Recenzja rozprawy doktorskiej pana mgr. Przemyslawa

Zielona Gora, 6 m a j a 2016
prof, dr hab. A n d r z e j Cegielski
Wydzial Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Uniwersytet Zielonogorski
Recenzja rozprawy doktorskiej
pana mgr. Przemyslawa Gospodarczyka
Obnizanie stopnia i scalanie krzywych Beziera
K r z y w e Beziera zostaly wprowadzone w latach 60. niezaleznie przez P i e r r e ' a Beziera i P a u l a de Castelj a u w czasie, gdy pracowali we f r a n c u s k i m przemysle samochodowym. O d tego czasu krzywe te staiy
si§ waznym narzgdziem w p r o j e k t o w a n i u i n z y n i e r s k i m , przede w s z y s t k i m w grafice k o m p u t e r o w e j .
to
krzywe parametryczne w przestrzeni R*^ {d > 2) zapisane w postaci k o m b i n a c j i liniowej n wielomianow
Bernsteina stopnia n , a w s p o l c z y n n i k a m i w tej k o m b i n a c j i s^ wspolrzgdne t z w . p u n k t o w k o n t r o l n y c h .
Poprzez manipulacje t y m i p u n k t a m i o t r z y m u j e sig krzywe Beziera o poz^danych wlasnosciach. Z p r a k tycznego p u n k t u widzenia wazne jest, aby liczba t y c h p u n k t o w k o n t r o l n y c h nie b y l a za duza. Dlatego
w ostatnich latach wiele prac jest poswigconych o b n i z a n i u stopnia k r z y w y c h Beziera w t a k i sposob, aby
powstale w ten sposob krzywe p r z y b l i z a l y krzywe oryginalne. Z kolei w i n n y c h pracach bada si§ t z w .
sklejane krzywe Beziera. S k l a d a j ^ sig one z fragmentow, k t o r e sq, k r z y w y m i Beziera, przy czym zaklada
sig odpowiedni^ gladkosc w p u n k t a c h sklejenia. W jeszcze i n n y c h pracach zastgpuje sif sklejanq, k r z y w ^
Beziera i n n ^ k r z y w ^ Beziera, k t o r a m a przyblizac k r z y w ^ sklejan^. Z grubsza rzecz u j m u j ^ c p r o b l e m y
tego t y p u
p u n k t e m wyjscia w przedstawionej rozprawie. Jako m i a r g bliskosci k r z y w y c h autor p r z y j m u j e
tzw. wazony b l ^ d sredniokwadratowy, czyli po p r o s t u odleglosc w odpowiedniej przestrzeni L 2 .
W rozdziale 1.
autor wprowadza pojgcia i ich wlasnosci uzywane w dalszej czgsci rozprawy,
w szczegolnosci t z w . parametryczne i geometryczne w a r u n k i ci^glosci dotycz^ce zarowno klasycznych
j a k i scalanych k r z y w y c h Beziera. Rozdzial 2. poswigcony jest w a r u n k o m ci^glosci klasycznych k r z y w y c h
Beziera. W rozdziale 3., po przedstawieniu wlasnosci baz d u a l n y c h , autor przedstawia m e t o d y ich kons t r u k c j i , a nastgpnie stosuje je do dualnych baz Bernsteina. Rozdzialy 4.-8. s t a n o w i ^ zasadnicz^ cz§sc
rozprawy. W rozdziale 4. autor szczegolowo przedstawia metodg obnizenia stopnia k r z y w y c h Beziera
prowadz^c^ do m i n i m a l i z a c j i wazonego bl§du sredniokwadratowego p r z y zalozeniu, ze k pocz^tkowych i I
krahcowych p u n k t 6 w k o n t r o l n y c h pozostaje bez zmiany. Zalozenie t o jest powi^zane z p a r a m e t r y c z n y m i
i geometrycznymi w a r u n k a m i ci^glosci. W rozdziale 5. autor z a j m u j e si§ zagadnieniem p o d o b n y m do
rozpatrywanego w rozdziale 4., ale wprowadza dodatkowo t z w . ograniczenia kostkowe na p u n k t y k o n trolne. Zalozenie to jest wazne z praktycznego p u n k t u widzenia i m a uniemozliwic znaczne oddalenie
p u n k t o w k o n t r o l n y c h o d k r z y w e j Beziera. W celu rozwi^zania tego zagadnienia autor proponuje k i l k a
roznych m e t o d o p t y m a l i z a c y j n y c h , w t y m rowniez m e t o d f o p a r t ^ o wlasnosci d u a l n y c h baz Bernsteina.
