m v Rz

Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
113
Ponieważ, ważne są tylko zmiany energii potencjalnej, możemy przyjąć, że energia potencjalna jest równa zero
w dowolnym położeniu. Powierzchnia Ziemi może być odpowiednim wyborem w przypadku gdy mamy do
czynienia z energią potencjalną liczoną przy założeniu, że siła grawitacji jest stała i równa
mg
( Równanie 5-
21). W ogólnym przypadku, najwygodniejszym sposobem jest założenie, że energia potencjalna dwu ciał jest
równa zero, gdy odległość między nimi wynosi nieskończoność. Wtedy otrzymujemy:
U( r )  
GMm
,
r
U 0
r 
gdy
10-18
Grawitacyjna energia potencjalna gdy U = 0 w nieskończoności
RZ
Rysunek 10-8 przedstawia wykres
przy wyborze
masy Ziemi
U 0
dla
U r  w funkcji r
r 
dla masy
m
mgy  mgRZ
i
M Z . Funkcja ta zaczyna się dla ujemnej
U  GM Z m / RZ  mgRZ na
powierzchni Ziemi i wzrasta wraz ze wzrostem r aż do
zera gdy r zbliża się do nieskończoności.
wartości
U r   
Prędkość ucieczki.

W ciągu ostatni paru dziesięcioleci idea wyrwania się
GM m
Z  mgR
Z
RZ
GM m
Z
r
Rysunek 10-8
RZ
spod działania sił grawitacji Ziemi z fantazji przerodziła
się w rzeczywistość. Próbniki kosmiczne zostały
wysłane w odległe obszary układu słonecznego. Część z
E2  0
tych próbników porusza się po orbitach wokół Słońca, a
część opuści układ słoneczny. Zobaczymy, że musi
istnieć minimalna prędkość
początkowa, zwana
prędkością ucieczki ( II prędkość kosmiczna ),
U r   
niezbędna do oddalenia się ciała od Ziemi..
GM m
Z
r
Jeżeli rozpatrujemy ciało poruszające się w górę i
posiadające pewną początkową energię kinetyczną, to
jego energia kinetyczna będzie maleć, a energia

GM m
Z  mgR
Z
RZ
Rysunek 10-9
potencjalna wzrastać w miarę jak ciało będzie oddalać się od powierzchni Ziemi. Maksymalny wzrost energii
potencjalnej wyniesie
GM Z m / RZ , jak widać to na rysunku 10-9. Dlatego jest to też największa wartość o
jaką może zmaleć energia kinetyczna. Jeżeli energia kinetyczna jest większa niż
GM Z m / RZ , to całkowita
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
energia będzie większa od zera (
gdy
r
114
E2 na rysunku 10-9 ) i ciało będzie miało ciągle pewną energię kinetyczną
będzie bardzo duże ( lub nawet gdy będzie zbliżać się do nieskończoności ). W rezultacie przedmiot
oddali się od Ziemi, jeżeli początkowa energia kinetyczna będzie większa niż
energia potencjalna na powierzchni Ziemi wynosi
GM Z m / RZ . Ponieważ
 GM Z m / RZ , to energia całkowita E  K  U
musi być większa lub równa zero, aby ciało mogło uciec z pod działania pola grawitacyjnego Ziemi. Ta
prędkość w pobliżu Ziemi odpowiadająca całkowitej energii równej zero nazywa się prędkością ucieczki
vII .
Znajdziemy ją stosując zasadę zachowania energii mechanicznej:
E  K U  0
1 2 GM Z m
mv II 
0
2
RZ
v II 
2GM Z
 2 gRZ
RZ
10-19
Druga prędkość kosmiczna
Podstawiając
g  9 ,81m / s 2 i RZ  6 ,37  106 m otrzymamy:



vII  2 9 ,81m / s 2 6 ,37  10 6 m  11,2km / s
Obiekt jeżeli posiada taką prędkość, jest w stanie opuścić Ziemię. ( Jednak nie jest to wystarczająca prędkość do
opuszczenia układu słonecznego, ponieważ zaniedbaliśmy wpływ przyciągania obiektu przez Słońce).
W zależności od tego jaka jest prędkość ucieczki dla danej planety, czy księżyca w porównaniu z energią
cieplną cząsteczek, dane ciało niebieskie będzie posiadać atmosferę lub nie. Średnia energia cząsteczek gazu
1 2
 mv  jest proporcjonalna do temperatury T . Na powierzchni Ziemi prędkości cząsteczek tlenu i azotu
2
 śr
są znacznie mniejsze od prędkości ucieczki, dlatego gazy te pozostają w atmosferze. W przypadku lżejszych
atomów, takich jak wodór i hel prędkości ich są w dużej części większe niż prędkość ucieczki. Dlatego też
wodór i hel praktycznie nie występują w naszej atmosferze. Prędkość ucieczki na Księżycu wynosi 2,3km/h, co
można wyliczyć z równania 10-19 znając masę i promień Księżyca. Jest to zdecydowanie mniej niż prędkość
ucieczki z Ziemi i zbyt mało aby Księżyc posiadał atmosferę.
Klasyfikacja orbit ze względu na energię.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
115
Na rysunkach 10-8 i 10-9 przedstawiających zależność energii potencjalnej
wartości energii całkowitej:
U w funkcji r wyróżnione są dwie
E1 , która jest ujemna i E2 dodatnia. Ujemna energia całkowita ujemna oznacza
po prostu, że energia kinetyczna w pobliżu powierzchni Ziemi jest mniejsza niż
K U
GM Z m / RZ
nigdy nie jest większe od zera. Z rysunków tych widzimy, że jeżeli całkowita energia jest ujemna, to
linia całkowitej energii przecina krzywą energii potencjalnej w pewnej maksymalnej odległości
mówimy, że układ jest związany ( masa
całkowita energia masy
m
Jeżeli
Jeżeli
E
m
rmax
i
nie może oddalić się do nieskończoności ). Z drugiej strony jeżeli
jest równa lub większa od zera to nie mamy takiego punktu przecięcia i mówimy ,
że układ jest nie związany. Masa
Jeżeli
, czyli
m
może oddalić się na odległość równą nieskończoności. Podsumowując :
E  0 układ jest związany.
E  0 układ jest nie związany.
jest ujemne, to wartość bezwzględna
E
nazywa się energią wiązania. Energia wiązania jest
równa energii, która musi być dostarczona do układu, aby całkowita energia wzrosła do zera.
Energia potencjalna ciała takiego jak planeta, czy kometa o masie
U r   
gdzie
MS
m
oddalonego od Słońca o
GM S m
r
r
jest równa:
10-20
jest masą Słońca. Energia kinetyczna tego ciała wynosi
1 2
mv . Jeżeli całkowita energia : energia
2
kinetyczna plus energia potencjalna jest mniejsza od zera, to orbitą ciała będzie elipsa (lub okrąg ) i ciało będzie
związane ze Słońcem. Oznacza to, że nie może uciec od Słońca. Z drugiej strony, jeżeli całkowita energia jest
dodatnia to orbitą będzie hiperbola i ciało okrążywszy raz Słońce oddali się nigdy nie powracając. Jeżeli
całkowita energia jest równa zero, to orbitą będzie parabola i ciało też oddali się nie powracając w pobliże
Słońca.
PRZKŁAD
Pocisk został wystrzelony pionowo do góry z powierzchni Ziemi z prędkością początkową
v0  8km / s
.
Znajdź maksymalną wysokość, na którą wzniesie się pocisk. Zaniedbaj opór powietrza.
Analiza zadania . Wysokość maksymalną można znaleźć z zasady zachowania energii mechanicznej.
Przyjmiemy Ziemię jako punkt początkowy, gdzie energia potencjalna wynosi
energia kinetyczna
1.
K0 
1 2
mv0 . W najwyższym punkcie
2
Zastosuj zasadę zachowania energii mechanicznej :
U0  GM Z m / RZ ,
energia kinetyczna końcowa
U 0  K0  U K  K K
KK  0 .
a
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
116

2.
Pozbądź się wspólnego czynnika
g  GM Z / RZ2
3.
i oblicz
GM Z m 1 2
GM Z m
 mv0  
0
RZ
2
r
m , zastosuj
1 2 GM Z 
R 
R 

v0 
 1  Z   gRZ  1  Z 
2
RZ 
r 
r 

r:
Podstaw wartości liczbowe, aby znaleźć
1
v2
RZ
 0
r
2 gRZ
r
RZ
1  v02 / 2 gRZ
r i h  r  RZ :
v02
8000 m / s 

