zadania otwarte

ZADANIA OTWARTE
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH
I.
WYKORZYSTANIE I TWORZENIE INFORMACJI
II.
WYKORZYSTANIE I INTERPRETOWANIE REPREZENTACJI
III.
MODELOWANIE MATEMATYCZNE
IV.
UŻYCIE I TWORZENIE STRATEGII
V.
ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Uczeń otrzymał następujące oceny z matematyki : 3, 2, 4, 5, 3.
Oblicz : średnią arytmetyczną tych ocen, ich medianę oraz dominantę.
Jaką ocenę uzyska uczeń na koniec roku szkolnego, jeżeli z matematyki przydziela się
2
2 1
następujące oceny do średnich arytmetycznych z przedziałów : < 0,1 ) ® 1 , < 1 ,2 ) ® 2 ,
3
3 2
1 2
2 1
1 1
1
< 2 ,3 ) ® 3 , < 3 , 4 ) ® 4 , < 4 ,5 ) ® 5 , < 5 ,6 >® 6 ?
2 5
5 3
3 2
2
2. Funkcja kwadratowa f ( x) = x 2 - 5 x + 4 ma dwa różne miejsca zerowe. Wiedząc, że ich
suma wynosi 5 a iloczyn 4 oraz korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , wyznacz wartość sumy kwadratów miejsc zerowych, bez obliczania
tych miejsc zerowych.
II.
1. Wyznacz współrzędne punktu wspólnego prostych : y = 2 x + 3 i 3 x + y + 2 = 0 .
Oblicz odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.
2. Wyznacz: A È B , A Ç B oraz A - B , gdy : A = {x Î R : x 2 - 8 x + 7 £ 0} oraz
B = {x Î R : - x 2 + 10 x - 21 > 0} .
III.
1. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, że
suma wyrzuconych oczek wynosi 10 .
2. Porównaj liczby : A = 2 + 3 i B =
1
.
3- 2
IV.
1. Wiedząc, że funkcja liniowa f ( x ) = (2m - 10) x + 102 jest stała, rozwiąż nierówność :
x 2 - (m + 1) x + 5 ³ 0 .
2. Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie o 50% . Oblicz, o ile procent
ostateczna cena tego towaru jest wyższa od jego ceny początkowej.
V.
1. Oblicz długość okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości : 6, 8, 10 .
2. Dane jest: sin x + cos x =
2
. Oblicz wartość iloczynu : sin x × cos x .
3
Opracowali: Tomasz Stachyra, Agnieszka Dul, Helena Stupak
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Funkcja kwadratowa f ( x) = x 2 - 11x + 10 ma dwa różne miejsca zerowe. Wiedząc, że ich
suma wynosi 11 a iloczyn 10 , wyznacz wartość sumy odwrotności miejsc zerowych. bez
obliczania tych miejsc zerowych.
2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji wymiernej : f ( x) =
( x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12) × ( x - 1)
.
x-2
II.
ì 2 x - 6, gdy : x Î< 0,5 >
ï
.
1. Narysuj wykres funkcji : f ( x) = í 5, gdy : x Î (5,7 >
ï- x + 12, gdy : x Î (7,15)
î
Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
2. Rozwiąż nierówność wielomianową : x 4 + 3x 3 - 9 x 2 - 27 x £ 0 .
III.
1. W kapeluszu jest 5 kul białych i n kul czarnych. Ile musi być co najmniej kul czarnych,
żeby przy losowaniu dwóch kul, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych było
3
większe od ?
4
2. Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie obniżono ją o 10% . O ile
procent ostateczna cena tego towaru jest wyższa od jego ceny początkowej ?
IV.
1. Oblicz pole trójkąta ABC wiedząc, że : A=(3,1) , B=(7,-1) , C=(5,5) .
2. Losujemy trzy karty z 52-kartowej talii kart. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń
losowych :
A = wylosowano trzy kiery,
B = wylosowano dwa asy i damę ,
C = wylosowano : pika, kiera i trefla ,
D = wylosowano : pika, kiera i trefla w zadanej kolejności .
