3.1. Własności funkcji liniowej
Transkrypt
3.1. Własności funkcji liniowej
3.1. WŁASNOŚCI FUNKCJI LINIOWEJ Wzór funkcji liniowej y = ax + b , gdzie a, b ∈ R . a - współczynnik kierunkowy b - współczynnik stały Przykład 3.1.1. Napisz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym równym 5 , której wykres przechodzi przez punkt (3,−1) . Rozwiązanie a=5 y = 5x + b Komentarz Współczynnik kierunkowy jest równym (3,−1) −1 = 5 ⋅ 3 + b − 1 = 15 + b − b = 15 + 1 − b = 16 / : (− 1) b = −16 Odp. y = 5 x − 16 5. b , podstawiając współrzędne punktu (3,−1) do wzoru funkcji y = 5x + b Obliczamy współczynnik Wykres i własności funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowej jest prosta Warunki Wzór funkcji a>0 Wykres Dziedzina D: x∈R Zbiór wartości y∈R y = ax + b a<0 x= D: x∈R y∈R y = ax + b a = 0∧b ≠ 0 Miejsca zerowe jedno miejsce zerowe funkcja rosnąca −b a jedno miejsce zerowe x= Monotoniczność funkcja malejąca −b a D: x∈R y ∈ {b} nie ma miejsca funkcja stała D: x∈R y ∈ {0} funkcja stała zerowego y=b a = 0∧b = 0 nieskończenie wiele miejsc zerowych x∈R y=0 Przykład 3.1.2. Wyznacz wartość parametru m wiedząc , Ŝe funkcja liniowa y = (2m + 4)x − 3 jest rosnąca. Rozwiązanie y = (2m + 4)x − 3 Komentarz Funkcja jest rosnąca, gdy a > 0 a = 2m + 4 Współczynnik kierunkowy współczynnik przy x a jest to 2m + 4 > 0 2 m > −4 / : 2 m > −2 Odp. m ∈ (− 2,+∞ ) Przykład 3.1.3. Wyznacz wartości współczynnika b , dla których miejsce zerowe funkcji 1 liniowej y = x + b jest większe od –2. 4 Rozwiązanie y= 1 x+b 4 Komentarz Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji y= 1 x+b 4 1 x+b = 0 4 1 x = −b / ⋅ 4 4 x = −4b x0 = −4b - miejsce zerowe − 4b > −2 − 4b > −2 / : −4 2 b< 4 1 b< 2 1 Odp. b ∈ − ∞, 2 Obliczamy b wiedząc, Ŝe miejsce zerowe funkcji y= 1 x + b jest większe od –2. 4 Przykład 3.1.4. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji y = 3 x−5 4 z osiami układu współrzędnych. Rozwiązanie Komentarz 3 y = x−5 4 Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia 3 0 = x−5 4 3 3 − x = −5 / : − 4 4 z osią OX, podstawiając za y zero. wykresu funkcji y= 3 x−5 4 4 x = −5 ⋅ − 3 20 x= 3 20 ,0 - punkt przecięcia wykresu funkcji 3 z osią OX 3 y = x−5 4 y= 3 ⋅ 0 − 5 = 0 − 5 = −5 4 Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji y= 3 x−5 4 z osią OY, podstawiając za x zero (0,−5) - punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY Przykład 3.1.5. Dla jakich argumentów funkcja f ( x) = 4 x − 5 przyjmuje wartości niemniejsze od wartości funkcji g ( x) = −2 x + 7 ? Rozwiązanie f ( x) ≥ g ( x) 4 x − 5 ≥ −2 x + 7 4x + 2x ≥ 7 + 5 6 x ≥ 12 / : 6 x≥2 Odp. x ∈ 2, + ∞ ) Komentarz Wykorzystując warunek , Ŝe wartości funkcji f są niemniejsze od wartości funkcji g , zapisujemy nierówność, której rozwiązanie pozwoli nam znaleźć szukane argumenty. Przykład 3.1.6. Jakie znaki mają współczynniki a, b funkcji liniowej y = ax + b , której wykres przechodzi przez: a) II i IV ćwiartkę układu współrzędnych, Rozwiązanie II Komentarz Rysujemy wykres funkcji liniowej przechodzący przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych I III funkcja malejąca IV ⇒ a<0 wykres przecina oś OY w punkcie (0,0) ⇒ b=0 Na podstawie rysunku widzimy , Ŝe funkcja jest malejąca oraz jej wykres przecina oś OY w punkcie (0,0 ) b) I, II, i III ćwiartkę układu współrzędnych ? Rozwiązanie II Komentarz Rysujemy wykres funkcji liniowej przechodzący przez I, II i III ćwiartkę układu współrzędnych I III funkcja rosnąca IV ⇒ Na podstawie rysunku widzimy , Ŝe funkcja jest rosnąca oraz jej wykres przecina dodatnią półoś OY a>0 wykres przecina dodatnią półoś OY ⇒ b>0 ĆWICZENIA Ćwiczenie 3.1.1. (1pkt.) Napisz wzór funkcji liniowej , która przechodzi przez punkt (3,−4) i jest funkcją stałą. schemat oceniania Numer odpowiedzi 1 Odpowiedź Podanie wzoru funkcji liniowej. Liczba punktów 1 Ćwiczenie 3.1.2. (2pkt.) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji y = 2 x − 2 + 4 z osiami układu współrzędnych. schemat oceniania Numer odpowiedzi 1 2 Odpowiedź Podanie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OX. Podanie współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY. Liczba punktów 1 1 Ćwiczenie 3.1.3. (1pkt.) Dla jakiej wartości n punkt P = (2n, n + 1) naleŜy do wykresu funkcji y = 2 x + 3 ? schemat oceniania Numer odpowiedzi 1 Odpowiedź Podanie wartości n. Liczba punktów 1 Ćwiczenie 3.1.4. (1pkt.) Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc, Ŝe jej miejscem zerowym jest liczba –2 i jej wykres przecina oś OY w punkcie (0,5) . schemat oceniania Numer odpowiedzi 1 Odpowiedź Podanie wzoru funkcji liniowej. Liczba punktów 1