Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej
materiały do wykładu Podstawy fizyki – semestr II
Rozkład statystyczny i gęstość prawdopodobieństwa
liczebności poszczególnych grup cząstek
Opis właściwości fizycznych ciał lub układów składających się z dużej liczby cząsteczek lub
molekuł - jak bryła o masie kilku kilogramów zawierająca ≈1025 atomów, lub np. zawierający
≈1020 atomów mały pęcherzyk powietrza, a także układów wielokrotnie mniejszych lub
większych – stwarza zasadnicze trudności przy próbie zastosowania praw mechaniki. Jest
oczywiste, że niemożliwe jest posługiwanie się współrzędnymi, energiami, przyspieszeniami,
pędami poszczególnych cząsteczek, a to ze względu na olbrzymią liczbę równań mechaniki,
które należałoby w takim przypadku rozwiązywać. Ale też nie ma takiej rzeczywistej potrzeby.
W takim układzie jest wiele cząstek o podobnych parametrach (prędkości, pędzie, energii). Tak
więc, zamiast dążyć do określenia stanu ruchu każdej cząstki z osobna, posegregujmy cząstki o
zbliżonych wartościach pewnej wielkości fizycznej, np. energii. Niech do poszczególnych grup
należą cząstki o wartościach energii mieszczących się w pewnych przedziałach; jeżeli
ponumerujemy przedziały wskaźnikiem i (i=1,2,3,4,….N), to do i-tego przedziału należeć będą
cząstki o energiach od Ei do Ei+ΔEi. Dokonujemy w ten sposób rozkładu całego układu na
pewną skończoną liczbę podukładów, charakteryzujących się odmiennymi energiami, które
stanowią zbiór nieciągłych wartości (zbiór dyskretny). Przykładowy wykres liczebności grup
(ni) w zależności od energii cząstek w każdej grupie przedstawia poniższy rysunek.
n4
n5
n3
n2
n1
ΔE1
ΔE2
ΔE3
ΔE4
ΔE5
ΔEN
E1
E2
E3
E4
E5
EN
przedziały energii przypisane poszczególnym grupom cząstek
Rys. 1
Zastanówmy się obecnie nad sposobem obliczania średniej wartości energii przypadającej na
jedną cząsteczkę w całym układzie złożonym z NC cząsteczek. Zgodnie z przyjętym sposobem
obliczania średniej arytmetycznej będzie to:
E =
n1 ⋅ E1 + n 2 ⋅ E 2 + n 3 ⋅ E 3 + ...... + n N ⋅ E N n1 ⋅ E1 + n 2 ⋅ E 2 + n 3 ⋅ E 3 + ...... + n N ⋅ E N
=
n1 + n 2 + n 3 + ...... + n N
NC
1
(1)
Wprowadźmy następnie oznaczenie: pi = ni/NC . Wielkość pi jest prawdopodobieństwem
znalezienia się którejkolwiek cząstki w grupie o numerze i (tj. o energii Ei). Dostaniemy
wówczas:
N
E = p1 ⋅ E1 + p2 ⋅ E2 + p3 ⋅ E3 + ...... pN ⋅ EN = ∑ pi ⋅ Ei
(2)
i =1
Liczba cząstek na przedział energii
(1/dżul)
Jest dość oczywiste, że jeżeli zastosujemy podział warości energii w rozważanym układzie na
niewielką liczbę przedziałów – jak na rysunku powyżej – to obliczona średnia wartość energii
będzie niedokładna. Będzie tak dlatego, że przy tym zgrubnym segregowaniu cząsteczek
zaliczyliśmy do tej samej grupy cząstki o dość różnych energiach; np. cząsteczkom, których
energie mieszczą się w szerokim przedziale ΔE4 między E4 i E5 przypisujemy jedną, wspólną
wartość energii E4. Aby otrzymać bardziej dokładną wartość średniej, należałoby dokonać
dokładniejszej segregacji rozróżniającej cząstki o zbliżonych energiach. Dokonując segregacji
w węższych przedziałach energii otrzymamy rozkład liczebności grup zilustrowany na Rys. 2:
ΔEi
Ei
E1 E2 E3
ΔEN
EN
Rys. 2
Przy tym podziale otrzymamy wartość średnią energii nieco dokładniejszą niż poprzednio,
mimo to nadal obarczoną pewnym błędem wynikającym z zaliczania cząstek o nieco różniących
się energiach do tej samej grupy. W celu otrzymania dokładnego wyniku powinniśmy więc
podzielić cały zakres energii (i całą populację cząstek) na jak największą liczbę przedziałów.
Postępując w ten sposób zawężamy jednak szerokości poszczególnych przedziałów energii ΔEi ,
co prowadzi do coraz mniejszych liczb cząstek w poszczególnych przedziałach. Aby uniknąć tej
dodatkowej komplikacji, zamiast liczby czastek przypadających na dany przedział energii
posłużmy się stosunkiem liczby cząstek w przedziale energii do szerokości tego przedziału,
tworząc w ten sposób pewną wielkość ρ o:
ρ o (E ) =
Δn(E , E + ΔE )
N C ⋅ ΔE
(3)
Wielkość Δn(E, E+ΔE) oznacza tu liczbę cząstek, których energia zawiera się w przedziale (E,
E+ΔE). Jak widać, rezygnujemy przy tym z rozpatrywania dyskretnych wartości energii,
2
ponieważ wartość funkcji ρ o(E) można wyznaczyć dla dowolnej wartości energii E. Tak
zdefiniowana wielkość ρ o(E) zależy nieco od szerokości przedziału ΔE; zauważmy jednak, że
przy odpowiednio wąskich przedziałach energii liczby cząstek w przedziałach stają się
proporcjonalne do szerokości przedziałów. Tak więc im węższy przedział, tym dokładniej jest
określona wartość ρ o(E). Zdefiniujmy zatem gęstość prawdopodobieństwa ρ(E) znalezienia
cząstki o pewnej energii E w sposób następujący:
ρ (E ) = lim
ΔE → 0
Δn(E , E + ΔE )
N C ⋅ ΔE
(4)
Otrzymujemy w ten sposób ciągłą funkcję ρ(E), której wartością jest ułamek całkowitej liczby
cząstek przypadający na jednostkowy przedział energii wokół energii o wartości E. Wykres tej
funkcji jest naszkicowany linią niebieską na Rys. 2.
