1. Niech M będzie interpretacją języka KRP której

Mariusz Urbański
Logika II
semantyka KRP: od spełniania do wynikania logicznego
1. Niech M będzie interpretacją języka KRP której uniwersum jest zbiór dodatnich liczb parzystych {2, 4, 6, . . .}
i taką, że jej funkcja denotowania przyporządkowuje symbolowi predykatowemu P12 relację mniejszości.
(a) Znajdź M-wartościowanie s∗ takie że M |= P12 (x4 , x5 )[s∗ ].
(b) Znajdź M-wartościowanie s∗∗ takie że Mnon|= P12 (x8 , x2 )[s∗∗ ].
2. Niech J będzie językiem pierwszego rzędu, w którym występują cztery stałe pozalogiczne: P11 , P21 , P31 , P12 . Niech
M =< U, ∆ > będzie interpretacją języka J taką, że U = {1, 2, 3, 4}, natomiast funkcja ∆ niech będzie
określona następująco:
∆(P11 )
∆(P21 )
∆(P31 )
∆(P12 )
jest
jest
jest
jest
własnością bycia Grekiem;
własnością bycia Włochem;
własnością bycia grubym;
relacją, która zachodzi między dwoma obiektami wówczas, gdy pierwszy nie ufa drugiemu.
Niech s =< 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . . . > będzie pewnym M-wartościowaniem. Niech ponadto świat ma się tak, że
własność bycia Grekiem posiadają obiekty 1 i 2, własność bycia Włochem obiekty 3 i 4, własność bycia grubym
obiekty 2 i 3, relacja nieufania natomiast niech będzie zbiorem następującym:
{< 1, 3 >, < 1, 4 >, < 2, 3 >, < 2, 4 >, < 3, 1 >, < 3, 2 >, < 4, 1 >, < 1, 2 >}
(a) Czy M |= P11 (x) ∨ P21 (y) → P31 (x) ∧ P31 (y)[s]?
(b) Czy M |= ∃xP11 (x) ∧ P31 (x)[s]?
(c) Czy M |= ∀x∀y(P11 (x) ∧ P21 (y) → P12 (x, y))[s]?
(d) Podaj przykład M-wartościowania, które spełnia przy interpretacji M formułę
∃x1 (P21 (x1 ) ∧ ¬P31 (x1 )) → ∃x1 P12 (x2 , x1 )
3. Niech M będzie interpretacją języka KRP której uniwersum jest zbiór całkowitych liczb dodatnich {1, 2, 3, . . .}
i taką, że jej funkcja denotowania przyporządkowuje symbolowi predykatowemu P12 relację niewiększości.
(a) Czy P12 (x2 , x3 ) ∈ Vr(M)?
(b) Czy ∃x2 P12 (x2 , x3 ) ∈ Vr(M)?
(c) Czy ∃x2 ∃x3 P12 (x2 , x3 ) ∈ Vr(M)?
(d) Czy P12 (x3 , x3 ) ∈ Vr(M)?
(e) Czy M |= {P12 (x49 , x107 ), ∀x2 ∀x3 P12 (x2 , x3 )}?
(f) Czy M |= {P12 (x49 , x49 ), ∀x2 ∀x3 P12 (x2 , x3 )}?
(g) Czy M |= {P12 (x49 , x107 ), ∀x2 ∃x3 P12 (x2 , x3 )}?
Jak będą brzmiały odpowiedzi na te pytania, jeżeli funkcja denotowania przyporządkuje symbolowi predykatowemu P12 relację mniejszości?
4. Niech M0 będzie interpretacją języka KRP różniącą się od interpretacji M z zadania 3. tym, że uniwersum
interpretacji M0 jest zbiór dodatnich liczb parzystych {2, 4, 6, . . .}.
(a) Podaj przykład formuły prawdziwej przy interpretacji M0 .
(b) Podaj przykład formuły fałszywej przy interpretacji M0 .
(c) Wskaż zbiór formuł, którego modelem jest M0 .
(d) Wskaż zbiór formuł, dla którego M0 nie jest modelem.
5. Wskaż interpretację, która jest modelem następującego zbioru formuł:
{∀x4 P22 (x4 , x4 ), ∀x4 ∀x3 (P22 (x4 , x3 ) → P22 (x3 , x4 )), ∀x4 ∀x3 ∀x7 (P22 (x4 , x3 ) ∧ P22 (x3 , x7 ) → P22 (x4 , x7 ))}
6. Sprawdź, czy przy interpretacji M (zadanie 2.) prawdziwe są formuły, będące schematami następujących zdań:
(a) Każdy Grek nie ufa pewnemu Włochowi.
(b) Żaden Grek nie ufa żadnemu Włochowi.
(c) Niektórzy Włosi są grubi.
(d) Pewien Włoch ufa pewnemu Grekowi.
7. Jaką własność powinna posiadać formuła A, aby następujące warunki były równoważne:
(a) A ∈ Vr(M);
(b) istnieje M-wartościowanie, które (przy interpretacji M) spełnia formułę A.
8. Czy jest możliwe, aby formuła zdaniowa języka I-go rzędu była prawdziwa przy jednej interpretacji tego języka,
nie będąc prawdziwą przy innej? Dlaczego?
9. Czy o każdej formule zdaniowej pewnego języka I-go rzędu możemy powiedzieć, że przy pewnych interpretacjach
tego języka jest ona prawdziwa, przy innych zaś nie? Dlaczego?
10. Sprawdź czy:
(a) {∀x13 P11 (x13 )} |= P11 (x2 );
(b) {¬∀x13 P11 (x13 )} |= P11 (x2 );
(c) {¬(∀x13 P11 (x13 ) → ∀x13 P11 (x13 ))} |= P11 (x2 );
11. Czy z twierdzenia o pełności KRP wynika, że:
(a) nie istnieje taka teza KRP, która nie jest tautologią KRP?
(b) nie istnieje taka tautologia KRP, która nie jest tezą KRP?
12. Załóżmy, że zdanie B pewnego języka I-go rzędu wynika logicznie ze zdania A tego języka. Czy wówczas
formuła A → B jest prawem logiki? Uzasadnij odpowiedź.
13. Załóżmy, że X |= A. Co możemy powiedzieć o wartości logicznej formuły A przy interpretacji M wówczas, gdy:
(a) X ⊆Vr(M);
(b) interpretacja M jest modelem zbioru X;
(c) co najmniej jedna formuła zdaniowa ze zbioru X nie jest prawdziwa przy interpretacji M;
(d) X jest zbiorem tautologii.