TERMODYNAMIKA 1. Temperatura, energia wewnętrzna i ciepło

TERMODYNAMIKA
Na początek, tradycyjnie, kilka powodów dla których warto poznać termodynamikę:
• Łączy dwa światy; makroskopowy i mikroskopowy i to nawet w obrębie
jednego prawa
• Używa dwóch zupełnie różnych metod badawczych do swojego opisu; fenomenologiczną i statystyczną
• Ma szerokie zastosowania w różnych działach fizyki,
• Jest mocno powiązana z życiem codziennym (dla przykładu weźmy samą
kuchnię; oto jej elementy opisywane przez termodynamikę: lodówka, szybkowar, )
• Ma wiele zaskakujących powiązań (np. kompresja MP3, socjologia, ekonomia)
i równie wiele powiązań oczywistych (np. chemia),
• Jest stosunkowo łatwa na poziomie liceum.
Na początek ważne założenie; mimo iż termodynamika opisuje zarówno gazy
jak i ciecze oraz ciała stałe my będziemy się zajmować przede wszystkim
termodynamiką gazów!
1. Temperatura, energia wewnętrzna i ciepło
Temperatura
Wszystkie ciała składają się z cząsteczek będących w nieustannym ruchu, a więc
posiadających energię kinetyczną; im wyższa jest ta energia tym wyższa będzie
temperatura takiego ciała, a zatem:
Temperatura (T) jest miarą średniej energii kinetycznej ruchu postępowego,
przypadającej na jedną cząsteczkę:
Ek,sr =
s
k · T (∗)
2
J
jest stałą Boltzmana zaś stała s to ilość stopni
Gdzie: k = 1.38 · 10−23 K
swobody dostępnych dla poruszającej się cząsteczki; stopień swobody możemy
określić jako „możliwość ruchu” przykładowo:
1
1. Koralik na nitce ma s = 1 stopień swobody,
2. Biedronka na stole ma s = 2 stopnie swobody,
3. Pszczoła w pokoju ma s = 3 stopnie swobody,
Powyższe przykłady pokazują ilość stopni swobody dla ruchu postępowego
(tzw. translacyjne stopnie swobody); gdy cząsteczka gazu składa się z dwóch
atomów (np. tlen czy azot) możliwe są dodatkowe stopnie swobody związane
z możliwościami obrotu takiej cząsteczki (tzw. rotacyjne stopnie swobody) i
związane z drganiami cząsteczki (tzw. oscylacyjne stopnie swobody).
Widać zatem, że gdy cząsteczka jest punktowa to ma s = 3 stopnie swobody,
natomiast dla cząsteczek dwuatomowych ilość stopni swobody zależy od temperatury (co jest fascynujące bo temperatura zależy od temperatury) w następujący
sposób:
• s = 3 dla niskich temperatur w pobliżu T = 0K ,
• s = 5 dla temperatur rzędu kilkuset Kelwinów „dołączają” dwa stopnie
rotacyjne,
• s = 7 dla temperatur dużych, „dołączają” jeszcze dwa stopnie oscylacyjne,
Z definicji (∗) da się wywnioskować kilka ważnych rzeczy:
1. Łączy świat makroskopowy (T) i mikroskopowy (Ek,sr ),
2. Wielkość T nazywa się temperaturą bezwzględną T > 0, jej jednostką jest
Kelwin [K] a hipotetyczna wartość T = 0 nazywa się temperaturą zera
bezwzględnego,
3. Ek,sr = m·<v
2
cząsteczek,
2>
, gdzie < v 2 > jest średnią kwadratową prędkością
4. Obowiązuje tzw. zasada ekwipartycji (równego rozdziału) energii, mówiąca
że energia przypadająca na stopień swobody jest stała,
Na codzień posługujemy się innymi skalami temperatury, np. temperatura Celsjusza (t), która powiązana jest z temperaturą bezwzględną następująco:
T = t + 273, 15
2
Energia wewnętrzna
Energią wewnętrzną (U) ciała nazywamy sumę wszystkich rodzajów energii
wszystkich cząsteczek tego ciała.
Jest ona jawnie zależna od masy substancji i w ogólności jej wyznaczenie jest
nietrywialne. Wprowadźmy model gazu doskonałego, zakładajęcy on że:
1. Cząsteczki poruszają się chaotycznie,
2. Mają pomijalnie małą objętość (są punktowe),
3. Oddziaływują tylko w czasie zderzeń które są idealnie sprężyste,
4. Pomiędzy zderzeniami cząsteczki poruszają się jednostajnie i prostoliniowo,
Wówczas energie wewnętrzną gazu doskonałego możemy obliczyć jako sumę
energii kinetycznych wszystkich cząsteczek tego gazu (pozostałe rodzaje energii
będą pomijalnie małe):
′
U = Ek,1 + Ek,2 + ... + Ek,N = N · Ek,sr czyli U = C · N · T
Energia wewnętrzna np. gazów rzeczywistych czy cieczy lub ciał stałych nie
wyraża się tak prosto ale zawsze wzrasta wraz z temperaturą.
Ciepło
Gdy zetkniemy dwa ciała o różnych temperaturach to po pewnym czasie temperatury się wyrównają; wzrośnie zatem energia wewnętrzna ciała o początkowo
niższej temperaturze, pomimo iż żadna praca makroskopowa nie została wykonana, mówimy, że zostało przekazane ciepło.
T1
t=0
T1 > T2
T
T2
t>0
T
T1 > T > T2
Ciepło przekazywane przez układ o temperaturze wyższej ciału o temperaturze
niższej jest równe zmianie energii wewnętrznej tego ciała.
Za przekazywanie ciepła odpowiada zderzanie się cząsteczek stykających się
3
ciał, prace wykonane przez poszczególne cząsteczki to tzw. prace mikroskopowe.
Do czasu poznania mechanizmu ciepła myślano, że ciała zawierają fluid zwany
„cieplikiem” który przy zetknięciu przepływa pomiędzy ciałami.
2. Pierwsza zasada termodynamiki
Zasada ta jest uogólnioną wersją zasady zachowania energii i pokazuje jak można
zmienić enerigię wewnętrzną ciała:
Zmaiana energii wewnętrznej ciała jest równa sumie pracy wykonanej
nad układem przez siłę zewnętrzną i ciepła dostarczonego do rozważanego
układu
∆U = W + Q
Wykorzystując w zadaniach pierwszą zasadę termodynamiki najistotniejszą rzeczą jest to aby poprawnie interpretować znaki występujących tam wielkości
fizycznych:
• energia wewnętrzna:
– ∆U > 0 – energia wewnętrzna rośnie,
– ∆U < 0 – energia wewnętrzna maleje,
– ∆U = 0 – energia wewnętrzna pozostaje stała,
• praca – jej znak ustalamy z definicji pamiętając jednak o tym że Wg = −Wz
(gdzie Wg jest pracą wykonywaną przez gaz zaś Wz pracą wykonywaną przez
siłę zewnętrzną),
• ciepło:
– Q > 0 – ciepło jest dostarczane (układ pobiera ciepło),
– Q < 0 – ciepło jest odbierane (układ oddaje ciepło do otoczenia),
– Q = 0 – nie ma wymiany ciepła z otoczeniem,
Zastosowanie powyższej zasady ilustruje następujący przykład:
Gaz rozprężając się pobrał 1000J ciepła i wykonał pracę 500J . Oblicz zmianę
energii wewnętrznej tego gazu.
