analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym

DOI: http://dx.doi.org/10.15576/ASP.FC/2014.13.4.233
Acta Sci. Pol., Formatio Circumiectus 13 (4) 2014, 233–245
ANALIZA JAKOŚCIOWA PROCESÓW
EROZJI I SEDYMENTACJI NA WYBRANYM ODCINKU
KORYTA RZEKI WISŁY ZACHODZĄCYCH W CZASIE
PRZEJŚCIA WIELKIEJ WODY
QUALITATIVE ANALYSIS OF EROSION
AND SEDIMENTATION PROCESSES ON THE VISTULA
RIVER REACH DUE TO FLOOD WAVE PASSAGE
Tomasz Siuta
Politechnika Krakowska
Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki symulacji numerycznej dwuwymiarowego pola przepływu i potencjalnych zmian morfologicznych dna w złożonym korycie rzeki
Wisły w okolicy Wawelu na skutek przejścia wielkiej wody. W obliczeniach wykorzystano
dwuwymiarowy model CCHE2D. W artykule zwrócono szczególną uwagę na lokalne
zmiany w układzie zwierciadła i w rozkładzie naprężeń ścinających na skutek złożonej
geometrii bulwarów wiślanych oraz znaczącej zmiany kierunku biegu rzeki w rejonie
Wawelu. Efektem przeprowadzonych analiz było wyodrębnienie obszarów szczególnie
zagrożonych erozją, których lokalizacja poddana została konfrontacji z obszarami lokalnych uszkodzeń konstrukcji bulwaru niskiego, udokumentowanych po powodzi z maja
2010 r. Ponadto, przedstawiono analizę jakościową zmian morfologicznych koryta, dokonując w ten sposób wstępnej oceny stabilności badanego odcinka koryta rzeki. W świetle uzyskanych wyników obliczeń numerycznych i teorii przepływów wtórnych w korytach meandrujących, podjęto również próbę interpretacji przyczyny powstania lokalnych
przegłębień dna wzdłuż zakola Wisły w obrębie koryta głównego.
Abstract. In the paper the results of numerical simulations of the two-dimensional flow
field and potential morphological changes due to flood wave passage in the channel of
Vistula River in surroundings of the Wawel castle in Cracow city were presented. For these
calculations CCHE2D model was used. The special attention was paid to local variation
of water surface level and shear stress distribution due to complex geometry of the low
boulevard and the river channel bent. In the effect of proceeded analysis, regions of strong
Adres do korespondencji – Corresponding author: dr inż. Tomasz Siuta, Katedra Hydrauliki i Dynamiki
Wód, Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej, Politechnika Krakowska, ul. Warszawska 24, 31-155
Kraków; e-mail: [email protected].
234
T. Siuta
erosion impact were identified. Its localization was confronted with partly documented
knowledge of the low boulevard damages documented after flood from the may 2010
year. Additionally, results of qualitative analysis of channel morphology changes were
presented. In this way preliminary stability of the river channel reach was evaluated. Basing
on the results of numerical computations and available theoretical knowledge concerning
secondary flows occurring in meandering river’s channels, the origin of local bumps in
the channel bottom along the bent of the Vistula River were interpreted of going to be
interpreted.
Słowa kluczowe: wielka woda, erozja, sedymentacja, model numeryczny, bulwar niski,
Key words: flood water, erosion, sedymentation, numerical model, low boulevard
WSTĘP
W artykule zaprezentowano możliwości zastosowania numerycznego modelu
przepływu oraz dwuwymiarowego w planie modelu transportu rumowiska do analizy
jakościowej procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki
Wisły w czasie przejścia historycznej wielkiej wody z maja 2010 roku. Celem obliczeń jest identyfikacja obszarów, w których panują szczególnie sprzyjające warunki
dla erozji lub sedymentacji w rejonie bulwarów wiślanych i w korycie głównym na
skutek przejścia wielkiej wody. Wybrany fragment koryta Wisły leży pomiędzy km
70.528 a km 71.687 i obejmuje szerokie zakole w okolicy Wawelu. Złożony układ
geometryczny w przekrojach i planie analizowanego odcinka rzeki Wisły wiąże się
ze znaczącym wpływem efektów dwuwymiarowego, a nawet miejscami trójwymiarowego przepływu na zmiany dna koryta wywołane erozją oraz transportem rumowiska.
