Serie linii widmowych

Temat: Serie linii widmowych
i ich energetyczny związek z modelem Bohra budowy atomu wodoru
Mirosław Kwiatek
Dla każdego pierwiastka doprowadzonego do stanu lotnego i świecenia możemy uzyskać
charakterystyczny tylko dla niego zestaw linii widmowych. (1854, Bunsen i Kirchhoff).
Widma niektórych pierwiastków mają tylko kilka linii a niektórych – (znacznie) więcej.
Okazało się też, że liczba tych linii zwiększała się wraz ze zwiększaniem jakości działania
konstruowanych spektroskopów (części linii nie dostrzegano z powodu ich małej jaskrawości
i małej szerokości/grubości). Poza tym okazało się, że linie widmowe występują nie tylko w
świetle widzialnym ale i w podczerwieni i w ultrafiolecie. Narzucały się pytania o jakieś
prawidłowości, przyczyny powstawania czy też granice liczby tych linii…
W 1885 r. szwajcarski nauczyciel fizyki szkoły średniej – J. J. Balmer przeanalizował
widmo wodoru (poznane dotąd tylko w części widzialnej) zawierające 4 linie: czerwoną
(~656 nm), niebieską (486 nm) i 2 fioletowe (434 i 410 nm):
I
I
I
I
Daje się zauważyć, że maleją wzajemne odległości oraz natężenie – w kierunku coraz
krótszych fal. Balmer zauważył, że (między wyznaczonymi doświadczalnie) długościami fal
poszczególnych linii zachodzi związek, który obecnie się zapisuje jako:
1
1
 = R 1 1 gdzie k jest liczbą całkowitą począwszy od 3
22 k2
1
a R jest stałą (o wymiarze ) wynoszącą około 107 .nazwaną stałą Rydberga.
m
Jeśli podstawimy k = 3 to otrzymamy
1
1
10-7
1
36
max = 107 1 1 = 1 1 = 100 x 10-9 9 4 = 100 5 nm = 700 nm (dokładnie: 656 nm)
22 - 32
4-9
36 - 36
Ze wzoru ‘zgadniętego’ przez Balmera wynika, że można przewidzieć istnienie większej
liczby linii! I że takich linii jest nieskończenie wiele! Leżą coraz bliżej siebie a więc coraz
trudniej je wyróżnić (‘zlewają się’); Przede wszystkim jednak dla obserwatora – niosą
‘mniejszą’ energię (są wynikiem mniejszej ilości zdarzeń energetycznych w tej samej chwili)
– będzie o tym dalej
Możemy (jedynie) stwierdzić jaka może być minimalna długość fali. Trzeba podstawić za n
nieskończoność a wtedy drugi ułamek mianownika (odjemnik) zeruje się:
1 1
min = 107 1 = 400 nm
4
Później odkryto jednak jeszcze wielokrotnie więcej linii widma wodoru – w podczerwieni
(oraz w nadfiolecie) i nie pasowały do „wzoru Balmera” . Dopiero Rydberg wykazał
(doświadczalnie), że długości każdej już linii wodorowej dają się przedstawić ogłnym
wzorem – będącym poprawionym ‘wzorem Balmera’
1
1
 = R 1 1 gdzie n jest też liczbą naturalną, mniejszą od k, o 1 mniejszą, od wartości
n2 k2
1, tzn. k może przybierać wartości: n+1, n+2, n+3,…
Liczba n jest numerem tzw. serii linii widma wodoru. Wynika ze wzoru powyższego, że serii
może być nieskończenie wiele (a w każdej, jak to było rozważane, nieskończenie wiele linii).
Serie zaobserwowane noszą nazwy od nazwisk. Gdy więc n=2 to jest seria Balmera. W każdej
serii, jak w serii Balmera, istnieje linia o największej długości fali oraz teoretyczna
najmniejsza. I tak np.