W rozdzialach 6. i 7. autor z a j m u j e sig p r o b l e m e m scalania k r z y w y c h Beziera p r z y zalozeniu odpowiedniej
gladkosci parametrycznej l u b geometrycznej w p u n k t a c h sklejenia. N a koniec w rozdziale 8. autor doklada
dodatkowo ograniczenia kostkowe na p u n k t y kontrolne. W zasadniczych rozdzialach pracy cz§sc teoretyczna jest uzupeiniona o d p o w i e d n i m i a l g o r y t m a m i , przy czym autor zadbai o t o , aby uzyskac a l g o r y t m y
0 niskiej zlozonosci obliczeniowej. Ponadto praca zawiera liczne p r z y k l a d y numeryczne potwierdzaj^ce
zalety proponowanych m e t o d . D o rozprawy jest dol^czony indeks hasel, k t o r y u l a t w i a j e j czytanie.
Rozprawa jest efektem badafi powstalych we wspolpracy z profesorem Stanislawem Lewanowiczem
1 d o k t o r e m h a b i l i t o w a n y m P a w l e m W o z n y m , k t o r y c h w y n i k i s^ zawarte w pigciu a r t y k u l a c h . C z t e r y
z nich s^ wspolautorskie oraz jeden jest samodzielny. Ponadto, w y n i k i badan przedstawione w rozdziale
1
7.
d o d a t k o w y m samodzielnym w k l a d e m a u t o r a i nie b y l y wczesniej publikowane. N a p o d s t a w i e
l e k t u r y rozprawy mog§ potwierdzic, ze j e j autor wykazal si§ d o b r ^ znajomosci^ p r z e d m i o t u prowadzonych badan oraz duz^ k u l t u r ^ m a t e m a t y c z n ^ i dobr^ umiejgtnosci^ przelozenia w y n i k o w teoretycznych
na w y n i k i numeryczne umieszczone w licznych przykiadach. W y p r o w a d z a n i e wzorow uzytych przez a u t o r a wymagaio niezwyklej starannosci, gdyz kazdy ewentualny nawet d r o b n y b i ^ d moglby miec negatywny
w p l y w na w y n i k i obliczeri numerycznych. Cieszy to, ze autor sprostal t e m u zadaniu. M i m o skomplikowanych przeksztalceri, raczej t r u d n y c h do dokiadnego sprawdzenia, prac§ c z y t a si§ z przyjemnosci^.
Z p u n k t u widzenia zlozonosci obliczeniowej w a z n y m jest uzycie w pracy baz d u a l n y c h do aproksymacji.
Pozwalaj^ one bowiem na zaproponowanie m e t o d o znacznie nizszej zlozonosci obliczeniowej, niz inne
znane m e t o d y stosowane do r o z p a t r y w a n y c h zagadnien. J e d n y m z d o d a t k o w y c h walorow pracy jest t o ,
ze zostala napisana w j§zyku angielskim, czyli moze bye od razu czytana przez zagranicznych badaczy.
Pod wzglgdem r e d a k c y j n y m praca jest bez z a r z u t u , co ostatnio niezbyt czgsto m i si§ zdarzalo czytaj^c
prace doktorskie. K i l k a k r y t y c z n y c h uwag umieszczonych ponizej nie zmienia m o j e j oceny pracy, k t o r i j
oceniam j a k o bardzo dobr^. Wnoszg jednoczesnie o dopuszczenie a u t o r a do dalszych etapow przewodu
doktorskiego.