Rozwiązanie:
Zgodnie z definicją ciepła i pracy mamy, że dla sytuacji opisanej w zadaniu:
4
Q > 0 i W < 0 a zatem:
∆U = W + Q = −500J + 1000J = 500J(∆U > 0)
A zatem energia wewnętrzna azu wzrosła o 500J
Pierwsza zasada termodynamiki uniemożliwia konstrukcję perpetum mobile I rodzaju
czyli urządzenia poruszającego się nieustannie bez dostarczania enerii z zewnątrz.
3. Podstawowy wzór teorii kinetyczno-molekularnej
gazów
Aby wyprowadzić ten wzór należy najpierw podać podstawowe założenia teorii
kinetyczno-molekularnej:
• materia zbudowana jest z cząsteczek,
• cząsteczki te znajdują się w nieustannym ruchu,
Ponadto dla gazów będzie obowiązywał model gazu doskonałego, którego założenia podane są przy definicji energii wewnętrznej. Skorzystamy także z pewnych
wiadomości z zakresu statystyki.
Rozważmy zatem kulisty zbiornik (o promieniu R) z gazem doskonałym załóżmy
także że molekuły nie oddziaływują ze sobą; jedyne zderzenia jakie uwzględniamy
zachodzą między molekułami a ścianką
p’
υ
υ
2R
s
p
Obliczymy ciśnienie wywierane przez
gaz na ścianki naczynia; jest ono konsekwencją sprężystych zderzeń cząsteczek gazu ze ściankami naczynia.
Zmiana pądu w takim zderzeniu wynosi:
∆p=2pcos( υ)
90
p’
5
p
Aby skorzystać z II zasady dynamiki należy jeszcze obliczyć czas pomiędzy
dwoma kolejnymi zderzeniami; wynosi on:
∆t =
s
2Rcos(ϑ)
=
v
v
Zgodnie z II zasadą dynamiki, siła z jaką molekuła oddziaływuje na ściankę
naczynia wynosi:
2m0 vcos(ϑ)
∆p
m0 v 2
=
F =
=
2Rcos(ϑ)
∆t
R
v
Całkowita siła działająca na powierzchnię naczynia to suma sił pochodzących od
każdej cząsteczki zatem:
F =
N
X
m0v 2
i
i=1
R
N
N
m0 N X 2
m0 X 2
v =
v
=
R i=1 i
R N i=1 i
Korzystając teraz z faktu, że średnia wyraża się wzorem:
N
1 X 2
v
< v >=
N i=1 i
2
Otrzymamy że siła działająca na ściankę kulistego naczynia wynosi:
N m0 < v 2 >
F =
R
F
Wiedząc że ciśnienie definiowane jest następująco: p = FS = 4ΠR
2 i korzystając
ze wzoru na energię kinetyczną, otrzymujemy podstawowy wzór teorii kinetycznomolekularnej gazów:
p=
N m0<v 2 >
R
4ΠR2
2N
N m0 < v 2 >
N m0 < v 2 >
=
< Ek >
=
=
4ΠR3
3V
3V
Dla gazu doskonałego liczba stopni swobody wynosi: s = 3 a zatem zależność
między energią kinetyczną a temperaturą wynosi: < Ek >= 32 kT , co po
6
podstawieniu da nam inną wersję równania stanu zwaną równaniem Clapeyrona:
2N 3
p=
kT → pV = N kT
3V 2
gdzie N jest liczbą cząsteczek gazu
Gdy chcemy posługiwać się liczbą moli możemy skorzystać z faktu że ilość
cząsteczek gazu wyraża się wzorem:
N = nNA
gdzie n jest liczbą moli zaś NA to liczba cząsteczek w jednym molu, czyli liczba
Avogadra
Po podstawieniu powyższej zależności do równania stanu otrzymamy „molową”
wersję równania Clapeyrona:
pV = nNAkT → pV = nRT
4. Przemiany gazowe
Podstawą przemian gazowych jest wyprowadzone co dopiero równanie stanu:
pV
pV
= N k lub
= nR
T
T
Z równania stanu wynika, że dla stałej masy gazu doskonałego
zatem możemy wyróżnić następujące przemiany:
pV
T
= const a
I Izochoryczną (V = const)
II Izobaryczną (p = const)
III Izotermiczną (T = const)
IV Adiabatyczną (Q = 0)
Ponadto warto zauważyć, że z faktu że pV
T = const wynikają tylko dwie
możliwości. Albo wszystkie parametry (p, V , T ) mogą się zmieniać, albo jeden
7
z nich pozostaje stały. Sytuacja w której dwa parametry są stałe jest niemożliwa,
ponieważ mamy sprzeczność typu zmienna = stala, natomiast gdy stałe
są wszystkie trzy parametry to nie ma sensu mówić o przemianie w ogóle.
Ad. I Przemiana izochoryczna.
1. Przeprowadzenie przemiany:
Stałą masę gazu zamykamy w szczelnym naczyniu i podgrzewamy; zakładamy
że nie występują straty ciepła.
p
p V1 T1
2
V2 T2
1
Q
2. Wyprowadzenie Prawa Charlesa
Pomijając rozszerzalność termiczną ścian naczynia mamy zachowaną stałą objętość (V = const); korzystając z równania Calpeyrona:
p1V1
p2V2
=
ale V1 = V2 = V = const
T1
T2
p2 V
p1
p2
p
p1 V
= const → p ∼ T
=
→
=
→
T1
T2
T1
T2
T
A zatem zależność p = p(T ) będzie następująca:
p
IZOCHORA
nRT
nR
p
tgα =
= V =
T
T
V
α
T
8
Przemianę izochoryczną opisuje prawo Charlesa:
W przemianie izochorycznej stałej masy gazu ciśnienie jest wprostproporcjonalne
do temperatury bezwzględnej.
3. Pierwsza zasada termodynamiki dla przemiany izochorycznej.
Z uwagi na to że tłok nie przesuwa się to V = const czyli ∆V = 0 a zatem
praca (W = p∆V = 0). Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki:
∆U = W + Q → ∆U = QV cieplo przy stalej objetosci
Zatem:
a) ∆U > 0 – gaz zwiększa swoją energię wewnętrzną → QV > 0 gdy
pobiera ciepło
b) ∆U < 0 – gaz zwiększa swoją energię wewnętrzną → QV < 0 gdy oddaje
ciepło
4. Pozostałe wykresy:
V
p
T
V
Ad. II Przemiana izobaryczna.
