Loty poza ekliptykę

Temat: Elementy astronautyki (mechaniki lotów kosmicznych) – asysta grawitacyjna
Załóżmy, że sonda kosmiczna mając prędkość v1 leci w kierunku planety pod kątem  do
toru tej planety poruszającej się z prędkością U1 (a styczna do toru sondy nie przecina się z
torem planety wewnątrz tej planety). Załóżmy też (na początku), że planeta porusza się w
kierunku do sondy. Pole grawitacyjne planety zakrzywi tor sondy w ten sposób, że dalszy jej
ruch nie będzie w tym samym kierunku (dalszy tor sondy będzie „hiperbolicznym odbiciem”)
– patrz. odpowiedni (pierwszy) Rys.
Oznaczmy prędkości sondy i planety po tym zdarzeniu z indeksami 2: v2 oraz U2. Załóżmy
dalej (też tylko na początek), że  = 0 (tor sondy jest równoległy do toru planety).
Wyprowadźmy wzory na prędkości: v2 oraz U2. Załóżmy, ze mamy dane obie masy: sondy
m i planety M. Załóżmy też, że M >> m (zamiast planety mogłaby być np. planetoida
spełniająca ten warunek)
Aby znaleźć zależności na prędkości v2 oraz U2 skorzystajmy z 2 zasad zachowania:
energii (kinetycznej) oraz pędu.
1a) MU12/2 + mv12/2 = MU22/2 + mv22/2
1b) MU1 + mv1 = MU2 + mv2
Po wymnożeniu przez 2 i odpowiednim zgrupowaniu wyłączamy masy przed nawiasy:
2a) M(U12 – U22) = m(v22 – v12)
2b) M(U1 – U2) = m(v2 – v1)
Po skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia: a2 – b2 = (a - b)(a + b) podzielmy stronami
r-nia 2a i 2b:
M(U1 – U2)(U1 + U2) m(v2 – v1)(v2 + v1)
=
M(U1 – U2)
m(v2 – v1)
Po podzieleniu otrzymamy 3):
U1 + U2 = v2 + v1
A. Obliczmy v2 = f(U1, v1, M, m). /W p. B obliczymy U2 = f(U1, v1, M, m)/
Z 3) otrzymamy: U2 = v2 + v1 – U1
Po wstawieniu powyższego do 1b otrzymamy:
MU1 + mv1 = M(v2 + v1 – U1) + mv2
Kolejno wymnażamy i odpowiednio grupujemy:
(M + m)v2 = MU1 + mv1 – Mv1 + MU1
(M + m)v2 = 2MU1 + (m - M)v1
2M
m-M
v2 = M + m U1 + M + m v1
B. Aby obliczyć U2 wstawiamy też do 1b zależność z 3) ale na: v2 = U1 + U2 – v1
Po podobnych przekształceniach otrzymamy:
M-m
2m
U2 = M + m U1 + M + m v1
Dokonajmy matematycznego założenia (początkowo), że sonda spoczywa czyli v1 = 0.
Wtedy:
M-m
U2 = M + m U1 + 0
Ponieważ M >> m więc w przybliżeniu:
2M
oraz: v2 = M + m U1 + 0
M-0
U2 = M + 0 U1
Czyli: U2 = U1
2M
oraz: v2 = M + 0 U1
oraz:
v2 = 2U1
Czyli spoczywające ciało lekkie (sonda) „odbiłoby się” więc od „uderzającego” ciała
ciężkiego (planety) z podwojoną prędkością ciała ciężkiego!
Jeśli odrzucimy już matematyczne założenie v1 = 0 to stosując dalej analogię zderzenia
sprężystego możemy napisać, że po „odbiciu od pola grawitacyjnego” planety sonda uzyska
prędkość o wartości:
v2 = 2U1 + v1
Załóżmy teraz ogólniej, że kąt  jest niezerowy.
Jak wiadomo, prędkość można rozłożyć na 2 składowe prostopadłe wektorowo do siebie.
Ze wspomnianego już rysunku, stosując funkcje trygonometryczne mamy:
v1x
Cos  = ----v1
oraz:
v1y
Sin  = ---v1
a stąd:
v1x = v1cos
v1y = v1sin
Tak więc:
v2x = v1cos + 2U
v2y = v1sina
Z prostopadłych składowych v2x oraz v2y można wyliczyć prędkość v2 z twierdzenia
Pitagorasa:
v2 = v2x2 + v2y2
czyli:
v2 = (v1cos + 2U)2 + (v1sin)2
Aby ujednolicić trygonometrycznie pozbądźmy się sinusa stosując wzór sin2 + cos2 = 1
czyli: sin2 = 1 – cos2(Wpierw podnieśmy do kwadratu drugi nawias):
v2 = (v1cos + 2U)2 + v12(1-cos2)
Załóżmy, że prędkość początkowa sondy jest taka sama jak planety. Prędkości planet są rzędu
kilkudziesięciu (10 do 40) km/s, np. Ziemi: 30 km/s. (Nie należy sądzić, że sondy nie mogą
mieć prędkości porównywalnych z prędkościami planet!).
Załóżmy więc: U = v1
Wtedy, korzystając po drodze z (innego) wzoru skróconego mnożenia: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
v2 = (v1cos + 2v1)2 + v12(1-cos2) = [v1(cos + 2)]2 + v12(1-cos2) =
=
v12(cos + 2)2 + v12(1-cos2)
=
v12[(cos + 2)2 + (1-cos2)]
v1 (cos + 2)2 + 1-cos2
= v1 (cos2 + 4cosa + 4) + 1-cos2 czyli:
=
v2 = v1 4cos + 5
Rozważmy kilka przykładowych kątów – takich dla których cosinus jest liczbą wymierną,
‘prostą’:
Cos 0o = 1 więc v2 = v1 4 x 1 + 5 = v1 9
Cos 60o = 1/2 więc v2 = v1 4 x 1/2 + 5 = v1 7
Cos 90o = 0 więc v2 = v1 4 x 0 + 5 = v1 5
Wciąż otrzymujemy liczby > v1 więc rozpatrzmy kąty rozwarte.
Skorzystajmy dalej ze wzoru: cos(180 - ) = -cos
120o = 1800 – 600 więc
Cos 120o = -cos600 = -1/2
Cos 180o = -1
czyli
więc
v2 = v1 -2 + 5 = v1 3
v2 = v1 -4 + 5 = v1 1 = v1
Czyli praktycznie dla każdego kąta zawsze jest zysk prędkości (z wyjątkiem jedynego
przypadku gdy  = 180o). Największy zysk prędkości (w powyższym przypadku = 9 = 3)
jest oczywiście dla kąta zerowego.
Rysunek następny przedstawia przykładowe wykorzystanie asysty grawitacyjnej.
W 1997 r. wystartowała sonda Cassini; W drodze do Saturna (przylot w 2004 r.) aż 4krotnie
skorzystała z asysty grawitacyjnej: Wenus (dwukrotnie!), Ziemi (!) oraz Jowisza.
Asysta grawitacyjna ma wiele innych nazw np. efekt procy grawitacyjnej, wsparcie
grawitacyje, itp.
Wspomaganie grawitacyjne pozwala zaoszczędzić paliwo ale wydłuża i komplikuje drogę
więc precyzyjnie muszą trajektorię obliczyć komputery znając różne cykle trajektorii planet,
księżyców.
Asysta grawitacyjna została opracowana w 1959 (w ZSRR).
Stosując asystę grawitacyjną można też spowodować wyjście sondy z płaszczyzny ekliptyki
naszego Układu Słonecznego (czyli płaszczyzny wirowania planet). Dzięki asyście Saturna (i
Tytana – jego największego księżyca) w 1980 r. odbiła się od ekliptyki sonda Voyager I. A w
1990 sonda Ulysses wyrwała się z ekliptyki aby zbadać biegunowe okolice Słońca.
