Grawitacja – zadanka 1. W jakiej odległości od środka Ziemi

Grawitacja – zadanka
1. W jakiej odległości od środka Ziemi znajduje się ciało jeżeli jego pierwsza
prędkość kosmiczna wynosi v1 = 7, 5·103 m
s ? Wartości stałych dla obliczeń:
2
2
·m
G = 6, 7 · 10−11 Nkg
2 Mz = 6 · 10 4kg .
2. Znaleźć siłę przyciągania między pojazdem kosmicznym o masie 70ton a
kosmonautą o masię 70kg , który znajduje się w odległości 5m od tego
pojazdu. Jakie przyspieszenie może uzyskać kosmonauta pod wpływem tej
siły?
3. Na jaką wysokość należy wynieść sztucznego satelitę aby widziany przez
niego obraz był nieruchomy. (satelita geostacjonarny). Promień Ziemii wynosi
6400km a okres obrotu dobowego 24h
4. Jaką szybkość należy nadać ciału znajdującemu się na powierzchni Księżyca
aby mogło oddalić się do nieskończoności? Masa księżyca 7, 3 · 1022 kg ,
promień Księżyca 1740km
5. Znaleźć szybkość ruchu Księżyca wokół Ziemi, zakładając, że jego orbita jest
kołowa. Przyjąć, że masa Ziemi wynosi 5, 96 · 1024 kg a odległość między
Ziemią a Księżycem wynosi 3, 844 · 108 m
6. W jakiej odległości od środka Ziemi rakieta kosmiczna podążająca w kierunku
Księżyca, będzie przyciągana taką samą siłą przez Ziemię jak przez Księżyc?
Masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masu Ziemi, a odległość pomiędzy
ich środkami jest 60 razy większa od promienia Ziemi.
7. Z jaką szybkością porusza się Ziemia wokół Słońca, jeżeli odległość między
nimi wynosi 1.5 · 1011 m, a masa Słońca wynosi 1, 9 · 1030 kg .
8. Znaleźć średnią gęstość Ziemi, jeżeli wiadomo, że jej promień wynosi
6370km a przyspieszenie swobodnego spadku 9, 81 sm2
9. Znaleźć masę Ziemi, jeżeli wiadomo, że sztuczny satelita obiega Ziemię na
wysokości 1000km w czasie 106 minut
10. O ile zmniejszy się cieżar ciała na szczycie MountEverestu (9km) w porównaniu z jego ciężarem na poziomie morza.
11. Na jakiej wysokości Przyspieszenie ziemskie jest dwa razy mniejsze od jego
wartości na powierzchni Ziemi.
1
12. Jakie przyspieszenie uzyskuje Ziemia pod wpływem siły przyciągania Słońca?
kg
6
13. Średnia gęstość Syriusza B wynosi 2, 4·109 m
3 , a jego promień 5, 9·10 m.
Oblicz wartość przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni tej gwiazdy. Jaki
ciężar miałby tam człowiek o masie 70kg ?
14. Nowo odkryta planeta ma promień 1, 5 · 104km. Na orbicie kołowej o
promieniu trzykrotnie większym od promienia planety umieszczono satelitę
który okrąża ją z prędkością o wartości 8 km
s . Wyznacz natężenie pola
grawitacyjnego na powierzchni tej planety. Wyznacz okres obiegu satelity
wokół planety, która ma masę dwukrotnie większą niż Ziemia i promień
równy promieniowi Ziemi.
15. Oblicz (w km
s ) prędkość liniową punktów na równiku i na szerokości geograficznej równej 60o . Promień Ziemi wynosi 6400km, a okres obrotu wokół
osi 24h
16. Satelita krąży po orbicie kołowej wokół Ziemi. Jak zmieni się jego prędkość
liniowa jeżeli promień tej orbity zwiękzymy dwukrotnie?