1. N a j w a z n i e j s z e s z c z e g o l o w e u w a g i m e r y t o r y c z n e
(a) Strony 4.-5. Powolywanie si§ we wlasnosciach 3. i 9. na ksi^zk§ [33] jest raczej niepotrzebne,
gdyz wlasnosci te w y n i k a j ^ bezposrednio z twierdzenia dwumianowego oraz z t r o j k ^ t a Pascala.
Rowniez we wlasnosci 5., zamiast powolywac si§ na literatur§ n a p i s a l b y m raczej, ze podany
wzor w y n i k a bezposrednio z definicji. N a t o m i a s t wlasnosc 10. nie jest n a t y c h m i a s t o w a i w j e j
dowodzie trzeba wykazac si§ troch§ s p r y t e m w operowaniu indeksami s u m a c y j n y m i .
(b) Strona 13., wiersz 11. o d d o l u (i dalsza cz§sc p r a c y ) . W y d a j e si§, ze b l ^ d aproksymacji
nalezaloby odniesc do skali rozwazanej krzywej Beziera, t y m bardziej ze w dalszej czgsci
rozprawy autor uzywa bl§du a p r o k s y m a c j i d l a k r z y w y c h w znacznie odbiegaj^cym o d tego
p r z y k l a d u zakresie zmiennosci. Jesli s^ przeslanki, aby uzywac bl§du bezwzgl^dnego, autor
powinien t o gdzies skomentowac.
(c) Strony 17.-18., problemy 1.8 i 1.9. W sformulowaniu t y c h problemow nie powinno miec
znaczenia, ze P i i? sq, k r z y w y m i Beziera w podanej postaci, poniewaz wielomiany Bernsteina
stopnia n s t a n o w i ^ baz? w przestrzeni wielomian6w stopnia co n a j w y z e j n. T a k wi§c, dla
wigkszej elegancji, caly problem mozna by sformulowac bez o d w o l y w a n i a si§ do wielomianow
Bernsteina, a na dobra spraw? nawet bez uzywania wielomianow. W y s t a r c z y l a b y przestrzeh
f u n k c y j n a i j e j domkni§ta podprzestrzeh. Oczywiscie, nie przeszkadza t o uzyciu konkretnej
przestrzeni funkcyjnej przy r o z w i ^ z y w a n i u p r o b l e m u , na p r z y k l a d w i e l o m i a n o w stopnia n ,
i konkretnej bazy, na p r z y k l a d wielomianow Bernsteina, co zreszt^ autor u c z y n i l w dalszej
czgsci rozprawy.
(d) Strony 17.-18., problemy 1.8 i 1.9. Jest pewien p r o b l e m w uzyciu wzorow na b l ^ d sredn i o k w a d r a t o w y w cz§sciach (i) sformulowari t y c h problemow. Dose n a t u r a l n y m w y d a j e si§
postulat, aby b l ^ d ten w y n i o s l 0 jesh P i R opisujq, t§ sam^ k r z y w ^ . T a k jednak nie jest
w p r z y j g t y m przez a u t o r a sformulowaniu. W y s t a r c z y wzi^c d l a uproszczenia d = 2, Q = ,5 = 0,
n = 4, m = 2, A; = Z = 0 oraz P { t ) = (i^,*^) i R{t) = {t,t^), t € [0,1]. Geometrycznie funkcje
te o p i s u j ^ t§ sam^ k r z y w ^ . N a t o m i a s t najmniejszy b l ^ d sredniokwadratowy o t r z y m u j e sig
d l a krzywej R*{t) = (t^,
- ^ t ) rozni^cej si§ od R . T a niekorzystna wlasnosc w y m a g a
komentarza ze strony autora.