W artykule zamieszczono wyniki obliczeń uzyskane za pomocą programu CCHE2D
wraz z analizą wyników podkreślając zagrożenia dla konstrukcji bulwaru niskiego na
skutek potencjalnej erozji.
ZNISZCZENIA BULWARÓW I ZMIANY GEOMORFOLOGICZNE
W KORYCIE PO PRZEJŚCIU FALI POWODZIOWEJ Z MAJA 2010
Powódź w maju 2010 roku należała do najbardziej dotkliwych pod względem zniszczeń od czasów powodzi z roku 1997. Cechowała ją długotrwałość stanów wysokich,
co przyczyniło się do osłabienia licznych konstrukcji hydrotechnicznych, w tym przede
wszystkim wałów i zagospodarowanych obszarów międzywala. W rejonie Krakowa,
oprócz katastrofalnych konsekwencji przerwania wałów, szczególnie ucierpiały niektóre
obszary tzw. bulwarów niskich. Po ustąpieniu fali powodziowej można było zaobserwować rozległy pas erozji na prawym brzegu bulwaru przed mostem Dębnickim (fot. 1a).
Pod samym mostem i około 30 m za nim widoczny był głęboki wybój i szeroki pas
silnej erozji, na skutek której zerwana została nawierzchnia betonowej alei i ziemnych
umocnień (fot. 1b).
W samym korycie głównym można stwierdzić w obrębie zakola odcinek koryta
o dużym obniżeniu dna sięgającym do 8 m poniżej poziomu bulwaru niskiego (fot. 3).
Odcinek ten jest nieco odsunięty od osi rzeki w kierunku łuku zewnętrznego i pokrywa
Acta Sci. Pol.
Analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki Wisły...
235
się z równie odsuniętym pasem nurtu (ryc. 6). Na odcinku prostym po wyjściu z zakola,
w bliskim sąsiedztwie lewego bulwaru, można również zaobserwować lokalne silne
przegłębienia sięgające 7 m głębokości (fot. 3). Tak duża wartość lokalnych przegłębień w korycie rodzi pytanie o stabilność jego formy i bezpieczeństwo bulwaru niskiego
zagrożonego potencjalna erozją wgłębną i boczną.
Fot. 1.
Uszkodzenia bulwaru niskiego (prawa strona) po przejściu fali powodziowej (fot. Krzysztof Radzicki): a) przed mostem Dębnickim, b) pod mostem Dębnickim i tuż za nim
Photo 1. Damage of the low boulevard (the right side) after flood wave passage (photo Krzysztof
Radzicki): a) out in front of Dębnicki bridge, b) under Dębnicki bridge and behind of it
ODWZOROWANIE NA DWUWYMIAROWYM W PLANIE MODELU
NUMERYCZNYM WARUNKÓW PRZEPŁYWU PANUJĄCYCH W CZASIE
PRZEJŚCIA FALI POWODZIOWEJ Z MAJA 2010
Odcinek koryta rzeki Wisły objęty modelem leży pomiędzy km 70.528 a km 71.687
i pomiędzy dwoma mostami: Dębnickim i Grunwaldzkim. Na odcinku tym występuje
zakole, gdzie dochodzi do dużej zmiany kierunku biegu rzeki, o kąt większy od 90°
(fot. 2).
Formatio Circumiectus 13 (4) 2014
236
T. Siuta
Równania modelu przepływu wody płytkiej stosowane w programie CCHE2D
Program CCHE2D zawiera algorytm numerycznego rozwiązania równań wody
płytkiej oparty na zmodyfikowanej metodzie elementu skończonego [Jia i Wang 2001].
Obszar modelowania (fot. 2) pokryto regularną siatką numeryczną zbudowaną z czworokątów, których długość boków waha się od 1,5 m do 5 m.
