III edycja szkolnego konkursu „O jeden poziom abstrakcji wyżej

III edycja szkolnego konkursu
„O jeden poziom abstrakcji wyżej”
objętego patronatem Dziekana Wydziału Matematyki
i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego.
rok szkolny 2015/16
II etap
Zad 1.
Naczynie o pojemności 8 l napełniono powietrzem zawierającym 16% tlenu.
Z naczynia tego odprowadzono pewną ilość powietrza i doprowadzono taką
samą ilość azotu, po czym ponownie odprowadzono taką samą ( jak za
pierwszym razem ) ilość mieszaniny i ponownie doprowadzono taką samą
ilość azotu. W powstałej mieszaninie było 9% tlenu. Wyznaczyć po ile litrów
gazu odprowadzano i doprowadzano za każdym razem do naczynia.
Zad. 2
Czy liczbę 13 można przedstawić jako sumę sześcianów trzech liczb
całkowitych?
Zad.3.
Załóżmy,że każdej z dziewięciu liter słowa
jest przyporządkowana
pewna cyfra ( zera nie uwzględniamy) .Wówczas zamiast słowa
będziemy mieli dziewięciocyfrową liczbę. Załóżmy także, że
jest
pierwiastkiem kwadratowym liczby zaszyfrowanej słowem
tj.
=
. Należy odcyfrować obie liczby.
Zad. 4.
Udowodnić, że jeżeli w kwadracie o boku 1 wybierzemy 51 punktów, to
wśród nich są trzy takie, które należą do pewnego koła o promieniu .
Zad. 5.
Udowodnić twierdzenie ( Ptolemeusza): jeżeli czworokąt jest wpisany w
okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych równa się sumie iloczynów
długości par boków przeciwległych.
Termin oddania 30.11.2015
Rozwiązania zadań
Zad. 1
Odp. 2 litry.
Szkic rozwiązania .
Niech oznacza ilość odprowadzanego i doprowadzanego każdorazowo gazu.
Po pierwszym odprowadzeniu powietrza i doprowadzeniu azotu ilość tlenu wynosi
litra a zawartość procentowa tlenu wynosi
.
Po powtórnym odprowadzeniu litrów mieszani i doprowadzeniu litrów azotu
ilość tlenu w mieszance wynosiła
litra ,
a zatem jego zawartość procentowa wynosiła
. Układając
odpowiednie równanie i rozwiązując je otrzymujemy dwa rozwiązania z których
warunki zadania spełnia
.
Zad. 2
Odp. Liczby 13 nie można przedstawić w postaci sumy sześcianów trzech liczb
całkowitych.
Wskazówka.
Należy rozważyć podzielność przez 9 sześcianów liczb całkowitych.
Zad. 3.
Odp. Szukana liczba to :
9.
Szkic rozwiązania.
Z treści zadania wynika że
.
Litera nie może być cyfrą pięciocyfrowa liczba rozpoczynająca się cyframi
podniesiona do kwadratu nie da liczby dziewięciocyfrowej o drugiej cyfrze . )
Litera nie może być większa od bo jej kwadrat byłby liczbą dziesięciocyfrową.
Stąd
.
Ostatnią cyfrą nie może być żadna z cyfr 1, 5, 6.
Zatem liczba
może wynosić :
,
… ( 35 liczb do sprawdzenia).
Można skrócić poszukiwania zauważając że skoro suma cyfr słowa
wynosi
a sumą cyfr
jest 9 to analogiczną własność ma liczba
, tzn. suma jej cyfr
powinna być liczbą której suma cyfr wynosi 9.
Biorąc pod uwagę wszystkie wymienione ograniczenia dochodzimy do wniosku,
że
.
Podnosząc ją do kwadratu mamy
9.
Zad. 4.
Wskazówka.
Należy podzielić kwadrat na
przystających kwadracików każdy o boku
a następnie posłużyć się zasadą „szufladkową” Dirichleta .
Zad.5.
Dowód łatwo odnaleźć w ogólnodostępnych publikacjach .
,