modelowanie komputerowe prób pękania przy obciążeniu

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
35, s. 23-30, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
MODELOWANIE KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA
PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM
PIOTR FEDELIŃSKI
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki, Politechnika Śląska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono sformułowanie w dziedzinie czasu metody
elementów brzegowych (MEB) zastosowane do modelowania prób pękania przy
obciążeniu dynamicznym. Opracowano program komputerowy, który
wykorzystano do wyznaczenia kształtu wzrastającego pęknięcia i dynamicznych
współczynników intensywności naprężeń w specjalnej próbce obciążonej za
pomocą dzielonego pręta Hopkinsona. W obliczeniach numerycznych
wykorzystano wyznaczone doświadczalnie obciążenie dynamiczne próbki
i prędkość wzrostu pęknięcia. Porównano kształty pęknięcia określone metodą
numeryczną i doświadczalną.
1. WPROWADZENIE
Celem prób pękania przy obciążeniu dynamicznym jest wyznaczenie odporności materiałów
na pękanie, a także określenie zależności od czasu dynamicznych współczynników
intensywności naprężeń (DWIN), kierunków, prędkości wzrostu i kształtu pęknięć. Pomiary
umożliwiają określenie praw opisujących zależności kierunków i prędkości wzrostu od DWIN
i innych parametrów. Ze względu na swoją złożoność badania eksperymentalne modelowane są
różnymi metodami komputerowymi: metodą różnic skończonych (MRS), metodą elementów
skończonych (MES), metodą elementów brzegowych (MEB) i metodami bezsiatkowymi
(MB). W ostatnich latach metody doświadczalne i komputerowe często łączone są ze sobą.
Klasyfikację takich metod hybrydowych podali Nishioka i inni [1] i [2]. Zależne od czasu
warunki brzegowe (przemieszczenia i siły powierzchniowe), które są konieczne w obliczeniach
numerycznych, wyznacza się metodami doświadczalnymi. Programy komputerowe określają
kierunki i prędkości wzrostu pęknięć na podstawie praw pękania. Przyjęte prawa można
zweryfikować poprzez porównanie wyznaczonych numerycznie i eksperymentalnie DWIN,
kształtów pęknięć i prędkości ich wzrostu.
Najczęściej stosowaną metodą analizy pęknięć jest metoda elementów skończonych. Bui,
Maigre i Rittel [3], [4], [5] i [6] wykorzystali MES do analizy specjalnej próbki z pęknięciem
o stałej długości, obciążonej dzielonym prętem Hopkinsona. Wyznaczone numerycznie DWIN
i prędkości obciążonych krawędzi porównano z wynikami badań doświadczalnych. Weisbrod
i Rittel [7] analizowali jednopunktowo zginaną krótką próbkę obciążoną prętem z czujnikami
odkształceń. Porównano DWIN wyznaczone za pomocą MES z wynikami doświadczalnymi
24
P. FEDELIŃSKI
do chwili wzrostu pęknięcia. Nishioka i inni [2] analizowali za pomocą MES trójpunktowo
zginaną próbkę obciążoną spadającym młotem udarowym. Porównano wyznaczone MES
kształty pęknięć i DWIN z wynikami doświadczalnymi dla różnych miejsc uderzenia młota.
Metoda elementów brzegowych jest szczególnie odpowiednia dla analizy wzrostu pęknięć.
Sposób modelowania jest prostszy niż w metodzie różnic skończonych lub elementów
skończonych, ponieważ dyskretyzuje się wyłącznie powierzchnie zewnętrzne ciała
i powierzchnie pęknięć. Spośród różnych wariantów MEB (Dominguez [8]) do analizy
dynamicznie wzrastających pęknięć stosowane jest sformułowanie w dziedzinie czasu.
Sformułowanie metody dla wzrostu pęknięcia ze zmienną prędkością z uwzględnieniem
kontaktu powierzchni pęknięcia przedstawili Sellig i Gross [9] i [10]. Metodę zastosowali
Sellig, Gross i Pothmann [11] do analizy tej samej próbki, którą wcześniej analizowali Bui,
Maigre i Rittel [3]. Uwzględniono dodatkowo dynamiczny wzrost pęknięcia. Porównano
wyniki wyznaczone MEB, MES i doświadczalne.
Pierwsze sformułowanie MEB, w którym otrzymano rozwiązanie numeryczne dla dynamiki
pęknięć o stałej długości za pomocą MEB i dyskretyzacji wyłącznie brzegów układu
przedstawili Fedeliński, Aliabadi i Rooke [12]. Ci sami autorzy w pracy [13] przedstawili po
raz pierwszy rozwiązanie numeryczne za pomocą MEB dla wzrastającego pęknięcia, w którym
program komputerowy wyznaczał kierunek wzrostu na podstawie kryterium pękania. Różne
praktyczne zastosowania metody w mechanice pękania przedstawiono w pracach
Fedelińskiego [14] i [15].