Dla n=1 mamy serię Lymana
1
1
10-7
-7 4
max = 107 1 1 =
1 =10 3 = 130 nm (ultrafiolet)
1- 4
12 - 22
Dla n=3 mamy serię Paschena
1
1
1
1
144
144
max = 107 1 1 = 107 1 1 = 10-7 16 - 9 = 10-7 7 = 20 x 10-7 = 2 x 10-6 = 2 m
32 - 42
9 - 16
(podczerwień)
Dla n=4 mamy serię Bracketa
Tu obliczmy graniczną długość najmniejszą fali
1
1
min = 107 1
= 16 x 10-7 = 1,6 m
42 - 0
1,6 < 2 m czyli seria Bracketa zachodzi (częściowo) na serię Paschena!
Dla n=5 mamy serię Pfunda. Też przenika (częściowo) poprzedniczkę czyli serię Bracketa
Dopiero w 1952 r. odkryto następną serię: Humphreysa, dla n=6 (to już podczerwień
daleka)…
W widmach innych pierwiastków też stwierdzono seryjny charakter uporządkowania linii
widmowych…
Fizyk Bohr, po zastosowaniu założeń Plancka (dotyczących kwantowości energi)i do modelu
atomu Rutherforda z r. 1911 podał model budowy atomu (wodoru), z którego wynikał
związek linii widmowych z budową atomu!
Bohr założył, że z nieskończenie wielu możliwych torów (orbit) elektronu krążącego wokół
jądra możliwe są tylko niektóre. Te mianowicie, dla których moment pędu (kręt) jest
całkowitą wielokrotnością stałej Plancka (podzielonej przez 2)
h
rmv = n
gdzie n=1, 2, 3, …
2
nh
Stąd:
v=
2rm
(nh)2
Oraz
v2 =
(2r)2m2
(nh)2
2
I
mv =
(2r)2m
Dla atomu wodoru możemy przyrównać siłę dośrodkową do siły Coulomba
mv2 ke2
= 2
r
r
ke2
Czyli
mv2 = r
Możemy więc przyrównać:
(nh)2
ke2
=
r
(2r)2m
(nh)2
Czyli
= ke2.
(2)2rm
(nh)2
(2)2mke2
Otrzymaliśmy wzór na promień możliwych, skwantowanych orbit elektronu.
r=
Dla n=1 możemy otrzymać: r1 = 0,53 x 10-10 m
Moglibyśmy też obliczyć prędkość elektronu
ke2 1
ke2 (2e)2km
(2)2e4k2
v2 = m r
= m
=
2 2
nh
n2h2
11
v = 2e2 h n Jest skwantowana
Obliczmy teraz energię
Poruszający się elektron ma oprócz energii kinetycznej również energię potencjalną.
Obliczenie Ep jest stosunkowo trudne (Można posłużyć się analogią do Ep w polu grawitacyjnym). Gotowy
ke2
wzór: Ep = .(Uwaga na minus! Jest minus gdyż elektron i jądrowy proton mają
r
przeciwne znaki. Minus oznacza, ze gdy elektron zbliża się do jądra to Ep maleje. Ep to praca
jaką trzeba wykonać przeciwko siłom przyciągania się elektronu i protonu przy zbliżeniu
elektronu z nieskończoności na odległość r od źródła pola elektrostatycznego – protonu.
Wygodnie jest mierzyć przyrosty Ep względem takiego położenia w polu, w którym jego
natężenie jest zerowe a jest tak w nieskończonej odległości od źródła pola. Ep to zawsze taka,
która związana jest z układem - np. 2 – ciał i zależy od wzajemnego położenia ciał będących
częściami tego układu)
1 ke2 1
Ze wzoru: mv2 x 2 = r x 2
ke2
Mamy
EK =
.
2r
ke2 ke2
ke2
Czyli
E = EK + EP = 2r - r = - r
Podstawiamy teraz wzór na promień:
(2)2mke2
E = -ke2 (nh)2
1
me4
(2)2mk2e4
E=Gdzie k =
więc inaczej: E = (nh)2
4
8(nh)2
A więc energia jest kwantowana.