Według wzoru (3) liczba cząsteczek przypadajacych na przedział energii o szerokości ΔE jest:
Δn(E , E + ΔE ) = N C ⋅ ρ o (E ) ⋅ ΔE
(5)
Używając różniczek (wielkości nieskończenie małych) możemy odpowiednie wyrażenie z
funkcją ρ(E) zapisać w sposób ścisły w postaci:
dn(E ) = N C ⋅ ρ (E ) ⋅ dE
(6)
Dzieląc obie strony tej równości przez całkowitą liczbę cząstek NC dostajemy wyrażenie
dn(E )
= ρ (E ) ⋅ dE
NC
(7)
którego lewa strona jest odpowiednikiem prawdopodobieństwa pi zdefinowanego powyżej (p.
wzory (1) i (2)). Trzymając się tej analogii powinniśmy teraz obliczać średnią wartość energii
analogicznie jak we wzorze (2), zastępując jednak sumowanie całkowaniem:
E =∫
dn(E )
⋅ E = ∫ E ⋅ ρ (E ) ⋅ dE
NC
(8)
Całkowanie wykonywane jest przy tym, tak jak poprzednio sumowanie, w całym zakresie
możliwych energii. Gęstość prawdopodobieństwa ρ(E) ma własności analogiczne jak dyskretne
wartości prawdopodobieństw pi. Dla pi mamy na przykład:
N
N
ni
∑p =∑N
i
i =1
i =1
C
=
1
NC
N
∑n
i
i =1
=
NC
=1
NC
(9)
i analogicznie dla ρ(E):
∫ ρ (E )dE = ∫
1
1
dn(E )
=
dn(E ) =
⋅ NC = 1
∫
NC
NC
NC
(10)
Wzory (6) i (7) definiują dwie ściśle ze sobą powiązane wielkości o podstawowym znaczeniu
dla obliczania własności układów fizycznych metodami statystycznymi. Wyrażenie dn(E) w
3
równaniu (6) przedstawia rozkład liczby cząstek układu po różnych wartosciach energii. Liczba
dn(E) jest tu liczbą cząstek, których energie mieszczą się w nieskończenie wąskim przedziale
dE wokół energii E. Z kolei funkcja ρ(E), przez którą wyraża się ten rozkład, jest
prawdopodobieństwem znalezienia cząstki o energii między E i E+ΔE, podzielonym przez
szerokość przedziału energii ΔE; stąd jej nazwa gęstość prawdopodobieństwa rozkładu
cząstek względem energii.
Rozkład i gęstość prawdopodobieństwa mogą być funkcjami także innych wielkości fizycznych
właściwych cząstkom układu, np. funkcjami prędkości, pędu lub położenia cząstek. Dysponując
odpowiednim rozkładem można obliczyć wartości średnie różnych wielkości fizycznych, jak
również ich sumaryczne wartości w całym układzie. Można wyznaczyć całkowitą energię
cząsteczek pewnej substancji w różnych temperaturach (a stąd np. jej ciepło właściwe),
całkowity pęd przekazywany ściance naczynia przez uderzające w nią cząsteczki gazu (a stąd
ciśnienie gazu), ilość energii przenoszonej przez cząsteczki gazu przelatujące przez pewną
powierzchnię (a stąd przewodnictwo cieplne), itp. wielkości. Kiedy dysponujemy rozkładem
dn(E), możemy w prosty sposób obliczyć całkowitą energię cząsteczek zawartych w pewnym
układzie fizycznym. Będzie ona sumą energii cząsteczek należących do wszystkich grup, na
jakie dzielimy układ. Energia grupy o liczebności dn(E) wynosi E⋅dn(E), tak więc:
Ecalkowita = ∫ E ⋅ dn(E ) = ∫ E ⋅ N C ⋅ ρ (E )dE
Dysponując rozkładem cząstek układu względem prędkości
całkowitą energię kinetyczną wykonując sumowanie:
(11)
dn(V)=NC⋅ρ(V)dV obliczymy
E kinetyczna = ∫ mV 2 ⋅ dn(V ) = ∫ mV 2 ⋅ N C ⋅ ρ (V )dV
1
1
2
2
(12)
Podobnie obliczymy całkowitą energię kinetyczną dysponując rozkładem względem pędów:
Ekinetyczna = ∫
p2
p2
⋅ dn( p ) = ∫
⋅ N C ⋅ ρ ( p )dp
2m
2m
(13)
Całkowania w powyższych wzorach obejmują cały zakres możliwych wartości energii,
prędkości lub pędu. Bywa też, że całkowanie należy ograniczyć do pewnego przedziału tych
wielkości; ma to miejsce wtedy, gdy obliczana wartość pochodzi nie od wszystkich, a tylko od
części cząsteczek w układzie (wyróżnionych np. przez określony kierunek ich ruchu lub ich
położenie w przestrzeni powyżej pewnej wysokości, itp.).
Z powyższych definicji i przykładów wynika, że do obliczenia wielkości fizycznych
stanowiących właściwość układu fizycznego w całości, bądź też odnoszących się do
pojedynczych cząsteczek tego układu, w zasadzie niezbędna jest znajomość rozkładu cząstek
względem odpowiedniej wielkości, np. względem energii cząstek lub ich prędkości. Zatem aby
pokonać trudności w opisie układu złożonego z wielkiej liczby cząsteczek należy znać
odpowiedni rozkład dla cząsteczek tego układu. Wyznaczanie rozkładu bywa zadaniem o
różnym stopniu trudności. Wyznaczenie rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego lub
energii elektronów w metalu lub w półprzewodniku jest zadaniem stosunkowo nietrudnym
jeżeli przyjmie się odpowiednie założenia upraszczające, lecz np. statystyczny opis właściwości
cieczy jest zagadnieniem bardzo złożonym. W każdym z tych przypadków niezbędne okazują
się nowe pojęcia i wielkości specyficzne dla fizyki statystycznej i termodynamiki, takie jak
równowaga energetyczna (cieplna) ciał, temperatura, prawdopodobieństwo termodynamiczne,
entropia.
