Wstęp teoretyczny - Uniwersytet Zielonogórski

Uniwersytet Zielonogórski
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Laboratorium Techniki Regulacji Automatycznej
Analiza układów 1-szego i 2-ego rzędu
Wstęp teoretyczny
.
1. Układ 1-szego rzędu możemy zapisać jako
G(s) =
a
s+a
gdzie
• (−a) - jest biegunem układu
• ωBW = |a| - pasmo przenoszenia
• odpowiedź skokowa
1 a
1
1
= −
ss+a
s s+a
y(t) = (1 − e−at )u(t)
Y (s) =
• τ = 1/a - stała czasowa układu
2. Układ 2-ego rzędu możemy zapisać jako
G(s) =
ωd2 + σ 2
ωn2
=
s2 + 2ζωn s + ωn2
s2 + 2σs + ωd2 + σ 2
gdzie
•
•
•
•
•
ωn - pulsacja drgań nietłumionych
ζ - współczynnik tłumienia
p
ωd = ωn 1 − ζ 2 - pulsacja drgań tłumionych
|σ| = ζωn - tłumienie względne
τ = 1/|σ| - stała czasowa układu
3. Wzory aproksymujące częstotliwościowe wskaźniki jakości
• pasmo przenoszenia
q
p
ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) + 4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2
p
• pulsacja rezonansowa ωR = ωn 1 − 2ζ 2 (dla ζ ≤ √12 )
• moduł rezonansowy MR =
√1
2ζ
1−ζ 2
(dla ζ ≤
√1 )
2
4. Wzory aproksymujące wskaźniki jakości w dziedzinie czasu
• stała czasowa τ = ζω1n = σ1
• czas max. przeregulowania Tp =
• czas regulacji Ts (±2%) ≈ 4τ =
π
ωd
4
σ,
=
√π
ωn
1−ζ 2
Ts (±1%) ≈ 4.6τ =
4.6
σ
oraz ogólnie ωn =
• amplituda maksymalnego przeregulowania Mp = 1 + exp √−ζπ 2
1−ζ
• POS = 100 exp √−ζπ 2
1−ζ
• ζ=√
− ln(P OS/100)
π 2 +ln2 (P OS/100)
• czas narastania Tr =
1.8
ωn
5. Wskaźniki jakościowe na płaszczyźnie zespolonej
p
• połozenie biegunów s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2
lub s1,2 = −σ ± jωd ;
• współczynnik tłumienia ζ = cos θ gdzie θ = cos−1 ζ
1
4
Ts ζ
Zadania do wykonania w ramach laboratorium
1. Dla układu przedstawionego na rysunku Rys.1 dobierz takie wartości parametrów K oraz α aby
spełnione były następujące wymagania jakościowe
(a) przeregulowanie (POS) = 14%
(b) pasmo przenoszenia ωBW = 4 [rad/s]
R(s)
1
K
_
s(s+a)
_
S
Rysunek 1: Układ do zadania 1
2. Dla pewnego układu drugiego rzędu przyjęto następujące wymagania jakościowe
• POS≤ 5%,
• czas regulacji Ts < 4[sec],
• czas max. przeregulowania Tp < 1[sec].
Na płaszczyźnie zespolonej nakreśl obszar w którym należy umieścić bieguny tego układu aby
zostały zapewnione powyższe wymagania jakościowe. Przyjmij, że czas regulacji jest dla strefy
dokładności ±2%
3. Przyjmijmy, że układ zamknięty jest układem drugiego rzędu. Na płaszczyźnie zespolonej narysuj
obszary w których powinny być ulokowane bieguny układu zamkniętego aby zapewnić następujące
wymagania jakościowe:
(a) 0.6 ≤ ζ ≤ 0.8, ωn ≤ 10
(b) 0.5 ≤ ζ ≤ 0.707, ωn ≥ 10
(c) ζ ≥ 0.5, 5 ≤ ωn ≤ 10
(d) ζ ≤ 0.707, 5 ≤ ωn ≤ 10
(e) ζ ≥ 0.6, ωn ≤ 6
4. Dla poniższej transmitancji układu otwartego
KG(s) =
Kωn2
+ 2ζωn s + ωn2
s2
wyznacz (oblicz analitycznie)
(a) pasmo przenoszenia układu otwartego ωBW
(b) transmitancję układu zamknietego Gcl (s)
(c) dla układu zamkniętego pasmo przenoszenia (ωBWcl ), współczynnik tłumienia (ζcl ) oraz częstotliwość drgań nietłumionych (ωncl ).
5. Dla poniższej transmitancji układu otwartego
KG(s) =
K(s + 0.8)
s(s − 1)
(a) Wyznacz wartości K dla których układ zamknięty będzie stabilny
(b) Oblicz wartość K dla której współczynnik tłumienia ζ układu zamkniętego będzie równy 1.
6. Dla poniższej transmitancji układu otwartego
KG(s) =
K
√
s(s + 2K)
wyznacz
• przeregulowanie (POS) i czas regulacji (korzystając z kryterium ±2% dokładności sterowania)
2
• zakres zmian wzmocnienia K dla którego czas regulacji będzie mniejszy niż 1 sekunda.
7. Pokaż jak pasmo przenoszenia układu zamkniętego i częstotliwość przy której wzmocnienie układu
otwartego = 1 (ωgc ) mogą być wyznaczone na podstawie lokalizacji biegunów (dominującej pary)
układu otwatego. W tym celu rozważ następujący układ otwarty
KG(s) =
K
s(s + 1)
a następnie
(a) wyznacz analitycznie formuły do oblicznia ωn , ωd , ωBW , Tp , ωgc ;
(b) korzystając z formuł wyznaczonych w powyższym podpunkcie określ wpływ K na układ zamknięty;
(c) Oblicz wartości ωn , ωd , ωBW , Tp oraz ωgc dla K = 1 i dla K = 10.
(d) Określ jak ωBW i ωgc mogą być wyznaczone (przybliżone) na podstawie wartości ωn i ωd .
Pamiętaj, że ωn i ωd określają nam położenie biegunów układu zamkniętego.
3