∂Z ∂ (hu ) ∂ (hv)
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
(1)
∂u
∂u
∂u
∂Z 1 ∂ (hτ xx ) ∂ (hτ xy ) τ bx
+u
+v
=−g
+ 
+
−
∂t
∂x
∂y
∂x h  ∂x
∂y  h
∂v
∂v
∂v
∂Z 1 ∂ (hτ yx ) ∂ (hτ yy ) τ by
+u
+v =−g
+ 
+
−
∂t
∂x
∂y
∂y h  ∂x
∂y  h
(2)
gdzie:
u – średnia w pionie prędkość w kierunku x,
ν – średnia w pionie prędkość w kierunku y,
Z – rzędna zwierciadła,
h – głębokość,
τij – tensor naprężeń Reynoldsa obliczany na podstawie teorii Boussineque,
τbx– przydenne naprężenie ścinające w kierunku x,
τby– przydenne naprężenie ścinające w kierunku y.
Warunki brzegowe
Górny warunek brzegowy ma postać hydrogramu fali historycznej z maja 2010 r.
(ryc. 1). Dolny warunek brzegowy ma postać krzywej przepływu wygenerowanej za
pomocą modelu jednowymiarowego Hec-Ras 4.1.
Ryc. 1.Odtworzona fala historyczna z maja 2010 r. dla przekroju w km 70.528 na rzece Wiśle
Fig. 1. Historical flood wave of may 2010 year, reconstructed at km 70.528 of the Vistula River
Acta Sci. Pol.
Analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki Wisły...
237
Współczynniki szorstkości Manninga
Współczynniki Manninga przyjęto, opierając się na wynikach kalibracji modelu jedno­
wymiarowego, opracowanego w programie Hec-Ras 4.1, na podstawie dostępnych
danych historycznych. W efekcie przyjęto wartość współczynnika nk = 0,033 w korycie
głównym i wartość nb = 0,06 na obszarze bulwarów wiślanych.
Fot. 2. Modelowany odcinek rzeki
Photo 2. River reach to be model
Fot. 3. Batymetria modelowanego odcinka rzeki
Photo 3. Bathymetry of the river reach
Formatio Circumiectus 13 (4) 2014
238
T. Siuta
Równania modelu transportu rumowiska zawieszonego stosowane w programie
CCHE2D
W programie CCHE2D zastosowano numeryczne rozwiązanie równań nieustalonej
adwekcji-dyfuzji rumowiska unoszonego i równania ciągłości [Jia i Wang] w następującej postaci:
∂c
∂c 
1
∂c
∂c ∂  ∂c ∂  ∂c
υt
+u
+ v − υt  −
= − ω s ca + υt

∂t
∂z a 
∂x
∂y ∂x  ∂x ∂y  ∂y
h
(1 − p)
∂zb
= αω s (c − c p)
∂t
(3)
(4)
gdzie:
c – średnia w pionie koncentracja frakcji rumowiska,
ca – koncentracja frakcji rumowiska w warstwie przydennej,
cp – potencjał transportu frakcji rumowiska,
p – porowatość frakcji rumowiska,
υt – współczynnik lepkości turbulentnej,
ωs – prędkość opadania ziarna miarodajnego,
α – parametr określają przydenną koncentrację rumowiska do wartości uśrednionej
w pionie.
Ze względu na złożoną budowę geomorfologiczną koryta wielodzielnego badanego
odcinka rzeki Wisły (przestrzenna zmienność krzywej przesiewu, warstwa gruntów
spoistych na obszarze bulwarów, brak szczegółowej informacji o dopływie rumowiska)
powyższy model posłużył jedynie do jakościowej identyfikacji obszarów o wzmożonym
potencjale erozji/sedymentacji.
Warunki brzegowe i budowa dna koryta
Przyjęto trójwarstwowy model dna koryta, w którym miąższość warstwy aktywnej
wynosi 0,05 m, a miąższość warstwy mieszania – 1 m. W każdej warstwie przyjęto taką
samą charakterystykę granulacji rumowiska (ryc. 2).
Warunek brzegowy ma postać stałego dopływu rumowiska unoszonego o koncentracji
c = 0,1 kg ∙ m–3. Zawartość procentową poszczególnych frakcji rumowiska unoszonego
ustalono zgodnie z kompozycją krzywej przesiewu (ryc. 2). Ze względu na nieustalony
charakter przepływu, w programie CCHE2D przyjęto model szybkich zmian morfologicznych dna [Jia i Wang 2001] i współczynnik adaptacyjny α = 0,25. Potencjał transportu rumowiska obliczany jest na podstawie formuły Wu i in. [1998].