4
Liczba stanów układu fizycznego i prawdopodobieństwo stanu
Rozważania dotyczące statystycznego opisu układów fizycznych przedstawione w poprzednim
rozdziale wskazują wyraźnie, że w opisie układów złożonych z wielu cząstek należy
zrezygnować ze znajomości stanów wszystkich cząstek z osobna, zyskując za to pewien stopień
znajomości stanu całego układu. Sformułowanie „pewien stopień znajomości” zawiera
zastrzeżenie, że nie znamy stanu układu z absolutną dokładnością, a znamy jego właściwości
określone jedynie w sposób statystyczny. W przypadku układów o dużych liczbach cząstek to
ograniczenie do opisu statystycznego nie oznacza w gruncie rzeczy utraty jakiejkolwiek istotnej
informacji o układzie.
Jednym z podstawowych pojęć fizyki statystycznej jest prawdopodobieństwo stanu.
Wyobraźmy sobie jakikolwiek układ fizyczny (np. oddzielne ciało) złożony z dużej liczby
cząstek, z których każda ma pewną ilość energii. Suma tych energii jest energią całkowitą
układu. Załóżmy, że układ jest odizolowany od otoczenia, a więc jego energia całkowita
pozostaje stała. Mimo tej niezmienności energii całkowitej istnieje wiele możliwości jej
podziału pomiędzy cząstki wewnątrz układu, co może mieć różne skutki. Jeżeli np. w kropli
wody cała energia kinetyczna zostałaby „przydzielona” tylko dziesięciu procentom cząsteczek,
to mielibyśmy do czynienia z bardzo nietypowym obiektem składającym się z 90% bardzo
zimnego lodu i 10% bardzo gorącej pary. Jak wiemy, w przyrodzie takie sytuacje samorzutnie
nie występują; w kropli wody energia jest rozdzielona między cząsteczki z pewnością w
różnych porcjach, ale w sposób prawdopodobnie nie aż tak skrajnie zróżnicowany.
Aby uchwycić pewne właściwości stanów mniej lub bardziej prawdopodobnych rozważmy
pewien wyimaginowany układ posiadający całkowity zasób energii EC i składający się z kilku
cząstek, np. trzech, które oznaczymy jako A, B, C (zakładamy, że cząstki są rozróżnialne).
Niech cała energia EC może być rozdzielona między cząstki układu w ilościach stanowiących
wielokrotność pewnej jednostki. Poszczególne sposoby rozdziału energii całkowitej EC = 2
między cząstki układu mogą przy tych założeniach wyglądać tak jak na Rys. 3:
2
3
1:1:0
A
B
C
1
0
Energia cząstki
2:0:0
BC
AC
AB
AB
AC
BC
C
B
A
Rys. 3
Przy dwu możliwych proporcjach podziału energii całkowitej (2:0:0 i 1:1:0) uzyskuje się w
sumie sześć możliwości rozdzielenia energii EC = 2 między trzy cząstki tego układu.
Zwiększając energię całkowitą układu do wartości EC = 4 przy zachowanej liczbie jego
cząsteczek zauważymy, że liczba sposobów podziału energii wzrasta, co ilustruje Rys. 4. Jak
widać, możliwym proporcjom podziału energii odpowiadają różne liczby sposobów podziału;
jest ich jednak tym więcej, im więcej energii zawiera układ. I tak przydzielenie całej energii EC
= 4 tylko jednej z trzech cząstek (4:0:0) oraz podziały w proporcjach 2:2:0 i 2:1:1 mogą zostać
zrealizowane każdy na trzy sposoby. Natomiast podział tej samej energii EC = 4 w proporcji
3:1:0 może być zrealizowany na wyraźnie większą liczbę sposobów (sześć). W sumie daje to 15
możliwych sposobów podziału energii EC = 4 między trzy cząstki w tym układzie.
5
2:2:0
3:1:0
2:1:1
A B A C B C
2
3
4
A B C
AB AC BC
0
A
B
C
B A C A C B BC AC AB
1
Energia cząstki
5
4:0:0
BC AC AB C
B
A
C C B B A A
Rys. 4
Podobne postępowanie nietrudno uogólnić na układ zawierający dowolną liczbę cząstek,
między które dzielona jest energia całkowita o dowolnej wartości. Jeżeli układ składający sie z
N cząstek zawiera energię całkowitą o wartości E, to liczba sposobów realizacji stanu tego
układu wynosi:
Ω N (E ) =
(E + 1) ⋅ (E + 2) ⋅ (E + 3).... ⋅ (E + N − 2) ⋅ (E + N − 1) = ⎛⎜ E + N − 1⎞⎟
⎜
⎟
E
(N − 1) !
⎝
⎠
(14)
Ogólna liczba stanów układu jest więc funkcją jego energii mającą postać wielomianu stopnia
N-1. W odniesieniu do układu o dużej liczbie cząstek oznacza to, że liczba stanów układu jest
silnie rosnącą funkcją jego energii całkowitej. Matematyczna postać tej funkcji jest przy tym
bardzo zbliżona do funkcji wykładniczej.
Równowaga cieplna. Temperatura.
Rozważmy obecnie podział energii układu między dwie wyodrębnione jego części (podukłady).
W układzie tym każdy z dwu podukładów może posiadać w zasadzie dowolną część całkowitej
energii. Spełniony musi być tylko warunek, aby suma energii obu podukładów pozostawała
stała:
E1 + E 2 = EC = const.
(15)
Niech istnieje przy tym możliwość przepływu energii między obiema częściami układu.
Chociaż nie narzucamy żadnych warunków dotyczących proporcji podziału energii całkowitej
między oba podukłady, to spodziewamy się, że niezależnie od stanu początkowego układu po
pewnym czasie ustali się trwały, niezmienny w czasie podział energii między oba podukłady.
Stan taki, w którym nie występuje wypadkowy przepływ energii w kierunku któregokolwiek
podukładu, nazywamy stanem równowagi. Zajmijmy się właściwościami układu w tym stanie.
Pytanie zasadnicze dla opisu stanu takiego układu brzmi: co wyznacza stan równowagi; skąd
układ „wie”, że przepływy energii powinny się skompensować (jeżeli nadal występują) tak, że
powinien zniknąć przepływ wypadkowy w którymkolwiek kierunku? Czy istnieje wielkość
fizyczna, której wartość oznacza: „oto został osiągnięty stan równowagi”?
