Zestaw 10 Zad. 1 Posiadam n kluczy w pęku i usiłuję otworzyć drzwi

Zestaw 10
Zad. 1 Posiadam n kluczy w pęku i usiłuję otworzyć drzwi do mieszkania. Tylko jeden klucz
pasuje do zamka, ale niestety jest ciemno i nie potrafię rozróżnić kluczy między sobą. Jaka jest
wartość oczekiwana i wariancja ilości prób koniecznych do otwarcia drzwi, jeżeli:
a) klucze, które nie pasowały do zamka, nie biorą udziału w dalszych próbach?
b) wszystkie klucze są cały czas wypróbowywane?
Zad. 2 Karta z odnalezionego niedawno pamiętnika wiejskiego nauczyciela matematyki:
”Mieszkańcy naszej wsi Sosnowe Piaski wybierali sołtysa w głosowaniu powszechnym, ja zaś
byłem przewodniczącym komisji skrutacyjnej. Do pełnienia funkcji sołtysa kandydowało trzwech
mieszkańców: Jurek Zaroślak, syn byłego sołtysa Zaroślaka, zastępca ostatniego sołtysa Alek
Klin oraz Pieterek Buchański, znany wojskowy populista. Zwycięzcą wyborów miał zostać ten
kandydat, ktory otrzyma najwięcej głosów. Początkowo wydawało się, że największą szansę ma
Klin, na którego chcicało głosować trzynastu (gorzej wykształconych) mieszkańców, dwunastu
deklarowało, że będzie głosować na Zaroślaka, zaś sześciu na Buchańskiego. Nie ukrywam, że
sprzyjając Zaroślakowi i Buchańskiemu (każdy z nich obiecał pokryć z własnych pieniędzy koszt
prowadzenia kółka matematycznego) przygotowałem karty do głosowania, których poprawne
wypełnienie mogło sprawić (choć jedynie wyborcom Klina) pewne trudności. Oceniłem, iz szansa,
że chcący zagłosować na Klina odda na takiej karcie omyłkowo głos na Buchańskiego wynosi
dokładnie 12 . Nie omyliłem się w swoich rachubach, a wybory wygrał Zaroślak, który otrzymał
najwięcej głosów. Na Klina głosowało... - muszę przerwać, bo właśnie widzę przez okno, jak
drogą od lasu nadchodzą Klin ze szwagrem. Każdy z nich trzyma w ręku siekierę, źle im z oczu
patrzy...”
Tu niestety rękopis się urywa. Ubolewamy oczywiście nad niską kulturą polityczną, przemocą
i korupcją (choć w tym przypadku być może uzasadnioną dobrem uczniów) panującą w niektórych odległych regionach naszego kraju. Tym niemniej pragniemy zadać pytanie: jeżeli oceny
nauczyciela były trafne, to jaka jest wartość oczekiwana liczby osób, które głosowały Klina?
Zad. 3 Dwaj szachiści, Robert (Bobby) Fischer (1943-2008) i Borys Spasski (1937-), grają
mecz złożony z szeregu partii. Zakładamy, że liczba możliwych partii jest niegoraniczona, a każda
z nich kończy się albo zwycięstwem białych lub czarnych pionków, albo remisem. Zwycięzcę
wyłania się zgodnie z zasadą tzw. nagłej śmierci: wygrywa ten, kto pierwszy zwycięży w jednej z
partii, czyli inaczej mówiąc gra się do pierwszej orzstrzygniętej partii. Gracze grają na zamianę
białymi i czarnymi pionkami, przy czym w pierwszej partii białymi gra Spasski, a czarnymi
Fischer. Gdy Fischer gra partię czarnymi (a więc Spasski białymi), to prawdopodobieństwo, że
wygra wynosi 3/10, że wygra Spasski 2/10, zaś prawdopodobieństwo, że partia zakończy się
remisem równa się 5/10. Gdy Fischer gra partię białymi (Spasski czarnymi), to prawdopodobieństwo, że wygra, również wynosi 3/10, natomiast że wygra Spasski 1/10, zaś partia w tym
przypadku kończy się remisem z prawdopodobieństwem 6/10. Na wynik danej partii nie mają
wpływu wyniki partii już rozegranych.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że Fischer wygra mecz?
b) Jeżeli wiemy, że Fischer wygrał mecz, jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnią partię
grał czarnymi?
c) Jaka jest wartość oczekiwana czasu trwania meczu (mierzonego w liczbie partii)?
d) Jaka jest mediana (trzeba wskazać przynajmniej jedną) czasu trwania meczu (mierzonego
w liczbie partii) ?
Uwaga: Prawdopodobieństwo wyliczono na podstawie przebiegu pierwszych dwudziestu
partii słynnego ”meczu stulecia” o mistrzostwo świata, który Fischer i Spasski rozegrali w 1972
roku w Reykjaviku. W meczu zwyciężył Bobby Fischer.
Zad. 4 Dwóch tęgich posłów z konkurencyjnych partii ”Paraboloida i Stożek” oraz ”Płaszczyzna Ortogonalna” założyło się, który z nich odchudzając się szybciej osiągnie pewien
określony ułamek wyjściowej wagi. Załóżmy, że czasy dojścia do końcowej wagi przez każdego z
posłów są zmiennymi niezależnymi o rozkładzie wykładniczym oraz że wartość oczekiwana tych
czasów wynosi odpowiednio: dla posła PiSu 3 miesiące, zaś dla posła PO 2 miesiące. Oblicz
prawdopodobieństwo wygrania zakładu przez każdego z posłów.
2