Celem pracy jest krótkie omówienie sformułowania dualnego w dziedzinie czasu MEB
w dynamice pęknięć. Metodę zastosowano do rozwiązania nowego przykładu numerycznego specjalnej próbki z pęknięciem obciążonej dzielonym prętem Hopkinsona. Badania
doświadczalne i modelowanie komputerowe tej próbki za pomocą rozszerzonej metody
elementów skończonych (ang. eXtended Finite Element Method X-FEM) przedstawiono
w pracach Gregorie [16] i Combescure [17] i innych. W obliczeniach numerycznych za
pomocą MEB wykorzystano wyznaczone doświadczalnie obciążenie dynamiczne próbki
i prędkość wzrostu pęknięcia. Wyznaczono zmienność DWIN i odkształcenia próbki w czasie
wzrostu pęknięcia. Porównano kształty pęknięcia określone metodą numeryczną
i doświadczalną.
2. METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W MODELOWANIU WZROSTU PĘKNIĘĆ
PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM
Dla kompletności pracy zostanie krótko omówione sformułowanie metody elementów
brzegowych w modelowaniu wzrostu pęknięć przy obciążeniu dynamicznym. Dokładniejszy
opis metody znajduje się w pracach Fedelińskiego [13] i [14].
2.1. Brzegowe równania całkowe dla ciała z pęknięciem
Metoda będzie stosowana dla ciał liniowosprężystych, jednorodnych i izotropowych
z szybko wzrastającymi pęknięciami. Brzeg ciała, oznaczony przez Γ(t), jest funkcją czasu t
z powodu wzrostu pęknięcia. Dla ciała obciążonego tylko siłami powierzchniowymi i dla
zerowych warunków początkowych, przemieszczenie punktu x’ może być określone za
pomocą następującego brzegowego równania całkowego
MODELOWANIE
KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM
t
25
t
cij ( x ')u j ( x ', t ) = ∫ [∫ U ij ( x ', t , x, τ )t j ( x, τ )d Γ( x)]dτ − ∫ [ ∫ Tij ( x ', t , x,τ )u j ( x,τ )d Γ ( x)]dτ ,
0 Γ
(1)
0 Γ
gdzie Uij(x’,t,x,τ) i Tij(x’,t,x,τ) są rozwiązaniami fundamentalnymi elastodynamiki, uj(x,τ)
i tj(x,τ) są odpowiednio przemieszczeniami brzegowymi i siłami powierzchniowymi, cij(x’) jest
stałą, która zależy od położenia punktu kolokacji, x’ jest punktem kolokacji, x jest punktem
brzegowym, a t jest czasem, w którym określa się przemieszczenie.
W prezentowanym sformułowaniu metody elementów brzegowych, które nazywa się
metodą dualną, stosowane są jednocześnie brzegowe równania całkowe przemieszczeń i sił
powierzchniowych dla punktów na powierzchniach pęknięcia. Brzegowe równanie całkowe
przemieszczeń dla pokrywających się punktów x’ i x” na przeciwległych gładkich
powierzchniach pęknięcia ma formę
t
1
1
ui ( x ', t ) + ui ( x ", t ) = ∫ [ ∫ U ij ( x ', t , x,τ )t j ( x,τ )d Γ( x )]dτ
2
2
0 Γ
t
.
(2)
− ∫ [ ∫ Tij ( x ', t , x,τ )u j ( x,τ )d Γ ( x)]dτ
0 Γ
Brzegowe równanie całkowe sił powierzchniowych dla tych samych punktów ma postać
t
1
1
t j ( x ', t ) − t j ( x ", t ) = ni ( x '){∫ [ ∫ U kij ( x ', t , x,τ )tk ( x,τ )d Γ( x)]dτ
2
2
0 Γ
t
,
(3)
− ∫ [ ∫ Tkij ( x ', t , x,τ )uk ( x,τ )d Γ( x )]dτ }
0 Γ
gdzie Ukij(x’,t,x,τ) i Tkij(x’,t,x,τ) są rozwiązaniami fundamentalnymi elastodynamiki, a ni(x’) jest
jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni pęknięcia, zwróconym na zewnątrz
materiału, w punkcie kolokacji.
