odwrócenie biegunów
Transkrypt
odwrócenie biegunów
Transmitancje małosygnałowe przetwornicy ● ∣ ∣ G vg s = v s v g s d =0 G vd s = v s d s v g=0 Cel analizy uzyskanie wiedzy o zachowaniu układu pobudzanego przebiegami zmiennymi w czasie (zarówno łagodnie, jak i skokowo – w porównaniu z okresem przełączania) projektowanie sprzężenia zwrotnego w sposób poprawiający dynamikę układu Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 9 Decybel ● Jednostka wielkości względnych (zwykle stosunku dwu wartości) ∣G ∣dB=20log10∣G ∣ ● Używany w odniesieniu do wielkości bezwzględnych – wymaga podania wartości odniesienia ● Wartości wyrażone w decybelach są logarytmami, w związku z tym stosują się do nich prawa działań na logarytmach log ab =log alog b log a n =n log a ∣Z ∣ R base 5 Ω ⇔14 dBΩ ∣Z ∣dB=20 log 10 ∣V ∣ V base 60 dBµV ⇔1000 µV=1 mV ∣V ∣dB=20 log10 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 10 Wielkości wyrażone w decybelach w funkcji częstotliwości ● ● ● Wykres funkcji potęgowej y = xn w skali logarytmicznej jest prostą o nachyleniu n Decybel powstał przez logarytmowanie, a więc skala osi G w dB ma charakter logarytmiczny Jeżeli więc oś f będzie logarytmiczna, to wykres wyrażenia n ∣G ∣dB=20 log10 f f =20 n log10 f0 f0 n f ∣G ∣= f0 będzie linią prostą Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 11 Pojedynczy biegun rzeczywisty – przykład ● Transmitancja – z dzielnika impedancyjnego 1 v 2 s ZC sC G s = = = = v 1 s Z CZ R 1 R sC 1 = 1sRC ● Znormalizowana postać transmitancji pojedynczego bieguna G s = 1 1 s ω0 1 ω0 1 ω 0= RC RC = Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 12 Graficzne przedstawienia transmitancji ● Ponieważ s i G są liczbami zespolonymi, nie można narysować G = f(s) ● Każde wymuszenie można rozłożyć na skończoną lub nieskończoną liczbę składowych sinusoidalnych o różnych pulsacjach ω = 2πf ● transmitancja widmowa pozwala analizować odpowiedź układu dla każdej składowej z osobna znając widmo wymuszenia, można przewidzieć odpowiedź układu liniowego Tracimy σ – informację o tendencji do tłumienia/wzbudzania ● transmitancję widmową łatwiej przedstawić graficznie, gdyż jest funkcją tylko jednej zmiennej – pulsacji ω podstawiając s = jω, z transmitancji operatorowej uzyskujemy widmową musimy więc założyć, że wymuszenia mają amplitudę niezmienną w czasie na pytanie, czy układ dojdzie do stanu opisanego transmitancją widmową, musimy odpowiedzieć inaczej; są znane metody, które to umożliwiają Transmitancja widmowa pozostaje jednak funkcją zespoloną wymaga więc dwóch wykresów → wykresy Bodego (Bode plots) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 13 Przedstawienia liczb zespolonych ● Podstawowe z =Re {z }+Im {z } ● Współrzędne biegunowe z =∣z∣ e j Arg {z }≡∣z∣ e j∢z przy czym ∣z∣= √ [Re{z }]2+[Im {z }]2 Im{z } Arg {z }≡∢ z =arctg Re {z } ● Pojedynczy biegun w lewej półpłaszczyźnie (left half-plane) G (s )= 1 s 1+ ω0 ⇒ s p =−ω 0 ⇒ LHP dla ω 0>0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 14 Transmitancja widmowa bieguna ● Podstawienie s = jω 1 G (s )= 1+ ● 1 ⇒ G ( j ω )= s ω0 1+ j ω ω0 Dla uproszczenia będziemy oznaczać G ( f )≡G ( j 2 π f )=G ( j ω) Wyodrębnienie części rzeczywistej i urojonej 1− j G j ω = ω ω0 1− j 2 2 1 −j ω ω0 = ω ω0 Re {G j ω }= ω 2 ω0 1 1 Im {G j ω }=− ● ω ω0 1 ω 2 ω0 1 Arg {G j ω }=−arctg ω 2 ω0 1 Moduł i faza transmitancji ∣G j ω ∣= ω 2 ω0 1 ω ω0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 15 Asymptoty charakterystyki amplitudowej transmitancji bieguna ● Dla ω ≪ ω0 ω ≪1 ⇒ ∣G j ω ∣≈1 ⇒ 0 dB ω0 ● Dla ω ≫ ω0 ω0 ∣G j ω ∣= −1 ω 1 f ≫1 ⇒ ∣G j ω ∣≈ ω = ω0 f0 ⇒ −20 dB/dec 1 ω 2 ω0 1 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 16 Dokładny przebieg w otoczeniu pulsacji charakterystycznej ● Dla f = f0 ∣G j ω 0∣= ● 1 1 = ⇒ −3 dB 2 2 1 ω0 ω0 ∣G j ω ∣= 1 ω 2 ω0 1 Dla f = 2f0 i f = f0/2 1 dB poniżej asymptot Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 17 Charakterystyka fazowa transmitancji bieguna Arg {G j ω }=−arctg ω ω0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 18 Dokładne asymptoty charakterystyki fazowej Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 19 Uproszczone asymptoty charakterystyki fazowej Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 20 Biegun rzeczywisty – podsumowanie G s = 1 1 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 s ω0 21 Zero ● Zero – tj. miejsce zerowe licznika G s =1 s ω0 s z =−ω 0 ω 2 ω0 Arg {G jω }=arctg ∣G j ω ∣= 1 ω ω0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 22 Zero w prawej półpłaszczyźnie G s =1− s ω0 s z =ω 0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 23 Odwrócony biegun G s = 1 ω0 1 s Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 24 Odwrócone zero G s =1 ω0 s Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 25 Iloczyn transmitancji G 3 ω =G 1 ω ⋅G 2 ω ● W postaci biegunowej G 1 ω =R 1 ω ⋅e G 2 ω =R 2 ω ⋅e G 3 ω =R 3 ω ⋅e ● j θ 1 ω j θ 2 ω j θ 3 ω Iloczyn G 3 ω = R 1 ω ⋅e j θ 1 ω j θ ω ⋅R 2 ω ⋅e 2 = j [θ 1 ω θ 2 ω ] = [ R 1 ω ⋅R 2 ω ] e R 3 ω =R 1 ω ⋅R 2 ω ∣R 3 ω ∣dB=∣R 1 ω ∣dB∣R 2 ω ∣dB gdyż log ab =log alog b θ 3 ω =θ 1 ω θ 2 ω ● Zarówno charakterystyki fazowe, jak i amplitudowe wielkości wyrażonych w decybelach, sumują się Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 26 Wykres transmitancji złożonej G s = G0 1 1 =G 0⋅ ⋅ s s s 1 1 1 ω1 ω2 ω2 1 s ω1 G0 = 40 ↔ 32 dB f1 = ω1/2π = 100 Hz f2 = ω2/2π = 2 kHz Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 27 Biegun podwójny – układ RLC G s = v 2 s v 1 s 1 = 1s L s 2 L C R 1 1a 1 s a 2 s 2 L gdzie a 1= , a 2=LC R G s = ● Dla 4a2 ≤ a12 pierwiastki mianownika s1 i s2 są rzeczywiste ● W przeciwnym razie są zespolone, co wymaga innego podejścia można transmitancję przedstawić jako złożenie transmitancji dwóch biegunów 1 G s = s s 1− 1− s1 s2 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 28 