Intuicyjnie możemy przypuszczać, że stan równowagi raczej nie będzie odpowiadać bardzo
nierównemu podziałowi energii, który preferowałby np. większość energii w mniejszym
6
podukładzie. Uznajemy po prostu, że taki stan byłby mało prawdopodobny. Za stan
równowagi uznajemy zatem stan najbardziej prawdopodobny. Pomocna w odgadnięciu tego
kluczowego stwierdzenia może się okazać inspekcja Rys. 4. Mamy tam kilka proporcji podziału
energii między czastki układu. Jeżeli cząstki układu mogą wymieniać energię (np. zderzając się),
to którą z tych proporcji spodziewamy się zastać w układzie najczęściej? Czy będzie to
proporcja 4:0:0, przy której całą energię układu posiada tylko jedna cząstka? Czy będzie to
proporcja 2:2:0, a może 3:1:0, lub 2:1:1 ? Zamiast odgadywać, obliczmy prawdopodobieństwo
wystąpienia każdej z tych proporcji podziału energii. Pierwszej proporcji (4:0:0), drugiej (2:2:0)
oraz czwartej (2:1:1) odpowiadają prawdopodobieństwa wystąpienia po 3/15 (tj. 3 realizacje na
15 wszystkich możliwych). Natomiast proporcja trzecia (3:1:0) występuje z
prawdopodobieństwem 6/15. Wniosek jest więc oczywisty: w układzie cząstek, które mogą
wymieniać ze sobą energię, najbardziej prawdopodobny jest, czyli najczęściej występuje taki
podział energii, któremu odpowiada największa liczba sposobów realizacji stanu układu.
Powracając do dwu podukładów stwierdzamy zatem, że stan równowagi ma miejsce wtedy, gdy
podział energii między oba podukłady zapewnia maksymalną liczbę stanów całego układu.
Ponieważ liczba stanów całego układu jest iloczynem liczb stanów obu podukładów Ω(1) i Ω(2),
Ω 8(E1) x25
Ω 8Ω12
4E+6
8E+5
3E+6
Ω12 (E2)
6E+5
2E+6
4E+5
1E+6
2E+5
0E+0
E2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
E1
Rys. 5
więc podział energii na E1 i E2 powinien zapewniać spełnienie żądania:
Ω(E1 , E 2 ) = Ω (1) (E1 ) ⋅ Ω ( 2 ) (E 2 ) = maksimum
(16)
Wykres na Rys. 5 przedstawia zależność liczby stanów układu złożonego z dwu podukładów
zawierających po 12 i 8 cząsteczek. Liczba stanów całego układu równa iloczynowi Ω8⋅Ω12
wykazuje wyraźne maksimum przy podziale energii całkowitej EC = 20 między oba podukłady
w ilościach E1 = 12, E2 = 8. Odpowiada to podziałowi proporcjonalnemu do liczb cząstek w obu
podukładach, co jest zgodne z intuicją, jeżeli oba podukłady składają się z podobnych cząstek.
7
W ogólnym przypadku warunek ekstremum liczby stanów wyrażony równaniem (16) można
zapisać w sposób równoważny jako żądanie, aby zamiast liczby stanów układu
Ω(1) (E1 ) ⋅ Ω( 2) (E2 ) maksymalną wartość osiągał logarytm naturalny liczby stanów:
(
)
ln Ω (1) (E1 ) ⋅ Ω ( 2) (E 2 ) = maksimum
(17)
Jak zwykle w takich zagadnieniach, warunek ten jest spełniany, gdy pierwsza pochodna
wyrażenia po lewej stronie względem energii E1 lub energii E2 osiąga wartość zerową.
Otrzymujemy wtedy równanie:
(
)
(
)
d
d
ln Ω (1) (E1 ) ⋅ Ω ( 2 ) (E 2 ) =
ln Ω (1) (E1 ) + ln Ω ( 2 ) (E 2 ) =
dE1
dE1
(
)
(
(18)
)
d ln Ω (1) (E1 ) d ln Ω ( 2 ) (E 2 )
=
+
=0
dE1
dE1
Zwróćmy uwagę, że w końcowej postaci powyższego wyrażenia występuje pochodna funkcji
argumentu E2 liczona względem argumentu E1. Korzystając z ogólnych reguł różniczkowania
funkcji złożonej:
df (E 2 ) df (E 2 ) dE 2
=
⋅
dE1
dE 2 dE1
(19)
i uwzględniając, że E2 = EC – E1 (wg r-nia 15) a zatem: dE 2 = −1 , zapiszemy końcową
dE1
równość w (18) w postaci równania:
(
) (
)
(20)
(
)
)
(21)
d ln Ω (1) (E1 ) d ln Ω ( 2 ) (E 2 )
−
=0
dE1
dE 2
lub inaczej:
(
d ln Ω (1) (E1 ) d ln Ω ( 2) (E 2 )
=
dE1
dE 2
Powyższe równanie wyraża następujące stwierdzenie: w stanie równowagi dwu podukładów
zrównują się pewne wielkości; jedna odnosząca się wyłącznie do podukładu 1 i zapisana po
lewej stronie r-nia (21) i druga, przedstawiona analogicznym wyrażeniem odnoszącym się do
podukładu 2 i zapisana po prawej stronie r-nia (21). Wiemy przy tym z doświadczenia, że
przepływ energii między układami ustaje wtedy, gdy zrównują się ich temperatury. Pozostaje
nam więc uznać, że wyrażenia po obu stronach r-nia (21) reprezentują temperatury obu
układów, zaś r-nie (21) stwierdza, że te temperatury są w stanie równowagi jednakowe. Z
pewnych względów, które wyjaśnią się trochę później, nie oznaczymy jednak tych wyrażeń
bezpośrednio jako temperatury obu podukładów, ale zdefiniujemy temperaturę raczej jako
wielkość odwrotnie proporcjonalną do nich:
d (ln Ω(E ))
1
=
dE
k BT
(22)
8
co w odniesieniu do stanu równowagi niczego nie zmienia. Powyższa definicja temperatury
zawiera pewną stałą kB zwaną stałą Boltzmanna. Jej wartość zależy, jak widać, od sposobu
wyboru skali temperatur. Przy wyborze powszechnie używanej w fizyce bezwzględnej skali
temperatur Kelvina (0o C = 273,16 K) wartość stałej Boltzmanna wynosi
kB = 1.38⋅10-23 J/K
Sposób kalibracji skali temperatur zostanie omówiony przy okazji odpowiedniego
doświadczenia (→ termometr gazowy). Zauważmy jeszcze, że skoro Ω(E) – a zatem również
ln(Ω(E)) – są rosnącymi funkcjami energii E, to wartości temperatury wynikające z równania
(22) są zawsze dodatnie (ponieważ pochodna funkcji rosnącej jest dodatnia). W ten sposób
wyjaśnia się, dlaczego absolutna skala temperatur obejmuje tylko dodatnie wartości temperatury:
wynika to wprost z praw przyrody.
