Naprężenia w ośrodku gruntowym
Transkrypt
Naprężenia w ośrodku gruntowym
Naprężenia w ośrodku gruntowym • • • • • • Naprężenia geostatyczne (pierwotne, bytowe) Wpływ wody gruntowej na naprężenia pierwotne Naprężenia wywołane siłą skupioną – rozwiązanie Boussinesq’a Naprężenia pochodzące od obciążenia równomiernie rozłożonego Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim Osiadania fundamentu bezpośredniego Naprężenia wywołane ciężarem własnym gruntu (n. geostatyczne) h σ hγ = h ⋅ γ jednorodne podłoże gruntowe o ciężarze objętościowym γ wzór ogólny w przypadku podłoża uwarstwionego: σ γ h n = ∑ mi ⋅ γ i= 1 i hw zw.w.g. h σ γ h jednorodne podłoże gruntowe Wpływ wody gruntowej na naprężenia pierwotne γ σ hγ = hw ⋅ γ + ( h − hw )⋅ γ ' γ’ Naprężenia wywołane ciężarem własnym gruntu (n. geostatyczne) Podziałka głębokości: D Podziałka naprężeń: γ1 1m 20 kPa h z=0 γ1 z m1 zwg γ2 ' σ γ D = D⋅ γ1 m2 z=0 γ3 ' m3 z=0 γ4 ' m4 σ hr = D ⋅ γ1 + m1 ⋅ γ 1 + ( z − m1 ) ⋅ γ2' Osiadanie terenu wywołane obniżeniem poziomu wód podziemnych Związek pomiędzy osiadaniem terenu a poziomem wody gruntowej na terenie Santa Clara Valley, Kalifornia. Źródło: Environmental Geology. Bennett M. R., Doyle P, John Willey & Sons, 1997 Osiadanie terenu w latach 1934–1960 na terenie Santa Clara Valley, Kalifornia. Źródło: Groundwater. Freeze A. R., Cherry A. J. Prentice Hall, 1979 Depth to Groundwater and Land Subsidence As water was pumped from the ground, the land surface above slowly sank. The blue graph shows changes in groundwater levels in a downtown San Jose monitoring well from 1915 to 1999. The brown line above shows corresponding changes in land elevation, at an exaggerated vertical scale. Modified from Ingebritsen and Jones, USGS Circular 1182 (1999). Joseph F. Poland of U.S. Geological Survey stands near bench mark S661 southwest of Mendota in the San Joaquin Valley, California. The bench mark site subsided 9m from 1925 to 1977, because of intensive withdrawal of ground water. Signs on the power pole indicate the respective positions of the land surface in 1925, 1955, and 1977. Naprężenia pionowe w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą skupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885) Założenia: 1. Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy (tzn. działanie jednakowych naprężeń w dowolnym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia 2. Grunt jest materiałem sprężystym, tzn. podlega prawu Hooke’a 3. Naprężenia rozchodzą się promieniście od punktu przyłożenia siły 4. Nie uwzględnia się ciężaru własnego gruntu 5. Obowiązuje zasada superpozycji 6. Pionowo działające siła powoduje obniżenie się półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem w punkcie zaczepienia siły o jednakową wartość „S” Q z Ćwiczenia !! Naprężenia radialne w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą skupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885) R=σRA Q A A’ r α z R R σr σz M σr= 3Q cos α 2π R 2 α A = cosα A' Z=Rcosα A’ Z R cosα R cos 2 α σ z= = = = σ r cos 2 α A A' A cosα Naprężenia pionowe w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą skupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885) Schemat obciążenia podłoża Wzory: σ z= 3Q cos3 α 2 2π R σ z= 3Q cos5 α 2 2π z Q r α 3Qz 3 σ z= 2π R 5 R z σz M σ Podstawowe zależności: z R cos α = R= z + r 2 z 3Qz 3 = 2π ( z 2 + r 2 )5 / 2 σ z= 2 3Q 2 2π z 1 + r z 2 5/ 2 Graficzna ilustracja naprężeń Izobary naprężeń radialnych i naprężeń pionowych Q -0.50 -1.00 -1.50 -2.00 -2.50 Naprężenia pionowe -3.00 -2.00 Naprężenia radialne -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Graficzna ilustracja naprężeń Izobary naprężeń pionowych – konstrukcja graficzna - Q 500 1000 2000 -0.50 2000 -1.00 1500 1000 -1.50 -2.00 500 -2.50 -3.00 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Graficzna ilustracja naprężeń Rozkład naprężeń na różnych głębokościach Krzywa zanikania naprężeń Q σz z1 z2 z3 z Graficzna ilustracja naprężeń Rozkład naprężeń wzdłuż prostej a, równoległej do kierunku działania siły Q r Q a σz z1 z2 z3 z Zadanie Biorąc pod uwagę rozkład naprężeń pionowych wzdłuż prostej a wyznaczyć analitycznie głębokość zm, na której wartość naprężenia jest największa. r Q z1 a σzmax zm z2 z3 z Rozwiązanie zadania można przysłać na mój adres do wtorku, godz. 24.00 Zasada superpozycji (Bolzmana) - sumowania naprężeń Jeżeli siła Q1, powoduje w określonym miejscu ośrodka gruntowego naprężenie σ1, zaś siła Q2 wywołuje w tym samym miejscu naprężenie σ2, to całkowite naprężenie w tym punkcie ośrodka jest sumą naprężeń wywołanych przez każdą z sił z osobna. Q1 Q2 r1 = 3.0 m r2 = 4.0 m z = 3.0 m M Przykład obliczenia naprężenia: z ( Q1 ) + σ σ M z =σ σ M z 5 3Q 3 = + 2π 32 18 z ( Q2 ) ( 3Q = cos5 α 1 + cos5 α 2 2π z 3 5 5 2 ) 3Q = 2π z 2 5 + 2 2 z + r1 z Q = ( 0.177 + 0.078 ) = 0.0135Q [ kPa] 6π 2 2 z + r2 z 5 Zamiana obciążenia równomiernie rozłożonego na zastępcze siły skupione q Qi = q ⋅ ∆ B ⋅ ∆ L ΔB Naprężenie pionowe wywołane pojedynczą siłą zastępczą wynosi: ΔL L σ zi Qi ri = 3Qi 2 2π z 1 + 2 5/ 2 ri z Ri B z σzi M Całkowite naprężenie pionowe stanowi sumę naprężeń od wszystkich sił zastępczych (zasada superpozycji) σ z= n ∑ i= 1 σ zi = 3Qi ⋅ 1+ 2 ∑ 2π z i = 1 n 2 5/ 2 ri z Wyznaczenie naprężenia pionowego σz od obciążenia ciągłego q za pomocą elementarnych sił skupionych q y B dQ = q dx L y Naprężenie pionowe wywołane przez elementarną siłę skupioną (q): dy r dσ z = x x M dσ z z R 3dQ r 2 2 2π z 1 + z 5/ 2 = 3q x2 + y2 2 2π z 1 + z 2 Całkowite naprężenie pionowe stanowi sumę naprężeń od wszystkich elementarnych sił zastępczych (zasada superpozycji): σ z= L B ∫ ∫ 0 0 3q x + y 2π z 2 1 + z2 2 2 5/ 2 dxdy 5/ 2 Metoda punktów narożnych (Steinbrenner, 1936) W przypadku gdy rozpatrywany punkt M znajduje się pod narożnikiem obciążającej powierzchni prostokątnej naprężenie pionowe w tym punkcie oblicza się ze wzoru: σ z = q⋅η n gdzie: 1 ηn = arctg 2π z 1+ B L B 2 L z + B B 2 + ⋅ 2 2 L z 1+ + 1+ B B L z ⋅ B B 1 z B 2 + 1 2 L + B 2 z B Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn ηn 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0 1 2 3 4 L/B = 1 z/B L/B = 1.5 5 L/B = 2 L/B = 3 6 L/B = 5 7 8 9 10 autor: Seweryn Szlachcic Metoda punktów środkowych (Newmark i Polszin, 1935) W przypadku gdy rozpatrywany punkt