Elektron atomu wodoru świecącego z powodu dostarczenia energii np. elektrycznej (dzięki
wysokiemu napięciu) znajduje się daleko od jądra. Stara się jak najszybciej oddać energię
dostając się na najbliższą orbitę (najbardziej prawdopodobną) – bezpośrednio albo etapami.
Wejście elektronu na następną niższą (najbliższą) orbitę powoduje oddanie energii hf (h)
poprzez wysłanie (fragmentu) fali. Oznaczając energię elektronu na orbicie wyższej przez Ek
a na orbicie niższej En (k > n) można napisać więc:
hf = Ek – En
A więc
hf ~ (1/n2 – 1/k2)
(2)2mk2e4
Czyli jest zgodność ze wzorem doświadczalnym Rydberga (const = 1/R =
)
h2
Gdy wodór świeci tzn. że wybrany elektron może się znajdować na jednej z n możliwych
orbit. 3 – 4 najbliższe jądra są bardzo prawdopodobne. Rozpatrzmy 4 najbliższe orbity.
Orbita n=1 jest podstawowa
Z orbity n=2 istnieje tylko jedna możliwość przejścia elektronu na podstawową:
hf21 ~ (1/12 – 1/22)
Jeśli elektron jest („wzbudzony”) na orbicie n=3 to istnieją 2 możliwości powrotu na
podstawową:
A bezpośrednio hf31 ~ (1/12 – 1/32)
B etapami; Najpierw na drugą:
hf32 ~ (1/22 – 1/32)
Potem na pierwszą z drugiej:
hf21 ~ (1/12 – 1/22)
32
hf31 ~ (1/12 – 1/32) = 1 – 1/9 = 36
5
hf32 ~ (1/22 – 1/32) = 1/4 - 1/9 = 36
27
hf21 ~ (1/12 – 1/22) = 1 – ¼ = 36
5 27 32
hf32 + hf21 = 36 + 36 = 36 = hf31 co jest oczywiste
Z orbity n=4 istnieje aż 6 możliwości przejścia na podstawową
Itd.
A więc im wyższy jest tor na którym znajduje się w atomie elektron z nadmiarem energii tym
więcej istnieje możliwości przejścia na orbitę pierwszą.
Wielka ilość atomów wzbudzonych, w których elektrony wykonują te same przejścia
(‘manewry’) daje sumarycznie emisję fali o określonej częstotliwości czemu odpowiada linia
widmowa o długości wynikającej z podzielenia prędkości światła przez tą częstotliwość.
Ale spośród ogromnej ilości atomów wodoru pobudzonych do świecenia nie wszystkie
zostają wzbudzone jednakowo oraz powrót nie odbywa się jednakowo we wszystkich
atomach.
Najwięcej elektronów pobudza się mało co związane jest z zejściem z orbit niskich (po wcześniejszym wejściu na te orbity bardzo
prawdopodobne). Ponieważ elektronów uczestniczących w takich zejściach jest dużo więc odpowiadające linie widmowe są intensywne
(mimo małej ‘energetyczności’ takiego przejścia jednego elektronu). Zejścia bezpośrednie z orbit wyższych zdarzają się tym rzadziej im
orbita jest wyższa bo i silnie pobudzonych elektronów jest mniej więc (mimo, że zejścia z orbit wyższych są bardziej energetyczne to) linie
widmowe są coraz mniej intensywne.
Istnieje bardzo duża ilość możliwych przejść z jednej orbity na inną dlatego istnieje duża ilość
linii widmowych (o ściśle określonej częstotliwości). Każdemu przeskokowi elektronu
odpowiada emisja jednego rodzaju promieniowania (określonej częstotliwości).
Grupa przeskoków (z wyższych orbit na niższe) taka, żeby końcowy tor (orbita) był ten sam
(ten sam próg czułości na grupę częstotliwości jakiegoś odbiornika fali np. ludzkiego oka czy fotograficznej kliszy na poczerwień ),
tworzy serię. Stąd przeskoki (w dół) kończące się na orbicie n=2 tworzą serię Balmera, na
orbicie n=1 – serię Lymana, na orbicie n=3 – serię Paschena, itp.
2007-07-10/26