Zadania z Algebry z Geometrią Zestaw uzupełniający 1. 1. Dla
Transkrypt
Zadania z Algebry z Geometrią Zestaw uzupełniający 1. 1. Dla
Zadania z Algebry z Geometrią Zestaw uzupełniający 1. 1. Dla różnowartościowego ciągu liczb zespolonych z1 , z2 , z3 oznaczamy d(z1 , z2 , z3 ) = (z1 − z2 )/(z1 − z3 ). Wykazać, że jeśli d(z1 , z2 , z3 ) jest liczbą rzeczywistą, to liczby z1 , z2 , z3 leżą na jednej prostej na płaszczyźnie liczb zespolonych, a w przeciwnym przypadku leżą na jednym okręgu. 2. Zwijając sumę 1 + z + z 2 + . . . + z n dla z = eiφ wykazać, że sin[(n + 1/2)φ] 1 + cos φ + cos(2φ) + . . . + cos(nφ) = . 2 2 sin(φ/2) Znaleźć analogiczne wyrażenie dla sumy sin φ + sin(2φ) + . . . + sin(nφ). 3. Rozwiązać (w liczbach zespolonych) równania a) x4 + x2 + 1 = 0, b) (5 − 5i)x2 − (3 − 2i)x + 1 = 0, c) x3 = 5, d) x3 = −i. 1