V.
1. W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona na przeciwprostokątną ma
długość 10 . Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.
2. Dane jest: sin x - cos x =
1
. Oblicz wartość iloczynu : sin 2 x × cos 2 x .
2
Opracowali: Tomasz Stachyra, Agnieszka Dul, Helena Stupak
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji
f(x) = -3x + 1 i przechodzi przez punkt A = (-3;-2).
2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 4. Wyznacz sinus i tangens
najmniejszego kąta w tym trójkącie.
II.
1. Na osi liczbowej zaznaczono przedział A złożony z tych liczb rzeczywistych, których
odległość na tej osi od liczby 4 nie jest większa niż 2. Przedział ten przesunięto wzdłuż osi o
3 jednostki w kierunku dodatnim, otrzymując przedział B. Wyznacz:
a) iloczyn przedziałów A Ç B
b) różnicę przedziałów A \ B
2. Dane są liczby: a =
3 -1
3 +1
i b=
. Oblicz wartości wyrażeń:
2
2
a
-1
b
ab
b)
b-a
c) a 2 - b 2
a)
III.
1. Jeżeli od kwadratu pewnej liczby odejmiemy jej dwukrotność, to otrzymamy liczbę trzy
razy większą od tej liczby. Znajdź tę liczbę.
2. Pięć dziewcząt i czterech chłopców ustawiamy w dwóch rzędach. W pierwszym rzędzie
mają stać chłopcy, a w drugim dziewczęta. Ile może być takich ustawień?
IV.
1. Suma n początkowych liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 11 jest równa
1694. Ile jest tych liczb?
2. Torciki czekoladowe w kształcie walca pakowane są do eleganckich pudełek
w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Obwód podstawy torcika wynosi
36 p . Uzasadnij, że aby torciki zmieściły się w pudełku wystarczy, by krawędź podstawy
pudełka miała długość większą niż 210.
V.
1. Udowodnij, że odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta odcina trójkąt
podobny do danego. Określ skalę podobieństwa.
2. Hotel dysponuje 80 pokojami. Opłata za wynajęcie jednego pokoju jest równa 470zł za
dobę. Hotel udziela specjalnej zniżki firmom rezerwującym więcej niż 44 pokoje
(nikt inny nie może rezerwować pokoi w tym samym czasie). Wówczas opłata za dobę za
każdy wynajęty pokój jest niższa o 5zł pomnożone przez liczbę zarezerwowanych pokoi
powyżej 44. Przy jakiej liczbie zarezerwowanych pokoi (powyżej 44) hotel osiągnie
maksymalny możliwy przychód za dobę?
Opracowali: Beata Duliban, Elżbieta Naumowicz, Ryszard Sakowicz,
Małgorzata Wojtylewska
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Zdarzenia A i B są zawarte w tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych oraz P( A) =
i P (B ) =
2
5
4
1
i P( A Ç B ) = . Oblicz P( A È B ) ?
5
5
2. Oblicz: log(0,1)2 + log2(0,1).
II.
1. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 6. Wyznacz
długość wysokości tego ostrosłupa.
2. Dana jest funkcja: f(x) =
ì - 4 dla
ï 2
dla
í- x
ï x - 2 dla
î
x Î (-¥;2 >
x Î (-2;1 > .
x Î (1; ¥)
a) Narysuj wykres tej funkcji.
b) Podaj zbiór wartości tej funkcji.
c) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale <-2;1>.
III.
1. Oblicz współrzędne punktów przecięcia się okręgu o równaniu x2 + y2 = 4 i prostej
y = x - 2.
2. Dla jakich wartości a i b liczby -3 i 1 są pierwiastkami wielomianu x 3 + ax 2 + bx - 9 ?
Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.
IV.
1. W trapezie równoramiennym przekątne o długościach 14cm tworzą z podstawami kąty
o mierze 60o i przecinają się w punkcie K, dzieląc się w stosunku 3:4. Oblicz pole trapezu.