17. Naszej planecie w 2029 może zagrozić stosunkowo niewielka asteroida Aprophis o masie 8 · 108 kg i średnicy 390km. Oszacuj wartość przyspieszenia
grawitacyjnego na powierzchni tej asteroidy, przy założeniu ję jest jednorodną
kulą. Oszacuj okres obiegu asteroidy wokół Słońca, wiedząc że znajduje się
on w średniej odległości od Słońca równej 0, 92 · 1, 5 · 1011 m i zakładając,
że jego tor jest okręgiem. Wykaż, że wartość pierwszej prędkości kosmicznej
dla asteroidy Apophis wynosi 0, 165 m
s . Oblicz maksymalną energię jaka
może wydzielić się w momencie zderzenia z Ziemią wiedząc że jego prędkość
w momecie ewentualnego uderzenia będzie wynosić 13 km
s .
18. Do planety dotarła asteroida i zaczęła okrążać ją po orbicie w odległości
100km od planety. Wyznacz czas po jakim asteroida okrąża planetę oraz
promień planety. Wykonaj obliczenia zakładając, że planeta ma gęstość równą
kg
9·103 m
3 , oraz że Rorbity = Rplanety . Wyobraź sobie, że asteroida znalazła
kg
się na orbicie wokół gwiazdy neutronowej o gęstości 1015 m
3 . Wyznacz okres
jej obiegu w tym przypadku.
19. Oblicz stosunek enegii potencjalnej do całkow. dla satelity geostacjonarnego
2
20. Wartość przyspieszenia grawitacyjnego na księżycu jest około 6 razy mniejsza
niż na Ziemi. Oblicz ile razybędzie różnić się maksymalna wysokość na którą
wzniesie się przedmiotrzucony pionowo w górę na Księżycu od maksymalnej
wysokości osiągniętej na Ziemi przy tej samej prędkości początkowej
21. Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Słońca jest około 28 razy większe
niż na Ziemi, zaś promień Słońca wynosi 7 · 108m. Oblicz średnią gęstość
Słońca (g = 10 sm2 )
22. Na wykresie przedstawiono zależność przyspieszenia grawitacyjnego (g) od
odległości od środka Marsa
g, m/s 2
3.8
3.5
3
r x 10 , m
na podstawie tego wykresu:
(a) oblicz siłę nacisku jaką wywiera próbnik o masie 100kg na powierzchnię
Marsa
(b) przyjmująć że w obliczeniach nie wymagamy większej dokładności niż
10% wyznacz odpowiadający jej zakres wysokości (nad i pod powierzchnią Marsa)
23. Kamień puszczony z wysokości 1m nad powierzchnią Marsa spada w czasie
0.74s, a promień Marsa wynosi 3.4 · 106 m. Oblicz masę Marsa.
24. Występujący np. na pokładzie międzynarodowej stacji kosmicznej stan nieważkości nie jest wcale efektem braku oddziaływania grawitacyjnego z Ziemią
ale faktu że podczas ruchu obiegowego satelity działa na niego siła dośrodkowa (a wewnątrz siła odśrodkowa która rownoważy siłę grawitacji). Wiedząc,
że satelita krąży na wysokości 300km nad powierzchnią Ziemi, oraz że stałe
2
fizyczne wynoszą: Mz = 6 · 1024 kg , G = 6.7 · 10−11 Nkgm2 , oblicz:
(a) prędkość liniową satelity na orbicie
3
(b) siłę grawitacji działająca na ciało o masie 10kg na powierzchni Ziemii i
na wysokości odpowiadającej orbicie satelity
(c) odległość od Ziemi (wyrażoną w jej promieniach) na której siła grawitacji
stanowi 1% wartości na powierzchni Ziemi
25. Do celów telekomunikacyjnych wykorzystuje się tzw. satelity geostacjonarne
które krążąc dookoła Ziemi pozornie „wiszą” nad wybranympunktem powierzchni Ziemi
26. Jakie muszą być okres i kierunek obiegu takiego satelity i jak musi być
położona względem równika jego orbita?
