Fragment książki w formacie PDF

Przedmowa
Celem niniejszej monografii jest przedstawienie metod badania, konstrukcji
aparatury i algorytmów stosowanych przy rozwiązywaniu zagadnieĔ związanych
z impedancyjną tomografią komputerową ITK (ang. Electrical Impedance
Tomography).
W pracy zostaáy pokazane systemy pomiarowe uĪywane w badaniach.
Przedstawiono problemy, które moĪna napotkaü siĊ przy tworzeniu algorytmów
numerycznych. Niektóre zagadnienia są szerzej zaprezentowane w celu uogólnienia
przedstawianej tematyki, związane jest to miĊdzy innymi z algorytmami konstrukcji
obrazu.
W rozdziale 1 zostaáa zdefiniowana i przedstawiona impedancyjna tomografia
komputerowa. Pokazano zalety i moĪliwoĞci zastosowania ITK w róĪnych
dziedzinach Īycia.
Systemy i ukáady pomiarowe przedstawiono w rozdziale 2. Zostaáy tu ujĊte
podstawowe informacje o ukáadach pomiarowych, kolejne fazy rozwoju tomografu
impedancyjnego w Instytucie Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów
Informatyczno-Pomiarowych Politechniki Warszawskiej oraz budowane
i stosowane tomografy impedancyjne w wybranych oĞrodkach naukowych na
Ğwiecie.
Metoda elementów skoĔczonych, metoda elementów nieskoĔczonych oraz
metoda elementów brzegowych zostaáy omówione w rozdziale 4 (w obszarach 2D
i 3D). Wymienione metody wykorzystywane są m.in. do rozwiązania zagadnienia
prostego w ITK.
Rozdziaá 4 przedstawia mechanizm tworzenia obrazu w ITK po zebraniu
danych pomiarowych, rozwiązanie zagadnienia prostego oraz zagadnienia
odwrotnego przy wykorzystaniu metod optymalizacyjnych.
W rozdziale 5 zostaáy przedstawione nastĊpujące algorytmy rekonstrukcji
w impedancyjnej tomografii komputerowej: metoda wstecznej projekcji, metoda
perturbacyjna, metoda warstwowa, gradientowe metody optymalizacyjne (metoda
Newtona-Raphsona, metoda najwiĊkszego spadku, metoda gradientów
sprzĊĪonych, funkcje dzwonowe), algorytm Kaczmarza, algorytm Wexlera, metoda
Monte-Carlo, algorytmy genetyczne, metoda symulowanego wyĪarzania oraz sieci
neuronowe.
PrezentacjĊ wyników konstrukcji obrazu dla wiĊkszoĞci opisanych algorytmów
przedstawia rozdziaá 6.
10
Przedmowa
W rozdziale 7 zostaáy przedstawione kierunki dalszych prac prowadzonych
w zakresie ITK, aktualne badania, konferencje i kongresy związane z tomografią
komputerową.
Autorzy pragną wyraziü podziĊkowanie Panu Profesorowi Janowi Sikorze
z Politechniki Warszawskiej za inspiracjĊ, dziĊki której powstaáa niniejsza
monografia oraz za rzeczowe uwagi, które przyczyniáy siĊ do poprawienia jakoĞci
pracy. ChcielibyĞmy takĪe podziĊkowaü recenzentowi Panu Profesorowi
Kazimierzowi Jakubiukowi z Politechniki GdaĔskiej za przychylną wnikliwą
recenzjĊ i cenne uwagi, które wpáynĊáy na ostateczną edycjĊ.
KsiąĪka powstaáa m.in. na bazie prac prowadzonych przy udziale doktorantów
Wydziaáu Elektrycznego Politechniki Warszawskiej: Zbigniewa Gizy, Konrada
Nity, Magdaleny Stasiak i Przemysáawa Berowskiego, którym skáadamy serdeczne
podziĊkowania za wspóápracĊ.
Autorzy
1. Wprowadzenie do impedancyjnej tomografii
komputerowej
1.1. WstĊp do tomografii
Impedancyjna Tomografia Komputerowa (ITK) (ang. Electrical Impedance
Tomography - EIT) jest techniką obrazowania, w której wykorzystuje siĊ
wáaĞciwoĞci elektryczne materiaáów, w tym równieĪ tkanek biologicznych.
