Linie prądu lepkiego płynu poruszającego się pod wpływem

Linie prądu lepkiego płynu poruszającego się pod wpływem
opadania grawitacyjnego czterech cząstek punktowych
Bartłomiej Szewczak, student Wydziału Fizyki UW
Praca wykonana w IPPT PAN pod kierunkiem prof. Marii Ekiel-Jeżewskiej
w ramach przedmiotu ”Pracownia fizyczna II stopnia”.
28 lutego 2011
Streszczenie
Narysowano linie prądu płynu w układzie środka masy (CM) 4 cząstek punktowych.
Na cząstki działała stała siła pionowa (grawitacja). Przeanalizowano parametry kropli płynu
powstałych od cząstek punktowych opadających w lepkim płynie w zależności od ich położenia
(początkowego i po czasie T/4).
1 Wstęp teoretyczny
1.1 Prędkość cząstki punktowej α = 1, . . ., N wynosi [1]:
N
Vα =
∑ T(Rαβ ) · F
β 6=α
gdzie:
α i β − oznaczenia cząstek, Rα − położenie cząstki α , Rαβ = Rα − Rβ , Ri R j
F− siła działająca na każdą cząstkę punktową, Ti j (R) = 8πη1|R| δi j + |R|
2
przy czym: Ri − i-towa składowa wektora R
1.2 Prędkość środka masy układu cząstek punktowych α = 1, . . . , N:
Vsr =
1 N
Vα
N α∑
=1
1.3 Prędkość płynu w punkcie r
N
u(r) =
∑ T(r − Rα ) · F
α =1
Przechodząc do układu odniesienia związanego ze środkiem masy, otrzymujemy:
′
u (r) = u(r) − Vsr
′
Vα = Vα − Vsr
1
2
1
V
A cB
0
L C
H
D
−1
−2
−2
−1
0
1
2
Rysunek 1: Na rysunku oznaczono cząstki A, B, C, D oraz zdefiniowano parametry H (rozmiar
poziomy kropli), V (rozmiar pionowy kropli), L i c.
2 Sformułowanie zagadnienia - postawienie problemu
2.1 Linie prądu płynu w układzie CM
Z równań Stokesa obliczono pole prędkości płynu jakie wytworzy się na skutek ruchu 4 cząstek
punktowych opadających pod wpływem grawitacji w lepkim płynie. Zagadnienie rozpatrywano
w układzie środka masy (CM) 4 cząstek.
Znając pole prędkości można było narysować, w środowisku komputerowym Matlab, linie prądu
płynu. Linie prądu są to linie styczne w każdym punkcie do kierunku prędkości cząstki płynu.
W przepływie stacjonarnym linie pokrywają się z trajektoriami cząstek płynu.
2.2 4 cząstki a ruch periodyczny
Okazuje się [2], że 4 cząstki mogą wykonywać ruchy periodyczne. Startując z położenia początkowego,
gdy wszystkie są umieszczone poziomo na jednej linii, zaczną się przemieszczać i po pewnym
czasie znajdą się w położeniu tworząc prostokąt. Po pewnym czasie znowu powracają do pierwotnego
położenia.
W pracy zająłem się wyrysowaniem lini prądu dla konfiguracji początkowej (cząstki poziomo)
oraz dla chwili czasu gdy tworzą prostokąt (chwila ta odpowiada w przybliżeniu jednej czwartej
okresu, T/4).
Szczegółowe dane na temat położeń cząstek po czasie t = t0 ≈ T /4(τ ), gdzie τ = 8πη L2 /F, F = |F|
zawiera tab. 3. Położenia cząstek nie zostały znalezione przeze mnie [2]. Na rys. 1 zdefiniowane
są parametry z których będę korzystał w dalszej częsci pracy.
Rozważyłem 3 konfiguracje początkowe cząstek, tj. 3 różne odległości c między dwiema cząstkami
A i B oraz C i D. Ich wartości to: c = 0.25, c = 1, c = 2 przy tej samej odległości miedzy cząstkami
B i C, L = 1. Wyrysowane linie prądu przedstawia tab. 1.
2
Jak się okazało, rozmiary kropli (zarówno poziome jak i pionowe) zależą silnie od współczynnika
c. Ponadto rozmiar kropli zmienia się w czasie – jest inny dla konfiguracji początkowej i tej w
której cząstki tworzą prostokąt. Rozmiary poziome i pionowe kropel oraz ich stosunek zawiera
tab. 2.