27. Wykaż, że jeżeli promień orbity takiego satelity wynosi 42300km, to prędkość
z jaką krąży wynosi około 3.08 km
s
28. W wyniku błędu obsługi inna firma ulokowała na tej samej orbicie satelitę
telekomunikacyjnego o masie dwa razy mniejszej i poruszającego się w
przeciwną stronę. W wyniku zderzenia oba satelity utworzyły jedną bryłę.
Oblicz prędkość tej bryły zaraz po zderzeniu.
29. Dlaczego utworzona w wyniku zderzenia bryła nie może poruszać się po
orbicie geostacjonarnej? Uzasadnij czy prędkość z jaką porusza się bryła jest
prędkością orbitalną dla orbity leżącej bliżej czy dalej Ziemi.
30. Pod koniec kwietnia wielki radioteleskop w Madrycie wykrył słaby sygnał
sztucznego pochodzenia z kierunku konstelacji Byka. To nie kosmici. Odezwala się sonda Pioneer 10, która z niewiadomych przyczyn milczała, od
omiu miesięcy. [...] Sygnal miał moc slabszą niż miliardowa (10−9 ) cz
bilionowej(10−12 ) części wata. Lecial do Ziemi prawie 11 godzin. To dlatego, e Pioneer 10 zawędrował już bardzo daleko - jest dziś w odległości
dwa razy większej od Słońca niż planeta Pluton, czyli ok. 11,2 mld km. [...]
Teraz Pioneer 10 leci z prędkością 13 km/s w kierunku czerwonej gwiazdy
Aldebaran w konstelacji Byka, która jest oddalona o 71 lat wietlnych i 155
razy jaśniejsza niż nasze Słońce. Sonda zmaga się tylko z uplywem czasu.
- Nasza gwarancja skończyła si ju po 21 miesiącach, a dziś uplywa 28. rok
działania sondy - mówi szef misji Larry Lasher z NASA. Pioneer 10 jest
zasilany przez radioaktywny pluton-238. Rozpad plutonu generuje cieplo,
4
zamieniane potem na elektryczność. Pluton wprawdzie rozpada się do wolno
- polowa paliwa znika po 92 latach, ale szybciej ulegają degradacji elementy,
które przekształcają cieplo w prąd elektryczny....
(a) Oszacuj czas (w latach) potrzebny na dotarcie sondy z Ziemi w pobliże
orbity Plutona oraz czas podróży w pobliże gwiazdy Aldebaran. Odpowiedź
uzasadnij obliczeniami. Przyjmij, że wartości prędkości sondy jest stala.
31. Statek kosmiczny o masie 50 t po wyłączeniu silników przeleciał w pobliżu
Marsa. W pewnej chwili t0 statek przelatywal na wysokoci 500km nad
powierzchnią planety. Masa Marsa wynosi 6, 4 · 1023 kg, a jego promie
3, 4 · 106 m.
Od statku kosmicznego odłącza się lądownik z astronautą. W końcowej
fazie lądowania (blisko powierzchni planety) lądownik porusza się pionowo z
opóźnieniem równym 11m/s2.
(a) Oblicz wartość przyspieszenia swobodnego spadku na powierzchni Marsa.
(b) Oblicz prdkość ucieczki statku (minimalną prdkość pocztkową, jaką statek
musiałby uzyskać na podanej wysokości 500km, aby oddalił się z wyłączonymi silnikami na dowolnie dużą odleglość od Marsa). Oblicz prędkość
ruchu statku po orbicie kołowej na tej wysokości. Jeżeli pocztkowa prdkość statku miała wartość v0 = 4 · 103 m
s i była skierowana poziomo
(prostopadle do prostej poprowadzonej do środka Marsa), to czy w miarę
upływu czasu (t > t0 ) odleglość statku od planety będzie:
i. pozostawala stala,
ii. rosla stale,
iii. malala,
iv. rosla, a potem malala?
