semantologika - Portal Tezeusz

SEMANTOLOGIKA
Oznaczenia i określenia wstępne
Układ semantyczny
Układ semantyczny to piątka <U, s, d, MS, MT>, gdzie U to dana dziedzina (uniwersum,
tj. ogół obiektów rozważanych); s( ) i d( ) to funkcje odpowiednio sygnifikacji i denotacji,
podczas gdy MS i MT to relacje (bądź operatory) sygnifikacji i uprawdziwienia, czyli:

s(x) – sens (rep. znaczenie) x, czyli ta możliwa sytuacja w przestrzeni
ontologicznej, którą x głosi, przedstawia, sygnifikuje

d(x) – denotacja x, czyli ten fakt, który x oznacza, denotuje, if any

MS(x, y) – x sygnifikuje y, czyli x przedstawia swój sens y, tj. sensem x jest y

MT(x, y) – x uprawdziwia y ze zwykłymi warunkami
W pewnym sensie określenie układu jest nadmiarowe, można by bowiem wziąć jedną z
trójek, np. U, MS, MT.
Dla s( ) i d( ), w konsekwencji też dla MS, obowiązują zwykłe zasady składania (różne
wersje); dla MT zaś – jak zwykle dla stałych klasycznych oraz przepis JP dla modalności:
(O) MT(x, Oy) :  MO(x, y)
z ewentualnymi modyfikacjami.
Zwykle przyjmujemy, że s oraz d są funkcjami, podczas gdy MS i MT są relacjami. Aby
uzgodni ewentualne rozbieżności trzeba by określić wyróżniony sens (sygnityw) oraz
wyróżniony uprawdziwiacz (obiektyw), np. jako minimalny sens czy maksymalny/minimalny
uprawdziwiacz. Mamy wtedy1
(1)
MS(x, y), o ile s(x) = y; oraz
MT(x, y) o ile z(s(y) = z  d(z) = x).
Terminologia
1) Gdy s(x) = y , to x obraz (znak), y zaś to sens znaku x
2) Gdy d(x) = y, to y denotat znaku x, przedmiot przezeń oznaczany
1
Wg schematu SFWR, patrz §
dalej.
3) Gdy MS(x, y), to ukazywacz x ukazuje (przedstawia) swój sens: Obraz ukazuje swój
sens2.
4) Gdy MT(x, y), to uprawdziwiacz x jest faktem weryfikującym y, weryfikatorem; y zaś
jest obrazem (znakiem) uprawdziwianym, stąd też weryfikowanym, przez x.
5) Język (atomiczny): to zespół atomów + gramatyka, z ich wytworami. Stąd też zespół
obrazów (stosownych kompleksów, zdań).
to obrazy (znaki) w pewnym języku. Oba pojęcia są więc
6) Nazwa oraz zdanie
relatywne, z uwagi na dany język. Zdania, jak zwykle, oznaczamy dużymi literami z
początku alfabetu łacińskiego, nazwy zaś – literami małymi (oraz wyjątkowo „r”), z
ewentualnymi indeksami.
Skróty
Przyjmujemy następujące skróty3:

x\y
zamiast
MS(x, y), czyli s(x) = y

x:y
zamiast
MT(x, y)
Definicje
Df.S Sy :  x x\y
y jest (jakimś) sensem (sądem logicznym, proposition – w
przypadku zdań), czyli tym, co ukazuje jakiś obraz
Df.PS PSx :  y x\y x jest obrazem (znakiem, zdaniem) sensownym, czyli x jest
sensowny, tj. przedstawia jakiś sens, jakąś sytuację w przestrzeni ontologicznej
Df.FR FRx :  y x:y x jest faktem4, czyli obiektem, który uprawdziwia jakiś obraz
Df.T Ty :  x x:y y jest (jakąś) prawdą, czyli tym, co oznacza jakiś fakt, który go
uprawdziwia
Tak więc dla danego A, A jest prawdziwe – TA – gdy coś go uprawdziwia; A jest zaś
sensowne – PS(A) – gdy przedstawia jakąś sytuację (która je usensownia).