W metodzie tej badany obiekt pobudzany jest ze Ĩródáa prądowego lub
napiĊciowego a nastĊpnie obserwuje siĊ powstaáy na jego brzegu rozkáad napiĊü.
Zebrane informacje przetwarzane są za pomocą algorytmu, który konstruuje obraz
badanego obiektu.
Impedancyjna tomografia komputerowa jest metodą stosunkowo nową, szybko
rozwijającą siĊ. W ostatnich latach znajduje zastosowanie w róĪnych dziedzinach,
poczynając od przemysáu rafineryjnego, poprzez przemysá elektroniczny aĪ do
biomedycyny. Impedancyjną tomografiĊ komputerową moĪna podzieliü na trzy
rodzaje: tomografiĊ impedancyjną, tomografiĊ pojemnoĞciową oraz tomografiĊ
prądów wirowych (rysunek 1.1). W tabeli 1.1 zostaáy podane wáaĞciwoĞci
i zastosowanie poszczególnych rodzajów ITK.
ITK - impedancyjna
tomografia komputerowa
TI - tomografia
impedancyjna
TP - tomografia
pojemnoĞciowa
TPW - tomografia
prądów wirowych
Rys. 1.1. Rodzaje impedancyjnej tomografii komputerowej
Tabela 1.1. Metody impedancyjnej tomografii komputerowej
Metoda
Tomografia
pojemnoĞciowa
Tomografia
impedancyjna
Tomografia
magnetyczna
WáaĞciwoĞci materiaáu
-1
V < 10 S/m
Hr  (100, 102)
V  (10-1, 107)
Hr  (100, 102)
V  (102, 107)
Pr  (100, 104)
Zastosowanie
przemysá rafineryjny,
energetyczny, polimery
biomedycyna, geologia,
póáprzewodniki
materiaáy magnetyczne,
niektóre mineraáy, metale
12
1.1. WstĊp do tomografii
TomografiĊ impedancyjną charakteryzuje stosunkowo niska rozdzielczoĞü
obrazu. TrudnoĞci z otrzymaniem wysokiej rozdzielczoĞci wynikają przede
wszystkim z ograniczonej liczby pomiarów, przepáywu prądu nieliniowego przez
dany oĞrodek i zbyt maáej wraĪliwoĞci mierzonych napiĊü w zaleĪnoĞci od zmian
konduktywnoĞci wewnątrz obszaru.
W badaniach medycznych zauwaĪono, Īe miĊdzy tkankami zdrowymi,
a zmienionymi chorobowo wystĊpują róĪnice wáaĞciwoĞci elektrycznych.
W tabeli 1.2 podano konduktywnoĞci i przenikalnoĞci elektryczne wybranych
tkanek dla dwóch czĊstotliwoĞci [155]. Z porównania wynika, Īe róĪne tkanki mają
inne konduktywnoĞci dla wybranych czĊstotliwoĞci.
Tabela 1.2. WáaĞciwoĞci elektryczne wybranych tkanek
Rodzaj tkanki
ludzkiej
Krew
Tkanka miĊĞniowa
Tkanka mózgowa
Tkanka táuszczowa
Wątroba
KonduktywnoĞü [mS/m]
1 kHz
649
100
200
50
100
100 kHz
649
350
150
200
PrzenikalnoĞü elektryczna [F/m]
1 kHz
130
3
45
130
100 kHz
9
3
16
Dotychczas opracowano kilka zastosowaĔ klinicznych:
x w gastroskopii,
x w badaniach wentylacji páuc.
W najbliĪszym czasie planuje siĊ wykorzystywaü ITK równieĪ w innych
dziedzinach diagnostyki medycznej jak:
x diagnostyka kobiet ciĊĪarnych,
x badanie aktywnoĞci kory mózgowej,
x kardiografia impedancyjna,
x diagnostyka oftalmologiczna,
x badanie rozkáadu temperatury wewnątrz ciaáa.