1. Przeprowadzenie przemiany:
Stałą masę gazu zamykamy tłokiem mogącym poruszać się bez tarcia i podgrzewamy naczynie:
9
p
p V
1
1
2
T1
V
2
T2
Q
2. Wyprowadzenie Prawa Gay-Lussaca
Tu również pomijamy rozszerzalność termiczną ścian naczynia i zmiana objętosci
wynika tylko z podnoszenia się tłoka w naczyniu; natomiast ciśnienie pozostaje
stałe (p = const); korzystając z równania Calpeyrona:
p1V1
p2 V2
=
ale p1 = p2 = p = const
T1
T2
pV1
pV2
V1
V2
V
=
→
=
→
= const → V ∼ T
T1
T2
T1
T2
T
A zatem zależność V = V (T ) będzie następująca:
V
IZOBARA
nRT
V
p
=
tgα =
T
T
α
=
nR
p
T
Przemianę izobaryczną opisuje prawo Gay-Lussaca:
W przemianie izobarycznej stałej masy gazu objętość gazu jest wprostproporcjonalna do temperatury bezwzględnej.
3. Pierwsza zasada termodynamiki dla przemiany izobarycznej.
a) zwiększamy temperaturę gazu:
∆T > 0 → ∆U > 0 → WG > 0 (tlok sie podnosi) → W = −WG < 0
10
Ciepło przemiany:
∆U = Qp + W → ∆U = Qp − |W | → Qp = ∆U + |W |
a zatem zwiększając temperaturę gaz pobiera ciepło ale pobierze go WIĘCEJ niż
w przemianie izochorychnej bo musi jeszcze wykonać pracę podczas podnoszenia
tłoka
b) zmniejszamy temperaturę gazu:
∆T < 0 → ∆U < 0 → WG < 0 (tlok opada) → W = −WG > 0
Ciepło przemiany:
∆U = Qp + W → ∆U = Qp + |W | → ∆Qp = ∆U − |W |
a zatem zmniejszając temperaturę gaz oddaje ciepło ale odda go WIĘCEJ niż w
przemianie izochorychnej.
4. Pozostałe wykresy:
p
V
T
p
Ciepło właściwe i ciepło molowe; wyprowadzenie równania
Mayera
Ilość energii którą (np. w postaci ciepła) należy dostarczyć aby ciało o masie m
ogrzać o ∆T określa zależność:
Q = m · c · ∆T
11
Ciepło właściwe (c - stała materiałowa) równe liczbowo ilości energii jaką należy
dostarczyć aby ciało o masie 1kg ogrzać o 1K
W przypadku gazów ciepło właściwe zależy także od tego w jakich warunkach
ogrzewamy gaz a zatem wyróżniamy:
• cV – ciepło właściwe przy stałej objętości,
• cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu,
Określają one jednocześnie ciepło przy stałej objętości (dla przemiany izochorycznej) i ciepło przy stałym ciśnieniu (dla przemiany izobarycznej)
QV = m · cV · ∆T
Qp = m · cp · ∆T (∗)
Rozważmy pewną, stałą masę gazu którego temperaturę zwiększamy o ∆T :
• przy stałej objętości,
• przy stałym ciśnieniu,
Zbadamy w którym przypadku należy dostarczyć więcej ciepła. Korzystając z
pierwszej zasady termodynamiki:
QV = ∆U
Qp = ∆U + |W |
ponieważ temperaturę zwiększyliśmy w obu przypadkach o tyle samo to i zmiana
energii wewnętrznej w obu przypadkach będzie identyczna, stąd:
Qp > QV → mcp∆T > mcV ∆T → cp > cV
Zatem łatwiej jest ogrzać gaz przy stałej objętości, ponieważ ogrzewając gaz przy
stałym ciśnieniu część dostarczanego ciepła zamieniana jest na pracę wykonywaną
przez gaz dla zachowania stałego ciśnienia (np. na podnoszenie tłoka)
Dla gazów posługujemy się często pojęciem molowego ciepła właściwego; oznaczamy je następująco:
• CV – molowe ciepło właściwe przy stałej objętości,
• Cp – molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu,
12
Definiowane są jako ilość energii (liczbowo) jaką należy dostarczyć aby 1 mol
gazu ogrzać (przy zachowaniu stałej objętości lub stałego ciśnienia) o 1K.
Określają one jednocześnie ciepło przy stałej objętości (dla przemiany izochorycznej) i ciepło przy stałym ciśnieniu (dla przemiany izobarycznej)
QV = n · CV · ∆T
Korzystając z definicji liczby moli (n =
m
· CV · ∆T
QV =
M
Qp = n · Cp · ∆T
m
M,
gdzie M jest masą molową gazu):
m
Qp =
· Cp · ∆T
M
Porównując te ciepła z równaniami (*) otrzymujemy zależności między ciepłem
właściwym a molowym ciepłem właściwym:
CV = M · cV
Cp = M · cp czyli C = M · c
Równanie Mayera określa zależność między molowym ciepłem właściwym przy
stałej objętości i przy stałym ciśnieniu, aby je wyprowadzić rozważmy stałą masę
gazu ogrzaną o ∆T :
• przy stałej objętości, wówczas: QV = nCV ∆T
• przy stałym ciśnieniu, wówczas: Qp = nCp∆T
Obliczając różnice z definicji ciepła właściwego:
Qp − QV = nCp ∆T − nCV ∆T = (nCp − nCV )∆T
i z defininicji I zasady termodynamiki:
Qp − QV = ∆U + |W | − ∆U = |W |
Z porównania stronami otrzymujemy:
|W | = (nCp − nCV )∆T
13
Korzystając z definicji pracy wykonywanej przez gaz (|W | = p∆V ):
p∆V = (nCp − nCV )∆T
I wykorzystując równanie stanu gazu doskonałego (p∆V = nR∆T ):
nR∆T = (nCp − nCV )∆T
I ostatecznie równanie Mayera ma postać:
Cp − CV = R
Ad. III Przemiana izotermiczna
1. Przeprowadzenie przemiany:
Rozważmy stałą masę gazu zamkniętą w idealnie przewodzącym ciepło naczyniu
od góry tłokiem (również idealnie przewodzącym) i mogącym poruszać się bez
tarcia.
