Parzystość i nieparzystość funkcji. Monotoniczność funkcji. Średnie.

Zadania ze Wstępu do Matematyki;
Zestaw 6
Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji:
1. f : R → R, f (x) = x4 − 3x3 + x2
√
4. f : R → R, f (x) = log3 ( x2 + 1)
2. f : R → R, f (x) = x5 + 4x3 − 6x
5. f : [−3, 4] → R, f (x) = x3
3. f : R → R, f (x) = x6 − 3x4 + 5x2 − 3
6. f : (−4, 4] → R, f (x) = x2
Dane są funkcje f : R → R, g : R → R, h : R → R. Funkcje f i g są rosnące a funkcja h jest malejąca.
Proszę rozwiązać równania i nierówności:
7. f (x2 − 1) = f (1 − x)
10. h(2x − 3) > h(3x − 2)
8. f (h(x + 2)3 + 3) = f (h(5 − x)3 + 3)
11. g(h(f (x + 5) − 3 + x) + x2 ) + 5 >
> g(h(f (7 − x) − 3 + x) + x2 ) + 5
9. f (2x − 3) > f (3x − 2)
12. Proszę obliczyć średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną z liczb 4, 6 i 9.
13. Proszę obliczyć średnią ważoną z liczb 5, 4, 3 i 2 z wagami 1, 2, 3 i 4.
Przypomnijmy nierówności pomiędzy średnimi. Dla dowolnych liczb dodatnich xi oraz 1 ¬ p < q mamy:
min{x1 , x2 , . . . , xn } ¬
1
x1
+
1
x2
n
+ ... +
1
xn
¬
√
n
xp1 + xp2 + . . . + xpn
n
x 1 x 2 . . . xn ¬
¬
xq1 + xq2 + . . . + xqn
n
!1
p
¬
!1
q
¬ max{x1 , x2 , . . . , xn }
Proszę wskazać i uzasadnić nierówności pomiędzy podanymi parami wyrażeń. Wszystkie litery oznaczają
liczby dodatnie.
14.
√
3
abc i
a+b+c
3
3abc
15.
ab + bc + ac
1
16. (a + b + c)2
3
i
17.
√
3
abc
18.
√
3
√
4
ab2
i
a + 2b
3
ab3
i
a + 3b
4
√
6
19. 6 ab2 c3
i a2 + b 2 + c 2
Zadanie dodatkowe dla bardzo dociekliwych:
21. a2 bc + ab2 c + abc2
i a2 b 2 + b 2 c 2 + a2 c 2
q
20. 3 3 (abc)2
i a + 2b + 3c
i ab + bc + ac