Przedstawianie, resp. sygnifikowanie
x\y
2
Por. Traktat Wittgensteina.
Drugi z nich za A. Indrzejczakiem.
4
Wg df. B. Russella z The Philosophy of Logical Atomism, dlatego piszemy FR – fakty w sensie Russella.
3
1. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy, że x\y wtw s(x) = y. Stąd
(1)
x\x wtw s(x)=x
Czyli samosygnifikacja bądź parazwrotność x\x równoważna jest temu, iż x jest punktem
stałym s.
2. Klasyczny rachunek kwantyfikatorów KRK wśród swych tez ma prawa diagonalizacji:
d1
xy (A(y, x)  A(x, x)), czyli xy (A(y, x)  A(x, x))
d2
yx (A(y, x)  A(x, x)), czyli yx (A(y, x)  A(x, x))
Stosując te prawa do A(y, x):= y\x otrzymamy
sd1
xy (y\x  (x\x)), czyli xy (y\x  x\x)
sd2
yx (y\x)  (x\x)), czyli yx (y\x  x\x)
3. Wychodząc z sd1 otrzymamy m. in. xy (x\x  y\x), czyli x (x\x  y y\x), tj. x\x
 Sx . Jeśli więc przyjmiemy aksjomat parazwrotności5
y\x  x\x,
APR.1
czyli y y\x  x\x, to
(2) Sx  x\x
Podobnie,
wychodząc
sensy to obiekty zwrotne parafraz.
z
oraz
sd2
przyjmując
symetryczną
postać
aksjomatu
parazwrotności
APR.2
x\y  x\x
otrzymamy
(3)
PSx  x\x
obrazy sensowne to obiekty zwrotne parafraz.
Stąd przyjmując obie postacie parazwrotności otrzymamy oczekiwaną charakterystykę
sensów i obrazów sensownych zarazem:
(4)
Sx  x\x  PSx.
Na koniec zauważmy, że aksjomat parazwrotności APR.1 jest uogólnieniem jednej ze
składowych prawa diagonalizacji sd1
. W istocie sd1 implikuje xy (y\x  x\x),
podczas gdy APR.1  xy (y\x  x\x).
4. Obserwacja (1) wraz z APR.1 gwarantuje stabilność sensów6
5
Konwencja: Litery i cyfry podkreślone – aksjomaty; półgrube zaś – składowe określeń logik.
(5)
sy = x  sx = x
(6)
Sx  snx = x dla każdego n.
Aksjomaty
Wszystkie parafrazy przedstawiają ten sam sens, niezależnie od sposobu jego wyrażenia.
Sens jest niezmiennikiem parafraz, kto zna sens znaku potrafi myśl w nim zawartą wyrazić
innymi słowami. Sens jest jeden, parafraz wiele.
Stąd poniższe aksjomaty parafrazy:
AP0
x=y  xy  x  y  (x  y)
Identyczności są parafrazami, parafrazy są kongruencjami, kongruencje są
równoważnościami.
5. Parafrazy bowiem to absolutne kongruencje lingwistyczne, które jednoznacznie
charakteryzują język. Przyjąć można, że parafrazy to najmniejsze kongruencje nietrywialne w
danym języku.7
AP1
x\y  xz  z\y
Parafrazy mają ten sam sens.
AP2
x\y  y≈z  x\z
Znak przedstawia swój sens wraz z wszystkimi jego parafrazami
Przejdźmy do aksjomatów zgodności:
AP3.1 y\x  z\x  yz
Znaki mające ten sam sens są wzajem parafrazowalne.
AP3.2 x\y  x\z  yz
Sensy tego samego znaku są wzajem parafrazowalne
Zasadnym jest rozważenie zamiast aksjomatu ostatniego silniejszego aksjomatu
jedyności:
AP3.3 x\y  x\z  y=z
6
Żadnego trzeciego człowieka.
