Lista nr 1

1
Algorytmy optymalizacji dyskretnej – Paweł Zieliński
Ćwiczenia
Lista nr 11
1. Podać egzemplarze, F zbiór rozwiązań dopuszczalnych i funkcję kosztu (celu) c, następujących problemów optymalizacyjnych:
(a) problemu minimalnego drzewa Steinera (MINIMUM STEINER TREE),
(b) problemu najkrótszej ścieżki z ograniczeniem (SHORTEST WEIGHT-CONSTRAINED
PATH),
(c) problemu minimalnej sumy kwadratów (MINIMUM SUM OF SQUARES).
Zobacz: http://www.nada.kth.se/~viggo/problemlist/compendium.html
2. Ferdek zastanawia się, ile piwa Mocne i ile piwa Mocne Full powinien tygodniowo zamawiać. Mocne kosztuje go 1 zł za puszkę, sprzedaje je po 2 zł za puszkę. Za Mocne
Full musi zapłacić 1.50 zł za puszkę, a sprzedaje je po 3 zł za puszkę. Jednak z powodu
skomplikowanej polityki marketingowej firma piwowarska Mocne sprzedaje tylko jedną
puszkę Mocnego Full na każde dwie puszki zwykłego Mocnego kupionego przez Ferdka.
Ponadto ze względu na przykre doświadczenia z przeszłości, o których lepiej nie opowiadać, firma nie sprzeda Ferdkowi więcej niż 3000 puszek na tydzień. Ferdek wie, że może
sprzedać tyle piwa, ile tylko będzie miał. Sformułuj zadanie jako problem programowania liniowego do obliczenia, ile Mocnego i ile Mocnego Full powinien kupować Ferdek,
tak aby zmaksymalizować swój zysk. Rozwiąż ten problem (program) graficznie.
3. Sałatka jest dowolną kombinacją następujących składników: (1) pomidorów, (2) sałaty,
(3) szpinaku, (4) marchewki i (5) oleju. Każda sałatka musi zawierać: (A) co najmniej
15 gramów białek, (B) co najmniej 2 gramy i co najwyżej 6 gramów tłuszczu, (C) co
najmniej 4 gramy węglowodanów, (D) co najwyżej 100 miligramów sodu. Ponadto, (E)
nie chcemy, aby więcej niż 50% masy sałatki stanowiła zielenina (sałata lub szpinak).
Zawarto składników odżywczych (na 100 gramów) wynoszą:
Składnik
Pomidor
Sałata
Szpinak
Marchewka
Olej
Energa
(kcal)
21
16
371
346
884
Białka
(gramy)
0.85
1.62
12.78
8.39
0.00
Tłuszcz
(gramy)
0.33
0.20
1.58
1.39
100.00
Węglowodany
(gramy)
4.64
2.37
74.69
80.70
0.00
Sód
(miligramy)
9.00
8.00
7.00
508.20
0.00
Należy sporządzić sałatkę o najmniejszej liczbie kalorii z zachowaniem ograniczeń na
składniki odżywcze. Sformułować problem jako problem programowania liniowego.
4. Sformułować zadanie znajdowania najkrótszych ścieżek w sieci G = (N, A) z wyróżnionego wierzchołka s ∈ N do wszystkich wierzchołków sieci i ∈ N \ {s} jako zagadnienie
najtańszego przepływu.
1
Zadania pochodzą z książek: R.K. Ahuja, T.L. Magnanti and J. B. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Pearson Education, 2014,
S. Dasgupta, C. Papadimitriou, U. Vazirani, Algorytmy, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.
Algorytmy optymalizacji dyskretnej – Paweł Zieliński
2
5. Sformułować następujące problemy jako problemy cyrkulacji:
(a) problem najkrótszej ścieżki,
(b) problem przydziału,
(c) problem transportowy.