Nieustanny rozwój w zakresie tomografii impedancyjnej sprawia, Īe wkracza
ona w coraz wiĊcej dziedzin, jako uĪyteczny instrument badawczy. RównoczeĞnie,
prowadzi siĊ dalsze prace badawcze, aby moĪna byáo zastosowaü tomografiĊ w
przemyĞle czy medycynie. Ponad 20 grup na caáym Ğwiecie koncentruje swe
dziaáania wokóá nowych rozwiązaĔ w zakresie:
x systemów pomiarowych pozyskiwania danych,
x komputerowych algorytmów konstrukcji obrazu,
x hybrydyzacji róĪnych technik tomograficznych.
Rezultaty osiągniĊü prezentowane są na róĪnych konferencjach i sympozjach
poĞwiĊconych zastosowaniom ITK w przemyĞle oraz medycynie. PoniĪej zostaáy
przedstawione przykáadowe dziedziny wiedzy, w których z powodzeniem
zastosowano aplikacje tomografii impedancyjnej.
Impedancyjna tomografia komputerowa znalazáa równieĪ zastosowania poza
medyczne, np. w:
1. Wprowadzenie do impedancyjnej tomografii komputerowej
x
x
x
x
x
13
defektoskopii wiroprądowej,
wykrywaniu i kontroli laminarnych i turbulĊtnych przepáywów cieczy
w kanaáach zamkniĊtych (gáównie przemysá rafineryjny),
badaniu stanu pni drzew (wáaĞciwoĞci elektryczne zdrowego i przemarzniĊtego
pnia drzewa są róĪne),
archeologii i geofizyce (skaĪenie wód gruntowych),
przemyĞle hutniczym.
Zaletami impedancyjnej tomografii komputerowej są:
x nieinwazyjne i nieniszczące badanie danego obiektu,
x moĪliwoĞü obrazowania maáych zmian konduktywnoĞci,
x niskie koszty urządzenia pomiarowego i jego eksploatacji,
x moĪliwoĞü przenoszenia aparatury.
1.2. Ukáady pomiarowe
Opracowano dwie metody pozyskiwania informacji potrzebnych do budowy
obrazu. Pierwsza z nich opracowana przez Barbera i Browna z uniwersytetu
w Sheffield polega na równomiernym rozmieszczeniu wokóá badanego ciaáa 16
elektrod [106, 155]. Za pomocą pojedynczego generatora doprowadzone jest
zasilanie do dwóch elektrod, natomiast na pozostaáych elektrodach mierzone jest
napiĊcie. NastĊpnie napiĊcie podawane jest na kolejne elektrody i cykl pomiarowy
zostaje powtórzony. Zaletą tej metody jest prosta konstrukcja i áatwy sposób
akwizycji danych, wadą natomiast jest to, Īe nie moĪna odwzorowaü
bezwzglĊdnych wartoĞci parametrów elektrycznych, a jedynie zmiany tych
parametrów. Pomimo to, metoda ta znalazáa zastosowanie w gastroskopii
do badania prĊdkoĞci opróĪniania treĞci Īoáądkowych, przepáywu krwi w tuáowiu,
w gáowie lub w ramieniu. Zespóá inĪynierów z Rensselaner Polytechnic Institute
opracowaá ukáad 32 lub 64 elektrod [64], w których kaĪdy ma swój wáasny
programowany generator. Mimo wiĊkszego stopnia skomplikowania w stosunku
do pierwszego rozwiązania, uzyskano lepszy stosunek sygnaáu niosącego
informacje do szumu oraz zmniejszenie wraĪliwoĞci na niedokáadnoĞü poáoĪenia
elektrod pomiarowych wokóá badanego obiektu. DziĊki temu moĪliwe staáy siĊ
badania tuáowia oraz obserwacje zmian nowotworowych w piersiach.
W ITK rozwiązanie zagadnienia prostego (ang. forward problem) polega na
wyznaczeniu rozkáadu potencjaáu wewnątrz obiektu, przy zadanych warunkach
brzegowych i danych dotyczących rozpatrywanego obiektu.