2. Pan Karol zważył trzykrotnie drewnianą kulkę i otrzymał następujące wyniki w gramach:
10, 12, 14. Pani Ania zważyła tę samą kulkę również trzykrotnie otrzymując następujące
wyniki: 9, 12, 15. Która z osób dokonała dokładniejszych pomiarów?
V.
1. Samochód przebył w pewnym czasie drogę 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością
większą o 10 km/h, to czas przejazdu skróciłby się o 0,5 godziny. Z jaką prędkością jechał
ten samochód?
2. Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli trójkąt ten będziemy
obracać wokół dłuższej przyprostokątnej, to otrzymamy stożek, którego pole powierzchni
bocznej wynosi 32 p . Oblicz długości boków tego trójkąta.
Opracowali: Beata Duliban, Elżbieta Naumowicz, Ryszard Sakowicz,
Małgorzata Wojtylewska
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Zapisz wielomian w(x) = (x - 1)3 – x + 1 w postaci iloczynowej.
2. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 2cm i 6cm, a cosinus kąta przy
1
dłuższej podstawie jest równy . Oblicz obwód tego trapezu.
3
II.
1
1. Niech A, B Ì Q ,
,
, P(A Ç B) = . Oblicz
.
4
2. Podstawą graniastosłupa jest romb o krótszej przekątnej długości 4 i kącie ostrym 600.
Wysokość graniastosłupa jest równa dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego
graniastosłupa.
III.
1. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych jest równa 200. Wyznacz te liczby.
2. Uczeń ma 8 ocen z matematyki. Ich średnia arytmetyczna jest równa 3. O ile wzrośnie ta
średnia, jeśli uczeń otrzyma jeszcze dwie oceny: trójkę i piątkę?
IV.
1. Wyznacz wzór funkcji zmiennej x, opisującej objętość prostopadłościanu
przedstawionego na rysunku obok.
Podaj dziedzinę tej funkcji.
Dla jakiej wartości x objętość tego prostopadłościanu jest równa 30?
2. Oblicz a4 + b4, jeśli a2 + b2 = 2, a×b = 1
x
x-5
x-1
V.
1. Wykaż, że dla m = 3 nierówność –x2 + (m + 2)x + (m + 5) < 0 jest spełniona przez
wszystkie liczby rzeczywiste x.
2. Uzasadnij, że liczba a taka, że a = 3n + 3n+1 + 3n+2 jest podzielna przez 13.
Opracowały: Beata Kubera, Barbara Teodziecka
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Wykorzystując odpowiednie wzory skróconego mnożenia oblicz 42 × 38 .
1
2. Wyznacz punkt przecięcia wykresu funkcji f(x)= x( x - 5) z osią OY.
2
II.
1. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x) = 3 x 2 + bx + c są liczby -1 i 3.
Oblicz b + c.
2.
Rozwiąż równanie:
x +1
-x
=
.
x + 2 1- x
III.
1. Zależność między kosztem K (w zł) przechowywania pewnego towaru w chłodni,
1
a temperaturą t (w 0C) można zapisać za pomocą wzoru K (t ) = - t 2 - t + 100 , gdzie
5
t Î <-8,5>. Określ temperaturę, dla której koszt przechowywania towaru jest największy
i podaj, ile wynosi ten koszt.
2. Koloniści mogą się dobrać w pary na 4560 sposobów. Ilu jest kolonistów?
IV.
1. Bok rombu ma długość 17cm , jego dłuższa przekątna 30cm. Oblicz pole tego rombu.
2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród trzech przypadkowo wybranych osób znajdują się
dwie osoby urodzone w tym samym miesiącu. Dla uproszczenia załóż, że każdy miesiąc ma
taką samą liczbę dni. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
V.
1. Wykaż, że podana równość nie jest tożsamością:
1 - tg 2a
= 1 - sin a .
1 + tg 2a
2. Miejscowości A i B łączy linia kolejowa o długości 70km. Pociąg osobowy jedzie na tej
km
trasie o 1 godzinę dłużej i ze średnią prędkością mniejszą o 8
mniejszą niż pociąg
h
pośpieszny. Oblicz czas przejazdu pociągu pośpiesznego z miejscowości A do B.