Przedstawione powyżej rozważania dotyczące właściwości układów fizycznych w stanie
równowagi cieplnej wskazują, że układy wymieniają energię dopóty, aż osiągnięty zostaje stan
równowagi, w którym znika wypadkowy przepływ energii (chociaż mogą istnieć równoważące
się strumienie energii w przeciwnych kierunkach). Stan taki charakteryzuje się maksymalną
Liczba stanów układu złożonego z dwu podukładów
Unormowany iloczyn
Ω(1)Ω(2)
N1 = 1000, N 2 = 1000, EC =1000
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
E2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 E1
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
ENERGIE PODUKŁADÓW
Rys. 6
liczbą sposobów rozdziału energii między cząsteczki układu, co ilustruje wykres na Rys. 5.
Wykres ten wskazuje zarazem na pewien ważny aspekt pojęcia temperatury. Zwróćmy uwagę,
że maksimum na wykresie liczby stanów jest dość szerokie. Można nawet stwierdzić, że leżący
tuż obok maksimum wykresu punkt odpowiadający liczbie stanów przy podziale energii w
proporcji 13:9 odpowiada niewiele mniejszej liczbie stanów układu i jest prawie tak samo
„dobrym” stanem równowagi jak stan przy podziale energii 12:8. Ta okoliczność wynika stąd,
że oba podukłady zawierają niewielkie liczby cząstek i są po prostu zbyt małe do wykonania
solidnych obliczeń metodami statystycznymi! Układy te zostały tu użyte tylko dlatego, że
można dla nich w prosty sposób dokonać ścisłych obliczeń, np. przy użyciu wzoru (14).
9
Wykresy na Rys. 6 przedstawiają liczby stanów dla układów złożonych z dwu jednakowych
części po 2, 4, 10 i 23 cząsteczki w każdej połówce układu. Jak widać, dla układów
zawierających takie niewielkie liczby cząsteczek maksymalna liczba stanów (czyli stan
równowagi) jest słabo wyróżniona, podobnie jak i na poprzedniej ilustracji (Rys. 5). Stan
równowagi staje się dużo wyraźniej określony dla dwóch podukładów zawierających po 1000
cząstek, pomiędzy które dzielona jest energia całkowita o wartości 1000 jednostek. Linia
czerwona na Rys. 6 pokazuje, że w tym przypadku dokładniej zostają określone wartości energii
E1 i E2 odpowiadające ostremu maksimum. Z tego powodu również wartość temperatury
obliczona z r-nia (22) dla tych energii będzie dokładniejsza. Tym niemniej, jak wynika z
tendencji zauważalnych na tym rysunku, nawet dla bardzo, bardzo liczebnych układów nie
możemy spodziewać się absolutnie ścisłej wartości temperatury! Nawet jeżeli wykres liczby
stanów w funkcji energii obu podukładów stanie się bardzo wąski (dla bardzo liczebnego
układu), to jednak zawsze zachowa pewną skończoną szerokość w pobliżu maksimum. Oznacza
to, że nawet w przypadku dużych układów istnieje niezerowe prawdopodobieństwo pojawienia
się niewielkich odstępstw od stanu idealnej równowagi; odstępstw, przy których liczba stanów
układu (a zatem prawdopodobieństwo takiego odchylenia) będzie niewiele mniejsza niż
maksymalna. Występowanie takich odchyleń od stanu równowagi, który jest pewnym stanem
„średnim”, to nic innego jak fluktuacje - spontanicznie występujące w różnych układach
fizycznych (a także w wielu teoriach statystycznych poza fizyką, np. opisujących migracje
ludności, wahania produkcji przemysłowej, kursy walut itp.). Rozwijając jeszcze nieco szerzej
statystyczny opis własności układów fizycznych moglibyśmy obliczyć prawdopodobieństwo
wystąpienia fluktuacji o różnej wielkości... Czytelnika zainteresowanego podobnymi
zagadnieniami odsyłam do podręcznika F. Reiff - „Fizyka statystyczna”, na którym częściowo
wzorowany jest niniejszy wykład wstępu do fizyki statystycznej.
Rozkład Boltzmanna
W opisie układów fizycznych pojawia się niekiedy potrzeba określenia stanu pojedynczych
atomów, cząsteczek lub większych cząstek wchodzących w skład dużego układu. Przykładem
może być pytanie: ile może wynosić prędkość cząsteczki azotu w powietrzu w warunkach
normalnych? Nie pytamy przy tym o wartość średnią, lecz – wiedząc, że cząsteczka azotu może
w różnych momentach czasu posiadać bardzo różne prędkości – pytamy raczej: jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że cząsteczka ma prędkość pomiędzy 100 m/s i 101 m/s, lub: jakie
jest prawdopodobieństwo tego, że jej prędkość dwukrotnie przekracza prędkość dźwięku.
Innego przykładu dostarcza obserwacja drobnych cząstek zawiesiny stale unoszonej przez ruchy
cieplne cieczy i nigdy nie osiadającej na dnie naczynia (np. na dnie butelki z winem). Można
zapytać: jaki jest rozkład liczby cząstek zawiesiny w kierunku pionowym, jako funkcja
wysokości powyżej dna? Lub inaczej: jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki
zawiesiny na określonej wysokości? Podobne pytanie równie zasadnie można odnieść np. do
zbioru wirusów, które wskutek ruchów cieplnych oderwały się od próbki na szalce w
laboratorium i unoszą się w powietrzu w różnej liczbie na różnych wysokościach. Można
również zapytać: jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczki azotu lub tlenu na
pewnej wysokości w atmosferze ziemskiej? Każda z tych cząsteczek stanowi bardzo mały
podukład przyjmujący od otoczenia energię w różnych ilościach, która pozwala takiej
cząsteczce „podskoczyć” na wysokość np. 1 metra lub 1 kilometra, lub po chwili opaść znacznie
niżej pod wpływem stale działającego na nią pola grawitacyjnego (tj. ciężaru).
