Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Transkrypt
Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
8. 2. ROZWIĄZYWANIE TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH Przykład 8.2.1. Posługując się rysunkiem oraz wiedząc, Ŝe tgα = 1 oblicz długości 4 boków x i y. x y • α 8 Rozwiązanie tgα = y 8 1 y = 4 8 4y = 8/ : 4 y=2 y 2 + 82 = x 2 2 2 + 82 = x 2 4 + 64 = x 2 68 = x 2 x = 68 x = 4 ⋅ 17 = 2 17 Komentarz Obliczamy y wykorzystując definicję tangensa przykrostokatna _ naprzeciw _ α przyprostokatna _ przy _ α 1 oraz fakt, Ŝe tgα = . 4 tgα = Otrzymane równanie jest proporcję, to doprowadzamy je do postaci wielomianowej mnoŜąc „ na krzyŜ” licznik z mianownikiem. Obliczamy x wykorzystując twierdzenie Pitagorasa. Przykład 8.2.2. Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o kącie 30° i przyprostokątnej długości 6 , leŜącej przy kącie 30° . Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. x y 30˚ • 6 Szukane: Ob = ? Wzory: Ob = x + y + 6 cos 30° = 6 x 3 6 = 2 x x 3 = 6⋅2 x 3 = 12 /⋅ 3 3 x = 12 3 / : 3 x=4 3 6 ctg 30° = y 3= 6 /⋅ y y Do obliczenia x wykorzystujemy definicję kosinusa cosα = oraz przyprostokatna_ przy_α przeciwprostokatna cos 30° = 3 2 Do obliczenia y wykorzystujemy definicję kotangensa ctgα = oraz przyprostokatna _ przy _ α przyprostokatna _ naprzeciw _ α ctg 30° = 3 y 3 = 6 /⋅ 3 3y = 6 3 / : 3 y=2 3 Ob = 4 3 + 2 3 + 6 = 6 3 + 6 Obliczamy obwód trójkąta Przykład 8.2.3. W trójkącie równoramiennym o podstawie długości 18 , kąt przy wierzchołku α = 120° . Oblicz długość wysokości i ramienia tego trójkąta. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. α b b h a Dane: a = 18 α = 120° Szukane: h = ? b=? Wysokość podzieliła trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. 60˚ b h • 9 tg 60° = 9 h 9 /⋅ h h h 3 = 9 /⋅ 3 3= Do obliczenia wysokości h wykorzystujemy definicję tangensa tgα = oraz przykrostokatna _ naprzeciw _ α przyprostokatna _ przy _ α tg 60° = 3 3h = 9 3 / : 3 h=3 3 sin 60° = 9 b 3 9 = 2 b b 3 = 9⋅2 b 3 = 18 /⋅ 3 3b = 18 3 / : 3 b=6 3 Do obliczenia ramienia b wykorzystujemy definicję sinusa sin α = oraz przyprostokatna _ naprzeciw _ α przeciwprostokatna sin 60° = 3 2 Przykład 8.2.4.Stok góry jest nachylony do powierzchni ziemi pod kątem 10˚. Wyznacz wysokość góry , jeśli długość stoku wynosi 10 km . Wynik podaj w metrach. Rozwiązanie Komentarz Analiza zadania. s h α Dane: s = 10 km = 10 000m α = 10° Szukane: h = ? Do obliczenia wysokości h wykorzystujemy definicję sinusa sin α = 10 000 przyprostokatna _ naprzeciw _ α przeciwprostokatna h Z tablic z przybliŜonymi wartościami funkcji trygonometrycznych odczytujemy przybliŜoną wartość sin 10° ≈ 0,1736 10˚ • sin 10° = h 10000 0,1736 ≈ h /⋅ 10000 10000 h ≈ 1736 m Odp. Góra ma około 1736m wysokości. ĆWICZENIA Ćwiczenie 8.2.1. (2pkt.) W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów ostrych ma wartość 4 . Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta wiedząc, Ŝe przeciwprostokątna 5 ma długość 10 cm . schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie długości jednej z przyprostokątnych 1 2 Podanie długości drugiej przyprostokątnej. 1 Ćwiczenie 8.2.2. (3pkt.)Posługując się rysunkiem wyznacz długości boków x i y oraz miarę kąta α . 5 α y • 30˚ x schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie długości x 1 2 Podanie długości y 1 3 Podanie wartości α 1 Ćwiczenie 8.2.3. (2pkt.) W prostokącie przekątna d = 6 jest nachylona do jednego z boków pod kątem α = 60° . Oblicz długości boków prostokąta. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie długości jednego z boków 1 2 Podanie długości drugiego boku 1 Ćwiczenie 8.2.4. (1pkt.)Latarnia rzuca cień którego długość wynosi 15 m gdy promienie słoneczne tworzą z powierzchnia ziemi kat 58 o . Oblicz wysokość latarni. schemat oceniania Numer odpowiedzi 1 Odpowiedź Podanie wysokości latarni Liczba punktów 1