Anna Sulima Instytut Nauk Ekonomicznych Polskiej Akademii Nauk

Anna Sulima
Instytut Nauk Ekonomicznych Polskiej Akademii Nauk
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego
Zupełność i brak arbitrażu na markowsko modulowanym rynku Blacka-Scholesa-Mertona typu
Lévy’ego
W referacie zostanie przedstawiony problem zupełności i braku arbitrażu na rynku Blacka-ScholesaMertona typu Lévy’ego. Na wyżej wymienionym rynku finansowym dokonuje się transakcji kupna i
sprzedaży papierów wartościowych bez ryzyka oraz ryzykownych, których dynamika cen opisana jest
za pomocą procesu Lévy’ego. Ponadto zakładamy, że współczynniki modelu będą zależały od łańcucha
Markowa. Taki model jest bardziej adekwatny do rzeczywistości, ponieważ zmieniające się parametry
pozwalają na modelowanie zmian strukturalnych w warunkach gospodarczych, zmiany środowiska
inwestycyjnego itp.
Na początku wyznaczymy warunki równoważne na brak arbitrażu. Brak arbitrażu oznacza, że
inwestor nie może osiągać zysku bez ponoszenia ryzyka. Istnienie możliwości arbitrażu świadczy o serii
poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Aby wykazać, że rynek ma te własność musimy
znaleźć równoważną miarę martyngałową względem której zdyskontowane procesy cen są
martyngałami.
Taki model z losowymi współczynnikami jest niezupełny. Zupełność jest ważną cechą, gdyż
dzięki niej potrafimy wycenić w sposób jednoznaczny każdą wypłatę. Zupełność rynku może być
interpretowana w ten sposób, że wszystkie źródła ryzyka finansowego wyceniane są jednoznacznie i
wszystkie przyszłe stany gospodarki mogą być replikowane przez zrównoważony portfel aktywów
finansowych. Aby uzupełnić ten rynek należy dodać pewne papiery wartościowe, tak aby każdy
instrument był replikowany za pomocą wszystkich dostępnych papierów wartościowych.
Rezultaty te są wynikiem współpracy z prof. dr. hab. Zbigniewem Palmowskim (Instytut
Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego) oraz prof. dr. hab. Łukaszem Stettnerem (Instytut
Matematyczny Polskiej Akademii Nauk).