Z matematycznego punktu widzenia impedancyjna tomografia komputerowa
naleĪy takĪe do zagadnieĔ odwrotnych pola elektromagnetycznego. Zagadnieniem
odwrotnym pola elektromagnetycznego (ang. inverse problem) nazywamy proces
identyfikacji, optymalizacji, bądĨ syntezy, w którym zmierza siĊ do wyznaczenia
parametrów opisujących dane pole, na podstawie posiadania niektórych informacji
charakterystycznych dla tego pola. Zagadnienia odwrotne są trudne do analizy. Z
reguáy nie mają jednoznacznych rozwiązaĔ i są Ĩle uwarunkowane. Przyczyną tego
14
1.2. Ukáad pomiarowy – model symulacji komputerowej
jest czĊsto zbyt maáa lub zbyt duĪa liczba informacji, które czasem są ze sobą
sprzeczne bądĨ liniowo zaleĪne.
Numeryczną analizĊ problemu przeprowadza siĊ z wykorzystaniem metody
elementów skoĔczonych (MES). Jest to obecnie najbardziej efektywna metoda
numeryczna sáuĪąca do przybliĪonego rozwiązania páaskich i przestrzennych
zagadnieĔ polowych o skomplikowanej geometrii, w których oĞrodek moĪe
wykazywaü cechy niejednorodnoĞci prądów, konduktywnoĞci, itd. WiĊkszoĞü
obecnie stosowanych algorytmów rekonstrukcji obrazu wykorzystuje tĊ wáaĞnie
metodĊ. W zaleĪnoĞci od geometrii obszaru, przewaĪa tendencja do uĪycia
izoparametrycznych elementów skoĔczonych trójkątnych lub czworokątnych.
W obszarze 2D do symulacji komputerowej wykorzystuje siĊ model
zaproponowany przez Yorkey’a. [204] Jest to dwuwymiarowy obszar prostokątny,
którego konduktywnoĞü táa wynosi 1 S/m, z umieszczonym wewnątrz obiektem
o konduktywnoĞci równej 3 S/m. Stosunek niejednorodnoĞci wynosi zatem 1:3.
Wewnątrz obszaru wygenerowano regularną sieü elementów skoĔczonych.
W wyniku tego procesu otrzymano obszar záoĪony z prostokątnych (w szczególnym
przypadku kwadratowych) elementów o stosunkowo niewielkich rozmiarach.
Liczba wszystkich wĊzáów sieci dyskretyzującej obszar jest równa liczbie wĊzáów
leĪących na brzegu sieci podniesionych do kwadratu. W jednakowych odstĊpach
dookoáa obszaru rozlokowano n = 16 elektrod. Ich liczba uwarunkowana jest
wzglĊdami praktycznymi i sposobem akwizycji danych. Do dwóch
(rozmieszczonych biegunowo lub sąsiednich) elektrod doáączane jest Ĩródáo
pobudzające. Pozostaáe elektrody sáuĪą do pomiarów napiĊcia na brzegu obszaru.
Na rysunku 1.2 zostaá przedstawiony model ukáadu, z doáączonym obwodem
zasilającym i ukáadem woltomierzy do pomiaru napiĊü miĊdzy elektrodami.
V9
V8
V7
V10
V11
V6
3 S/m
1 S/m
V12
V5
V4
V13
V1
V2
V3
Rys. 1.2. Pomiar napiĊü miĊdzyelektrodowych w obszarze dla M = 64 elementy
Pomiary wykonywane są dla wszystkich moĪliwych sposobów podáączenia
Ĩródáa zasilania do obszaru, w celu zwiĊkszenia liczby informacji o obiekcie oraz
poprawy stosunku sygnaáu do szumu. Po wykonaniu pierwszej serii pomiarów
nastĊpuje przeáączenie ukáadu pobudzającego na elektrody sąsiadujące. Proces ten
powtarzany jest sekwencyjnie dla wszystkich moĪliwych ukáadów poáączeĔ Ĩródáa
zasilania. Dokonywane jest w ten sposób wielokrotne „przeĞwietlanie” badanego
obiektu. Ze wzglĊdu na symetriĊ ukáadu dla n = 16 elektrod moĪna uzyskaü
1. Wprowadzenie do impedancyjnej tomografii komputerowej
15
n / 2 = 8 niezaleĪnych rozkáadów prądowych. Niech kaĪda konfiguracja Ĩródáa
pobudzającego nosi nazwĊ kąta projekcji (ang. projection angle), w takim
przypadku caákowita liczba tych kątów przy powyĪszych zaáoĪeniach wynosi 8
(rysunku 1.3).