Acta Sci. Pol.
Analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki Wisły...
239
Ryc. 2.Krzywe przesiewu opracowane dla koryta Wisły poniżej Krakowa (autor: Wojciech Bartnik)
Fig. 2. Grain-size distribution curve for the Vistula channel reach downstream of the Cracow city
(author: Wojciech Bartnik)
ANALIZA WYNIKÓW OBLICZEŃ POLA PRZEPŁYWU I ZMIAN
MORFOLOGICZNYCH DNA KORYTA
Aby zbliżyć się do odpowiedzi na pytanie, dlaczego doszło do tak znaczących uszkodzeń w pewnych obszarach bulwaru niskiego, należy przeanalizować obliczony numerycznie, dwuwymiarowy w planie rozkład naprężeń ścinających. Uzyskana mapa tego
rozkładu (ryc. 3) wyraźnie wskazuje na miejsca, gdzie wartość naprężeń osiąga podwyższone wartości. Znamienny jest fakt, iż wspomniane miejsca korespondują w dużym stopniu z lokalizacją obserwowanych uszkodzeń bulwaru niskiego w następstwie przejścia
fali powodziowej. Uzyskane wyniki pozwalają ocenić wpływ zróżnicowanej geometrii
zakola Wisły w planie i w przekrojach poprzecznych na dynamikę przepływu. Procesy
erozji i sedymentacji w meandrującym korycie rzeki opisywane były przez licznych
badaczy [Shiono i Muto 1998, Ikeda i in. 2001, Jia i in. 2001].
O ile efekty te dość dobrze rozpoznane są w przypadku prostych jednodzielnych koryt
[Knight i in. 1992, Sellin i in. 1993], o tyle w przypadku koryt wielodzielnych o złożonej
geometrii w przekrojach rozkłady naprężeń i wynikające z nich potencjalne zjawiska
erozji i sedymentacji mają bardziej skomplikowany przebieg i wymagają indywidualnego modelowania numerycznego lub fizycznego [Bousmar i Zech 2002]. Największe
wartości naprężeń ścinających można zaobserwować wzdłuż prawego bulwaru niskiego
około 100 m przed mostem Dębnickim (km 70.608), wartości te rosną w kierunku mostu
od 40 Pa do 100 Pa pod mostem (ryc. 3). Tendencja wzrostowa utrzymuje się również
poniżej mostu, aż do najbardziej wysuniętego punktu łuku wewnętrznego, gdzie wartość
naprężeń sięga 130 Pa.
Formatio Circumiectus 13 (4) 2014
240
T. Siuta
Ryc. 3.Pole naprężeń ścinających w czasie kulminacji – fragment a) (Q = 2300 m3 · s–1)
Fig. 3. The field of shear stress at the moment of the peak flow – piece a) (Q = 2300 m3 · s–1)
Ryc. 4.Hipotetyczna zmiana poziomu dna koryta po przejściu fali powodziowej na skutek erozji
lub sedymentacji (Q = 2300 m3 · s–1)
Fig. 4. Hypothetical change of bed elevation after flood wave passage due to erosion and sedymentation (Q = 2300 m3 · s–1)
Acta Sci. Pol.
Analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki Wisły...
241
Tak duża wartość naprężeń (biorąc pod uwagę tylko rząd wielkości) musi skutkować
rozmyciem wzmacniającej konstrukcję bulwaru warstwy gruntu spoistego i powodować
wzmożoną erozję. Efekty tej erozji, szczególnie drastyczne przy prawym przyczółku
mostu Dębnickiego i poniżej, można było zaobserwować po przejściu fali z maja 2010 r.
(fot. 1).
O procesach potencjalnej erozji lub sedymentacji materiału niekohezyjnego decy­
duje gradient naprężeń, a nie tylko sama ich wartość [Hook 1975]. Ponieważ na omawianym odcinku bulwaru gradient naprężeń jest dodatni, wyniki modelowania zmiany dna
na tym odcinku (ryc. 4) wskazują na silną erozję. Idąc dalej wzdłuż prawego bulwaru
(od przekroju w km 70.894) obserwujemy duży gradient ujemny naprężeń, czego efektem jest powstawanie łachy piaszczystej tuż za łukiem wewnętrznym (ryc. 4 i fot. 2).