 0 ,512
2 gRZ 2 9 ,81m / s 2 6 ,37  106 m
2

r


RZ
 2 ,05 RZ
1  0 ,512
h  r  RZ  1,05 RZ
PRZKŁAD
Pokaż, że całkowita energia satelity krążącego po orbicie wokółziemskiej jest równa połowie jego energii
potencjalnej.
Analiza zadania.
E U  K .
Całkowita energia satelity jest równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej
Energia kinetyczna zależy od prędkości, która jest z kolei określona przez siłę dośrodkową
potrzebną aby utrzymać satelitę na orbicie. Zakładamy, że masa satelity jest znaczni mniejsza od masy Ziemi.
GM Z m
r
1.
Zapisz wzór na energię potencjalną :
U 
2.
Zapisz wzór na energię kinetyczną:
K
3.
Zapisz, że siłą dośrodkową jest siła grawitacji:
mv 2 GM Z m

r
r2
4.
Wylicz z 3
mv 2
i podstaw do 2:
K
1 2
mv
2
GM Z m
2r
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
5.
117
E U  K  
Dodaj obie energie do siebie:
GM Z m 1
 U
r
2
Ćwiczenie. Satelita o masie 450kg porusza się po orbicie wokółziemskiej 6830km nad powierzchnią Ziemi.
Znajdź (a) jego energię potencjalną, (b) jego energię kinetyczną i (c) jego całkowitą energię. ( Odpowidź: Zwróć
uwagę, że r = RZ + h = 13200km.(a) U = -13,6GJ, (b) K= 6,80GJ, (c) E = - 6,80GJ )
Masa grawitacyjna i masa inercjalna.
Własnością ciała, która powoduje, że siła grawitacyjna przyciąga drugie ciało jest masa grawitacyjna .
Natomiast własnością ciała odpowiedzialną za opór jaki stawia ono podczas nadawania mu określonego
przyspieszenia jest jego masa inercyjna. Do oznaczenia tych własności używamy symbolu
m , ponieważ , jak
pokazuje doświadczenie, są ono sobie równe. To, że siła grawitacyjna wywierana na ciało jest proporcjonalna do
jego masy inercyjnej jest wyjątkową cechą siły grawitacyjnej. Jedną z konsekwencji tego faktu jest to, że
wszystkie ciała w pobliżu Ziemi spadają z jednakowym przyspieszeniem, jeżeli pominąć opór powietrza.
Wydaje się to zaskakujące dla wszystkich od czasu odkrycia tej własności. Słynna historia o tym jak Galileusz
demonstrował tę własność materii zrzucając ciała z Krzywej Wieży w Pizie, jest jednym z przykładów jak ten
nowo odkryty fakt fascynował ludzi w szesnastym wieku.
Można by łatwo wyobrazić sobie sytuację, w której masa grawitacyjna i masa inercyjna nie są jednakowe.
Niech
mG
oznacza masę grawitacyjną, a
m
masę inercyjną. Siła wywierana przez Ziemię na ciało w pobliżu
jej powierzchni będzie zapisana:
F
gdzie
M Z jest
GM Z mG
RZ2
10-21
masą grawitacyjną Ziemi. Przyspieszenie ciała podczas swobodnego spadku w pobliżu
powierzchni Ziemi będzie równe:
a
F  GM Z

m  RZ
 mG

 m
10-22
Gdyby grawitacja była tylko jedną z własności materii, jak kolor czy twardość, to powinniśmy raczej oczekiwać,
że stosunek
mG / m
powinien zależeć od takich czynników jak na przykład jak skład chemiczny ciała czy
temperatury. W związku z tym przyspieszenie w swobodnym spadku powinno być różne dla różnych ciał.
Jednak dane doświadczalne pokazują, że jest ono zawsze takie samo. Dlatego nie ma powodu wprowadzać
rozróżnienie między
mG
i
m
i dlatego możemy zapisać
mG  m .
Musimy jednak pamiętać, że
równoważność masy grawitacyjnej i inercyjnej jest prawem doświadczalnym, które jest ograniczone
dokładnością przeprowadzonych pomiarów.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz
118
Pierwsze dokładne pomiary masy grawitacyjnej i inercyjnej były przeprowadzone przez Newtona. Newton
używając wahadła był w stanie określić zgodność tych dwu mas z dokładnością do jednej tysięcznej. Tego
rodzaje doświadczenia porównujące masę grawitacyjną z masą inercyjną były udoskonalane od tamtej pory
przez cały czas. Obecnie równoważność ich mas jest ustalona z dokładnością jak 1 do 1012. W rezultacie,
równoważność masy grawitacyjnej i masy inercyjnej jest jednym z najlepiej potwierdzonych praw fizyki.
Równoważność masy grawitacyjnej i inercyjnej jest bazowym założeniem ogólnej teorii względności Einsteina.