W językach algebraizowalnych, tworzących algebry absolutnie wolne, parafrazy to pewne rodziny
najmniejszych kongruencji nietrywialnych w podprosto nierozkładalnych algebrach absolutnie wolnych.
7
Znaczy on, że każdy znak ma jeden sens, stąd s( ) jest funkcją. Sensem x jest wtedy
minimalna sytuacja przedstawiana przez aksjomaty monotonii:
AP4.1 y\x  z\u  (yz  xu)
AP4.2 y\x  z\u  (xu  yz)
AP4.3 y\x  z\u  (xu  yz)
Z grubsza, parafrazy znaków to parafrazy ich sensów; parafrazy sensów zaś to parafrazy
stosownych znaków.
Przejdźmy następnie do aksjomatów koherentności parafraz:
Znaki niezgodne nie są wzajem parafrazowalne:
ACp
(y  yc)
Z aksjomatu powyższego i drugiego aksjomatu zgodności AP3.2 otrzymujemy łacno
dowód tego, że w strukturach zawierających znaki niezgodne nie ma sensu uniwersalnego:
(7)
xy y\x;
Gdyby x* było takim sensem, to dla jakiś y i yc zachodziłoby, że y\x* oraz yc\x. Przez
przywołany aksjomat zgodności y  yc, co sprzeczne z aksjomatem koherentności.
Aksjomat niesprzeczności
6. Znaki sprzeczne (niezgodne) nie mogą wyrażać tego samego sensu. Dokładniej, niech
yc będzie sytuacją niezgodną z y, np. uzupełnieniem x w strukturze z uzupełnieniami. Wtedy
ACs
x (y\x  yc\x)
Stąd, podobnie jak w przypadku koherentności, w strukturach, w których znajdują się
obiekty niezgodne, np. w strukturach z uzupełnieniami, nie ma sensu uniwersalnego. W
rzeczy samej, gdyby x* było takim sensem, to zarówno y, jak yc przedstawiałyby sens x*, co
sprzeczne z ACs.
Zauważmy, że z pierwszego aksjomatu zgodności AP3.1 oraz z aksjomatu koherentności
ACp wynika aksjomat niesprzeczności ACs.
(8)
AP3.1, ACp ├ ACs
Jeśli bowiem y\x oraz yc\x to y  yc, co przeczy koherencji.
Ekstensjonalność
7. Ewentualny aksjomat ekstensjonalności :
AE
x\y  yz  x\z
byłby za mocny. Przedstawianie jest operacją jednostkową i intensjonalną, a nie zbiorczą i
ekstensjonalną. AE zachodzi, być może, dla podmiotu sygnitywnego (ejdetycznego), który
parafrazując, czyli badając sens x, znajduje wszystkie jego równoważniki.
Tym niemniej, niektóre równoważniki z pewnością są parafrazami, w tym te, które
wyrażają prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: xA ≈ xA. Prawa te bowiem zdają
sprawę ze znaczenia kwantyfikatorów. Stąd mamy
(1)
x\yA  x\yA
Ekstensjonalność i monotonia
8. Reguła ekstensjonalności mówi, że uprawdziwiacze domknięte są na równoważność
logiczną:
RE:
A  B / x:A  x:B
Reguła monotonii mówi zaś, że uprawdziwiacze domknięte są na implikację, ogólniej – na
wynikanie logiczne:
RM:
A  B / x:A  x:B
Są to reguły, w naszym przypadku, na miejscu.
Sprawdzalność
9. Uprawdziwianie można rozumieć jako testowanie. Wtedy akceptowalną byłaby
następująca reguła sprawdzania
RA:
A / x:A
Mówi ona, że warunkiem koniecznym uprawdziwienia A jest jego przetestowanie,
sprawdzenie. Reguła ta jest jednym z prawdziwościościowych analogonów reguły Gödla.
Niesprzeczność
Z niesprzeczności układu mamy logiczną zasadę niesprzeczności.