Tendencja ta utrzymuje się również na odcinku prostym, poniżej zakola, aż do przekroju w km 71.135.
Odmiennie sytuacja wygląda na lewym bulwarze i w korycie w bliskim jego sąsiedztwie. Największe wartości naprężeń (sięgające 90 Pa) pojawiają się na przewężeniu
koryta Wisły (pomiędzy km 71.086 a km 71.119), tuż po wyjściu z zakola i utrzymują
się na długości około 200 m. Również w korycie głównym na omawianym odcinku
naprężenia mają tendencję wzrostową (ryc. 5) i ich lokalizacja w przekroju koresponduje
z przesuniętą na lewo linią nurtu (ryc. 6). Wartość prędkości na tym obszarze dochodzi do
3,3 m3 · s–1 (ryc. 6). Dodatni gradient naprężeń na tym odcinku części koryta graniczącego
z bulwarem niskim wskazuje na niestabilność morfologiczną tego obszaru i tendencję do
pogłębiania się dna (ryc. 4).
Ryc. 5.Pole naprężeń – fragment b)
Fig. 5. The field of shear stress – piece b)
Formatio Circumiectus 13 (4) 2014
242
T. Siuta
Ryc. 6.Pole prędkości
Fig. 6. The field of velocity
Stabilność morfologiczna silnie pogłębionego fragmentu koryta na zakolu
W relatywnie wąskim pasie (około 22 m) koryta głównego, w obrębie zakola,
występują największe lokalne przegłębienia koryta sięgające 8 m (względem poziomu
korony bulwaru niskiego) przesuniętego w kierunku łuku zewnętrznego (fot. 3). Rozkład
naprężeń w tym obszarze (ryc. 3) i wyniki modelowania potencjalnej zmiany dna koryta
(ryc. 4) wskazują na względną stabilność (brak tendencji do dalszego obniżania dna) tego
obszaru przy ponownym przejściu wielkiej wody porównywalnej z tą, która wystąpiła
w maju 2010 r.
Niemniej jednak przepływy wtórne, jakie pojawiają się na zakolach rzek [Knight
1992, Ikeda i in. 2001], gdzie występuje znaczący gradient poprzeczny zwierciadła,
mogą przyczyniać się do lokalnego żłobienia koryta na obszarze przekroju, na którym
pojawia się maksymalny gradient poprzeczny zwierciadła (ryc. 7 i 8). Dzieje się tak,
ponieważ siła odśrodkowa działająca na masę wody na zakolu zależy od prędkości, a ta
zmienia się w pionie, powodując lokalne zaburzenie równowagi między siłą odśrodkową
a siłą hydrostatyczna wynikająca ze spadku poprzecznego zwierciadła [Wu i in. 1998].
W efekcie pojawia się przepływ cyrkulacyjny w płaszczyźnie przekroju koryta [Shiono
i Muto 1998].
W analizowanym przypadku odcinka rzeki Wisły maksymalny poprzeczny spadek
zwierciadła wynosi około 0,0075, podczas kiedy podłużny spadek wynosi około 0,001.
Acta Sci. Pol.
Analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki Wisły...
243
Maksymalna różnica poziomów na przeciwległych brzegach zakola sięga 40 cm.
Modelowanie złożonego przepływu spiralnego wykracza poza zakres niniejszego artykułu. Można jednak pośrednio, na podstawie uzyskanych wyników symulacji numerycznej, wnioskować, iż obserwowane lokalne silne przegłębienia koryta są wynikiem
złożonego przepływu spiralnego, ponieważ ich lokalizacja (zgodnie z teorią) przypada na
strefę, w której występuje duży spadek poprzeczny zwierciadła (ryc. 7 i 8).
