Wrocław, 6 stycznia 2016 ALGEBRA M1, MATEMATYKA LISTA

Wrocław, 6 stycznia 2016
ALGEBRA M1, MATEMATYKA
0
LISTA ZADAN nr 6 - GEOMETRIA ANALITYCZNA
1. Obliczyć długość wektora ~u = 5~p − 4~q, jeśli ~p i ~q są prostopadłymi wersorami.
2. Wiadomo, że wektory ~u i ~v tworzą kąt ϕ = 60◦ i |~u| = 5, |~v | = 8. Znaleźć długość wektora ~u − ~v .
3. Wykazać, że dla dowolnych wektorów ~u,~v , w
~ ∈ R prawdziwe są następujące wzory
(a) |~u × ~v |2 = |~u|2 · |~v |2 − (~u ◦ ~v )2 ;
(b) (~u × ~v ) ◦ w
~ = ~u ◦ (~v × w
~ );
(c) (~u × ~v ) ◦ (~
w × ~z ) = (~u ◦ w
~ )(~v ◦ ~z ) − (~u ◦ ~z )(~v ◦ w
~ );
(d) ~u × (~v × w
~ ) = (~u ◦ w
~ ) · ~v − (~u ◦ ~v ) · w
~ ;
(e) ~u × (~v × w
~ ) + ~v × (~
w × ~u) + w
~ × (~u × ~v ) = ~0.
4. Obliczyć
(a) pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A = (1, −1, 3), B = (0, 2, −3), C = (2, 2, 1);
(b) objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach P1 = (1, 1, 1), P2 = (1, 2, 3),
P3 = (2, 3, −1) i P4 = (−1, 3, 5);
(c) pole powierzchni równoległościanu rozpiętego na wektorach ~u = (0, 3, 1),~v = (2, −1, 1) i
w
~ = (1, 1, 0).
5. Zbadać, czy punkty A = (1, 0, 2), B = (5, 1, 5), C = (3, −1, 2), D = (1, 3, 5) leżą w jednej
płaszczyźnie.
6. Dane są wierzchołki czworościanu: A = (0, 0, 2), B = (3, 0, 5), C = (1, 1, 0), D = (4, 1, 2). Obliczyć
długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D.
~ )|.
7. Uzasadnić, że objętość równoległościanu o przekątnych ~u, ~v , w
~ jest równa 41 |(~u,~v , w
8. Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej
(a) zawierającej punkty P1 = (1, 0, 6) i P2 = (−2, 2, 4);
x−1
y+2
z−1
=
=
;
2
5
0
(c) będącej częścią wspólną płaszczyzn π1 : 2x + y − z + 3 = 0 i π2 : x − 2y + z − 5 = 0.
(b) przechodzacej przez punkt P =(1, −1, −3) i równoległej do prostej k :
9. Napisać równania ogólne i parametryczne
(a) płaszczyzny rozpinanej przez wektory ~a = (0, 1, 3) i ~b = (1, 1, 1);
(b) płaszczyzny zawierającej punkty A = (1, −1, 3), B = (2, 0, 3) i C = (1, 0, 4);
(c) płaszczyzny zawierającej punkt P = (1, −2, 0) i prostopadłej do wektora ~v = (0, −3, 2).
10. Czy punkty (1, −2, 2) i (−2, 4, 3) leżą po tej samej stronie płaszczyzny x − 2y + 3z + 13 = 0?
11. Zbadać położenie prostej przechodzącej przez punkty (1 − λ, −2λ, 0) i (λ, 1, 1) względem płaszczyzny x + y + z = 1, w zależności od parametru λ ∈ R.
12. Na krawędzi przecięcia płaszczyzn 2x − y + z − 8 = 0 i 4x + 3y − z + 14 = 0 znaleźć punkt oddalony
o 7 od płaszczyzny 2x + 3y − 6z − 10 = 0.
1
13. Wykazać, że jeśli płaszczyzna odcina na osiach układu współrzędnych odcinki o długościach a, b, c,
to odległość d tej płaszczyzny od początku układu spełnia równanie
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2.
2
d
a
b
c
14. Znaleźć punkt B symetryczny do A = (5, 2, −1) względem płaszczyzny 2x − y + 3z + 23 = 0.
15. Znaleźć punkt B symetryczny do A = (4, 3, 10) względem prostej
x−1
y−2
z−3
=
=
.
2
4
5
16. Znaleźć odległość:
y+2
z−8
x+3
=
=
;
3
2
−2
y−3
z+1
x
y
z
x−1
=
=
i l: =
= ;
(b) między prostymi równoległymi: k :
4
−2
3
4
−2
3
(c) między prostymi skośnymi


 x = −1 + t
x = s
y = −1 + 2t, gdzie t ∈ R,
y = −1 + 2s, gdzie s ∈ R.
l1 :
l2 :


z = 2t
z = 2 − 2s
(a) punktu A = (1, −1, −2) od prostej l :
17. Dane są dwie proste skośne:
k:
x
y
z
=
=
1
−1
1
i
l:
x
y−1
z−2
=
=
.
1
1
1
Znaleźć rzut prostopadły prostej k na płaszczyznę π poprowadzoną przez prostą l i równoległą
do k.
18. Określić wzajemne położenie prostej l i płaszczyzny π, gdy:
(
x + 2y − z = −3
(a) l :
oraz π : 2x + y − 3 = 0,
4x − y + 2z = 3

x = 5 + t
y = 2 + 2t, gdzie t ∈ R oraz π : 4x + y + 5z − 21 = 0.
(b) l :

z = 4 + 3t
Autorzy: Bartosz Frej, Karina Olszak
2