W każdym z takich i podobnych przypadków pytamy o prawdopodobieństwo wystąpienia
pewnej określonej wartości wielkości fizycznej, która w zasadzie może przyjmować wartości
mieszczące się w nieskończenie szerokim przedziale. Z punktu widzenia fizyki statystycznej w
każdym z takich przypadków mamy do czynienia z pytaniem o właściwości pewnego
podukładu stanowiącego bardzo małą część pewnego dużego układu fizycznego. W przypadku
cząsteczki azotu tym dużym układem jest otaczające ją powietrze; w przypadku cząstki
10
zawiesiny – otaczająca ją nieporównanie od niej większa ilość cieczy. W każdym przypadku zaś
w istocie pytamy o prawdopodobieństwo posiadania przez pewien mały podukład pewnej
wartości energii, którą – w różnych ilościach – wymienia on stale ze swoim otoczeniem. Jako że
podukład ten jest bardzo mały, nie możemy przypisać mu określonej temperatury (chociaż
możemy ją dobrze określić dla jego otoczenia), a zatem nie jesteśmy w stanie nic pewnego
powiedzieć o podziale energii między małym podukładem i jego otoczeniem (por. uwagi dot.
temperatury w poprz. rozdziale). W takiej sytuacji możemy poszukiwać odpowiedzi tylko o
charakterze statystycznym, tj. pytać tylko o prawdopodobieństwo określonej sytuacji.
Rysunek 7 przedstawia schematycznie relacje między małym podukładem i jego dużym
otoczeniem. Obliczmy prawdopodobieństwo wystąpienia energii E w małym podukładzie
znajdującym się w otoczeniu o temperaturze T. Prawdopodobieństwo to jest wyznaczone przez
liczbę stanów całego układu przy danym podziale energii Ω(E, E*) między obie jego części,
E
E + E* = EC
E* , T
E << E*
Rys. 7
podzieloną przez liczbę stanów układu odpowiadających wszystkim możliwym podziałom
energii Ωtotal :
P (E ) =
(
)
( )
Ω E, E ∗
Ω( E ) ⋅ Ω ∗ E ∗
=
Ω total
Ω total
(23)
Zamiast obliczać bezpośrednio wartość P(E) wyznaczmy logarytm naturalny z P, a po pewnych
przekształceniach powrócimy do wartości prawdopodobieństwa P.
( ( ))
ln (P(E )) = ln (Ω(E )) + ln Ω ∗ E ∗ − ln Ω total
(24)
Biorąc pod uwagę, że energia dużego układu E* różni się od energii całkowitej EC tylko o
niewielką wartość E, możemy rozwinąć funkcję ln(Ω*(E*)) w szereg potęgowy wokół wartości
argumentu EC w następujący sposób:
( ( ( )))
1 ⎡ d ln Ω ∗ E ∗ ⎤
ln Ω ∗ E ∗ = ln Ω ∗ (EC − E ) = ln Ω ∗ (EC ) + ⎢
⋅ (− E ) + ....
⎥
1! ⎣
dE ∗
∗
⎦ E = EC
( ( ))
(
)
(
)
(25)
przy czym ze względu na bardzo małą wartość E zaniedbujemy dalsze składniki rozwinięcia.
Zauważmy, że składnik zawierający pochodną względem energii jest, według równania (22),
równy 1/(kBT). Uwzględniając to po prawej stronie równania (25) a nastepnie podstawiając ją w
miejsce ln(Ω*(E*)) w równaniu (24) otrzymujemy:
11
(
)
ln (P(E )) = ln (Ω(E )) + ln Ω ∗ (EC ) −
E
− ln Ω total
k BT
(26)
i dalej:
P (E ) =
⎛ E ⎞
Ω ∗ (EC )
⎟⎟
Ω(E ) ⋅ exp⎜⎜ −
Ω total
⎝ k BT ⎠
(27)
Wzór powyższy stanowi zapis prawa zwanego rozkładem Boltzmanna, które stwierdza, że
mały układ znajdujący się w otoczeniu o temperaturze T może posiadać energię o wartości E z
prawdopodobieństwem wykładniczo zależnym od tej energii. Prawdopodobieństwo wystąpienia
energii E w tym układzie zależy od właściwości tego układu jedynie poprzez czynnik Ω(E),
który jest liczbą sposobów, na jakie ten układ może posiadać energię E. Ponieważ na ogół nie
znamy liczb stanów Ω*(EC) i Ωtotal (a nawet nie musimy ich znać), zastępujemy ich iloraz pewną
nieokreśloną stałą C i zapisujemy rozkład Boltzmanna w postaci:
⎛ E ⎞
⎟⎟
P (E ) = C ⋅ Ω(E ) ⋅ exp⎜⎜ −
k
T
⎝ B ⎠
(28)
Rozkład w tej postaci stosowalny jest do układów, którym przypisujemy ściśle określone
wartości energii. Jednak może zaistnieć potrzeba obliczenia prawdopodobieństwa stanu, w
którym mały podukład ma energię zawartą w pewnym przedziale wartości, np. między E i
E+dE. W takim przypadku posługujemy się prawdopodobieństwem P(E, E+dE), którego
wartość zależy od szerokości przedziału energii; w analogii do równań (5) i (6) piszemy
wówczas:
⎛ E ⎞
⎟⎟ ⋅ dE
P(E , E + dE ) = C ⋅ Ω(E ) ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ k BT ⎠
(29)
Rozkład w tej postaci można unormować, tzn. wyznaczyć taką wartość stałej C, dla której:
⎛
∫ P(E, E + dE ) = ∫ C ⋅ Ω(E ) ⋅ exp⎜⎜⎝ − k
E ⎞
⎟⎟ ⋅ dE = 1
BT ⎠
(30)
Ponieważ rozkład tak unormowany ma własności gęstości prawdopodobieństwa (porównaj
wzór (10)), można się nim posługiwać w statystycznych obliczeniach np. średnich wartości
energii i in. wielkości, zupełnie analogicznie jak gęstością prawdopodobieństwa ρ(E).