Opracowała: Bogumiła Baraniecka
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Oblicz współczynnik p wielomianu w(x) = x4 – 2x3 + px2 – 2, wiedząc, że w(-1) = 4.
2. Oblicz sumę trzydziestu trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym
1
a1 = 20, r = .
2
II.
1. Oblicz maksymalną i minimalną wartość funkcji f(x) = x2 – 2x + 4 w przedziale
A = <0; 4>.
2. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania sumy
oczek równej 7?
III.
1. Kuba kupił dwa przedmioty za 200 zł i sprzedał z 15% zyskiem. Ile zapłacił za każdy
przedmiot, jeżeli pierwszy sprzedał z 10% zyskiem, a drugi sprzedał z 30% zyskiem?
2. Drzewo rzuca cień długości 18 m. Oblicz wysokość drzewa wiedząc, że promienie
słoneczne padają na płaszczyznę poziomą pod kątem 300. Wynik podaj z dokładnością do
jednego metra.
IV.
1. Oblicz pole trójkąta równobocznego, wiedząc, że wysokość tego trójkąta jest o 2 cm
krótsza od jego boku.
2. W układzie współrzędnych zaznaczono punkty A = (1; 0), B = (7; 0). Wyznacz wszystkie
możliwe położenia punktu C, dla których trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym
o podstawie AB i polu równym 3.
V.
1. Uzasadnij, że liczba
4 + 2 3 × 4 - 2 3 jest całkowita.
2. Dla jakiej ujemnej wartości k funkcja f(x) = x2 – kx + 1 ma tylko jedno miejsce zerowe?
Wyznacz dla tej wartości k współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji f z prostą
o równaniu y = 4.
Opracowały: Bożena Hołownia, Małgorzata Tynecka-Poradzińska
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Dana jest funkcja określona wzorem
. Oblicz wartość funkcji
dla x = -2 i podaj przedziały, w których funkcja jest rosnąca, a w których malejąca.
2. Oblicz
wiedząc, że:
.
II.
1. Od jakiego wielomianu W(x) trzeba odjąć wielomian
otrzymać wielomian
?
2. Wyznacz x, gdy
, aby
.
III.
1. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 i 12 cm, a ramię 4 cm.
O ile centymetrów należy przedłużyć każde z ramion, aby się przecięły?
2. Rowerzysta wybrał się na 4 dniowy rajd. Pierwszego dnia pokonał 25% trasy, drugiego
1
4
dnia
pozostałej trasy. Trzeciego dnia przejechał
całej drogi, a czwartego ostatnie 21
3
15
km. Ile kilometrów liczyła trasa rajdu?
IV.
. Do wykresu funkcji należy punkt
1. Dana jest funkcja kwadratowa
A = (1,-4), a jej miejscami zerowymi są liczby -1 i 2. Wyznacz współczynniki a, b, c.
2. Ala przeczytała w czasie wakacji trylogię. Pierwszego dnia przeczytała 20 stron.
W każdym kolejnym dniu czytała o 20 stron więcej. Trylogia liczyła w sumie 1100 stron.
Przez ile dni Ala czytała te książki?
V.
1. Dany jest prosta y = m i parabola o równaniu
prosta i parabola miały:
a) dwa punkty wspólne,
b) jeden punkt wspólny,
c) zero punktów wspólnych.
2. Uzasadnij, że liczba postaci
przez 6.
. Wyznacz liczbę m, aby
, gdzie n jest liczbą naturalną, jest podzielna
Danuta Baranowska, Krystyna Koroza, Anna Jankowiak
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Zapisz warunek
x Î - 4,2 używając symbolu wartości bezwzględnej.
2. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których funkcja
f(x)= 3x2 + 4x + 1 osiąga wartości ujemne.
II.