(e) Strona 63., wiersze 8.-7. o d d o l u . Podane zaiozenia dotycz^ce nieujemnej okreslonosci macierzy
Q oraz domkni§tosci z b i o r u rozwi^zah dopuszczalnych s^ na w y r o s t . Oczywiscie zbior zdefiniowany przez (5.11) jest d o m k n i g t y . W tej s y t u a c j i wystarczy si§ powolac na twierdzenie
Weierstrassa o osi^ganiu kresow funkcji ciq,glej okreslonej na zbiorze z w a r t y m .
2
2. D a l s z e u w a g i m e r y t o r y c z n e
(a) Strony 17.-18. W problemach 1.8 i 1.9, w punkcie (ii) n a p i s a l b y m raczej: P and Q agree
(parametrically or geometrically) u p t o order {k^l) at the endpoints.
(b) Strony 28.-29. Powolywanie sif w faktach 3.1 i 3.2 na pozycj§ [100] jest niewlasciwe, poniewaz
fakty te b y l y znane wczesniej.
(c) Strona 52., wiersz 6. o d d o l u . Powinno bye: k and I less t h a n 3.
(d) Strona 53., wiersz 14. Wielkosci A i , A f c , / / j , / u ; nie zostaly podane.
(e) Strona 53., wiersz 2. o d d o l u : Nalezaloby uzasadnic dlaczego podane wielkosci dla a i /3 sq,
naturalnym wyborem.
(f) Strona 58., wiersz 4. o d d o l u . W y d a j e si§, ze m jest t u t a j z gory u s t a l o n ^ liczbq i nalezaloby
zaraz po wzorze na P{t) napisac: and m < n. Z podanej postaci p r o b l e m u 5.1 w y n i k a bowiem,
ze poszukujemy krzywej Beziera wsrod wszystkich k r z y w y c h s t o p n i m < n , a chyba nie o t o
chodzilo a u t o r o w i .
(g) Strona 58., wiersz 1. o d d o l u . N a stronie 19. autor pisze, ze w rozprawie b§dzie uzywal
n o r m y L 2 . Powinien wi§c w t y m miejscu uzasadnic, dlaczego w przedstawionym problemie
zdecydowal si§ n a norm? I2.
(h) Strona 59., 3. wiersz o d d o l u w uwadze 5.3. N i e bardzo w i e m , j a k autor chcialby szybko
sprawdzic, ze k r z y w a i powierzchnia nie przecinaj^ sig.
(i) Strona 59., wiersze l l . - l O . o d d o l u . Nie s^dzg, aby a u t o r o w i chodzilo o t o , ze podany zbior
jest wigkszy w sensie zawierania.
(j) Strona 8 1 . , wiersz 6. o d d o l u . Nalezaloby dopisac q = 1,2,s—1.
P o n a d t o dla przejrzystosci
mozna byloby napisac, ze k r z y w ^ podzielono na s mniejszych k r z y w y c h o r o w n y c h dlugosciach.
3. L i t e r 6 w k i
(a) Strona 7., wiersz 1. od d o l u . Powinno bye r = 1,2, . . . , n .
(b) Strona 8., wiersz 6. o d d o l u . D o l n a i gorna granica sumowania nie zgadzaj^ si§ z [33, (5.3)]
( u z y w a m t u t a j numeracji z 4. w y d a n i a tej ksi^zki z r o k u 1997).
(c) Strony 16.-17. Chodzi zapewne o rysunek 9., a nie 7 l u b 8(c).
(d) Strona 88., wiersz 10. Powinno bye is zamiast i n .
(e) Strona 106. W p o z y c j i [72] numer w o l u m i n u powinien bye 278 zamiast 78.
4. U w a g i r e d a k c y j n e
(a) Strony 3 1 . i 33. We wnioskach 3.5 i 3.10 o d d z i e l i l b y m tresci wnioskow o d uzasadnienia
i zastosowalbym uzywany t r a d y c y j n i e styl t a k i j a k w twierdzeniach.
(b) Strona 5 1 . , wiersz 3. U z y l b y m tradycyjnego i bardziej czytelnego zapisu c : = { ( A i , / X i ) : A i >
z o , / i i > z i } i p o p r a w i l b y m odpowiednio zapisy w kolejnych dwoch wierszach.
3