p V
1
1
T1
p V
2
2
T2
Kładąc na powierzchni tłoka kolejne ziarenka piasku spowodujemy że gaz będzie
ulegał baaardzo powolnemu sprężaniu i dzięki temu (oraz dzięki temu że tłok
i naczynie idealnie przewodzą ciepło) zachowana zostanie stała temperatura
(T = const) 2. Wyprowadzenie prawa Boyle’a-Mariotta:
Korzystając z Równania Clapeyrona otrzymujemy:
p2V2
p1 V1
=
ale T1 = T2 = T = const
T1
T2
p1V1
p2 V2
1
=
→ P1 V1 = p2V2 → pV = const → p ∼
T
T
V
14
A zatem zależność V = V (T ) będzie następująca:
p
p
T1 < T2 < T3
T1
T2
T3
V
V
3. Pierwsza zasada termodynamiki dla przemiany izotermicznej.
Skoro w przemianie izotermicznej temperatura jest stała to:
T = const → ∆T = 0 → ∆U = 0
A zatem pierwsza zasada termodynamiki będzie mieć postać:
∆U = W + Q → W + Q = 0
Rozważmy teraz dwa przypadki:
Fg
Izotermiczne sprężanie:
r
W >0→Q<0
A zatem gaz oddaje ciepło do otoczenia
F
Fg
Izotermiczne rozprężanie:
W <0→Q>0
r
A zatem gaz pobiera ciepło z otoczenia
F
15
4. Pozostałe wykresy:
p
V
T
T
Ad. IV Przemiana adiabatyczna
1. Przeprowadzenie przemiany:
Rozważmy stałą masę gazu zamkniętą w idealnie izolowanym naczyniu od góry
tłokiem (będącym również idealnym izolatorem) i mogącym poruszać się bez
tarcia.
p V1 T1
1
p V
2
2
T2
Tym razem kładziemy na powierzchni tłoka bombę; jej eksplozja następuje
bardzo szybko i następuje gwałtowne sprężenie gazu tak że „nie ma on czasu” na
wymianę ciepła z otoczeniem (a poza tym jest on przecież w idealnie izolowanym
od otoczenia zbiorniku); czyli: Q = 0
2. Prawo Poissona
Przemianą adiabatyczną rządzi prawo Poissona (bez wyprowadzenia)
p·V
κ
= const lub T V
16
κ−1
= const
Gdzie κ to współczynnik adiabaty lub Poissona; jest on definiowany następująco:
κ=
Cp
CV
Jego wartość jest większa niż 1 i zależy ilu atomowa jest cząsteczka rozważanego
gazu.
Zależność ciśnienia od objętości w przemianie adiabatycznej określa krzywa zwana
adiabatą; jest ona podobna do izotermy na poniższym wykresie przedstawiono
obie krzywe:
p
p
izoterma
adiabata
V
V
3. Pierwsza zasada termodynamiki dla przemiany adiabatycznej:
Skoro nie ma wymiany ciepła z otoczeniem to oczywiście Q = 0 i pierwsza
zasada termodynamiki będzie mieć postać:
∆U = W + Q → ∆U = W
I podobnie jak dla przemiany izotermicznej mamy dwa przypadki:
a) sprężanie adiabatyczne
W przypadku tym praca wykonana przez siłę zewnętrzną jest dodatnia (W > 0),
bo tłok przemieszcza się w tą samą stronę co siła sprężająca gaz, a zatem zmiana
energii wewnętrznej też będzie dodatnia (∆U > 0) co oznacza że w wyniku
sprężania adiabatycznego temperatura gazu wzrasta.
b) rozprężanie adiabatyczne
W przypadku tym praca wykonana przez siłę zewnętrzną jest ujemna (W > 0),
bo tłok przemieszcza się w przeciwną stronę co siła zewnętrzna, a zatem zmiana
17
energii wewnętrznej też będzie ujemna (∆U < 0) co oznacza że w wyniku
rozprężania adiabatycznego temperatura gazu maleje.
Praca w przemianach gazowych
Chcąc obliczyć pracę wykonaną przez gaz lub przez siłę zewnętrzną będziemy
oczywiście korzystać z definicji pracy:
~ ·~
~,~
W =F
r = F r cos(6 F
r)
Ponadto założymy, że zmieniając objętość gazu (np. sprężając go tłokiem)
będziemy to robić jednostajnie; oznacza to że w danym momencie sprężania
(lub rozprężania) siła zewnętrzna będzie równa co do kierunku i wartości sile
wywieranej przez gaz, ale przeciwnie zwróconej.
Rozważmy teraz pewną masę gazu zamkniętą od góry tłokiem, w zależności
od tego czy dochodzi do sprężania czy rozprężania gazu, praca wykonywana
przez siłę zewnętrzną (nad gazem) oraz praca wykonana przez gaz będą miały
następujące znaki:
(1)
(2)
(3)
Fg
r
S
∆V
S
r
S
∆V
F
Korzystając z definicji pracy możemy określić jej znak podczas sprężania i
rozprążania gazu:
• sprężanie (rys.2): W > 0, Wg < 0
• rozprężanie (rys.3): W < 0, Wg > 0
Obliczając natomiast wartość pracy należy najpierw założyć, że przemieszczenie
~
r jest na tyle małe, że działająca siła jest stałą i wówczas, korzystając jeszcze
z definicji ciśnienia (p = FS ) oraz z faktu, że wektory sił i przemieszczenia są
18
~, ~
r )| = 1) otrzymamy:
współliniowe i wtedy (| cos(6 F
|W | = |Wg | = F r = pSr → |W | = p∆V
Teraz możemy przeanalizować jaka praca wykonywana jest w poznanych przemianach gazowych:
1) Przemiana izochoryczna.
Z uwagi na fakt że w przemianie tej zachowana jest stała objętość wykonana
praca będzie równa zero.
V = const → ∆V = 0 → W = p∆V = p0 = 0
2) Przemiana izobaryczna
W przemianie tej ciśnienie jest stałe, a zatem:
p = const → W = p∆V
Możemy stosować powyższy wzór nie tylko dla niewielkich przemieszczeń tłoka.
3) Przemiana izotermiczna
W przemianie tej p 6= const i dlatego nie możemy stosować wzoru: W =
p∆V i pracę oblicza się z rachunku całkowego; można pokazać, że wynosi ona:
W = nRT ∆ ln(V ) lub W = N kT ∆ ln(V )
4) Przemiana adiabatyczna
Tu również ciśnienie nie jest stałe ale zamiast korzystać z rachunku całkowego
skorzystamy z I zasady termodynamiki a ponieważ w przemianie tej Q = 0
stąd:
3
∆U = W + Q → W = ∆U → W = N k∆T
2
19
Gazy rzeczywiste, równanie Van der Vaalsa
Mimo iż model gazu doskonałego w większości przypadków doskonale opisuje
zachowanie się gazów to niekiedy, szczególnie przy wysokich ciśnieniach jest
niewystarczający
Chcąc uwzględnić dokładniej zachowanie się gazów należy pamiętać że ich
cząsteczki:
• nie są punktowe; czyli posiadają konkretną objętość,
• oddziaływują ze sobą także pomiędzy zderzeniami,
Uwzględniająt te efekty Van der Vaals zaproponował następujące równanie
opisujące gaz rzeczywisty:
n2 a
p + 2 (V − nb) = nRT
V
Gdzie a i b to stałe współczynniki opisujące dany gaz rzeczywisty.