1. Sporządź wykres funkcji:
ìï x 2 - 9 dla x Î (- ¥,3)
f (x ) = í
ïî x - 3 dla x Î 3, ¥ )
2. Wykaż, że istnieje kąt ostry a , dla którego sin a - tg a = 0.
III.
1. Ewa przeczytała w czasie ferii czterotomowe dzieło. Pierwszego dnia przeczytała 20
stron, a każdego następnego o 20 stron więcej. W sumie przeczytała 1100 stron. Oblicz przez
ile dni Ewa czytała to dzieło?
2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Długość krawędzi bocznej jest o 2 większa
od wysokości ostrosłupa. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem, którego
2
sinus jest równy
Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa.
3.
IV.
1. Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo,
że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej 8.
2. Średni wzrost pięciu sportowców jest równy 170 cm. Trzech z nich ma średnio 165 cm
wzrostu. Oblicz wzrost czwartego i piątego sportowca, jeżeli czwarty jest niższy od piątego
o 30 cm.
V.
1. Wykaż, że odcinek łączący środki ramion trapezu o podstawach a i b ma długość
a+b
.
2
2. Bartek złożył w banku 20000 zł na okres 3 lat. Wyraził zgodę na zmienną stopę
procentową. Kolega Bartka Marek kupił działkę rekreacyjną za 20000 zł. Marek sprzedał
swoją działkę po 3 latach za 26000 zł. Który z nich zainwestował swoje pieniądze korzystniej,
jeżeli oprocentowanie w banku wynosi w pierwszym roku 9%, w drugim 7% a w trzecim 8%.
Odpowiedź uzasadnij wykonując odpowiednie obliczenia.
Opracowały: Danuta Matla, Agnieszka Starzak, Renata Jasińska
ZADANIA OTWARTE
I.
ì2 x dla x Î< 1; ¥)
ï
1. Dana jest funkcja f ( x ) = í- x 2 + 3 dla x Î< -2;1) .
ï- 1 dla x Î (-7; ¥)
î
Wyznacz, o ile to możliwe, wartość funkcji dla x = 2, x = - 2 , x = -7 .
2. Dane są wielomiany W(x) = ax2 + 6x2 - 2x(3x + b) i P(x) = -2(x - 1)3. Dla jakich a i b
podane wielomiany są równe?
II.
1. Sprawdź, czy liczba będąca ilorazem liczby a = 1- 2 2 przez b = 2 + 2 należy do
x +1
części wspólnej rozwiązań nierówności x - 3 ³ 2 oraz
- 1 < 2x + 5 .
3
2. Dane są zbiory A – zbiór liczb pierwszych jednocyfrowych , B – zbiór liczb parzystych
jednocyfrowych. Doświadczenie polega na losowaniu liczby najpierw ze zbioru A, a
następnie ze zbioru B. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana para liczb może być
wynikiem rzutu sześcienną kostką do gry.
III.
1. Dany jest okrąg (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 i prosta o równaniu 4x + 3y – 10 = 0. Wyznacz
równanie prostej przechodzącej przez punkt styczności i zawierającej średnicę okręgu.
2. Wyznacz wszystkie wartości m , dla których odległość wierzchołka paraboli
y = x2 - 2x + 2m od początku układu współrzędnych jest równa 2 .
IV.
1. Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu an = n2 - 50n + 700, które są mniejsze od 100.
2. Na boisku Maciek kopnął leżącą na ziemi piłkę. Wysokość h (wyrażona w metrach), na
której podczas ruchu znajduje się piłka, jest funkcją jej odległości s od Maćka, mierzonej
wzdłuż powierzchni ziemi (również wyrażonej w metrach). Funkcja ta opisana jest wzorem
1
2
h( s ) = - s 2 + s. Tomek złapał lecącą piłkę w chwili, gdy znajdowała się na wysokości
50
5
1,5m. Oblicz w jakiej odległości od Maćka znajdował się Tomek w chwili, gdy złapał piłkę.
V.
1. Czworokąt ABCD przedstawiony na rysunku jest trapezem.
Oblicz pola trójkątów ABE, DEC, AED i BCE.
