich wyników: C.N.O.
E (x, t) [φ (x) − φ (0)] dx = φ (0) = hδ (x) , φi .
From the two final results: Q.E.D.
8. Iloczyn prosty i splot dystrybucji
8. Direct product and convolution of distributions
8.1. Iloczyn prosty
8.1. Direct product
n
m
Niech f (x) i g(y) będą lokalnie całkowalne na, odpowiednio, IR i IR .
Let f (x) and g(y) be locally integrable on, respectively, IRn and IRm . Then
n+m
Wtedy f (x)g(y) jest też lokalnie całkowalna na IR
i generuje regularną
f (x)g(y) is also locally integrable on IRn+m and generates a regular distribution
dystrybucję na φ(x, y) ∈ D według wzorów:
on φ(x, y) ∈ D according to the formulas:
Z
Z
hf (x)g(y), φ(x, y)i = dx dy f (x)g(y)φ(x, y) =
Z
Z
= f (x) g(y)φ(x, y)dydx = hf (x), hg(y), φ(x, y)ii
Z
hg(y)f (x), φ(x, y)i = g(y)f (x)φ(x, y)dxdy =
Z
Z
= g(y) f (x)φ(x, y)dxdy = hg(y), hf (x), φ(x, y)ii
– 19 –
Powyższe wzory to teza twierdzenia Fubiniego. Uogólniając:
The above formulas constitute the proposition of Fubini’s theorem. To generalize:
Definicja (iloczyn prosty)
Definition (direct product)
0
0
n
m
Iloczynem prostym dystrybucji f (x) ∈ D (IR ) i g(y) ∈ D (IR ) nazywamy funkcjonał działający według przepisu
hf (x)g(y), φ(x, y)i = hf (x), hg(y), φ(x, y)ii
|
{z
}
The direct product of distributions f (x) ∈ D 0 (IRn ) and g(y) ∈ D 0 (IRm ) is a functional acting according to the formula
∀φ ∈ D (IRn+m )
hf (x)g(y), φ(x, y)i = hf (x), hg(y), φ(x, y)ii
|
{z
}
≡hf ⊗g,φ(x)i
∀φ ∈ D (IRn+m )
≡hf ⊗g,φ(x)i
Twierdzenie
Theorem
Iloczyn prosty dystrybucji jest dystrybucją.
A direct product of distributions is itself a distribution.
Twierdzenie
Theorem
Iloczyn prosty jest komutatywny.
The direct product is commutative.
Twierdzenie
Theorem
Operacja iloczynu prostego f (x) ⊗ g(y) jest liniowa i ciągła względem
f (z D 0 (IRn ) w D 0 (IRn+m )) i względem g (z D 0 (IRm ) w D 0 (IRn+m )).
The operation of direct product f (x) ⊗ g(y) is linear and continuous with respect
to f (z D 0 (IRn ) w D 0 (IRn+m )) and g (z D 0 (IRm ) w D 0 (IRn+m )).
Therefore:
Czyli:
[λf1 (x) + µf2 (x)] ⊗ g(y) = λ [f1 (x) ⊗ g(y)] + µ [f2 (x) ⊗ g(y)]
k→∞
0w
f1 , f2 ∈ D 0 (IRn ), g ∈ D 0 (IRm ) i fk (x) ⊗ g(y) −−−→
0
k→∞
D
fk −−−→ 0 w
D 0 (IRn+m ), jeśli
[λf1 (x) + µf2 (x)] ⊗ g(y) = λ [f1 (x) ⊗ g(y)] + µ [f2 (x) ⊗ g(y)]
k→∞
0 in
f1 , f2 ∈ D 0 (IRn ), g ∈ D 0 (IRm ) and fk (x) ⊗ g(y) −−−→
0
k→∞
D 0 (IRn )
fk −−−→ 0 in
D
D 0 (IRn+m ), if
D 0 (IRn )
Twierdzenie
Theorem
Iloczyn prosty jest łączny.
The direct product is associative.
Dowód
Niech f ∈ D 0 (IRn ), g ∈ D 0 (IRm ), h ∈ D 0 (IRk ). Jeśli φ ∈ D0 (IRn+m+k ), to:
Proof
Let f ∈ D 0 (IRn ), g ∈ D 0 (IRm ), h ∈ D 0 (IRk ). If φ ∈ D0 (IRn+m+k ), then:
hf (x) ⊗ [g(y) ⊗ h(z)] , φ(x, y, z)i = hf (x), hg(y) ⊗ h(z), φ(x, y, z)ii =
= hf (x), hg(y) hh(z), φ(x, y, z)iii =
= hf (x) ⊗ g(y), hh(z), φ(x, y, z)ii =