M znajduje się pod geometrycznym środkiem obciążającej powierzchni prostokątnej naprężenie pionowe w tym punkcie oblicza się ze wzoru: σ z = q⋅η 0 gdzie: L 2 B η 0 = arctg 2 π z L 2 1 + + B B z 4 B 2 + ⋅ 2 2 L z 1+ 1 + + 4 B B L z 2 ⋅ B B 1 1 + 2 2 2 z L z 4 + 4 B B B Nomogram do wyznaczania współczynnika η0 η 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 0,0 0,5 1,0 1,5 Z/B 2,0 L/B = 1 L/B = 1.5 2,5 L/B = 2 L/B = 3 3,0 L/B = 5 3,5 4,0 4,5 5,0 autor: Seweryn Szlachcic Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń pionowych w dowolnym miejscu półprzestrzeni gruntowej (1). W przypadku, gdy rozpatrywany punkt M leży pod obrysem powierzchni prostokątnej należy podzielić tak powierzchnię prostokątną, aby punkt ten stanowił naroże nowo utworzonych prostokątów i posłużyć się następującym schematem: L L1 A L2 B L z η nMHAB = f 1 , B1 B1 C B1 M H B D B2 G F σ z = q ⋅ (η nMHAB + η nMBCD + η nMDEF + η nMFGH ) E L z η nMBCD = f 2 , B1 B1 L z η nMDEF = f 2 , B2 B2 L z η nMFGH = f 1 , B2 B2 Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń pionowych w dowolnym miejscu półprzestrzeni gruntowej (2). W przypadku, gdy rozpatrywany punkt M leży poza obrysem powierzchni prostokątnej należy wprowadzić dodatkowe powierzchnie prostokątne w taki sposób, aby punkt ten stanowił naroże nowo powstałych prostokątów i posłużyć się następującym schematem: L L1 H L2 M L z η nMFGH = f 1 , B2 B2 D B z η nMDEF = f 2 , L2 B2 B1 A B C B2 B G F E σ z = q ⋅ (η nMFGH + η nMDEF − η nMBAH − η nMDCB ) L z η nMBAH = f 1 , B1 B1 L z η nMDCB = f 2 , B1 B1 Fundamenty budowli (podział) FUNDAMENTY BUDOWLI FUNDAMENTY PŁYTKIE (bezpośrednie) •Stopy fundamentowe •Ławy fundamentowe •Płyty •Ruszty •Skrzynie FUNDAMENTY GŁĘBOKIE (pośrednie) •Pale •Studnie •Kesony Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim I. Stan przed rozpoczęciem budowy Podziałka głębokości: Podziałka naprężeń: γ1 D h z=0 γ1 z zwg γ σ σhhγ m1 γ 2' m2 γ 3' m3 γ 4' m4 1m 20 kPa Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim II. Stan po wykonaniu wykopu fundamentowego Podziałka głębokości: Podziałka naprężeń: D z=0 z zwg σzs σzm m1 m2 m3 m4 1m 20 kPa Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim III. Stan po zasypaniu wykopu fundamentowego Podziałka głębokości: Podziałka naprężeń: D z=0 B z zwg m1 σzs σzm m2 m3 m4 1m 20 kPa Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim IV. Stan po wykonaniu obiektu budowlanego Q Podziałka głębokości: Podziałka naprężeń: D q = Q/LB z=0 B z zwg m1 σzs σzd σzm σzt m2 m3 m4 1m 20 kPa Obliczanie osiadania fundamentów Obliczanie osiadania zaleca się przeprowadzić metodą naprężeń. Osiadanie Si warstwy należy wyznaczyć jako sumę osiadania wtórnego Si” w zakresie naprężenia wtórnego σzs, z zastosowaniem modułu ściśliwości wtórnej gruntu M (lub modułu wtórnego odkształcenia E, w zależności od metody obliczania), oraz osiadania pierwotnego Si’ w zakresie naprężenia dodatkowego σzd, z zastosowaniem modułu ściśliwości pierwotnej gruntu Mo (lub Eo). Osiadanie Si warstwy podłoża o miąższości mi oblicza się wg wzorów: Si = Si' ' + Si' σ zis ⋅ mi S =λ Mi '' i σ zid ⋅ mi S = M oi ' i Si" – osiadanie wtórne warstwy