2
Wyrażenie nV a uwzględnia występowanie przyciągajązych sił międzycząsteczkowych prowadzących do zmniejszenia się ciśnienia gazu, zaś stała b jest proporcjonalna do objętości cząsteczki. Uwzględnienie objętości cząsteczek zmniejsza
dostępną dla nich przestrzeń ruchu
20
Silnik parowy
Zasada działania silnika cieplnego przedstawiona została na przykładzie silnika
parowego, którego schemat przedstawiono poniżej:
turbina
KOCIOL
para wodna, wysokie
cisnienie i temperatura
woda
dostarczanie ciepla (ZR. CIEPLA)
pompa
odbior ciepla
(CHLODNICA)
Opis: Podgrzewamy wodę a potem parę wodną w kotle do wysokiej temperatury
i ciśnienia. Para ta rozprężając się na łopatkach turbiny wykonuje pracę, po czym
ulega sklopleniu w chłodnicy i jako woda jest przepompowywana do kotła.
Analizując działanie np. silnika parowego można dostrzec następujące prawidłowości:
• aby silnik pracował w sposób ciągły to zachodzące w nim procesy muszą
mieć charakter cykliczny (stan początkowy układu musi być odtwarzany)
• w każdym silniku musi istnieć źródło ciepła i chłodnica,
• tylko część energii wewnętrznej zamieniana jest na pracę, reszta zostaje
oddana do chłodnicy,
II zasada termodynamiki
Można ją traktować jako wynik analizy działania silników cieplnych i formułuje
się ją następująco:
Niemożliwe jest istnienie silnika cieplnego, który pracowałby cyklicznie pobierając ciepło ze źródła bez przekazania go do chłodnicy
21
Zasada ta uniemożliwia konstrukcję tzw. Perpetum Mobile II rodzaju czyli urządzenie zamieniającego na pracę energię wewnętrzną bez konieczności odprowadzania ciepła do chłodnicy. Uniemożliwia wykorzystanie np. energii wewnętrznej
mórz i oceanów, której ilości są ogromne.
Sprawność silnika cieplnego.
Analizując działanie silnika cieplnego widzimy, że gaz po pobraciu ze źródła
ciepła Q1 po wykonaniu pracy, przekazuje do chłodnicy ciepło Q2 a zatem
praca wykonana przez silnik wynosi:
W = Q1 − Q2
można zatem łatwo określić sprawność DOWOLNEGO silnika cieplnego:
η=
W
Q1 − Q2
=
Q1
Q1
Silnik Carnota
To teoretyczny silnik działający wg schematu przedstawionego na rysunku
1−2
przewodnik
ciepla
p V
2 2
2−3
p V
3 3
p V
2 2
3−4
4−1
izolator
p V
3 3
p V
4 4
p V
1 1
p V
4 4
p V
1 1
zrodlo ciepla Q
1T1
izolator
chlodnica Q2 2T
izotermiczne
rozprezanie
adiabatyczne
rozprezania
izotermiczne
sprezanie
izolator
adiabatyczne
sprezanie
Cykl Carnota we współrzędnych p = p(V ) jest następujący:
22
p
p
1
1
p
2
2
4
p
4
W=Q − Q
1
2
3
p
3
V
V1
V4
V2
V3
Wyprowadzenie wzoru na sprawność silnika Carnota
Cykl Carnota składa się z dwóch przemian izotermicznych i z dwóch przemian
adiabatycznych. W przemianie izotermicznej zachowana jest stała temperatura
więc zmiana energii wewnętrznej jest równa zero, a zatem łatwo jest wyliczyć
ciepło i wynosi ono.
Podczas wykonywania pracy przez gaz (rozprężanie izotermiczne):
Q1 = W1−2 =
Z
V
2
V
pdV = nRT1 ln(V )
= nRT1 (ln(V2 ) − ln(V1 )) = nRT1 ln 2
V1
V1
i podczas oddawania ciepła do otoczenia (sprężanie izotermiczne)
Q2 = −W3−4 = −
Z
V
4
V
pdV = −nRT2 ln(V )
= nRT2 (− ln(V3 ) + ln(V4 )) = nRT2 ln 3
V4
V3
Dzieląc powyższe równania stronami otrzymujemy:
23
V
T1 ln V2
Q1
1
=
(∗)
V3
Q2
T2 ln V
4
Aby uprościć powyższe wyrażenie skorzystamy z faktu, że w cyklu Carnota mamy
dwie przemiany adiabatyczne:
• adiabatyczne rozprężanie: T1V2κ−1 = T2 V3κ−1
• adiabatyczne sprężanie: T2 V4κ−1 = T1V1κ−1
Dzieląc powyższe równania stronami, otrzymujemy:
T1 V2κ−1
T1 V1κ−1
=
T2 V3κ−1
T2 V4κ−1
Upraszczając temperatury oraz korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej mamy:
V2
V3
=
V1
V4
Po podstawieniu to wzoru (∗) otrzymujemy:
V
T1 ln V3
Q1
T1
4
=
=
(∗)(∗)
V3
Q2
T
2
T2 ln V
4
Co oznacza, że sprawność silnika Carnota wynosi:
η=
Q1
T1
T1 − T2
Q1 − Q2
=1−
=1−
=
Q1
Q2
T2
T1
Aby sprawność ta była równa jeden to T2 = 0K co jest niemożliwe i dlatego
nawet silnik idealny (Carnota) ma sprawność mniejszą niż 1.
Procesy odwracalne i nieodwracalne, entropia
24
W naszych rozważaniach założymy, że mamy układ (w którym odbywają się
procesy termodynamiczne) i otoczenie (to co jest poza układem), wówczas:
Procesem odwracalnym – nazywamy taki proces po przeprowadzeniu którego układ powraca do stanu początkowego i nie zmienia w żaden sposób
otoczenia. Procesem odwracalnym będzie np. rozciąganie pręta w obszarze sprężystości i jego powrót do stanu wyjściowego. Jednak nawet przy takim rozciąganiu
nastąpi wzrost energii wewnętrznej pręta i jej częściowe przekazanie jako ciepła
do otoczenia a więc zmiana tegoż otoczenia. Widać zatem że proces „idealnie
odwracalny” zasadniczo nie istnieje. (Istnieje ładna analogia finansowa procesu
odwracalnego; zamiana złotówki na dolara i z powrotem dolara na złotówkę po
takich samych kursach kupna i sprzedaży danej waluty, co też jest nierealne)
Należy zwrócić uwagę że procesy przebiegające w rzeczywistych silnikach cieplnych mimo że są cykliczne to nie są odwracalne, co wynika między innymi z
faktu że następuje zmiana parametrów otoczenia (np. w silniku parowym część
wody ucieka do otoczenia i dlatego trzeba ją uzupełniać)
Procesem nieodwracalnym – nazywamy taki proces, po przeprowadzeniu
którego układ nie powraca do stanu początkowego lub po przeprowadzeniu
którego następuje zmiana parametrów ototczenia. Najbardziej wymownym przykładem takiego procesu jest spalanie.
