Zadania różne

Paradoks urodzinowy
Mamy dany dostatecznie du»y zbiór
M
osób o jednostajnym rozkªadzie dni
urodzin (wykluczamy 29 lutego, tzn. nikt z
osób co najmniej trzeba wybra¢ do
urodzin osób z
M
S ⊂ M,
nie ma urodzin tego dnia). Ile
»eby prawdopodobie«stwo kolizji
1
byªo nie mniejsze ni» 2 ? A ile, »eby prawdopodobie«stwo to
3
byªo nie mniejsze ni» 4 ?
S
Problem kolekcjonera
Mamy dan¡ dyskretn¡ zmienn¡ losow¡
X
(paczka czipsów) przyjmuj¡c¡ war-
to±ci caªkowite. Jest
P [X = k] = 1/n
dla
1 6 k 6 n dla jakiego± ustalonego n (gwiezdne
P [X = k] = 0 dla pozostaªych k .
Dana jest do tego rodzina zmiennych losowych Xj dla j = 1, 2, 3, . . ., taka, »e
warto±ci¡ Xj jest zbiór wyników j prób losowych (kolekcja) przeprowadzonych
na zmiennej X .
1
Jak du»e musi by¢ s, »eby P [|Xs | = n] > 2 (kompletna kolekcja)?, a jakie
1
»eby P [|Xs | > n − 1] > 2 (prawie kompletna kolekcja)?
k
caªkowitych takich »e
monety TAZO) oraz
Rozkªad normalny
W szczególnym przypadku rozkªadu Gaussa funkcja g¦sto±ci prawdopodobie«stwa wyra»a si¦ wzorem
2
e−x
φ(x) = √ .
π
Pokaza¢, »e faktycznie jest
Z
∞
φ(x)dx = 1.
−∞
(mo»na skorzysta¢ np. z poni»szej wªasno±ci funkcji
Z
1
tx−1 (1 − t)y−1 dt =
0
Γ)
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
Liczby losowe
Dany jest generator liczb losowych caªkowitych z przedziaªu
[0; 215 − 1] (w gene-
rand() z biblioteki standardowej j¦zyka C zakres jest przewa»nie wªa±nie
[0; t−1] zastosowana zostaªa
metoda brania reszty z dzielenia wylosowanej liczby przez t. Jaki b¦dzie rozkªad
prawdopodobie«stwo takiego resztowego generatora? Dla jakiego t rozkªad
ratorze
taki). Do otrzymywania liczb z przedziaªu w¦»szego
b¦dzie najbardziej odbiegaª od jednostajnego?
1