1. Podstawowe pojęcia algebraiczne (grupa,pierścień,ciało) 2

1. Podstawowe pojęcia algebraiczne
(grupa,pierścień,ciało)
2. Pierścień Euklidesa i struktura ilorazowa
Pierścień Euklidesa f= q*b +r
N(r)<N(b)
K- ciało
K[x]- pierścień wielomianów nad K
Zakładamy, Ŝe
N(a)=0 => a=0
N(a,b)=N(a)*N(b)
Zad.1
K=F2
Wykonuje dzielenie z resztą
f(x)=x3+x+1
x
x3+x+1: x2+1
-x3-x
1
g(x)=x2+1
q=x r=1
N(f)=2s+f i st(0)= -∞ => 2-∞:=0
wtedy N(g)=N(x2+1)=4
=>N(r)<N(g)
N(r)=N(1)=1
Zad.2
R=Z[i]
N(a+ bi )= a2+b2
Wykonać dzielnie z resztą w Z[i]
3+2i przez 1+i
W(1)=1
W(1+i)=2
3+2i= 2(1+i)+1
3 + 2i 1 − i 5 − i
=
*
1+ i 1− i
2
3t=2i=(2i)*(1+i)+i
K [ x]
={[g]N}g+ K[x]
(f)
q=2-i
g1~g2 <=> g1-g2= h* f
Przykład:
1)
K [x ]
1
g1~g2 <=> 1| g1-g2
2)
K [x ]
2
g1~g2 <=> 2| g1-g2 g1-g2 2 h(x) czyli 1≠0
czyli jedna klasa abstrakcji
bo 2
K- ciało
K[X,Y]- pierścień wielomianu o dwóch zmiennych
C(X,Y) є K[X,Y]
R=
K [ X ,Y ]
(C )
C(X,Y)=Y2-X3-X
X2 −X3
zatem sparawdz czy F ( X , Y ) =
X
naleŜą do klasy dzielonej przez 1 ze
względu na ~ g1~g2 <=> C(X,Y)| g1-g2
K[ X ,Y ]
R= 2
Y - X3 - X
1
g1-g2=
1
Y2 − X3
Y2 − X3 − X
Y2 − X3 − X
-1=
=Y2 − X3 − X |
= (X 2 − X 3 − X )
X
X
X
X