Ryc. 7.Układ poziomu zwierciadła
Fig. 7. The water table level
Ryc. 8.Pole głębokości
Fig. 8. The field of water depth
Formatio Circumiectus 13 (4) 2014
244
T. Siuta
WNIOSKI
Model przepływu dwuwymiarowego w planie pozwolił na odwzorowanie jego zróżnicowanej dynamiki związanej z gwałtowną zmianą kierunku biegu wielodzielnego koryta
rzeki Wisły w okolicy Wawelu. Do najważniejszych cech dynamicznych analizowanego
przepływu, z punktu widzenia analizy procesów erozji mogących zagrozić stabilności
konstrukcji bulwarów wiślanych, należą:
• duży gradient naprężeń w obszarze bulwaru niskiego w następstwie znacznego wzrostu spadku zwierciadła na łuku wewnętrznym zakola Wisły (bulwar prawy),
• znaczący wzrost naprężeń w korycie w pobliżu lewego odcinku bulwaru niskiego, tuż
za zakolem Wisły i na pewnej jego długości (około 200 m),
• znaczący spadek zwierciadła w kierunku poprzecznym na zakolu Wisły (dochodzący do 0,0075 m w czasie przepływu kulminacyjnego fali historycznej z maja
2010 r.),
• zbieżność lokalizacji pasa największych przegłębień koryta na zakolu Wisły z obszarem największego spadku poprzecznego zwierciadła, co może pośrednio świadczyć
o istotnym wpływie przepływu spiralnego na erozję w tym obszarze.
Ponadto bardziej szczegółowe (w porównaniu z modelem jednowymiarowym)
odwzorowanie parametrów przepływu w obszarze bulwaru niskiego na styku z korytem głównym pozwoliło na wyodrębnienie obszarów potencjalnego zagrożenia erozją
w obrębie bulwaru niskiego oraz w pasie koryta przyległym do bulwaru. Wyodrębnione
obszary w pewnym zakresie pokrywają się z lokalizacją uszkodzeń (rozmycia, wyrwy,
odchylenie od pionu fragmentów muru oporowego), które wystąpiły na skutek powodzi
z maja 2010 r.
PIŚMIENNICTWO
Bousmar D., Zech Y., 2002. Periodical turbulent structures in compound channels. Proc. River
Flow. Red. D. Bousmar, Y. Zech. T. 1. Louvain, 177–185.
Hook R., 1975. Distribution of Sediment Transport and Shear Stress in Meander Bend. J. Geol.
83(5), 543–565.
Ikeda S., Kawamura K., Kasuya I., 2002. Quasi-three dimensional computation and laboratory tests
on flow in curved compound channelsProceedings of the international conference on fluvial
hydraulics River Flow 2002, Vol. 1, pp. 233–245.
Jia Y.F., Wang Sam S.Y., 2001. CCHE2D: Two-dimensional Hydrodynamic and Sediment
Transport Model for Unsteady Open Channel Flow Over Loose Bed. NCCHE Technical
Report. NCCHE-TR-2001-01, August.
Knight D.W., Shiono K., 1996. River channel and floodplain hydraulics. [W:] Floodplain
Processes. Red. M.G. Anderson, D.E. Walling, P.D. Bates. J. Wiley & Son Chichester, Ch. 5,
139–181.
Knight D.W., Yuan Y.M., Fares Y.R., 1992. Boundary shear in meandering river channels. Proc.
Int. Symp. Hydraulic Research in Nature and Laboratory. Yangtze River Scientific Research
Institute, Wuhan, China, November. T. 2, 102–106.
Sellin R.H.J., Ervine D.A., Willetts B.B., 1993. Behaviour of meandering two-stage channels, Proc.
ICE: Wat., Marit. Energy 101, 99–111.
Acta Sci. Pol.
Analiza jakościowa procesów erozji i sedymentacji na wybranym odcinku koryta rzeki Wisły...
245
Shiono K., Muto Y., 1998. Complex flow mechanisms in compound meandering channels with
overbank flow. J. Fluid Mechan. 376, 221–261.
Wu W., Wang, S.S.Y., Jia, Y., 1998. A 2-D non-equilibrium approche for nonuniform sediment
transport modelling. Water Resour. Engineer. 2, 1392–1397.
XXXIII OGÓLNOPOLSKA SZKOŁA HYDRAULIKI – Zakopane 2014
Zorganizowana pod patronatem
Komitetu Gospodarki Wodnej Polskiej Akademii Nauk
przez
Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołłątaja w Krakowie
Dofinansowanie:
Regionalny Zarząd Gospodarki Wodnej w Krakowie
Wydanie publikacji zostało dofinansowane przez MGGP S.A.
Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 22.12.2014
Formatio Circumiectus 13 (4) 2014