2.2. Numeryczna realizacja metody
Modelowanie numeryczne układów obciążonych dynamicznie wymaga dyskretyzacji
w przestrzeni i czasie. Brzeg ciała Γ(τ) podzielono na kwadratowe elementy brzegowe, a czas
analizy t na N kroków czasowych. Przemieszczenia i obciążenia brzegowe interpolowano
elementami ciągłymi na powierzchniach nienależących do pęknięcia, półciągłymi w miejscu
połączenia brzegu zewnętrznego z pęknięciami krawędziowymi i prostoliniowymi elementami
nieciągłymi na powierzchniach pęknięcia. Geometrię brzegu interpolowano elementami
ciągłymi. W każdym kroku czasowym przemieszczenia interpolowano funkcjami liniowymi,
a obciążenia funkcjami przedziałami stałymi. W metodzie wykorzystuje się równanie
przemieszczeń (1) dla węzłów, które nie należą do powierzchni pęknięcia, równanie
przemieszczeń (2) i sił powierzchniowych (3), które stosuje się jednocześnie dla węzłów na
powierzchniach pęknięcia. Całki ze względu na czas, dla prostych funkcji interpolujących,
całkowano analitycznie. W wyniku dyskretyzacji i całkowania otrzymuje się układ równań
algebraicznych dla kroku czasowego N, który może być zapisany w następującej postaci
macierzowej
26
P. FEDELIŃSKI
N −1
H
NN
u =G
N
t +
NN N
∑ (G
t − H Nn un ) ,
Nn n
(4)
n =1
gdzie un i tn zawierają wartości węzłowe przemieszczeń i sił powierzchniowych w kroku
czasowym n, HNn i GNn zależą od rozwiązań fundamentalnych elastodynamiki i funkcji
interpolujących. Równanie macierzowe rozwiązuje się krokowo, żeby wyznaczyć nieznane
przemieszczenia i obciążenia na brzegu. W każdym kroku czasowym oblicza się dwie nowe
macierze HNn i GNn i przechowuje w celu obliczeń w następnych krokach. Dla wzrastającego
pęknięcia macierze obliczone w poprzednich krokach czasowych zwiększa się poprzez dodanie
nowych podmacierzy, które odpowiadają nowym punktom kolokacji i elementom dodanym
w czasie ostatniego wzrostu pęknięcia. Proces rozwiązywania staje się stopniowo coraz
powolniejszy na skutek zwiększającej się liczby punktów kolokacji, elementów brzegowych i
koniecznych modyfikacji wszystkich macierzy obliczonych w poprzednich krokach czasowych.
2.3. Modelowanie dynamicznego wzrostu pęknięcia
Dynamiczne współczynniki intensywności naprężeń (DWIN) wyznaczono na podstawie
względnych przemieszczeń powierzchni pęknięcia
(
π 4 β1 β 2 − 1 + β 22
K I = 2µ
2r
4 β1 1 − β 22
(
(
)
π 4 β1 β 2 − 1 + β 22
K II = 2µ
2r
4 β 2 1 − β 22
(
)
)
2
)
∆u2 ,
(5)
∆u1 ,
(6)
2
gdzie:
β1 = 1 − ( c c1 ) 2 , β 2 = 1 − ( c c2 ) 2 ,
(7)
gdzie µ jest modułem sprężystości poprzecznej, ∆u1 i ∆u2 są względnymi przemieszczeniami
w kierunku stycznym i prostopadłym do powierzchni pęknięcia na przeciwległych
powierzchniach pęknięcia, r jest odległością tych punktów od wierzchołka pęknięcia, c jest
prędkością wzrostu pęknięcia, c1 i c2 są odpowiednio prędkościami fali podłużnej
i poprzecznej. Rozkład naprężeń w pobliżu wierzchołka pęknięcia jest obliczany na podstawie
DWIN i prędkości wzrostu pęknięcia. Opracowana metoda może być stosowana do analizy
wzrostu pęknięcia ze zmienną prędkością, gdy kształt pęknięcia nie jest wcześniej określony.
Założono, że pęknięcie będzie wzrastało w kierunku określonym przez maksymalne naprężenie
obwodowe w otoczeniu wierzchołka pęknięcia. Wzrost pęknięcia modelowano poprzez
dodawanie w wierzchołku pęknięcia nowych prostoliniowych elementów brzegowych
o długości
(8)
∆a = c∆t ,
gdzie ∆t jest długością kroku czasowego.