2.3 Obliczanie numeryczne lini prądu
Mając obliczone pole prędkości płynu można było przystąpić do rysowania linii prądu. W
Matlabie można to zrobić komendą streamline. Okazało się, że dokładność rysowania linii silnie
zależy od rozdzielczości (gęstości) obliczonego uprzednio pola prędkości. Im ’gęściej’ obliczona
została prędkość płynu tym mniejsze błędy pojawiały się przy rysowaniu lini prądu. Pole prędkości
zapisane było w macierzy, im gęstsze - tym większa musiała być macierz. Wielkość macierzy
ograniczała wielkość pamięci fizycznej komputera oraz szybkość CPU,zostało więc wybrane 0.006
jednostki jako rozdzielczość siatki.
3 Rysunki - wyniki i wnioski
3.1 Wyniki
Linie prądu płynu przedstawia tab. 1. Współczynnik c jest odległością między dwiema wewnętrznymi
cząstkami.
Jednostki i skale na rysunkach dobrano w taki sposób, żeby można było je w prosty sposób
porównywać. Z jednej strony, odległość w centymetrach, którą widać na rysunkach zestawionych
obok siebie, między dwiema zewnętrznymi cząstkami jest na każdym rysunku taka sama (dla
t = 0).
Z drugiej, skala na rysunkach jest tak dobrana, że odległość w jednostkach L między dwiema
wewnętrznymi kroplami jest zawsze taka sama bez względu na wartość współczynnika c.
Tab. 2 przedstawia obliczone rozmiary kropli, zarówno w poziomie (H) jak i pionie (V ) oraz
wzajemny stosunek tych wielkości (γ = H/V ).
3.2 Wnioski
Patrząc na dane w tab. 2 można dostrzec pewne prawidłowości.
Widać, że im większy współczynnik c tym kropla staje się większa, natomiast γ maleje.
Ponadto można zauważyć, że dla ustalonego c, rozmiar kropli zmienia się w czasie. Kropla
pulsuje. Jest to szczególnie widoczne dla c = 0.25 i c = 2. Niezależnie od c stosunek rozmiarów
kropli maleje w przedziale czasu od 0 do T/4. Widać również, że γ jest zawsze wieksza od 1.
Literatura
[1] L. M. Hocking, J. Fluid Mech. 20, 129 (1964).
[2] M.Ekiel-Jeżewska, informacja prywatna
3
Tablica 1: Linie prądu lepkiego płynu poruszającego się pod wpływem 4 cząstek punktowych
opadających grawitacyjnie.
t=0
c
0.25
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
1
−1
0
1
2
−2
−2
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−8
−8
2
t ≈ T /4
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
−8
−8
16
16
12
12
8
8
4
4
0
0
−4
−4
−8
−8
−12
−12
−16
−16
−12
−8
−4
0
4
8
12
16
4
−16
−16
−1
−6
−12
−4
−8
0
1
2
−2
0
2
4
6
8
−4
0
4
8
12
16
Tablica 2: Rozmiar poziomy H i pionowy V kropel oraz ich stosunek γ .
c
0.25
1
2
t =0
t ≈ T /4
H = 3.18
V = 2.16
γ = 1.47
H = 7.94
V = 6.30
γ = 1.26
H = 11.99
V = 9.82
γ = 1.22
H = 1.86
V = 1.73
γ = 1.08
H = 7.89
V = 7.49
γ = 1.05
H = 19.98
V = 19.53
γ = 1.02
Tablica 3: Położenia cząstek po czasie t = t0 ≈ T /4(τ ), gdzie τ = 8πη L2 /F, F = |F|.
c
0.25
1
2
współrzędne poziome
współrzędne pionowe
xa = −0.166
xb = −0.166
xc = 0.166
xd = 0.166
xa = −0.449
xb = −0.457
xc = 0.457
xd = 0.449
xa = −0.749
xb = −0.746
xc = 0.746
xd = 0.749
ya = −3.293
yb = −3.594
yc = −3.594
yd = −3.293
ya = −6.860
yb = −8.836
yc = −8.836
yd = −6.860
ya = −36.20
yb = −50.37
yc = −50.37
yd = −36.20
5
t0 (τ )
T /4 (τ )
0.445
0.444
2.69
2.67
37.8
38.0