= h[f (x) ⊗ g(y)] ⊗ h(z), φ(x, y, z)i
Twierdzenie
Dxα
Theorem
α
Zachodzi
[f (x) ⊗ g(y)] = D f (x) ⊗ g(y)
Dowód
Jeśli φ ∈ D (IRn+m ), to
The following holds Dxα [f (x) ⊗ g(y)] = Dα f (x) ⊗ g(y)
Proof
If φ ∈ D (IRn+m ), then
– 20 –
hDxα [f (x) ⊗ g(y)] , φi = (−1)|α| hf (x) ⊗ g(y), Dxα φi = (−1)|α| hg(y), hf (x), Dxα φ(x, y)ii =
Ox = hg(y), hDxα f (x), φii = hDxα f (x) ⊗ g(y), φ(x, y)i
Theorem
Twierdzenie
∞
If a ∈ C ∞ (IRn ), then a(x) [f (x) ⊗ g(y)] = a(x)f (x) ⊗ g(y)
Proof
Let φ ∈ D (IRn+m ). Then
n
Jeśli a ∈ C (IR ), to a(x) [f (x) ⊗ g(y)] = a(x)f (x) ⊗ g(y)
Dowód
Niech φ ∈ D (IRn+m ). Wtedy
ha(x), [f (x) ⊗ g(y)] , φi = h[f (x) ⊗ g(y)] , aφi
= hf (x), hg(y), a(x)φ(x, y)ii
= hf (x), a(x) hg(y), φ(x, y)ii
= ha(x)f (x), hg(y), φ(x, y)ii
= ha(x)f (x) ⊗ g(y), φi
Twierdzenie
Theorem
Nośnik f ⊗ g jest równy supp f × supp g ≡ supp (f ⊗ g) (× – iloczyn kartezjański).
The support f ⊗ g is equal to supp f × supp g ≡ supp (f ⊗ g) (× – Cartesian
product).
8.2. Splot dystrybucji
8.2. Convolution of distributions
n
Niech f (x), g(x) – lokalnie całkowalne na IR
i niech h(x) =
|g(y)f (x − y)| dy też będzie lokalnie całkowalna w IRn . Splotem funkcji f i g,
oznaczonym f ? g, nazywamy funkcję
Z
Z
(f ? g)(x) = f (y)g(x − y)dy = g(y)f (x − y)dy = (g ? f )(x)
R
Let f (x), g(x) be locally integrable on IRn and let h(x) = |g(y)f (x − y)| dy
also be locally integrable in IRn . By convolution of functions f and g, denoted as
f ? g, we will term the function
Z
Z
(f ? g)(x) = f (y)g(x − y)dy = g(y)f (x − y)dy = (g ? f )(x)
Zauważmy, że sploty f ? g i |f | ? |g| = h jeśli istnieją, to istnieją obydwa. Ponadto
|(f ? g)(x)| ≤ h(x) czyli splot f ? g jest też lokalnie całkowalny na IRn .
Note that if the convolutions f ? g and |f | ? |g| = h exist, they must both exist.
Moreover, |(f ? g)(x)| ≤ h(x) thus the convolution f ? g is also locally integrable
on IRn .
Splot f ? g generuje dystrybucję regularną według wzoru:
Convolution f ? g generates a regular distribution according to the formula:
R
– 21 –
Z
hf ? g, φi =
(f ? g)(ξ)φ(ξ)dξ
Z
[g(y)f (x − ξ)dy] φ(ξ)dξ =
Z
Z
= g(y)
f (x − ξ)φ(ξ)dξ dy =
Z
Z
= g(y)
f (x)φ(x + y)dx dy =
Z
= g, f (x)φ(x + y)dx =
=
= hg(y), hf (x), φ(x + y)i dxi =
= hf ⊗ g, φ(x + y)i
Uogólniając, splotem f ? g dystrybucji f i g nazywamy dystrybucję zdefiniowaną
według wzoru:
hf ? g, φi = hf (x) ⊗ g(y), φ(x + y)i ,
To generalize, the convolution f ?g of distributions f and g is a distribution defined
according to the formula:
∀φ ∈ D (IRn )
hf ? g, φi = hf (x) ⊗ g(y), φ(x + y)i ,
Właściwości splotu
Properties of convolution
1. Komutatywność. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli f ? g istnieje, to
g ? f też istnieje i f ? g = g ? f
2. Liniowość. f ? g jest liniową operacją z D 0 w D 0 względem f i g:
1. Commutativity. It follows directly from the definition that if f ? g exists,