8 kąt
projekcji
7 kąt
projekcji
1 kąt
projekcji
2 kąt
projekcji
Rys. 1.3. Definicja kątów projekcji
Danymi wejĞciowymi dla algorytmu konstrukcji obrazu są pomiary napiĊü
dokonane miĊdzy sąsiednimi elektrodami (rysunku 1.2). Pomiary wykonane na
elektrodach z doáączonym Ĩródáem pobudzającym są pomijane ze wzglĊdu na
nieznany spadek napiĊcia wystĊpujący miĊdzy tymi elektrodami a badanym
obszarem. Dla ukáadu n = 16 elektrod oraz dowolnego kąta projekcji moĪna
otrzymaü n í 3 = 13 niezaleĪnych pomiarów. Stąd peána liczba moĪliwych do
uzyskania niezaleĪnych pomiarów napiĊü pomiĊdzy sąsiednimi elektrodami
napiĊciowymi przy n / 2 = 8 kątach wynosi: (n í 3)(n / 2) = 13 · 8 = 104. Sposób
pomiaru napiĊü miĊdzyelektrodowych przedstawiony na rysunku 1.2 odpowiada
pierwszemu kątowi projekcji. Dla kolejnych kątów nastĊpuje sekwencyjne
przeáączanie obwodu zasilająco-pomiarowego na elektrody sąsiednie.
WartoĞci potencjaáów elektrod zaleĪą od rozpáywu prądu wewnątrz obszaru,
a tym samym równieĪ od rozkáadu konduktywnoĞci. Algorytm komputerowej
rekonstrukcji obrazu poszukuje iteracyjnie takiego rozkáadu konduktywnoĞci, dla
którego obliczone wartoĞci napiĊü miĊdzyelektrodowych są moĪliwie najbliĪsze
odpowiednim wartoĞciom pomiarowym.
WartoĞci początkowe konduktywnoĞci w punkcie wyjĞciowym procesu
iteracyjnego są dobierane doĞwiadczalnie, aby otrzymaü moĪliwie najlepszy wynik.
Zwykle przyjmuje siĊ rozkáad jednorodny tych wspóáczynników.
1.3. Podstawy matematyczne
Fundamentem wiĊkszoĞci obecnie stosowanych algorytmów rekonstrukcji
obrazu w ITK jest równanie:
div j = 0
(1.1)
16
1.3. Podstawy matematyczne
przy zaáoĪonych warunkach brzegowych Dirichleta (1.2) oraz Neumana (1.3):
M Mb
(1.2)
wM
wn
(1.3)
0
Podstawiając do wzoru (1.1) zaleĪnoĞü
j=JE
(1.4)
oraz
E = – grad M
(1.5)
otrzymuje siĊ zaleĪnoĞü miĊdzy rozkáadem potencjaáu M, a rozkáadem
konduktywnoĞci J w badanym obszarze:
div(J gradM) = 0
(1.6)
Równanie (1.6) wraz z warunkami brzegowymi (1.2) oraz (1.3) nazywa siĊ
zagadnieniem prostym pola. Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia
rozkáadu funkcji stanu w rozpatrywanym obszarze. ZaáóĪmy, Īe wektor v jest
wektorem potencjaáów zmierzonych na brzegu obszaru, natomiast J wektorem
reprezentującym rozkáad elektrycznych parametrów materiaáowych wewnątrz
obszaru (rozkáad konduktywnoĞci). Wektory te powiązane są pewną, nieliniową
transformacją T. Macierz tej transformacji okreĞla rozwiązanie równania Laplace’a:
v = T(J )
(1.7)
Przy powyĪszych zaáoĪeniach, zadaniem ITK jest wyznaczenie transformacji
odwrotnej do transformacji T, która odwzorowaáaby wektor v na wektor J:
J = T-1 v
(1.8)
Równanie (1.8) nosi równieĪ nazwĊ zagadnienia odwrotnego pola. Na ogóá
wymiar wektora v jest co najmniej równy wymiarowi wektora J, stąd teĪ
rozwiązanie tego zagadnienia nie jest rzeczą áatwą.