3. PRZYKŁAD NUMERYCZNY
Metodę zastosowano do rozwiązania nowego przykładu numerycznego - specjalnej próbki
z pęknięciem obciążonej dzielonym prętem Hopkinsona. Badania doświadczalne
MODELOWANIE
KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM
27
i modelowanie komputerowe tej próbki za pomocą rozszerzonej metody elementów
skończonych (ang. eXtended Finite Element Method X-FEM) przedstawiono w pracach
Gregorie [16] i Combescure [17] i innych. Dane potrzebne do przeprowadzenia symulacji
komputerowej zaczerpnięto z pracy [16]. Specjalna próbka została umieszczona pomiędzy
dzielonym prętem Hopkinsona składającym się z pręta 1 i 2 (rys.1). W pręt 1 uderza bijak.
Prędkość bijaka jest mierzona przez czujnik optyczny. Odkształcenia prętów są mierzone przez
czujniki tensometryczne 1 i 2 naklejone na pręt 1 i czujnik 3 naklejony na pręt 2. Próbka jest
oświetlona i 4 kamery rejestrują stan próbki w czasie próby. Bijak uderza w pręt 1 powodując
propagację fali przez pręt 1, próbkę i pręt 2. Wymiary próbki w milimetrach podano na rys. 2.
Przesunięcie pęknięcia w stosunku do osi próbki powoduje jednoczesne rozciąganie i ścinanie
wzdłużne pęknięcia przy obustronnym ściskaniu próbki. Próbka wykonana jest
z polimetakrylanu metylu o następujących własnościach: gęstość ρ=1180 kg/m3, moduł
Younga E=3.3 GPa, współczynnik Poissona ν=0.42 i układ znajduje się w płaskim stanie
odkształcenia. Modelowano tylko próbkę, którą dyskretyzowano 70 elementami brzegowymi.
W czasie wzrostu pęknięcia w każdym kroku czasowym dodawano 2 elementy brzegowe
w wierzchołku pęknięcia. Końcowa liczba elementów brzegowych wynosiła 130. Krok
czasowy był równy ∆t= 10 µs. Lewą i prawą krawędź obciążono siłami równomiernie
rozłożonymi t1 i t2, które zarejestrowano doświadczalnie w czasie próby. Zmienność sił
wypadkowych na krawędziach F1 i F2 przedstawiono na rys. 3. Pęknięcie było stacjonarne od
momentu obciążenia próbki do 200 µs, następnie wzrastało z prędkością 210 m/s, w czasie od
270 do 320 µs nastąpiło zatrzymanie wzrostu, a następnie ponowny wzrost z prędkością 160
m/s. Obliczenia wykonano dla 500 µs.
Rys. 1. Układ pomiarowy
Rys. 2. Wymiary próbki w milimetrach i obciążenie krawędzi
28
P. FEDELIŃSKI
Zmienność w czasie dynamicznych współczynników intensywności naprężeń (DWIN) KI
i KII przedstawiono na rys. 5. Po dotarciu fali podłużnej do wierzchołka pęknięcia następuje
wzrost DWIN. W chwili kiedy rozpoczyna się wzrost pęknięcia zmniejszają się DWIN. Kiedy
współczynnik KI ma minimalną wartość, tzn. w czasie od 270 do 320 µs, wówczas następuje
zatrzymanie wzrostu pęknięcia. Przy ponownym zwiększaniu się KI następuje dalszy wzrost
pęknięcia. Współczynnik KII ma bardzo małe wartości w czasie wzrostu pęknięcia. Gregorie
i inni [16] w symulacji komputerowej tej próby przyjęli krytyczną wartość DWIN KIC=1.33
MPam1/2. Z rys. 4 wynika, że kiedy następuje zatrzymanie wzrostu pęknięcia współczynnik KI
ma wartość mniejszą od krytycznej.
Rys.3. Zmienność w czasie sił wypadkowych
obciążających krawędzie próbki
Rys.4. Zmienność w czasie dynamicznych
współczynników intensywności naprężeń
Próbkę z końcowym pęknięciem przedstawiono na rys. 5. Kształt pęknięcia wyznaczony
numerycznie porównano z kształtem określonym doświadczalnie [16] na rys. 6. Widoczna jest
bardzo dobra zgodność wyników
Rys. 5. Próbka z końcowym pęknięciem
Rys.6. Porównanie kształtów pęknięć
wyznaczonych numerycznie i doświadczalni
MODELOWANIE
KOMPUTEROWE PRÓB PĘKANIA PRZY OBCIĄŻENIU DYNAMICZNYM
29
Na rys. 7 przedstawiono odkształconą próbkę w różnych fazach wzrostu pęknięcia: rys. 7a
– dla 200 µs, kiedy rozpoczyna się wzrost pęknięcia, rys. 7b – dla 300 µs, w czasie
zatrzymania wzrostu pęknięcia, rys. 7c – dla 400 µs, przy ponownym wzroście pęknięcia i rys.