Uogólniona transmitancja podwójnego bieguna G (s )= 1 s s2 1+ + Q ω0 ω2 lub 0 ● ● ● 1 2ζ s s 2 1+ + ω0 ω 2 przy czym Q= 1 2ζ 0 Jeżeli współczynniki przy s są rzeczywiste i dodatnie, to parametry ω, Q, ζ są również rzeczywiste i dodatnie ω0 – pulsacja graniczna odpowiada pewnej częstotliwości granicznej f0 może być interpretowana jako pulsacja rezonansowa (drgań własnych) Q – dobroć ● G (s )= pierwiastki są zespolone gdy Q > 0,5 wpływa na przebieg charakterystyki częstotliwościowej w okolicy f0 ζ – współczynnik tłumienia pierwiastki są zespolone gdy ζ < 1 wpływa na przebieg charakterystyki częstotliwościowej w okolicy f0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 29 Parametry transmitancji obwodu RLC G s = 1 1 G s = s s2 1 2 Q ω0 ω 1s 0 f 0= ω0 2π = 1 2 π LC Q =R L s 2 L C R C L ∣G j ω ∣= 1 [ ] ω 1− ω0 2 2 2 1 ω 2 Q ω0 ω ≪ω 0 ⇒ ∣G j ω ∣≈1 ω ≫ω 0 −2 f ⇒ ∣G j ω ∣≈ f0 ω =ω 0 ⇒ ∣G j ω ∣=Q Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 30 Wpływ dobroci na przebieg charakterystyk w pobliżu częstotliwości granicznej Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 31 Aproksymacja biegunów rzeczywistych przy małej dobroci G s = 1 Q < 0,5 s s2 1 Q ω0 ω2 G s = 1s L s 2 L C R 1 1 0 1 G s = s s 1 ω1 ω2 L /R ∓ L /R 2−4 L C ω 0 1∓ 1−4Q 2 ⇒ ω 1 , ω 2= = 2L C Q 2 Dla małych wartości Q ≪0,5 ω 1= ω 0 1− 1−4Q 2 ω0 =Q ≈Q ω 0 Q 2 F Q ω 0 1 1−4Q 2 ω 0 ω0 ω 2= = ⋅F Q ≈ Q 2 Q Q gdzie FQ = 12 1 1−4Q 2 Dla Q < 0,3, F(Q) = 1 z dokładnością co najmniej 10% Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 32 Charakterystyki podwójnego bieguna dla biegunów rzeczywistych ● Każdy z biegunów powoduje zmianę nachylenia o −20 dB/dec ω 1≈Q ω 0 ω0 ω 2≈ Q ● Dla obwodu RLC ω 0= 1 LC Q =R C L 1 R = L C L 1 1 1 ω 2≈ = L C C RC R L ω 1≈R C L Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 33 Transmitancje przetwornicy odwracającej ● ● Model obwodowy dla składowej przemiennej (wyprowadzenie w dalszej części wykładu) Transmitancje pozwalają obliczyć zmianę wyjścia dla danych zmian wejść v s =G vd s d s G vg s v g s ● Przy czym G vg s = ∣ v s v g s d =0 G vd s = ∣ v s d s v g=0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 34 Wyprowadzenie transmitancji wyjścia względem wejścia mocy (1) D D 1 D V gV M D = − j s = sLI = D DD V sDL = − 2 1− 2 D D R = C e s = − ∣ v s G vg s = v g s d =0 ● Ce Le = L D 2 Modyfikacje: interesują nas składowe przemienne z definicji d = 0 źródło przenosimy na stronę wtórną Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 35 Wyprowadzenie transmitancji wyjścia względem wejścia mocy (2) R Z RC v s D D 1sRC G vg s = = =− =− = v g s d =0 Z LZ RC D sL D sL R 1 R∥ 2 1sRC 2 sC D D D R D 1 − =− D L RLC D L LC R s 2 s 2 2 1s 2 s 2 2 D D D R D R∥ ∣ ● 1 sC Jest to transmitancja postaci podwójnego bieguna G vg s =G g0 1 s s2 1 Q ω 0 ω2 0 z przyrównania współczynników D G g0 =− D D ω 0= LC Q =D R C L Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, lato 2011/12 36