Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 20
Transkrypt
Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 20
Międzynarodowy Konkurs Matematyczny „PIKOMAT” Finał – 20 czerwca 2013r. Klasa IV Zadanie 1 Od 8 rano pan Antoś sprzedaje na miejskim targowisku polski czosnek po 80 gr za główkę. W 5 minut sprzedaje 4 główki. Po pewnym czasie przechodzi tamtędy jego kolega. Pan Antoś może oddać mu 50 zł, które kilka dni temu pożyczył od niego, ale i tak na koniec ma jeszcze w kieszeni zarobione 46 zł. O której godzinie przyszedł kolega pana Antosia? Zadanie 2 Znajdź liczbę naturalną różną od zera wiedząc, że jeśli podzielisz tę liczbę przez 6, to otrzymany iloraz będzie 5 razy większy niż reszta. Zadanie 3 Olek ma do dyspozycji 24 jednakowe kwadratowe płytki. Buduje z nich prostokąt, wykorzystując wszystkie płytki. Ile razy obwód tego prostokąta jest większy od obwodu każdej kwadratowej płytki? Klasa V Zadanie 1 Podczas pobytu w zoo Krzyś zatrzymał się przy wybiegu dla słoni. Buszował tam słoń Dominik. Krzyś zapytał opiekującego się zwierzęciem pracownika, ile waży Dominik. Opiekun zwierzęcia odpowiedział: „Słoń waży tyle, ile dwa nosorożce, nosorożec tyle, ile dwa żubry, żubr tyle, ile dwa niedźwiedzie, niedźwiedź waży tyle, ile dwa tygrysy, tygrys tyle, ile dwa strusie, struś tyle, ile dwa wilki, wilk tyle, ile dwa bobry, bóbr tyle, ile dwa lisy, lis waży tyle, ile ważą dwa zające. Ponadto słoń waży o 6,25 kg więcej, niż ważą w sumie pozostałe zwierzęta”. Krzyś zdębiał! Ten pan, to pewnie matematyk – pomyślał przez chwilę Krzyś. Ile zatem waży słoń Dominik? Zadanie 2 W pewnej grupie sportowców na wczorajszym treningu liczba nieobecnych zawodników stanowiła szóstą część liczby zawodników obecnych. Gdyby jeden z zawodników nagle opuścił trening, liczba zawodników nieobecnych stanowiłaby piątą część liczby zawodników obecnych. Ilu zawodników liczy ta grupa sportowców i ilu było wczoraj obecnych na treningu? Zadanie 3 Pięć dziewcząt ułożyło na plaży kwadrat ze swoich ręczników kąpielowych (rys.). Ręczniki Magdy, Zosi, Oli i Justyny mają kształt prostokątów, a ręcznik Natalii – kwadratu. Wiadomo, że czerwony ręcznik Magdy ma wymiary 160 cm × 60 cm, a popielaty ręcznik Zosi 140 cm × 48 cm. Wymiary ręczników Oli i Justyny – niestety – nie są znane. Oblicz obwód żółtego ręcznika Natalii. 48 cm 140 cm 160 cm 60 cm Klasa VI Zadanie 1 Pewien dworzanin zauważył strażnika wspinającego się po drabinie na mur otaczający pałacowy ogród. – Ciekawe, jaką wysokość ma ten mur? – zapytał wołając. Na to strażnik odpowiedział: – Mam 198 cm wzrostu. Gdybym stanął pod murem, moja głowa byłaby o tyle centymetrów poniżej szczytu muru, ile jest teraz nad nim, gdy stoję na drabinie w połowie wysokości muru. Jaką wysokość ma mur? Zadanie 2 Uzupełnij brakujące mianowniki, aby powstało poprawne działanie. 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + =1 2 3 72 108 216 Zadanie 3 Dany jest czworokąt ABCD, w którym boki AB i CD są równoległe oraz |AD| = |DC| = |CB| i |AB| = |AC|. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta. D C A B Klasa I Zadanie 1 Dana jest pewna liczba trzycyfrowa. Jeżeli dodamy do niej 12 i tę zwiększoną liczbę podzielimy przez 7, to otrzymamy resztę 5. Jeżeli do danej liczby trzycyfrowej dodamy 14 i zwiększoną liczbę podzielimy przez 9, znowu otrzymamy resztę 5. Jeżeli do danej liczby trzycyfrowej dodamy 18 i zwiększoną liczbę podzielimy przez 13, także otrzymamy resztę 5. Wyznacz daną liczbę trzycyfrową. Zadanie 2 Grupa gimnazjalistów wybrała się do lasu na grzybobranie, którego celem były borowiki szlachetne. Jeden z nich znalazł 6 borowików, a pozostali po 13. Następnym razem w grzybobraniu wzięła udział inna grupa gimnazjalistów. Tym razem jeden znalazł 5 borowików, a pozostali po 10. Ilu gimnazjalistów uczestniczyło w pierwszym grzybobraniu, a ilu w drugim, jeżeli wiadomo, że zebrano w nich tę samą ilość borowików – większą od 100, ale nie przekraczającą 200? Zadanie 3 Oblicz pole czworokąta AFBE oraz pola trójkątów BCE i BDF. 6 cm Klasa II Zadanie 1 Pan Antoś jest najstarszy, pan Stasiu zaś najmłodszy. Dziesięciokrotna różnica ich wieku jest sumą lat pana Antosia i pana Janka. Wiek pana Marka jest średnią wieku pozostałych panów, a różnica jego wieku i wieku pana Stasia jest dwukrotnie większa od różnicy lat pana Antosia i pana Janka. Różnica między wiekiem pana Janka i pana Stasia jest o dwa większa niż różnica między wiekiem pana Antosia i pana Marka. Ile lat ma każdy z panów? Zadanie 2 Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1 1 2 − 2 − = 3 x y Zadanie 3 Dany jest kwadrat o boku długości 1. Umieszczamy w nim cztery większe i cztery mniejsze okręgi (rys.). Oblicz pole kwadratu, który powstał po połączeniu środków mniejszych okręgów. Klasa III Zadanie 1 Staszek kupił wczoraj pewną ilość pomarańczy. Dzisiaj pomarańcze podrożały o 50% i za ilość pomarańczy o k% mniejszą niż wczoraj zapłacił o k% więcej. O ile procent więcej pomarańczy Staszek kupił wczoraj niż dzisiaj? Zadanie 2 Na zajęciach koła matematycznego uczniowie mieli do rozwiązania poniższe równanie: a b b−a+ a 1+ b =1+ b − a , 1 1+ a+b 2+ w którym nie sprecyzowano, która z liter oznacza niewiadomą. Kasia przyjęła, że niewiadomą jest a, zaś Danusia przyjęła, że niewiadomą jest b. Jakie było rozwiązanie Kasi, a jakie Danusi? Zadanie 3 Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Oblicz pole trapezu KLMN wiedząc, że punkty K i L są środkami boków AB i BC, a odcinek AC przekątną kwadratu. Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak