Grawitacja (zadania dodatkowe) rozwiązania

Grawitacja (zadania dodatkowe) rozwiązania
Zad.1
Na jakiej wysokości ciężar ciała jest cztery razy mniejszy od ciężaru tego ciała na
powierzchni ziemi.
Na powierzchni ziemi ciężar ciała wynosi
𝐹 =
𝐺𝑀𝑧 𝑚
= 𝑚𝑔
𝑅𝑧
(1)
Natomiast na pewnej znacznej wysokości h od powierzchni Ziemi
𝐹ℎ =
𝐺𝑀𝑧 𝑚
(𝑅𝑧 + ℎ)
(2)
Fakt, że ciężar ciała jest cztery razy mniejszy zapisujemy następująco
4 𝐹ℎ = 𝐹
𝐺𝑀𝑧 𝑚
𝐺𝑀𝑧 𝑚
4
=
(𝑅𝑧 + ℎ)
𝑅𝑧
1
4
= (𝑅𝑧 + ℎ)
𝑅𝑧
przekształcając
(𝑅𝑧 + ℎ) = 4𝑅𝑧
ℎ + 2𝑅𝑧 ℎ − 3𝑅𝑧 = 0
(3)
(4)
Teraz szukamy pierwiastków h1 i h2 równania kwadratowego
∆ = (2𝑅𝑧 ) − 4−3𝑅𝑧 = 16𝑅𝑧
−2𝑅𝑧 + 4𝑅𝑧
= 𝑅𝑧
2
−2𝑅𝑧 − 4𝑅𝑧
h =
= −3𝑅𝑧
2
h =
Fizyczne znaczenie ma pierwszy pierwiastek.
Na wysokości h = Rz ciężar ciała jest cztery razy mniejszy od ciężaru tego ciała na
powierzchni Ziemi. Za promień Ziemi możemy przyjąć wartość 6370 km.
1
(5)
Zad.2
Zakładając, że masa Księżyca jest n razy mniejsza od masy Ziemi, obliczyć ile razy
dłużej spada ciało z tej samej wysokości na Księżycu w stosunku do Ziemi. Przyjąć
gęstość masy Ziemi i Księżyca jako jednakowe.
Czas spadku swobodnego można obliczyć ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie
przyśpieszonym.
𝑎𝑡
,
2
𝑔𝑡
ℎ=
,
2
𝑠=
Z zależności (6) wyliczamy t
𝑡=
(6)
2ℎ/𝑔
(7)
Ponieważ przyśpieszenie g na powierzchni ziemi i księżyca jest różne i zależy od masy i
promienia planety to wprowadzamy dwa przyśpieszenia dla ziemi i księżyca wtedy
czasy spadku wynoszą:
𝑡𝑧 =
𝑡𝑘 =
2ℎ/𝑔𝑧
2ℎ/𝑔𝑘
(8)
W treści zadania pytają o stosunek tk/tz więc nie potrzebujemy znać wysokości gdyż się
ona uprości.
𝑡𝑘
=
𝑡𝑧
2ℎ/𝑔𝑘
2ℎ⁄𝑔𝑧
=
𝑔𝑧
$𝑔𝑘
(9)
Czyli teraz zadanie sprowadza się do wyznaczenia stosunku gz/gk.
𝑔𝑧 =
𝑔𝑘 =
𝐺𝑀𝑧
ܴ2‫ݖ‬
𝐺𝑀𝑘
ܴ2݇
(10)
Z treści zadania wynika, że masa Księżyca jest n razy mniejsza od masy Ziemi, więc
można to zapisać jako
𝑀𝑧
=𝑛
𝑀𝑘
Dzieląc przez siebie gz i gk opisane równaniem (10) otrzymamy
2
𝐺𝑀𝑧
𝑔𝑧
𝑀𝑧 𝑅𝑘
𝑅𝑘
𝑅𝑧
=
=
=
𝑛
𝑔𝑘 𝐺𝑀𝑘
𝑀𝑘 𝑅𝑧
𝑅𝑧
𝑅𝑘
(11)
W zadaniu nie ma bezpośrednio mowy o stosunku promieni Rk do Rz, ale ponieważ
wiemy, że możemy założyć identyczną gęstość dla obu planet to znając stosunek mas
znamy wtedy stosunek promieni. Zakładamy, że planety są kulami i korzystając ze
wzoru na objętość kuli zapiszmy masy Mk i Mz
4
𝑀𝑧 = 𝜌𝑉𝑧 = 𝜌 𝜋𝑅)𝑧
3
4
𝑀𝑘 = 𝜌𝑉𝑘 = 𝜌 𝜋𝑅)𝑘
3
(12)
Dzieląc przez siebie wyrażenie na Mz i Mk opisane przez (12) i korzystając z informacji
o stosunku mas otrzymamy
𝑀𝑧 𝑅)𝑧
=
=݊
𝑀𝑘 𝑅)𝑘
(13)
Ponieważ otrzymany stosunek promieni jest odwrotny i w potędze 3 zamiast drugiej,
dokonujemy przekształceń algebraicznych (pierwiastkujemy pierwiastkiem 3 stopnia,
podnosimy do kwadratu i odwracamy stosunek)
𝑅𝑧
= 𝑛/)
𝑅𝑘
𝑅 * 𝑧 + = 𝑛/)
𝑅𝑘
𝑅 1
* 𝑘 + = = 𝑛−/)
𝑅𝑧
𝑛)
(14)
Wstawiając ten wynik do wyrażenia (11) otrzymujemy
Ostatecznie:
𝑡𝑘
𝑡𝑧
=
𝑔𝑧
,𝑔𝑘
𝑔𝑧
𝑅
= 𝑛 𝑘 = 𝑛 𝑛−/) = 𝑛)
𝑔𝑘
𝑅𝑧
= √𝑛⁄) = 𝑛/ .
.
(15)
Jeżeli masa Księżyca byłaby 64 razy mniejsza od ziemi to ciało spadałoby dwa razy
dłużej na księżycu niż na Ziemi.
3
Zad.3
Średnia odległość planety Wenus od Słońca wynosi dW=108 208 926 km, Ziemi
dZ=149 597 890km, a Marsa dM=227 936 637km. Obliczyć okresy obiegu Wenus i
Marsa dookoła Słońca.
Rozwiązanie:
Korzystamy w tym zadaniu z III prawa Keplera
Okres obiegu planet po torze eliptycznym wokół gwiazdy jest proporcjonalny do
sześcianu półosi długiej toru eliptycznego.
𝑇 ~𝑑)
(16)
Także w zadaniue nie wsposób beżpośrednii podano okres obiegu Ziemi – trwa on jeden
rok.
Czyli mając TZ możemy napisać następująca proporcję
𝑇𝑍
𝑑𝑍)
=
𝑑𝑊 )
𝑇𝑊
(17)
Wymnażając po przekątnej otrzymujemy
𝑇𝑍 𝑑𝑊 ) = 𝑇𝑊
𝑑𝑍)
Ostatecznie
𝑇𝑊 =
$
𝑇𝑍
𝑑𝑊 )
𝑑𝑍)
(18)
(19)
W analogiczny sposób zapisujemy dla Marsa
𝑇𝑍
𝑑𝑍)
=
𝑑𝑀)
𝑇𝑀
Otrzymujemy
𝑇𝑀 =
$
𝑇𝑍
𝑑𝑀)
𝑑𝑍)
Wstawiając za Tz= 1 rok i dane z zadania otrzymujemy
TW = 0.617 lat oraz TM = 1.88 lat
4
(20)
(21)