i, [cm], S i' – osiadanie pierwotne warstwy i, [cm], σ zis ,σ d zi Mi, Moi – odpowiednio wtórne i dodatkowe naprężenie w podłożu pod fundamentem, w połowie grubości warstwy, [kPa], – edometryczny moduł ściśliwości, odpowiednio wtórnej i pierwotnej, ustalony dla gruntu warstwy i, kPa, mi – grubość warstwy i, cm, λ – współczynnik uwzględniający stopień odprężenia podłoża po wykonaniu wykopu, którego wartość należy przyjmować: λ = 0 – gdy czas wznoszenia budowli (od wykonania wykopów fundamentowych do zakończenia stanu surowego, z montażem urządzeń stanowiących obciążenie stałe) nie trwa dłużej niż 1 rok, λ=1 – gdy czas wznoszenia budowli jest dłuższy niż 1 rok. Warstwy o grubości większej niż połowa szerokości B fundamentu należy dzielić dodatkowo na części o miąższości nie przekraczającej 0.5B. Całkowite osiadanie podłoża pod fundamentem bezpośrednim, a zatem osiadanie całej budowli oblicza się sumując osiadania wszystkich warstw cząstkowych według wzoru: S= n ∑ i= 1 Si gdzie: i – numer warstwy cząstkowej; n – ilość warstw, Si – osiadanie warstwy i–tej. Q Podziałka głębokości: Podziałka naprężeń: D q = Q/LB z=0 B z zwg m1 m2 m3/2 m3/2 σz3s σz3d S3 m3 m4 1m 20 kPa Wyznaczenie głębokości podłoża budowlanego (zmax) Q Podziałka głębokości: Podziałka naprężeń: D q = Q/LB z=0 B z zwg m1 0.3σhγ σhγ σzd zmax m2 m3 wykres naprężeń pierwotnych m4 σhγ 0.3σhγ linia pomocnicza 0.3σhγ 1m 20 kPa Zadania 4. ZADANIA Z ROZKŁADU NAPRĘŻEŃ W PODŁOŻU GRUNTOWYM Zad. 4.1. Na jakiej głębokości „z” naprężenia dodatkowe od nacisku q=100 kPa przekazywanego przez fundament o szerokości B=2,0 m zrównają się z naprężeniami geostatycznymi w podłożu gruntowym. Rozkład η przyjąć liniowy do głębokości z =3B. Zad. 4.2. W podłożu gruntowym obniżono zwierciadło wody gruntowej o 5,0 m. Policzyć wartość efektywnych naprężeń geostatycznych w gruncie w punkcie A przed i po obniżeniu zwierciadła wody gruntowej. Zad. 4.3. Pod punktami A, B i C, na głębokości z = 5.0m wyznaczyć wartości pionowych naprężeń dodatkowych od oddziaływania fundamentów I i II. Naprężenia od fundamentu I policzyć jak od siły skupionej Q według wzoru Bussinesq’a. Naprężenia od fundamentu II policzyć jak pod obszarem prostokątnym obciążonym obciążeniem q. Zad. 4.4. W punkcie A, na głębokości z = 5.0m wyznaczyć wartości naprężeń pionowych od oddziaływania fundamentów I i II. Obliczenia wykonać metodą punktów narożnych. Zadania ZADANIA Z OSIADAŃ PODŁOŻA GRUNTOWEGO Zad. 5.1. Który fundament osiądzie więcej? Policzyć wartości osiadań fundamentów. Rozkład η przyjąć liniowy do głębokości z = 3B. Zad. 5.2. Policzyć osiadanie warstwy Gπ od nacisków dodatkowych q przekazywanych przez fundament. Rozkład η przyjąć liniowy do głębokości 4B. Zad. 5.3. Policzyć osiadanie warstwy namułu w wyniku obniżenia zwierciadła wody gruntowej o 4.0 m. Przyjąć, że obniżenie wody wykonano na znacznym obszarze, stąd η = 1 w całej miąższości namułu. Zad. 5.4. Jaką szerokość powinna mieć ława fundamentowa, aby osiadania podłoża gruntowego nie przekroczyły 20 mm? Obliczenia wykonać metodą odkształceń jednoosiowych, przyjmując liniowy rozkład współczynnika η, jak pokazano na wykresie. γ=20 kN/m3, Mo = 10 MPa