Proces samoistny – to taki proces, który odbywa się bez ingerencji do układu
z zewnątrz. Przykład to mieszanie się gazów.
Proces niesamoistny – to proces do przeprowadzenia którego niezbędna jest
ingerencja z zewnątrz (polegająca z reguły na dostarczeniu energii) do układu.
Rozważmy kilka przykładów procesów przebiegających samoistnie:
• mieszanie się gazów,
• wyrównywanie się temperatur zetkniętych ze sobą ciał
• spalanie się
Wszystkie one mają następujące własności:
• są nieodwracalne,
• przebiegają w ustalonym kierunku – od stanów uporządkowanych (np. dwa
25
gazy w różnych częściach pomieszczenia) do stanów nieuporządkowanych
(dwa gazy wymieszane w całym pomieszczeniu)
Wielkością fizyczną opisującą uporządkowanie (lub nieporządek) jest entropia,
ma ona następujące własności:
• układy uporządkowane mają małą entropię
• układy nieuporządkowane mają entropię dużą
• w procesach nieodwracalnych entropia rośnie
• w procesach nieodwracalnych entropia jest stałą
• wszystkie naturalnie przebiegające procesy przebiegają w kierunku wzrosu
entropii
Wracając do wyprowadzenia wzoru na sprawność silnika Carnota w pewnym
momencie otrzymaliśmy wzór (∗)(∗), który można przekształcić do postaci:
Q1
T1
Q1
Q2
Q
=
⇒
=
⇒
= const
Q2
T2
T1
T2
T
i jest to właśnie entropia:
Q
T
Rozważmy dwa różne gazy w dwóch częściach zbiornika; przedzielone przegrodą:
S=
Po usunięciu przegrody gazy zaczynają
się mieszać i po pewnym czasie cząsteczki obu gazów rozmieszczone są
chaotycznie w całym naczyniu. Jako
ciekawostkę można podać, że istnieje
pewne przawdpopdobieństwo, że uporządkują się samoistnie do stanu tak
jak przed wyjęciem przegrody, lecz
jest ono niewyobrażalnie małe (rzędu
10
1/10(10 ))
Oczywiście możemy odwrócić proces mieszania się gazów, poprzez rozseparowanie cząsteczek obu gazów z powstałej mieszaniny, ale wymaga to dostarczenia
26
energii z zewnątrz.
Sfromułujmy teraz trzecią zasadę termodynamiki:
W temperaturze 0K entropia układu jest równa zero (układ jest maksymalnie
uporządkowany)
Przykład rzeczywistego silnika cieplnego – Cykl Otta
Cykl ten realizowany jest w przybliżeniu w benzynowych silnikach spalinowych;
składa się z następujących etapów:
p
B
AB – Izochoryczne ogrzewanie
BC – Adiabatyczne rozprężanie
CD – Izochoryczne ochładzanie
DA – Adiabatyczne sprężanie
A
C
O
D
V
Schemat działania takiego silnika przedstawia poniższy rysunek:
(1)
(3)
(2)
(4)
(5)
SSANIE
SPREZANIE
I ZAPLON
PRACA
WYDECH
W chwili początkowej (punkt O na wykresie) następuje otwarcie zaworu wlotowego (1) i tłok wykonując ruch w dół wykonuje zasysanie mieszanki paliwowopowietrznej (krzywa O − D) Po zassaniu (punkt D) zawory zostają zamknięte
i rozpoczyna się faza sprężania (krzywa D − A) po osiągnięciu odpowiedniego
ciśnienia (punkt A) świeca zapłonowa (3) wytwarza iskrę i następuje wybuch mie27
szanki. W wyniku tego wybuchu następuje gwałtowny wzrost ciśnienia (krzywa
A − B ), a następnie gaz rozpręża się przesuwając tłok i wykonując suw pracy
(krzywa B − C ). Po wykonaniu pracy następuje otwarcie zaworu wylotowego
((2)) i wyrzut spalin (krzywa C − D), wspomagany jeszcze ruchem tłoka w
górę (krzywa D − O). W punkcie O następuje otwarcie zaworu wlotowego i
cały cykl się powtarza.
Można wykazać, że sprawność takiego silnika zależy tylko od stopnia sprężania:
W
− R
η=
= 1 − s CV
Qd
Więc dla gazów dwuatomowych i stopnia sprężania s = 10 jest to nawet 60%
w rzeczywistości, z powodu nieidealności izolacji silnika, jest to około 30%.
Przykład rzeczywistego silnika cieplnego – Cykl Disela
Cykl ten realizowany jest w silnikach wysokoprężnych i jest bardzo podobny
do cyklu Otta, ale w początkowej fazie sprężane jest samo powietrze, potem
następuje wtrysk mieszanki i jej samoczynny zapłon; składa się z następujących
etapów:
p
A
B
p_2
AB – Izobaryczne ogrzewanie
BC – Adiabatyczne rozprężanie
CD – Izochoryczne ochładzanie
DA – Adiabatyczne sprężanie
C
D
V
V_2
Można wykazać, że sprawność takiego silnika ma postać:
η =1−
cv
cp
γ−1 1 −
V2
V3
28
1−
V1
V2
γ
V1
V2
c
gdzie γ = cvp . Sprawność cyklu Disela jest ona większa od sprawności cyklu Otta,
co jest spowodowane faktem, że (samo)zapłon mieszanki paliwowo-powietrznej
następuje przy dużo większym ciśnieniu
Przemiany fazowe
Jak wiadomo każda substancja może występować w trzech stanach skupienia
(fazach):
• stan stały – ciała stałe posiadają swój kształt i objętość, są nieściśliwe.
Atomy w ciele stałym leżą tak blisko siebie, że siły oddziaływania między
nimi są bardzo duże.
• stan ciekły – ciecze posiadają swoją objętość ale nie posiadają własnego
kształtu i przyjmują kształt naczynia w którym się znajdują. Górna powierzchnia cieczy nazywa się meniskiem i w zależności od relacji pomiędzy
siłami spójności a przylegania menisk ten może być:
– wypukły – gdy siły przylegania są większe niż spójności
– wklęsły – gdy siły spójności są większe niż przylegania
Atomy w cieczach również leżą bardzo blisko siebie ale siły oddziaływania
między nimi nie są już tak duże jak w ciele stałym.
• stan gazowy – gazy nie mają swojego kształtu ani objętości. Przyjmują
kształt naczynia w którym się znajdują i wypełniają je w całości. Atomy gazu
leżą w tak dużych odległościach od siebie, że nie oddziałują wcale dlatego
łatwo zmienić objętość gazu.