Na rysunku 8 przedstawione są wykresy rozkładu Boltzmanna dla dwu stosunkowo prostych
układów. Jeden z nich charakteryzuje się tym, że może posiadać energię E tylko na jeden
sposób. Układem takim może być np. cząstka jakiejkolwiek zawiesiny lub gazu w polu
grawitacyjnym. Energia cząstki powiązana z wysokoscią h na jakiej znajduje się taka cząstka w
polu grawitacyjnym, jest jej energią potencjalną mgh. Energię tę cząstka może posiadać tylko na
jeden sposób (Ω(E) = 1). Wówczas prawdopodobieństwo posiadania przez cząstkę energii o
wartości E = mgh wyraża się wg wzoru (28) w prosty sposób jako wykładnicza funkcja tej
energii, a zarazem wysokości h. Zależność ta jest naszkicowana na Rys. 8 linią w kolorze
czarnym.
12
prawdopodobieństwo P(E)
Energia
Rys. 8
W przypadku układu, w którym energia E może występować rozłożona między cząsteczki
(atomy) tego układu na wiele sposobów, rozkład Boltzmanna zależy od energii w inny sposób,
uwzględniający czynnik Ω(E). Dla układu złożonego z dwu cząsteczek, według wzoru (14)
liczba stanów jest funkcją o postaci Ω(E) = E+1. Uwzględniając ten czynnik w rozkładzie
Boltzmanna (wzór (28)) dostaniemy zależność P(E) naszkicowaną na Rys. 8 linią czerwoną.
Rozkład Maxwella
Jak już wzmiankowano powyżej, układem, do którego stosuje się rozkład Boltzmanna, może
być pojedyncza cząsteczka gazu. Gdyby udało nam się dowiedzieć czegoś o prawach
rządzących ruchem oddzielnej cząsteczki, znalibyśmy zarazem własności wszystkich cząsteczek
gazu, ponieważ wszystkie one podlegają tym samym prawom (jeżeli są jednakowe, np. są
cząsteczkami azotu w powietrzu). Zastosowanie rozkładu Boltzmanna do tak prostego układu
jakim jest gaz doskonały stwarza daleko sięgające możliwości przewidywania fizycznych
właściwości takiego gazu i stanowi doskonałą ilustrację możliwości, jakich dostarcza fizyka
statystyczna.
Gaz doskonały jest pewnym przybliżonym modelem gazów rzeczywistych takich jak np.
powietrze, znajdujących się pod ciśnieniem mniejszym lub zbliżonym do ciśnienia
atmosferycznego i w temperaturze niezbyt niskiej; umownie można przyjąć, że nie niższej niż
około 200 K. W takich warunkach powietrze i wiele innych gazów występują w stanie na tyle
rozrzedzonym, że można całkowicie zaniedbać siły przyciągania międzycząsteczkowego
występujące przy małych odległościach międzycząsteczkowych (tzw. siły van der Waalsa) i
uznać, że jedyną formą energii jaką mogą posiadać cząsteczki gazu jest energia kinetyczna.
Przyjmujemy tymczasowo, że jest to jedynie energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek.
Przy dużym rozrzedzeniu gazu możemy również uznać, że jego cząsteczki zajmują znikomo
małą część przestrzeni wypełnionej przez gaz i założyć, że stanowią one punkty materialne o
zerowych rozmiarach. Całkowita energia pojedynczej cząsteczki gazu przy takich założeniach
zależy wyłącznie od jej prędkości:
E=
1
mV 2
2
(31)
i może przyjmować dowolne wartości nieujemne. Według rozkładu Boltzmanna cząsteczka
może przyjmować różne wartości energii od otaczającego ją gazu o określonej temperaturze T,
przy czym według tego rozkładu (wzór (29)) prawdopodobieństwo posiadania energii
kinetycznej wyrażonej r-niem (31) wynosi:
13
⎛ E ⎞
⎟⎟ ⋅ ΔE
P(E , E + ΔE ) = C ⋅ Ω(E ) ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ k BT ⎠
(32)
Prawdopodobieństwo posiadania przez cząsteczkę pewnej energii może być wyrażone równie
dobrze przez prawdopodobieństwo posiadania przez nią odpowiedniej prędkości, przy czym
szerokość przedziału prędkości ΔV odpowiada szerokości przedziału energii ΔE. Postawmy
więc pytanie: jaki jest rozkład cząsteczek gazu względem prędkości? Do odpowiedzi na to
pytanie brakuje tylko znajomości czynnika Ω(E), lub raczej, skoro mówimy o rozkładzie
względem prędkości – zależnego od prędkości czynnika Ω(mV2/2). Czynnik ten oznacza liczbę
sposobów, na jakie cząsteczka może posiadać wektor prędkości o wartości V.
W celu wyznaczenia tego czynnika przedstawmy zbiór cząsteczek gazu w pewien
niekonwencjonalny sposób, mianowicie w układzie współrzędnych, na którego osiach
odmierzać będziemy składowe wektora prędkości każdej cząsteczki (Rys. 9). W takim układzie
współrzędnych każda cząsteczka reprezentowana jest przez punkt, którego współrzędne są
składowymi jej wektora prędkości. Zbiór takich punktów przedstawia Rys. 9A. Jest tam
rownież naszkicowany wektor prędkości jednej z cząsteczek i jego składowe VX , VY oraz VZ.
X
VZ
VZ
ΔVZ
Y
VZ
V
ΔV
VY
VX
VY
VY
VX
VX
A
B
Rys. 9
Punkt reprezentujący pewną cząsteczkę pozostaje nieruchomy w trakcie jej ruchu do momentu,
gdy wektor prędkości ulega zmianie np. wskutek zderzenia cząsteczki ze ścianką pojemnika lub
wskutek zderzenia z inną cząsteczką. W momencie zderzenia punkt reprezentujący cząsteczkę
znika i pojawia się w innym miejscu w tej przestrzeni prędkości. Rys. 9A przedstawia więc
chwilową sytuację w układzie stale znikających i pojawiających się punktów reprezentujących
ruch molekuł gazu. Jeżeli ogólny stan gazu nie zmienia się, to rozkład punktów w różnych
obszarach przestrzeni prędkości pozostaje stały.