7d – dla 500 µs, dla końca analizy numerycznej.
a)
b)
c)
d)
Rys. 7. Kształt próbki z pęknięciem w różnych chwilach czasowych:
a) 200 µs, b) 300 µs, c) 400 µs, d) 500 µs
4. PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono zastosowanie sformułowania w dziedzinie czasu metody elementów
brzegowych do modelowania próby pękania przy obciążeniu dynamicznym. Metoda umożliwia
określenie zmienności w czasie przemieszczeń układu, kształtu wzrastającego pęknięcia
i dynamicznych współczynników intensywności naprężeń. Porównanie kształtu pęknięcia
wyznaczonego numerycznie i doświadczalnie wskazuje na wysoką dokładność metody
elementów brzegowych.
LITERATURA
1. Nishioka T.: Hybrid numerical methods in static and dynamic fracture mechanics. „Optics
and Lasers in Engineering” 1999, 32, s. 205-255.
2. Nishioka T., Tokudome H., Kinoshita M.: Dynamic fracture-path prediction in impact
fracture phenomena using moving finite element method based on Delaunay automatic
mesh generation. „International Journal of Solids and Structures” 2001, 38, s. 5273-5301.
3. Bui H.D., Maigre H., Rittel D.: A new approach to the experimental determination of the
dynamic stress intensity factors. „International Journal of Solids and Structures” 1992, 29,
s. 2881-2895.
4. Maigre H., Rittel D.: Mixed-mode quantification for dynamic fracture initiation:
Application to the compact compression specimen. „International Journal of Solids and
Structures” 1993, 30, s. 3233-3244.
30
P. FEDELIŃSKI
5. Maigre H., Rittel D.: Dynamic fracture detection using the force-displacement reciprocity:
application to the compact compression specimen. „International Journal of Fracture”
1995, 73, s. 67-79.
6. Rittel D., Maigre H.: An investigation of dynamic crack initiation in PMMA. „Mechanics
of Materials” 1996, 23, s. 229-239.
7. Weisbrod G., Rittel D.: A method for dynamic fracture toughness determination using
short beams. „International Journal of Fracture” 2000, s. 89-103.
8. Dominguez J.: Boundary elements in dynamics. Computational Mechanics Publications,
Southampton, 1993.
9. Sellig Th., Gross D.: Analysis of dynamic crack propagation using a time-domain
boundary integral equation method. „International Journal of Solids Structures” 1997, 34,
s. 2087-2103.
10. Seelig Th., Gross D.: On the stress wave induced curving of fast running cracks –
a numerical study by a time-domain boundary element method. „Acta Mechanica” 1999,
132, s. 47-61.
11. Seelig Th., Gross D., Pothmann K.: Numerical simulation of a mixed-mode dynamic
fracture experiment. „International Journal of Fracture” 1999, 99, s. 325-338.
12. Fedeliński P., Aliabadi M.H., Rooke D.P.: A single-region time-domain BEM for dynamic
crack problems. „International Journal of Solids and Structures” 1995, 32, s. 3555-3571.
13. Fedeliński P., Aliabadi M.H., Rooke D.P.: The time-domain DBEM for rapidly growing
cracks. „International Journal for Numerical Methods in Engineering” 1997, 40, s. 15551572.
14. Fedeliński P.: Metoda elementów brzegowych w analizie dynamicznej układów
odkształcalnych z pęknięciami. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Mechanika, 137,
Gliwice, 2000.
15. Fedeliński P.: Boundary element method in dynamic analysis of cracks, „Engineering
Analysis with Boundary Elements” 2004, 28, s. 1135-1147.
16. Gregorie D., Maigre H., Rethore J., Combescure A.: Dynamic crack propagation under
mixed-mode loading – comparison between experiments and X-FEM simulations.
„International Journal of Solids and Structures” 2007, 44, s. 6517-6534.
17. Combescure A., Gravouil A., Gregorie D., Rethore J.: X-FEM a good candidate for
energy conservation in simulation of brittle dynamic crack propagation. „Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering” 2008, 197, , s. 309-318.
COMPUTER MODELLING OF FRACTURE TESTS
UNDER DYNAMIC LOADING
Summary. In this work the time-domain formulation of the boundary element
method (BEM) is presented and applied for modelling fracture tests under dynamic
loading. A computer code is developed and applied to determine the crack shape
and dynamic stress intensity factors in a special specimen loaded by the split
Hopkinson bar. In numerical computations the dynamic loading and crack growth
velocity determined experimentally are used. Numerical and experimental crack
shapes are compared.