then g ? f also exists and f ? g = g ? f
2. Linearity. f ? g is a linear operation from D 0 to D 0 with respect to f and g:
(λf + µf1 ) ? g = λf ? g + µf1 ? g
(λf + µf1 ) ? g = λf ? g + µf1 ? g
Wynika to też bezpośrednio z definicji.
This also follows directly from the definition.
Uwaga. W ogólności f ? g nie jest ciągłym odwzorowaniem z
względem f , czy g, np:
δ(x − k) → 0,
k → ∞,
0
D w D
0
Note. In general, f ? g is not a continuous map from
to f or g, for instance:
w D 0 (IR1 ),
6
ale 1 ? δ(x − k) = 1 →
0, k → ∞ w D 0 (IR1 ).
3. Jedynka mnożenia splotowego. Splot dowolnej dystrybucji f z dystrybucją δ
istnieje i jest równy f :
f ? δ=δ ? f =f
Dowód
∀φ ∈ D (IRn )
δ(x − k) → 0,
k → ∞,
D 0 to D 0 with respect
w D 0 (IR1 ),
6
but 1 ? δ(x − k) = 1 →
0, k → ∞ in D 0 (IR1 ).
3. Unit (multiplicative identity) of convolution. The convolution of any distribution f with the δ distribution exists and is equal to f :
f ? δ=δ ? f =f
Proof
hf ? δ, φi = hf (x) ⊗ δ(y), φ(x + y)i = hf (x), hδ(y), φ(x + y)ii = hf (x), φ(x)i = hf, φi
– 22 –
4. Różniczkowanie splotu. Jeśli splot f ?g istnieje, to istnieją też sploty Dα f ?g
i f ? Dα g i zachodzi:
4. Differentiation of convolution. If the convolution f ? g exists, then there also
exist convolutions Dα f ? g and f ? Dα g and the following holds:
Dα f ? g = Dα (f ? g) = f ? Dα g
Dα f ? g = Dα (f ? g) = f ? Dα g
∂
Dla dowodu wystarczy pokazać prawdziwość wzoru dla Dα ≡ ∂x
≡ Dj .
i
In order to prove this, it suffices to demonstrate that the above formula
∂
holds for Dα ≡ ∂x
≡ Dj .
i
Uwaga.
Istnienie splotów Dα f ? g i f ? Dα g dla |α| ≥ 1 nie oznacza ani, że f ? g
istnieje, ani że Dα f ? g = f ? Dα g. Na przykład
Note.
The existence of convolutions Dα f ? g and f ? Dα g for |α| ≥ 1 does not mean
that f ? g exists or that Dα f ? g = f ? Dα g. For instance
θ0 ? 1 = δ ? 1 = 1
θ0 ? 1 = δ ? 1 = 1
θ ? 10 = θ ? 0 = 0
θ ? 10 = θ ? 0 = 0
5. In general, the operation of taking a convolution is not associative:
5. Operacja brania splotu nie jest w ogólności łączna:
(θ ? δ ) ? 1 = θ ? 1 = 1
(θ ? δ 0 ) ? 1 = θ0 ? 1 = 1
θ(δ 0 ? 1) = θ ? 0 = 0
θ(δ 0 ? 1) = θ ? 0 = 0
0
0
6. Przesunięcie splotu. Jeśli f ?g istnieje, to istnieje też f (x+h)?g(x) i zachodzi
f (x + h) ? g(x) = (f ? g)(x + h), h ∈ IRn . Czyli operacja przesunięcia i brania
splotu są przemienne.
Dowód
6. Translation of convolution. If f ?g exists, then there also exists f (x+h)?g(x)
and the following holds: f (x + h) ? g(x) = (f ? g)(x + h), h ∈ IRn . Therefore
translation is commutative with taking a convolution.
Proof
h(f ? g)(x + h), φi = hf ? g, φ(x − h)i = hf (x) ⊗ g(y), φ(x − h + y)i =
= hf (x), hg(y), φ(x − h + y)ii = hf (x + h), hg(y), φ(x + y)ii =
= hf (x + h) ⊗ g(y), φ(x + y)i = hf (x + h) ? g(x), φi
≡ hfh ? g, φi
Uwaga. Splot nie zawsze istnieje!