C:
x x: AA
Prawdziwość
10. Mamy dwie wersje klasycznej definicji prawdziwości: tradycyjną (stoicką) – poprzez
funkcje denotacji i sygnifikacji oraz
Russellowską, pozornie prostszą, poprzez relację
(operator) uprawdziwiania, także w dwu odmianach.
Df. T Prawdziwość via schemat SFWR
(Stoicy – Frege – Russell – Wittgenstein)
Ty :  d(s(y)) = x, dla jakiegoś faktu x, tj. x x = d(s(y))
11. Czyli y jest prawdziwe – Ty – wtedy i tylko wtedy, gdy sens y coś denotuje.
Określenie to presuponuje, że y jest znakiem (obrazem) sensownym, a nie bezsensem.
Df. T Prawdziwość via uprawdziwianie.(Russell)
Ty :  x x:y y jest prawdziwe, gdy coś go uprawdziwia
12. Obie definicje są egzystencjalne i zgodne, ponieważ Ty  z (z = s(y)  d(z) = x) dla
jakiegoś x, czyli xz (z = s(y)  d(z) = x), zaś uprawdziwianie w schemacie SFWR to x:y
: z (z = s(y)  d(z) = x), czyli x = d(s(y). Stąd Ty  xz (z = s(y)  d(z) = x). Dlatego
(1)
Ty  Ty.
Przyjmując schemat SFWR możemy więc zamiennie używać obu pojęć, których
wspólnym oznaczeniem będzie „T”.
13. Operatorem dualnym do prawdziwości jest tautologiczność. W rzeczy samej, TA
 x x:A  x x:A, czyli x (x:A) ↔ x x:A . Kładąc więc
Df. Taut TautA : x x:A
otrzymamy więc stosowną generalizację prawdziwości.
Realność
14.
Z drugiej strony, rozważywszy prawdziwość jako bycie prawdziwym w
rzeczywistości, w świecie realnym r otrzymamy samosprzężony operator pośredni V:
Df. V Vx : r:x
Łatwo widać, że VA  (r:A)  (r:A)  (r:A)  r:A  VA. Czyli:
(2)
VA  VA, VA  VA.
Operator V jest, w rzeczy samej, pośredni;
(3)
TautA  VA  TA.
15. W pewnej mierze, tj. dla niektórych A, VA  A. Kładąc bowiem A(x, y) : x:y
otrzymamy, że
(4)
A(r, y)  VA(r, y)
o ile przyjmiemy, że r:(r:y) = r:y
16.
Kiedy Vx  Tx ? Rzecz jasna Vx  Tx. W sprawie implikacji odwrotnej8,
zauważmy najpierw, że uprawdziwiaczami są fakty. Z drugiej strony, fakty to fragmenty
świata rzeczywistego r, czyli
F
Fx  xr.
Z kolei, z uwagi na egzystencjalny charakter definicji prawdziwości, rozważnie jest
przyjąć aksjomat mereomonotoniczności dla MT, tj.
MM
xy  x:A  y:A
Gdy Tx, to y y:x. Niech y będzie jednym z y–ków uprawdziwiających x, czyli y:x. Stąd y
jest faktem, czyli Fy. Dlatego yr. Przez MM mamy, że r:x, czyli Vx.
A więc y:x  Vx. Skoro y było dowolnym z uprawdziwiaczy x, to y(y:x  Vx); czyli
y y:x  Vx, to jest Tx  Vx, qed.
17. Z kolei, kiedy TautA  VA? Rzecz jasna TautA  VA. Zapytajmy więc kiedy na
odwrót, czyli kiedy r:A  x x:A, tj x(r:A  x:A)?
W niektórych przypadkach tak jest, ale chyba daleko nie zawsze. Rozważmy przykład
A(y) := (y = r). Przyjmujemy, że
MT(=) x: y=z wtw ślad x na y równa się śladowi x na z, czyli y/x = z/x.
