Zadanie 1. Rozważ zadanie 1 z poprzedniego zestawu. Preferencje

Zadanie 1.
Rozważ zadanie 1 z poprzedniego zestawu. Preferencje Jasia w które dni można reprezentować racjonalną relacją
preferencji (pre-porządkiem zupełnym)?
Zadanie 2.
Dana jest relacja preferencji R będąca porządkiem częściowym (tzn. jest przechodnia, zwrotna i antysymetryczna)
w skończonym zbiorze X. Dla dwóch elementów x,yX powiemy, że xPy, jeśli xRy i nie yRx. Sformułowano
następujące funkcje przyporządkowujące podzbiorom X ich podzbiory, kolejno wybierające:
C1 – elementy największe, tj. C1(Y)={yY: zY zachodzi yRz},
C2 – elementy maksymalne, tj. C2(Y)={yY: zY, że zachodzi zPy},
C3 – elementy preferowane względem największej liczby elementów, tj. C3(Y)={argmaxyY #{zY: yRz}}.
Uzupełnij tabelę wpisując „tak” lub „nie”.
M
C1(M)
C2(M)
C3(M)
zawsze zwraca jakiś element
wskazuje, co najwyżej jeden element
zawiera się w C1 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to
C1 też go zwraca)
zawiera się w C2 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to
C2 też go zwraca)
zawiera się w C3 (tzn. jeśli zwraca jakiś element, to
C3 też go zwraca)
jeśli zwraca kilka elementów (np. x, y), to znaczy,
że są równie dobre dla decydenta (czyli xRy i yRx)
tak (z def.)
tak (z def.)
tak (z def.)
Zadanie 3.
Rozważmy zbiór X=R3, zawierający elementy x=(x1,x2,x3). Wprowadźmy 4 relacje – R1, R2, R3, R4. Powiemy, że:
xR1y, jeśli x≥y (czyli x1≥y1, x2≥y2, x3≥y3),
xR2y, jeśli istnieje wektor y* z przestawionymi elementami wektora y, że x≥y*,
xR3y, jeśli x1+x2+x3≥y1+y2+y3,
xR4y, jeśli min(x1,x2,x3)≥min(y1,y2,y3).
(Jeśli elementy X oznaczają bogactwo trzech osób w grupie, to relacje te możemy interpretować: R 1 – wolimy rozkład
x niż y, jeśli nikomu się nie pogarsza, przy czym osoby są odróżnialne; R 2 – wolimy rozkład x niż y, jeśli nikomu się nie
pogarsza, przy czym osoby są nieodróżnialne; R3 – wolimy rozkład x niż y, jeśli suma bogactwa jest większa; R4 –
wolimy rozkład x niż y, jeśli najgorzej sytuowanej osobie się poprawia.)
Wypełnij tabelę, wstawiając T w komórce (i,j), jeśli z xRiy wynika xRjy, tj. zachodzenie relacji z wiersza dla x i y
implikuje zachodzenie relacji z kolumny dla x i y. Wstaw N w pozostałych komórkach tabeli.
Wariant
R1
R1
T
R2
R3
R4
R2
R3
R4
T
T
T
Zadanie 4.
Rozważmy zbiór wariantów decyzyjnych X=R+. Rozważmy trzy relacje
R1: x R1 y  x ≥ y
R2: x R2 y  x ≥ y+, dla ustalonego ściśle dodatniego  (traktujmy jako dany parametr)
R3: x R3 y  x ≥ y-, dla ustalonego ściśle dodatniego  (traktujmy jako dany parametr)
Wskaż, które relacje R1-R3 posiadają poszczególne własności. Jeśli dana relacja nie posiada danej własności, podaj jak
najprostszy przykład.
A. zupełność
B. przechodniość
C. antysymetryczność
D. negatywna przechodniość
Dla danej relacji R można zdefiniować relację P w następujący sposób:
x P y  xRy  yRx
Dla każdej z powyższych relacji Ri zdefiniujmy w ten sposób relację Pi.
Wskaż, które relacje P1-P3 posiadają poszczególne własności.
E. x,y,x≠y zachodzi xPiy lub yPix
F. jest przechodnia
Zadanie 5.
Rozważmy zbiór X=R3, zawierający elementy x=(x1,x2,x3). Wprowadźmy 4 relacje preferencji ostrej („jest lepsze niż”) –
P1, P2, P3, P4. Powiemy, że:
{
}
xP1y –
xP2y – Me{x1,x2,x3}>Me{y1,y2,y3}, gdzie Me to mediana
xP3y – x1+x2+x3 > y1+y2+y3
xP4y – max{x1,x2,x3} - min{x1,x2,x3} < max{y1,y2,y3} - min{y1,y2,y3}
Jeśli elementy X oznaczają użyteczność trzech osób w grupie, to relacje te możemy interpretować:
 P1 – wolimy rozkład x niż y, jeśli co najmniej dwóm osobom jest lepiej
 P2 – wolimy rozkład x niż y, jeśli klasie średniej jest lepiej
 P3 – wolimy rozkład x niż y, jeśli łączna użyteczność jest większa (utylitaryzm)
 P4 – wolimy rozkład x niż y, jeśli dysproporcje (zdefiniowane jako różnica między najlepiej a najgorzej
sytuowanym) są mniejsze
Wypełnij tabelę, wskazując, które własności mają poszczególne relacje.
P1
P2
przechodniość
asymetryczność
negatywna przechodniość
P3
P4