Dla omówienia przemian fazowych istotnym jest zauważyć, że ciała stałe można
podzielić na:
1. Ciała krystaliczne (np. lód, diament, miedź)
2. Ciała amorficzne (np. szkło, masło)
Ad. 1
Ciała te mają uporządkowaną strukturę wewnętrzną; można powiedzieć, że
składają się z „cegiełek” zwanych komórkami elementarnymi.
29
JEDNOSKOŚNY
TRÓJSKOŚNY
HEKSAGONALNY TETGONALNY
ROMBOWY
REGULARNY
30
TRYGONALNY
Ad. 2
Ciała te nie mają uporządkowanej struktury, budową wewnętrzną przypominają
ciecze; mówi się że są to zastygłe ciecze.
Jak wiadomo wyróżniamy trzy stany skupienia:
• stan stały
• stan ciekły
• stan gazowy (lotny)
Przejściem fazowym nazywamy zmianę stanu skupienia danego ciała, a skoro
mamy trzy stany skupienia to istnieje 6 różnych przejść fazowych pomiędzy tymi
stanami, co pokazuje poniższy rysunek:
STAN STALY
sublimacja
topnienie
krzepniecie
parowanie
STAN CIEKLY
resublimacja
skraplanie
STAN LOTNY
Przeanalizujmy teraz zmiany stanów skupienia ciała na przykładzie ogrzewania
lodu. Dostarczając ciepło w sposób ciągły można zaobserwować smiany stanu
skupenia i przedstawić to na następującym wykresie
31
temp.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
100
0
czas
−20
W obszarze (1) następuje ogrzewanie lodu. Dostarczone ciepło...
Q1 = mcl ∆t
...powoduje zwiększenie amplitudy drgań sieci krystalicznej, a co za tym idzie i
temperatury ciała.
W obszarze (2) następuje topnienie lodu. Dostarczone ciepło...
Q2 = mct
...powoduje „zniszczenie” struktury krystalicznej lodu więc temperatura podczas
topnienia pozostaje stała.
W obszarze (3) następuje ogrzewanie wody. Dostarczone ciepło...
Q3 = mcw ∆t
...powoduje zwiększenie prędkości ruchu cząsteczek wody a co za tym idzie i
temperatury. Cały czas jednak cząsteczki oddziałują bliskozasięgowo.
W obszarze (4) następuje parowanie wody w temperaturze wrzenia. Dostarczone
ciepło...
Q4 = mct
32
...powoduje takie oddalenie cząsteczek, że zanika oddziaływanie bliskozasięgowe
i następuje przechodzenie cieczy w gaz. Temperatura cieczy pozostaje zatem
cały czas stała.
W obszarze (5) następuje podgrzewanie pary wodnej. Dostarczone ciepło...
Q5 = mcp∆t
...powoduje zwiększenie prędkości ruchu postępowego cząsteczej gazu i jego
temperatura – rośnie.
Para nasycona i nienasycona
Na początek omówimy pojęcie równowagi termodynamicznej, ciecz-para. Rozważmy w tym celu naczynie z cieczą. Jak wiadomo proces parowania odbywa się
w każdej temperaturze większej od 0K (i zwiększa się wraz z temperaturą), a
zatem niektóre cząsteczki cieczy znajdujące się w pobliżu powierzchni będą „odrywać się” przechodząc do stanu gazowego. Gdy proces ten potrwa dostatecznie
długo cała ciecz wyparuje.
Gdy natomiastą naczynie będzie zamknięte to oprócz przechodzenie cząsteczek
cieczy w gaz pojawi się przeciwny (fizycy mówią czasem konkurencyjny) proces
przechodzenia cząsteczek gazu w ciecz. W końcu ustali się równowaga w której
ilość cząsteczek opuszczających powierzchnię cieczy będzie równa ilości cząsteczek „powracających” do cieczy z powrotem. Makroskopowo zaobserwujemy, że
ilość cieczy w zamkniętym naczyniu nie będzie ulegać zmianie.
Parę będącą w równowadze termodynamicznej ze swoją cieczą nazywamy parą
nasyconą.
Para nasycona ma interesujące właściwości fizyczne:
1. Ciśnienie pary nasyconej nie zależy od jej objętości
2. Wzrost ciśnienia pary nasyconej wraz z temperaturą jest bardziej gwałtowny
niż pary nienasyconej
Ad.1
Dokonując sprężenia pary nasyconej zmniejszamy dostępną dla jej cząsteczek
33
objętość co powoduje że cząsteczki „częściej uderzają o ciecz” coraz to więcej cząsteczej „powraca” do stanu ciekłego – ilość cząsteczek pary nasyconej
zmniejsza się a więc jej ciśnienie pozosiaje niezmnienne.
Zależności ciśnienia od objętości dla pary nienasyconej i nasyconej:
p
p
para nienasycona
para nasycona
V
V
Ad.2
W przypadku pary nienasyconej którą możemy traktować jak gaz doskonały
wzrost temperatury spowoduje wzrost średniej prędkości ruchu postępowego
cząsteczek a co za tym idzie częstotliwość zderzeń tych cząsteczek ze ściankami
naczynia. Zwiększy się zatem przekaz pędu i ciśnienie.
W przypadku pary nasyconej OPRÓCZ powyższego procesu nastąpi wzrost ilości
cząsteczek samej pary nasyconej (w wyższej temperaturze więcej cząsteczek
nędzie „odrywać” się z powierzchni cieczy) co spowoduje że przyrost ciśnienia
będzie bardziej gwałtowny.
Zależności ciśnienia od temperatury dla pary nienasyconej i nasyconej:
p
p
para nienasycona
T
para nasycona
T
Rozważmy następujący proces. W naczyniu pod tłokiem w ustalonej temperaturze dokonujemy sprężania pary wodnej. Najpierw jest to para nasycona więc
przyrost jej ciśnienia jest odwrotnie proporcjonalny do objętości. Dalszy przyrost
34
ciśnienia spowoduje jednak skraplanie się pary i pojawi się cieć i para nasycona
co spowoduję że przy dalszym zmniejszaniu się objętości nie będzie wzrastać
ciśnienie pary nasyconej ale ilość cieczy aż do momentu gdy w naczyniu będziemy
mieli samą cięcz i dalsze zmiany objętości będą bardzo trudne do uzyskania (ciecz
jest dużo mniej ściśliwa niż gaz)
Powyższy proces przedstawiony jest na poniższym rysunku:
p
V
ciecz
para nasycona i ciecz
para nieniasycona
Przeprowadzając powyższy eksperyment w coraz to wyższej temperaturze otrzymamy następującą rodzinę krzywych:
p
T1 < T2 < T3 < T4 < T5
T5
T4
T3
T2
T1
V
Z rysunku widać, że w miarę wzrostu temperatury poziomy, prostoliniowy odcinek
(gdzie mamy do czyniena z parą nasyconą i cieczą) robi się coraz krótszy aż dla
35
temperatury T4 staje się jednym punktem. Współrzędne tego punktu (p, V, T )
określają tzw. parametry krytyczne. Powyżej temperatury krytycznej niemożliwe
jest skroplenia danego gazu.