8
Rozważania poniższe wymagają ostrożności w utożsamieniu implicite faktów z uprawdziwiaczami.
Widać, że r: y = r wtw gdy y/r = r/r, czyli y/r = r/r. Ale r/r = r, tj. y/r = r, stąd ry. Przez
maksymalność r mamy, że y = r. Rekapitulując r: y = r wtw y =r. Dlatego, gdy Ax :x = y, to w
naszym przypadku r:y=r  x: y=r, tj. r:A  x x:A.
Jak w pozostałych przypadkach?
18. Jeśli w przestrzeni ontologicznej są kontrfakty, to Tx nie mówi, że x jest prawdziwe,
lecz jedynie że jest spełnione; MT odpowiada wtedy teopriomodelowemu spełnianiu, a nie
prawdziwości w standardowym, czyli rzeczywistym modelu. Należałoby więc jakoś zacieśnić
pole MT bądź T
Pójdziemy drogą drugą. Akceptujemy więc definicję F oraz przyjmujemy aksjomat
Russella, który głosi, że uprawdziwiacze są faktami:
RF
x:y  Fx, czyli Tx  Fx. Innymi słowy, z uwagi na F
x:y  xr, tj. Tx  xr.
Wtedy
(5)
Tx  TxFx
Czyli kładąc TFx.:= TxFx otrzymamy
(6)
TFx.  Tx.
19. Prowadzi to do zasadniczej modyfikacji uwag z powyższych paragrafów. Między
innymi, jeśli przyjmiemy, że świat realny jest niesprzeczny
Cr
x (x, xc  r),
to nie ma takich A, że TFA oraz TFA.
Reguły
20. Dla T przyjmujemy reguły monotonii oraz ekstensjonalności:
RMT A  B / TA TB,.
RET
A  B / TA  TB
Wynikają one z RM: i RE:, por. §
wyżej.
21. Z kolei, jeśli zaakceptujemy regułę sprawdzania RS: to otrzymamy uprawdziwienia
zaakceptowanego
RT+
A / TA
Prawa
22. Z uwagi na postać definicji prawdziwości, T jest operatorem egzystencjalnym, raczej
możliwością niż koniecznością. Przyjmujemy więc właściwe dla możliwości prawo rozkładu
T względem koniunkcji:
T
T(AB)  TATB,
23. W rzeczy samej, x x:AB  x x:A  x x:B, poprzez prawa rozkładu  oraz :
względem koniunkcji. Ale nie na odwrót.
Wiadomo, że powyższe implikacje nie można odwrócić. Przyjąwszy, że x: A implikuje
x: A, czyli (x: A) mamy, że w niesprzecznym układzie odwrotność powyższego prawa
rozkładu nie zachodzi, wszak T(A)T(A) nie implikuje T(AA), dla wielu zdań zachodzi
zaś, że zarówno A, jak i A są prawdziwe: TA oraz TA czyli x x;A i x x:A; dla
każdego A zaś,  T(AA), czyli x x: AA.
24. Na miejscu są także prawa rozkładu T względem implikacji:
T1
T(A  B)  (TautA  TA)
Bezpośrednio z definicji T i KRK, przez prawo rozkładu małego kwantyfikatora
względem implikacji. Z drugiej strony
T
T(A  B)  (TA  TB)
Załóżmy więc T(A  B), czyli y y: (AB). Wtedy z: (A  B), gdzie zmienna z nie ma
wolnych wystąpień w „A  B”. Stąd z:A  z:B, czyli z:A  y y:B, tj. z:A  TB. Przez
regułę generalizacji z (z:A  TB). Z założenia o statusie zmiennej z przez prawa
przenoszenia dla kwantyfikatorów mamy z z:A  TB, czyli TA  TB.
25. Załóżmy poniższe prawo skracania dla :
C
x:x:y = x:y
bądź w wersji słabszej
x:y  x:x:y
W rozważnym przypadku mamy aksjomat iterowania T dla zdań9
T/TT TA  TTA
9
Czyli formuł domkniętych.
