docRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
download 
Reklamacja Transkrypt
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Łukasz Kuśmierz kwiecień 2012 Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Sterowanie Teoria LQR Przykład wahadła na wózku Wyniki eksperymentów numerycznych Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem jest wyznaczyć takie u(t), by układ znalazł się w pożądanym stanie xr . Układ regulacji nadążnej - xr (t) jest nieznaną z góry funkcją czasu. Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Wyzwania: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) szum w pomiarach - filtracja (np. filtr Kalmana) Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) szum w pomiarach - filtracja (np. filtr Kalmana) niepełna informacja o stanie - obserwatory (np. obserwator Luenbergera) Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Wyzwania: szum w układzie - sprzężenie zwrotne (zamknięty system regulacji) szum w pomiarach - filtracja (np. filtr Kalmana) niepełna informacja o stanie - obserwatory (np. obserwator Luenbergera) optymalizacja sprzężenia zwrotnego - LQR Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Sprzężenie zwrotne Sprzężeniem od stanu nazywamy realizację sygnału sterującego według następującej formuły: u = w (x) (3) Sprzężeniem od wyjścia nazywamy realizację sygnału sterującego według następującej formuły: u = v (y ) Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone (4) Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Dany jest liniowy system ciągły opisywany równaniem: ẋ = Ax + Bu (5) Optymalizujemy całkowy, kwadratowy wskaźnik jakości: Z∞ dt (x T Qx + u T Ru) J= 0 Q jest dodatnio półokreślona, R dodatnio określona. Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone (6) Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Rozwiązanie: u = −Kx (7) K = R −1 B T P (8) Macierz P należy wyznaczyć z algebraicznego równania Riccatiego: AT P + PA − PBR −1 B T P + Q = 0; Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone (9) Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Metody wyprowadzenia: Mnożniki Lagrange’a + rachunek wariacyjny Programowanie dynamiczne Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Klasyczny przykład zastosowania - wahadło odwrócone Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Lagranżian L= M + m 2 ml 2 2 ẋ + α̇ + ml α̇ẋ cos α + mgl cos α 2 2 Stąd otrzymujemy równania: ( (M + m)ẍ + ml α̈ cos α = ml α̇2 sin α + u (11) cos αẍ + l α̈ = −g sin α Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone (10) Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Kładziemy dla prostoty M = m = g = l = 1 i rozwiązujemy liniowy układ równań algebraicznych względem drugich pochodnych: ( 1 2 ẍ = 2−cos 2 α (u + α̇ sin α + sin α cos α) (12) 1 α̈ = − 2−cos 2 α (u cos α + α̇ sin α cos α + 2 sin α) Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Kładziemy dla prostoty M = m = g = l = 1 i rozwiązujemy liniowy układ równań algebraicznych względem drugich pochodnych: ( 1 2 ẍ = 2−cos 2 α (u + α̇ sin α + sin α cos α) (12) 1 α̈ = − 2−cos 2 α (u cos α + α̇ sin α cos α + 2 sin α) System dynamiczny nieliniowy! Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Zapisujemy w postaci czterowymiarowej i linearyzujemy w górnym punkcie równowagi: ẋ v̇ φ̇ ω̇ = 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 x v φ ω +u 0 1 0 1 (13) Na podstawie tak wyznaczonych macierzy A i B obliczamy macierz (w naszym wypadku wektor) regulatora proporcjonalnego K Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Parametry regulatora wyznaczone ”ręcznie”: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Parametry regulatora wyznaczone ”ręcznie”: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Parametry regulatora wyznaczone ”ręcznie”: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych LQR: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych LQR: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych LQR: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Baseny atrakcji: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Baseny atrakcji: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Równania ruchu i linearyzacja Wyniki eksperymentów numerycznych Baseny atrakcji: Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone Sterowanie LQR Wahadło na wózku Bibliografia Literatura: [1] H. Górecki; Optymalizacja i sterowanie systemów dynamicznych (2006, ISBN 8374640219) [2] Stephen Boyd, lecture slides (http://www.stanford.edu/class/ee363/lectures.html) Łukasz Kuśmierz LQR i wahadło odwrócone