Poszukajmy odpowiedzi na postawione powyżej pytanie: „na ile sposobów (Ω) cząsteczka
może posiadać wektor prędkości o określonej wartości i kierunku ? ”
Żądanie, aby wektor V (naszkicowany kolorem zielonym na Rys. 9B) miał określony kierunek
oznacza, że koniec tego wektora musi mieścić się w pewnych zakresach narzuconych na
14
składowe tego wektora. Jeżeli wektor prędkości ma nie wykraczać poza pewien zakres
kierunków ograniczony przez prostopadłościan na rysunku 9B, to liczba stanów cząsteczki
spełniająca ten warunek będzie proporcjonalna do liczby punktów reprezentujących poruszające
się cząsteczki i znajdujących się w tym prostopadłościanie, a zatem będzie proporcjonalna do
objętości tego prostopadłościanu. Można więc napisać:
Ω(E ) ⋅ ΔE = D ⋅ ΔV X ⋅ ΔVY ⋅ ΔVZ
(33)
gdzie D jest stałą proporcjonalności. Wtedy prawdopodobieństwo wystąpienia cząsteczki, której
wektor prędkości ma zadany w wąskim zakresie kierunek i wartość, wynosi:
⎛ mV 2
P (V X , V X + ΔV X , VY , VY + ΔVY , VZ , VZ + ΔVZ ) = D ' ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 2k B T
⎞
⎟⎟ ⋅ ΔV X ⋅ ΔVY ⋅ ΔVZ
⎠
(34)
Lewą stronę tego równania w uproszczeniu zapisuje się zazwyczaj w sposób prostszy jako
P(VX,VY,VZ). Również zakresy składowych wektora prędkości można ustanowić dowolnie małe
(różniczkowe). Biorąc dodatkowo pod uwagę, że:
P(V ,V + ΔV ) =
Δn(V ,V + ΔV )
NC
(35)
otrzymamy wzór wyrażający liczbę cząsteczek, których wektor prędkości ma określony w
wąskim zakresie kierunek i wartość, zwany rozkładem Maxwella dla gazu doskonałego:
(
⎛ m V X2 + VY2 + VZ2
dn(V X , VY , VZ ) = D ⋅ exp⎜⎜ −
2k B T
⎝
''
) ⎞⎟ ⋅ dV
⎟
⎠
X
⋅ dVY ⋅ dVZ
(36)
Rozkład ten został podany po raz pierwszy przez J.C. Maxwella około połowy XIX wieku.
Występująca w tym wzorze stała D’’=C⋅D’ może być wyznaczona z warunku unormowania:
∫ dn(V
X
, VY , V Z ) = N C
(36a)
Istnieje również inna postać tego rozkładu, wyrażająca liczbę cząsteczek, których wektor
prędkości ma wartość w pewnym przedziale (V, V+ΔV) a kierunek dowolny. Jeżeli wartość
prędkości jest określona, to liczba sposobów jej „posiadania” przez cząsteczkę oznacza po
prostu „liczbę kierunków”, jakie może przyjmować wektor V. Przyjrzyjmy się rysunkowi 9B,
na którym zaznaczone są dwie powierzchnie kuliste: jedna o promieniu V, druga o promieniu
V+ΔV, a dojdziemy do wniosku, że liczba stanów („kierunków ruchu”) cząsteczki o wektorze
prędkości zawartym w warstwie kulistej pomiędzy tymi powierzchniami jest proporcjonalna do
objętości tego obszaru. Objętość warstwy kulistej wynosi tu 4πV2⋅ΔV. Zatem można zapisać:
Ω(E ) ⋅ ΔE ∝ 4πV 2 ⋅ ΔV ,
(37)
lub, przyjmując pewnien wspóczynnik proporcjonalności między liczbą stanów i objętością
warstwy kulistej:
Ω(E ) ⋅ ΔE = C ' ⋅ 4πV 2 ⋅ ΔV
(38)
15
Wstawiając powyższe wyrażenie w miejsce Ω we wzorze (32) otrzymujemy równanie
wyrażające prawdopodobieństwo wystąpienia w gazie doskonałym cząsteczki, której wektor
predkości ma wartość ograniczoną do przedziału (V, V+ΔV) a przy tym dowolny kierunek:
⎛ mV 2 ⎞
⎟⎟ ⋅ ΔV
P (V ,V + ΔV ) = C '' ⋅ 4πV 2 ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 2k B T ⎠
(39)
(w równaniu tym stała C’’ zastępuje iloczyn C⋅C’). Korzystając ze związku (35) otrzymamy:
⎛ mV 2 ⎞
⎟⎟ ⋅ dV
dn(V , V + dV ) = N C ⋅ C ⋅ 4πV ⋅ exp⎜⎜ −
⎝ 2k B T ⎠
''
2
(40)
Doskonała zgodność rozkładu Maxwella z rzeczywistymi rozkładami prędkości cząsteczek w
gazach została wielokrotnie potwierdzona w specjalnie zaprojektowanych eksperymentach
wykonanych po odpowiednim opanowaniu techniki wytwarzania próżni w latach dwudziestych
XX wieku. Znajomość tego rozkładu pozwala obliczyć wiele właściwości gazów doskonałych
(tj. silnie rozrzedzonych), które na ogół z dobrą dokładnością sprawdzają się również w gazach
rzeczywistych w ograniczonych zakresach ciśnienia i temperatury.
Podane powyżej wyrażenia przedstawiające dwie postacie rozkładu Maxwella, a także podany
wcześniej rozkład Boltzmanna (ogólniejszy, bo nie ograniczony do modelu gazu doskonałego),
znajdują zastosowanie w opisie właściwości różnych układów fizycznych składających się z
cząstek podlegających prawom mechaniki klasycznej (tj. newtonowskiej). „Klasyczne”
właściwości cząstek oznaczają przede wszystkim ich rozróżnialność w opisanych powyżej
przykładowych rozważaniach dotyczących rozdziału energii, liczby stanów i
prawdopodobieństwa stanu, pozwalającą na ponumerowanie cząstek. W układach
podlegających prawom kwantowym cząstki są na ogół nierozróżnialne i podlegają innym
rozkładom statystycznym. Dwa takie ogólne rozkłady znane są jako rozkłady Fermiego-Diraca
oraz Bose-Einsteina. Łącznie z rozkładem Boltzmanna te rozkłady statystyczne stanowią
podstawę do objaśnienia wielkiej liczby zjawisk zbadanych przez fizykę i mających szerokie
zastosowania praktyczne, jak przewodnictwo elektryczne metali i półprzewodników, emisja
światła przez lasery, zjawiska magnetyczne, rozkład energii promieniowania
elektromagnetycznego i innych, które stworzyły podstawy współczesnej elektroniki,
informatyki, energetyki, diagnostyki medycznej i wielu innych dziedzin.
16