2. Wykaż, że jeśli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, to
a n = a n - k × a n+ k , gdzie k<n.
Opracowały: Ewa Bochonko, Anna Jaskowiak
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Podaj wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność – x2 – 3x + 10 > 0.
2. W kwadracie ABCD dane są przeciwległe wierzchołki: A = (3 ; 2), C = (–5 ; –6).
Wyznacz długość boku tego kwadratu.
II.
1. Korzystając z wzorów skróconego mnożenia przekształć wyrażenie
(x – y)2 – 2(y – x)(y + x) + (x + 2y)2 do najprostszej postaci, a następnie oblicz wartość
otrzymanego wyrażenia dla x = 2 i y = –1.
2. Oblicz długość odcinka k uwzględniając dane przedstawione na rysunku.
III.
1. Właściciel sklepu sprzedaje miesięcznie 20 garniturów w cenie 300 zł za jeden. Zauważył,
że obniżka ceny garnituru o 5 zł powoduje przeciętnie zwiększenie sprzedaży o jeden
garnitur. Jaką cenę jednego garnituru powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny
utarg był największy ?
2. Dana jest funkcja f(x) = – x2, której wykres przesunięto o 1 jednostkę w prawo i 9
jednostek w dół i otrzymano wykres funkcji g. Zapisz wzór funkcji g
IV.
1. Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że wykres funkcji przecina oś y w punkcie
o rzędnej 2 oraz dla xÎ(5 ; ¥) przyjmuje wartości ujemne.
2. Ze zbioru liczb {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem dwie cyfry.
Zapisujemy je obok siebie w kolejności losowania jako liczbę dwucyfrową ( pierwsza cyfra
jest cyfrą dziesiątek, druga jest cyfrą jedności ). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że
otrzymana liczba jest liczbą nieparzystą.
V.
1. Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych nieparzystych przy
dzieleniu przez 8 daje resztę 2.
2. Zdarzenia A i B Ì W. P(A) = 35 , P(B) = 73 . Wykaż, że zdarzenia A i B nie mogą się
wykluczać.
Opracowały: Hanna Szmyt i Urszula Szóstka
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Podaj przykład funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby – 1 i 3.
2. Na działce o powierzchni 4400m2, posadzono drzewka owocowe, które zajmują 16% całej
powierzchni działki. Resztę stanowią drzewka ozdobne. Ile hektarów zajmują drzewka
ozdobne?
II.
1. Rozwiąż równanie:
10 ( x – 1 )2 – 7 ( x + 3 )2 = 3 ( x + 2 )2 – ( 6x – 4 ) .
2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 4.
Wysokość ostrosłupa ma długość 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz tangens kąta a
nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
III.
1.
-2
4
Wyżej zaznaczony zbiór zapisz za pomocą wartości bezwzględnej.
2. Stalowa szyna w temperaturze 00 C ma długość 20m. Przy wzroście temperatury
o 10 C szyna wydłuża się o 0,2 mm. Wyraź długość szyny (w metrach) jako funkcję
temperatury (w stopniach).
IV.
1. Zależność między wielkościami x i y została określona za pomocą tabeli. Napisz wzór
opisujący tę zależność i określ, czy wielkości zmienne x i y są wprost, czy odwrotnie
proporcjonalne.
x 2 4
8 16
1
1
1
y 1
2
4
8
2. Spośród 20 osób, w tym 8 kobiet, losowo wybrano dwuosobową delegację. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden mężczyzna.
V.
1. Uzasadnij, że ciąg o wyrazie ogólnym an =
2n + 6
jest ciągiem arytmetycznym.
3
2. Pan Kowalski kupił działkę w kształcie kwadratu, o której wiadomo, że różnica długości
przekątnej i boku tej działki jest równa 8 m. Sprawdź, czy 70 m siatki wystarczy na jej
ogrodzenie ( furtka ma szerokość 70 cm).
Opracowały: Jolanta Maciak, Izabela Bober
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Wykres funkcji y = ax + b przecina oś OY w punkcie K = (0, -4). Miejscem zerowym tej
funkcji jest liczba 2. Oblicz a i b.