6. Rozważmy wariant problemu transportowego, w którym suma zapotrzebowań odbiorców
P
P
(dj , j ∈ [n]) jest większa od podaży dostawców (si , i ∈ [m]), j∈[n] dj > i∈[m] si , problem niezrównoważony. W prowadza się karę pj za każdą jednostkę nie zrealizowania
popytu na towar u j-tego odbiorcy. Sformułować problem jako standardowy problem
transportowy, tj. problem, w którym suma zapotrzebowań u odbiorców jest równa sumie
podaży u dostawców.
7. Kilka rodzin planuje pójść na wspólną kolację. Aby zwiększyć możliwość bliższego poznania się postanowili, że przy jednym stole będą siedzieli tylko członkowie różnych
rodzin. Załóżmy, że mamy p rodzin, gdzie i-ta rodzina, i ∈ [p], składa się z ai członków.
Ponadto załóżmy, że dostępnych jest q stołów, gdzie j-ty stół, j ∈ [q], ma bj miejsc.
Znajdź umiejscowienie członków rodzin, aby osiągnąć cel bliższego poznania - jeśli takie umiejscowienie istnieje dla zadanych danych. Sformułuj problem jako zagadnienie
najtańszego przepływu.
8. Policja w małym miasteczku posiada w swoim zasięgu trzy dzielnice oznaczone jako p1 ,
p2 i p3 . Każda dzielnica ma przypisaną pewną liczbę radiowozów wyposażonych w radiotelefony i sprzęt pierwszej pomocy. Policja pracuje w systemie trzyzmianowym. W
tabelach 1 i 2 podane są minimalne i maksymalne liczby radiowozów dla każdej zmiany.
Aktualne przepisy wymuszają, że dla zmiany 1, 2 i 3 powinno być dostępnych, odpoTabela 1: Minimalne liczby radiowozów dla każdej zmiany i dzielinicy
zmiana 1 zmiana 2 zmiana 3
p1
2
4
3
p2
3
6
5
p3
5
7
6
Tabela 2: Maksymalne liczby radiowozów dla każdej zmiany i dzielinicy
zmiana 1 zmiana 2 zmiana 3
p1
3
7
5
p2
5
7
10
p3
8
12
10
wiednio, co najmniej 10, 20 i 18 radiowozów. Ponadto dzielnice p1 , p2 i p3 powinny mieć
przypisane, odpowiednio, co najmniej 10, 20 i 13 radiowozów. Policja chce wyznaczyć
przydział radiowozów spełniający powyższe wymagania i minimalizujący ich całkowitą
liczbę. Sformułować problem jako problem cyrkulacji.
9. Cyklicznie powtarzającym się problem w amerykańskich siłach zbrojnych jest problem
dystrybucji i wykorzystania wykwalifikowanych pracowników. Każdego miesiąca tysiące
Algorytmy optymalizacji dyskretnej – Paweł Zieliński
3
pracowników zwalnia swoje miejsca pracy, które wymagają obsadzenia. Natomiast, tysiące pracowników jest gotowych, aby zająć zwolnione miejsca pracy. Każde miejsce pracy
wymaga pewnych umiejętności. Każda osoba gotowa podjąć pracę ma również pewne
umiejętności i preferencje dotyczące pracy. Załóżmy, że używamy tych informacji do obliczenia użyteczności dij przydziału każdego pracownika i do każdego nowego miejsca
pracy j. Problem decyzyjny polega na przydziale pracowników do nowych miejsc pracy
w taki sposób, aby zmaksymalizować całkowitą użyteczność przydziału pracowników do
miejsc pracy. Jak sformułować ten problem jako problem przepływu w sieci?
Wskazówka: Jak przejść z zadania, w którym minimalizujemy funkcje celu do zadania, w którym maksymalizujemy funkcje celu. Mianowicie, zbiory rozwiązań optymalnych następujących
problemów są identyczne:
min c(x)
x∈F
i
max −c(x).
x∈F