Przez KRK mamy, że x:y  x x:y, czyli x:y  Ty. Przez RM(:) otrzymujemy x:x:y 
x:Ty, przez C dostajemy x:y  x:Ty. Dlatego, przez KRK, x x:y  x x:Ty, czyli Ty 
TTy. Powyższe rozumowanie daje też T\TT dla A, w których zmienna kwantyfikowana x nie
ma wolnych wystąpień w A.
26. Wydaje się, że można by przyjąć aksjomat
T
A  TA, czyli A  x x:A
Jak to jednak uzasadnić? Wystarczyłoby chyba wykazać, że A jest zawsze uprawdziwiane,
czyli y: A  TA, tj. y:A

y:
x
x:A.
Przyjmiemy teraz
następujące
warunki
semantyczne10:
()
y: xB wtw
x y : B czyli x (y:B)
uprawdziwienia formuł egzystencjalnych, oraz dwa warunki charakteryzujące iteraty „:”
(&) y:z:A  y&z:A. Warunek charakteryzujący & ()
yy&z. Prawo pochłaniania dla &
(m&) uw  u:B  w:B. Monotoniczność dla &.Z powyższych warunków otrzymujęmy
łacno:
(i)
y:A  y&z
(ii)
y:A  y:z:A
przez (&)
(iii)
y:A  x (y:x:A).
przez KRK
(iv)
y:A  y:x x:A
przez ()
(v)
y:A  y:TA
czyli
(vi)
y: A  TA
qed.
Przyjmując tym razem
()
yy&z
i rozumując analogicznie otrzymamy
T*
TA  A.
Tak więc aksjomat deflacyjny
TT*
10
TA  A
Zakładamy dalej, że x i y oraz z nie mają wolnych wystąpień w A.
wymaga chyba zbyt silnego warunku y&z  y  y&z.
Przedstawianie i uprawdziwianie
Monotoniczność
M
x\y  Tx  Ty
Gdy sens obrazu nie jest prawdziwy, to obraz też nie jest prawdziwy.
Antymonotoniczność
AM x\y  Ty  Tx
Gdy sens obrazu jest prawdziwego, to sam obraz
jest prawdziwy.
Ektensjonalność
EX
x\y  (TxTy)
Obraz jest prawdziwy wtw gdy jego sens jest prawdziwy
Sensowność a prawdziwość
Prawdziwość presuponuje sensowność. Wyrażenie bez sensu nie jest prawdziwe, skoro
uprawdziwianie to porównywanie sensu z faktami.
TS
y x\ y  Tx, czyli PSx  Tx,
gdzie Sx : y x\ y.
Wgląd Wittgensteina
Obiekty uniwersalne, w tym sprzeczne i tautologiczne, są bez sensu (sinnlos).
Wypowiedzi o nich są znaczeniowo puste. Sensem jest bowiem jakąś sytuacja w przestrzeni
logicznej, nie ma zaś ani sytuacji pełnej (1) ani pustej (0). Wolniewicz przyjmuje inaczej.
W
Incons(x)  y x\y, Taut(x)  y x\y
Paradoksalne konsekwencje W: Każde zdanie uniwersalne w sposób nieograniczny (w
których zakres kwantyfikatorów nie jest ograniczony) jeśli jest prawdziwe, to skoro wtedy
jest tautologiczne, to jest bezsensowne. Ergo, jako bezsensowne nie może być prawdziwe.
Nie jest więc prawdziwe.
Niech A := xB, dla pewnego B, w którym kwantyfikator „x” nie jest ograniczony.
Wtedy:
(2)
TB  y A\y
(3)
TB
Tautologie nie są więc prawdziwe. Wgląd Wittgensteina implikuje, że stwierdzenia
uniwersalne nie są ani sensowne ani prawdziwe. Ergo, prawdziwość jest orzecznikiem
wypowiedzi przypadkowych, empirycznych.