2. Posługując się wzorem sin (a + b ) = sin a cos b + cos a sin b oblicz sin750.
II.
1. Wyznacz zbiór wszystkich liczb całkowitych spełniających nierówność
2
2( x + 3) - 7 x - 30 < 0 .
2. Rzucamy 2- krotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w sumie co
najmniej 10 oczek?
III.
3
4
1. W pudełku znajdują się kartoniki z liczbami: log 4 2 , 16 , 9 2 : 27 , 5 2 - 3 2 ,
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kartonika z liczbą naturalną.
3
- 64 .
2. W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry jest dwa razy większy od drugiego. Pole koła
opisanego na tym trójkącie równa się 4p . Oblicz obwód koła wpisanego w ten trójkąt.
IV.
1. Oblicz pole trójkąta ABC wiedząc, że A = (- 6, 2), C = (3,2), natomiast współrzędne
y = -x + 5
1
punktu B są rozwiązaniem układu
.
y = x+4
3
2. Dany jest ciąg określony wzorem an = 3n – 2. Wyznacz średnią arytmetyczną wyrazów:
a2 , a4, a5, a7.
V.
1. Koszt wypożyczenia samochodu w wypożyczalni A opisuje wzór A(x) = 60 + 25x,
zaś w wypożyczalni B wzór B(x) = 40 + 30x, gdzie x oznacza liczbę godzin. Oblicz, przy
jakiej liczbie godzin wypożyczenie samochodu w wypożyczalni B jest korzystniejsze.
a2 + b2
2. Wykaż, że dla dowolnych a, b Î R zachodzi
³ ab .
2
Opracowały: Joanna Cerajewska, Anna Rępińska, Małgorzata Jacek
ZADANIA OTWARTE
I.
1. Kilku kolegów kupiło wspólnie piłkę do gry. Paweł wpłacił 17 % ceny, a Rafał – 13 %.
Okazało się, że Paweł wpłacił o 1 zł więcej od Rafała. Jaka była cena piłki?
2. Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x ) =
II.
1. Rozwiąż równanie:
3x - 4
x-7
x+3
1
.
=
2x
x-3
x £ -3
ì - x dla
ï
dla - 3 < x < 3 .
2. Dana jest funkcja f ( x ) = í 2
ï3 x - 1 dla
x³3
î
a.
b.
1
), f(7).
2
Naszkicuj wykres tej funkcji.
Oblicz f(-5), f(
III.
1. Zosia podjęła pracę wakacyjną w księgarni. Zaproponowano jej stawkę dzienną
w wysokości 20 zł plus 1zł30gr za każdą sprzedaną książkę. Zosia pracowała przez 30 dni.
Podaj wzór opisujący wysokość jej pensji p[zł] w zależności od liczby k sprzedanych książek
i określ dziedzinę tej funkcji.
2. Mama obiecała Kasi kieszonkowe: w pierwszym miesiącu otrzyma 5 zł, a w każdym
następnym o 2 zł więcej niż w poprzednim. W którym miesiącu Kasia otrzyma 53 zł
kieszonkowego?
IV.
1. Ratownik mający 100 m linę chce przy brzegu plaży wytyczyć kąpielisko w kształcie
prostokąta o największym obszarze. Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko?
2. Prosta o równaniu x – y – 7 = 0 jest symetralną odcinka AB. Wiedząc, że punkt B ma
współrzędne (6, -4), oblicz współrzędne punktu A.
V.
1. Ile kartonów płytek podłogowych o wymiarach 30 cm x 30 cm należy zakupić do
wyłożenia podłogi w kuchni o długości 3,5 m i szerokości 2,5 m, jeżeli płytki pakowane są po
6 sztuk w kartonie?
2. Liczby a, b przy dzieleniu przez 5 dają tę samą resztę 3. Uzasadnij, że różnica kwadratów
liczb a i b jest podzielna przez 5.
Opracowały: Joanna Cerajewska, Anna Rępińska, Małgorzata Jacek