Note. A convolution does not necessarily exist!
Twierdzenie
Theorem
Niech f będzie dowolną dystrybucją, a g – dystrybucją o zwartym nośniku. Wtedy
splot f ? g istnieje.
Let f be any distribution, and g – a distribution with compact support. Then the
convolution f ? g exists.
Twierdzenie
Theorem
Jeśli f ? g ? h istnieje, to
If f ? g ? h exists, then
f ? g ? h = (f ? g) ? h = f ? (g ? h)
f ? g ? h = (f ? g) ? h = f ? (g ? h)
– 23 –
Dowód wynika wprost z łączności iloczynu tensorowego.
The proof follows directly from the associative property of tensor product.
Twierdzenie
Theorem
Splot
1.
2.
3.
f ? g ? h jest łączny i przemienny jeśli:
wszystkie dystrybucje oprócz co najmniej jednej mają nośniki ograniczone
n = 1 i nośniki lewostronnie ograniczone
n = 4 i nośniki w podprzestrzeni t ≥ 0 i wszystkie oprócz co najmniej jednej
w stożku t2 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0 (stożek przyszłości)
The convolution f ? g ? h is associative and commutative, if:
1. all distributions, except for at least one, have bounded supports
2. n = 1 and left-bounded supports
3. n = 4 and supports in the subspace t ≥ 0 and all except for at least one in
a cone t2 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0 (future light cone)
Wniosek: podobnie dla splotu k dystrybucji.
Conclusion: similarly for the convolution of k distributions.
Twierdzenie
Theorem
Aby zróżniczkować lub przesunąć splot wielu dystrybucji, można zróżniczkować
lub przesunąć dowolny czynnik mnożenia splotowego.
In order to differentiate or translate the convolution of many distributions, we can
differentiate or translate any of the components in the convolution.
Definicja (algebra spolotowa)
Definition (convolution algebra)
0
0
Algebrą splotową A nazywamy taką podprzestrzeń D , że splot dwóch dystrybucji
lub skończonej ich ilości z A 0 istnieje i też należy do A 0 , jest łączny i przemienny
i że δ ∈ A 0
Przykłady algebr splotowych
1.
2.
3.
4.
A 0 = D 0 (Γ) – dystrybucje na okręgu
A 0 = E 0 – dystrybucje o nośniku ograniczonym
0
A 0 = D+ , n = 1 – nośniki w półprostej x ≥ 0
0
A = M 0, n = 4, dystrybucje o nośniku w stożku przyszłości t ≥ 0,
Convolution algebra A 0 is such a subspace D 0 that the convolution of two (or any
finite number of) distributions from A 0 exists, also belongs to A 0 , and is associative
and commutative and δ ∈ A 0
Examples of convolution algebras
1.
2.
3.
4.
A 0 = D 0 (Γ) – distributions on a circle
A 0 = E 0 – distributions with a bounded support
0
A 0 = D+ , n = 1 – support in a half-line x ≥ 0
0
A = M 0, n = 4, distributions with a support in a future light cone t ≥ 0,
t2 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0
t 2 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0
Równania w algebrze splotowej mają postać:
A ? X =B
Equations in convolution algebra have the form:
A ? X =B
– 24 –
A – współczynnik, X – niewiadoma, B – wyraz wolny. A, B ∈ A 0 , poszukuje się
X ∈ A 0.
A – coeffcient, X – unknown, B – absolute term. A, B ∈ A 0 , we seek X ∈ A 0 .
Twierdzenie
Theorem
Na to, aby równanie A ? X = B miało co najmniej jedno rozwiązanie ∀B ∈ A 0
potrzeba i wystarcza, aby A był odwracalny w A 0 , tzn aby istniał element A−1
taki, że A ? A−1 = A−1 ? A = δ. A−1 jest jednoznaczne i równanie A ? X = B ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
For the equation A ? X = B to have at least one solution ∀B ∈ A 0 it is necessary
and sufficient that A is invertible in A 0 , i.e. that there exists such an element A−1
such that A ? A−1 = A−1 ? A = δ. A−1 is unique and the equation A ? X = B has
exactly one solution.
Dowód
Jeżeli istnieje rozwiązanie ∀B, to weźmy B = δ, wtedy istnieje element odwrotny.
Jeśli istnieje element odwrotny A−1 , to
Proof
If there exists a solution of ∀B, then let us take B = δ, and then there exists an
inverse. If there exists an inverse A−1 , then
A−1 ? A ? X = A−1 ? B
A−1 ? A ? X = A−1 ? B
X = A−1 ? B
X = A−1 ? B
i w dodatku to jest jedno.
and also this is equal.
Definicja
Definition
A nazywamy inwersją A.
A ? X = δ nazywamy równaniem podstawowym dla A ? X = B
A−1 – rozwiązanie podstawowe równania A ? X = B, czyli rozwiązanie A ? X = δ
A−1 is termed an inverse of A.
A ? X = δ is termed a basic equation for A ? X = B
A−1 – basic solution of equation A ? X = B, i.e. a solution of A ? X = δ
Twierdzenie
Jeśli elementy A1 i A2 są odwracalne, to splot A1 ? A2 jest też odwracalny
−1
i (A1 ? A2 )−1 = A−1
1 ? A2
Theorem
If elements A1 i A2 are invertible, then the convolution A1 ? A2 is also invertible
−1
and (A1 ? A2 )−1 = A−1
1 ? A2
Dowód
Proof
−1
−1
−1
−1
(A1 ? A2 ) ? (A−1
1 ? A2 ) = (A1 ? A1 ) ? (A2 ? A2 ) = δ ? δ = δ
8.3. Regularyzacja dystrybucji
−1
−1
−1
(A1 ? A2 ) ? (A−1
1 ? A2 ) = (A1 ? A1 ) ? (A2 ? A2 ) = δ ? δ = δ
8.3. Regularization of distributions
Let ω (x). f = f ? ω be termed a regularization of f .
Niech ω (x). f = f ? ω nazywa się regularyzacją f .
0
Było już, że ω → δ, → 0 w D . Korzystając z ciągłości splotu f ? ω względem
ω mamy f → f , → 0 w D 0 .
We have already mentioned that ω → δ, → 0 in D 0 . Using the continuity of
convolution f ? ω with respect to ω we have f → f , → 0 in D 0 .
Twierdzenie
Theorem
Każda dystrybucja f jest słabą granicą funkcji testowych, tzn
D jest gęste w D ’.
Every distribution f is a weak limit of test functions, i.e.
D is dense in D ’.
– 25 –
8.4. Przykłady splotów. Potencjał newtonowski
8.4. Examples of convolutions. Newtonian potential
1. Niech f (x) – ciągła w IRn − {0} i całkowalna w IRn a µδS (x) – warstwa
prosta na ograniczonej, kawałkami gładkiej
powierzchni S, z ciągłą gęstością
R
powierzchniową. Wtedy: f ? µδS = S µ(y)f (x − y)dSy , bo:
1. Let f (x) be continuous in IRn − {0} and integrable in IRn and µδS (x) be
a simple layer on a bounded, piecewise
smooth surface S, with continuous
R
surface density. Then: f ? µδS = S µ(y)f (x − y)dSy , since:
hf ? µδS , φi = hµδS ⊗ f, φ(y + ξ)i =
= hµδS , hf, φ(y + ξ)ii =
Z
Z
= µ(y)( f (ξ)φ(y + ξ)dξ)dSy =
ZS
Z
= µ(y) f (x − y)φ(x)dxdSy =
ZS
Z
= φ(x)( µ(y)f (x − y)dSy )dx
1
1
|x|n−2 i dla n = 2 f2 (x) = ln |x| wtedy sploty
(0)
1
V2 (x) = ln |x|
?µδs są potencjałami newtonowskimi
1
1
|x|n−2 for n ≥ 3 and f2 (x) = ln |x| for n = 2.
(0)
(0)
1
1
Vn≥3 (x) = |x|n−2
? µδs and V2 (x) = ln |x|
? µδs are
Niech dla n ≥ 3 fn≥3 (x) =
Let fn≥3 (x) =
Then, the
(0)
1
Vn≥3 (x) = |x|n−2
convolutions
potentials of simple layers in n ≥ 3 and n = 2 dimensions
Z
dSy
(0)
Vn≥3 = µ(y)
|x − y|n−2
ZS
dSy
(0)
V2 = µ(y) ln
|x
− y|
S
Newtonian
?µδs i
warstw prostych w n ≥ 3 i n = 2 wymiarach
Z
dSy
(0)
Vn≥3 = µ(y)
|x − y|n−2
ZS
dSy
(0)
V2 = µ(y) ln
|x
− y|
S
1
2. Niech g ∈ D 0 (IRn ), n ≥ 3. Vn = |x|n−2
? ρ nazywamy objętościowym potencjałem newtonowskim.
1
Dla n = 3: V3 = |x|
? ρ spełnia równanie Poissona z gęstością ρ.
∆V3 = −4πρ
1
? ρ) = ∆ |x|
? ρ = −4πδ ? ρ = 4πρ.
1
Sprawdzenie: ∆V3 = ∆( |x|
R ρ(y)
V3 (x) = |x−y| dy – potencjał od ładunku o gęstości ρ
1
3. ρ – dowolna dystrybucja ∈ D 0 (IR2 ). V2 = ln |x|
? ρ, n = 2.
V2 spełnia równianie Poissona z n = 2.
1
1
∆V2 = ∆(ln
? ρ) = ∆ ln
? ρ = −2πρ
|x|
|x|
Z
1
V2 (x) = g(y) ln
dy
|x − y|
1
2. Let g ∈ D 0 (IRn ), n ≥ 3. Vn = |x|n−2
?ρ be termed a Newton volume potential.
1
For n = 3: V3 = |x|
? ρ satisfies the Poisson equation with density ρ.
∆V3 = −4πρ
1
? ρ) = ∆ |x|
? ρ = −4πδ ? ρ = 4πρ.
1
Verification: ∆V3 = ∆( |x|
R ρ(y)
V3 (x) = |x−y| dy – potential of a charge density ρ
1
3. ρ – any distribution ∈ D 0 (IR2 ). V2 = ln |x|
? ρ, n = 2.
V2 satisfies the Poisson equation with n = 2.
1
1
∆V2 = ∆(ln
? ρ) = ∆ ln
? ρ = −2πρ
|x|
|x|
Z
1
V2 (x) = g(y) ln
dy
|x − y|
4. Niech S – ograniczona, kawałkami gładka powierzchnia dwustronna,
n – wektor normalny, V – ciągłe na S.
1
∂
?
(νδS ) , n ≥ 3
|x|n−2 ∂n
1
∂
(1)
V2 (x) = − ln
?
(νδS ) , n = 2
|x| ∂n
Vn(1) (x) = −
Potencjał newtonowski od warstwy dipolowej.
– 26 –
4. Let S be a bounded, piecewise smooth two-sided surface, n – a surface
normal, V – continuous on S.
1
∂
?
(νδS ) , n ≥ 3
|x|n−2 ∂n
1
∂
(1)
V2 (x) = − ln
?
(νδS ) , n = 2
|x| ∂n
Vn(1) (x) = −
Newtonian potential of a dipole layer.

Dział 1. Funkcje uogólnione (dystrybucje Schwartza) Chapter 2

Transkrypt

Podobne dokumenty

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

Zestaw oryginalnych tuszy Hewlett-Packard (HP) SA308AE / HP 45+

FAI{STWOWY UAKJ,A} HIGIEI.\T}`

Karta produktu 11709

9 toToi - Urząd Gminy Goleszów

3B - K60 - Cavaliada

Opony do K100rs Odp:Opony do K100rs Odp:Opony - Boxer

"A-MOK w czwartek" pt.: "Kolęda na nowy dzień"