Podkreśl wlaściwą sporód czterech powyższych możliwości i szczegółowo
uzasadnij swój wybór.
32. Narysuj, oznacz i opisz wszystkie si;y działające na astronautę w końcowej
fazie lądowania. Długości wektorów powinny przedstawiać zależności między
ich wartościami. Narysuj siłę wypadkową (oznacz ją jako W), a jeżli jest ona
równa zeru, to napisz, że W = 0.
33. Masa astronauty wynosi 80 kg, a natężenie pola grawitacyjnego Marsa ma
5
wartość 3, 7N/kg . Oblicz wartość siły nacisku astronauty na fotel.
34. Oblicz pracę jaką trzeba wykonać przenosząc ciało o masie m = 1kg
z punktu o natężeniu pola γ1 = 120 sm2 znajdującego się w odległości
R1 = 2·105 km od środka gwiazdy do punktu odległego o R3 = 3·105 km
(odp 8 · 109 J)
35. Największa odległość komety Halleya od Słońca wynosi h1 = 531·107km a
najmniejsza 885·105 km; prędkość komety w punkcie największego oddalenia
wynosi va = 910 m
s . Na podstawie tych danych oblicz masę Słońca (odp
2 · 1030 )
36. Rakieta o masie m = 200t startując pionowo do góry zawisła nieruchomo
nad powierzchnią Ziemi. Prędkość gazów wylotowych wynosi 5 km
s . Oblicz
moc rakiety w chwili gdy spoczywa ona w powietrzu (g = 9.81 sm2 ). (odp
9800M W )
37. Oblicz stosunek okresów obiegu Ziemi dla dwóch satelitów, jeżeli promień
orbity pierwszego satelity wynosi r , a drógiego 4r
38. Znając promień orbity i okres obiegu satelity wyprowadź wzór namasę planety,
wokół której krąży ten satelita.
39. Środki dwóch kul o masach m i 2m znajdują się w odległości wzajemnej r . Znajdź położenie punktu w którym natężenie pola grawitacyjnego
wytworzonego przez obie kule jest równe zeru.
40. Oblicz szybkość kątową, z którą musiałaby obracać się Ziemia, aby ciała
na równiku nic nie ważyły. Ile godziń liczyłaby wówczas doba ziemska?
2
Mz = 6 · 1024 kg, G = 6.7 · 10−11 Nkgm2 (odp 1.2 · 10−3 rad
s , T = 1.4h)
41. Oblicz ile wzrośnie energia kinetyczna meteorytu o masie 100kg podczas
zbliżania siędo Ziemi z odległości 500km do 300km od jej powierzchni.
(odp 175MJ)
42. W jednorodnym polu grawitacyjnym przy powierzchni Marsa potencjał wzraJ
na każde 50m wzniesienia. Oblicz natężenie pola w pobliżu
sta o 180 kg
powierzchni Marsa. (odp 3.6 sm2 )
43. Statek kosmiczny wystrzelony z powierzchni Ziemi leci na Księżyc. W jakiej
odległości x od środka Ziemi wypadkowa siła działająca na statek jest równa
6
zeru? Przedstaw tą sytuację na schematycznym rysunku. Przyjmujemy, że
1
masa masa Księżyca stanowi 81
masy Ziemi. (odp x = 3.5 · 105 km)
44. Satelita obiega Ziemię po orbicie kołowej w czasie T = 4h. Korzystając z
danych astronomicznych (Mz , Rz ) oblicz odległość h satelity od powierzchni
Ziemi. (odp h = 5425km)
45. Przyspieszenie grawitacyjne na Marsie jest 2.5 razy mniejsze niż przyspieszenie
Ziemskie. Jeżeli Wojtej podczas skoku o tyczce uzyskuje na Ziemi wynik
5.8m, to jaką wysokość uzyska na Marsie? (odp 14.5m)
7