Widać zatem, że aby skroplić gaz należy najpierw obniżyć jego temperaturę,
poniżej krytycznej.
Rozszerzalność termiczna ciał stałych
Zdarza się że w bardzo upalne dni tory kolejowe ulegają „wyboczeniu”. Dzieje
się tak ponieważ pod wpływem wzrostu temperatury ciała stałe rozszerzają się
(w przypadku powyginanych torów doczodzi jeszcze brak konserwacji przerd
dylatacyjnych). Mikroskopowy mechanizm tej rozszerzalności wcale nie jest taki
prosty. Wzrost temperatury ciała stałego powoduje wzrost amplitudy drgań
jego sieci krystalicznej jednak gdyby te drgania miały charakter harmoniczny to
środek tych drgań nie ulegałby zmianie i nie tłumaczyłoby to rozszerzania się
ciał (niezależnie jak mocno wychylimy wahadło matematyczne jego położenie
równowagi nie będzie ulegać zmianie). Okazuje się jednak, że drgania sieci
krystalicznej ciała stałego mają charakter anharmoniczny a w tego typu drganiach
zmnienia się położenie równowagi co tłumaczy rozszerzalność.
Rysunek przedstawia drgania anharmoniczne.
Ruch wahadła matematycznego zaburzamy ustawiając w położeniu równowangi przeszkodę.
W miarę wzrostu amplitudy drgań średnie położenie (lub inaczej położenie równowagi) przesuwa
się w prawo.
Do opisu rozszerzalności termicznej ciał stałych używamy współczynnika rozszerzalności objętościowej (α) i współczynnika rozszerzalności liniowej (λ).
Definiowane są one następująco:
∆V
∆T
∆V
=
α=
V0
V0 ∆T
λ=
36
∆l
∆T
l0
=
∆l
l0 ∆T
Aby wyprowadzić zależność pomiędzy tymi współczynnikami rozważmy sześcian
o boku a0 (czyli o objętości V0 ). Rozszerzenie się tego boku o ∆a = λl0∆T
spowoduje, że jego objętość będzie wynosić: V = (a0 + ∆a)3 . Podstawiając
za ∆a otrzymujemy:
V = (a0 +λa0∆T )3 = a30 (1+λ∆T )3 = V0 (1+3λ∆T +3λ2(∆T )2 +λ3(∆T )3 )
Współczynnik rozszerzalności λ jest mały więc jedo kwadrat i sześcian można
pominąć i dostajemy wówczas:
V = V0 (1 + 3λ∆T ) = V0 + V0 3λ∆T = V0 + ∆V
Ale oznacza to że:
α = 3λ
Ciecze nie mają własnego kształtu a zatem w ich przypadku definiujemy jedynie współczynnik rozszerzalności objętościowej, podobnie jak dla gazów. W
przypadku jednak gazów okazuje się że w warunkach zbliżonych do normalnych
współczynnik rozszerzalności objętościowej jest stały i wynosi:
α=
1
273
Transport energii
Analiza zagadnień transportu energii w sposób ilościowy jest skomplikowana z
uwagi na matematyczny formalizm. Zajmniemy się więc tylko analizą jakościową
Wyróżniamy następujące formy transportu energii:
1. promieniowanie elektromagnetyczne
2. przewodnictwo cieplne
3. konwekcja
37
Ad. 1
Ta forma transportu energii polega na oddziaływaniu fali elektromagnetycznej
(jest ona wypromieniowywana przez każde ciało o temperaturze większej niż
0K ) z materią. Przyjmując korpuskularny model fali elektromagnetycznej oddziaływanie to tłumaczymy jako zderzanie się fotonów fali elektromagnetycznej
z cząsteczkami co powoduje zwiększenie energii wewnętrznej całego ciała.
Ad. 2
Przewodnictwo cieplne podobne jest do przewodnictwa prądu elektrycznego. Aby
przewodnictwo mogło mieć miejsce muszą istnieć cząsteczki mające swobodę
ruchu. Przykładowo w metalach są to elektrony swobodne i dlatego metale są
bardzo dobrymi przewodnikami ciepła. Elektrony swobodne mają bardzo duże
23
prędkości (rzędu 105 m
s ) i jest ich bardzo dużo (rzędu 10 ) a zatem baardzo
często się zderzają co powoduje, że w bardzo krótkim czasie „uśredniają” swoją
prędkość. Zatem każda lokalna zmiana prędkości elektronów (będąca np. efektem
podgrzania) „rozejdzie” się po całej objętości.
T1
T2
Podgrzewając metalowy pręt
z jednej strony spowodujemy
S
lokalne zwiększenie prędkości
ruchu termicznego elektronów
swobodnych. Dzięki zderze-
∆l
niom zmiana ta będzie „przemieszczać się” w stronę chłodniejszego końca pręta powodując zwiększ. temperatury
Równanie opisujące „przemieszczanie się ciepła w czasie” to słynne równanie
transportu jego wersja dla przewodnictwa cieplnego nosi nazwę Prawa Fouriera:
Q
∆T
= kS
t
∆l
Gdzie k to współczynnik przewodnictwa cieplnego i jest to stała materiałowa.
W przypadku cieczy i gazów przewodnictwo cieplne również występuje ale jest
ono procesem dużo bardziej powolnym.
38
Ad. 3
Okazuje się że dla cieczy i gazów dużo większe znaczenieprzy transporcie ciepła
ma proces zwany konwekcją. Odbywa się on tylko w polu grawitacyjnym i polega
na tym, że podgrzewając np. ciecz w naczyniu od jego spodu zwiększająca się
temperatura cieczy powoduje zmniejszenie się jej gęstości i unoszenie się tej
cieczy do góry w tym samym czasie ciecz chłodniejsza „z góry” zajmuje to
miejsce i cały proces się powtarza.
ciecz chlodna
ciecz goraca
ciecz chlodna
W wyniku konwekcji w naczyniu następuję „krążenie” materii o różnych gęstościach. Podgrzana
u dołu ciecz wznosi się ku górze a jej miejsce
zajmuje chłodna ciecz z górnej części naczynia.
Doświadczalnie można zaobserwować zabarwiając
ciecz jedynie w dolnej części naczynia (np. nadmanganianem potasu) i podgrzewając ją, zaobserwujemy unoszenie się barwnika będące efektem
ruchów konwekcujnych
Mechanizm konwekcji dotyczy również gazów, co wykorzystuje się w projektowaniu instalacji centralnego ogrzewania.
39