Wykorzystując asystę Jupitera (Jowisza) skierowano sondę „przed” a dodatkowo – „pod”
niego i w ten sposób sonda oddaliła się prostopadle do ekliptyki.
2007-06-30 / 2011-02-17
Przy podróżach poza Układ Słoneczny można kiedyś będzie skorzystać ze znajdujących się w
Naszej Galaktyce podwójnych układów gwiazd; Asystą grawitacyjną dającą największy
przyrost prędkości ( W dalszym ciągu maksymalnie v+2V ) byłby podwójny układ gwiazd
neutronowych.
O takiej metodzie zwiększania prędkości napisał już w 1963 r. fizyk Freeman Dyson z USA
(Ośrodek naukowy Princeton).
Para gwiazd neutronowych obiega siebie (wspólny środek masy) z bardzo dużą prędkością,
która jest możliwa m.in. dlatego, że gwiazdy neutronowe są bardzo małe a więc i obwód toru
może być bardzo mały. Mając przykładowo masy równe masom naszego Słońca gwiazdy
neutronowe mogą mieć średnice po zaledwie 20 km i okrążać się 200 razy na sekundę
(częstotliwość 200 Hz; Okres obiegu T = 0,005 sekundy)!! Statek kosmiczny (sonda)
zakręcając wokół jednej z takich gwiazd mógłby uzyskać prędkość 0,27c czyli prawie 1/3
prędkości światła (81 tys. km/s)!!
Gdyby skorzystać z innej pary gwiazd – białych karłów, to zysk byłby mniejszy ale
oczywiście również znacznie większy niż w naszym Układzie Słonecznym; Mając
przykładowo masy równe masom naszego Słońca białe karły mogą mieć średnice po 20 tys.
km i okrążać się z okresem T = zaledwie 100 sekund! Statek kosmiczny (sonda) zakręcając
wokół jednej z takich gwiazd mógłby uzyskać prędkość 0,009c czyli prawie 1% prędkości
światła (2,7 tys. km/s)!
2011-03-02
Dokonajmy sami szacunków podanych wartości prędkości dla powyższych danych.
Obliczmy orbity gwiazd a następnie ich pierwsze prędkości kosmiczne.
Siłę grawitacji przyrównajmy do dośrodkowej:
GMm mv2
GMM Mv2
R2 = R czyli
R2 = R
GM
czyli
= v2.
R
2πR
v= T
GM 2πR
a więc R = ( T )2.
3
GM 2
(2π)2 T
M to masa Ziemi czyli 2*1030 kg,
GM 6*10-11*2*1030 1019
= 3
(2π)2 ≈
(2*3)2
Stąd R =
R=
G= 6,67*10-11.
3 1019
2
3 T
Dla gwiazd neutronowych mamy: R =
Czyli R =
R
v = 2π T
3 1019
2
3 0,005
3 1019
3 250
3 249
-3
2
12
4
4
3
(10
*5)
=
10
≈
10
3
3
3 = 10 *4,3 = 43 * 10 m = 43 km
R
43*103
v≈ 6 = 6
= 52*106 = 0,52*108
T
5*10-3
c=3*108
0,52
więc v = 3 c = 0,17c
Statek kosmiczny może mieć więc maksymalny wzrost prędkości 2*0,17c = 0,34c = c/3
3 1019
2
Dla białych karłów mamy: R =
3 100
3 1019
3 100
3 99
4
21
7
7
6
10
=
10
≈
10
3
3
3 = 10 *3,2 = 32 * 10 m = 32 tys. km
R
32*106
v = 6T = 6 102 = 192*104 = 0,0192*108
0,019
v = 3 c = 0,006c
Statek kosmiczny może mieć więc maksymalny wzrost prędkości 2*0,006c = 0,012c ≈ 1% c
Czyli R =
2011-03-09