mp_6.

Transkrypt

mp_6.

6. Kinematyka przepływów
Podstawowe definicje
Tor (trajektoria) elementu płynu jest to miejsce geometryczne kolejnych położeń poruszającego
się elementu płynu z upływem czasu.
Równanie różniczkowe toru elementu płynu:
dx
dy
dz
=
=
= dt
Ux Uy Uz
(1)
Linia prądu to linia spełniająca warunek styczności do wszystkich wektorów prędkości elementów
płynu położonych na tej linii w danej chwili czasu.
Równanie różniczkowe linii prądu:
dx
dy
dz
=
=
Ux Uy Uz
Dla przepływu ustalonego linia prądu pokrywa się z torem
elementu płynu.
Rurka prądu, włókno prądu.
Jeżeli przez każdy punkt zamkniętego konturu otaczającego
nieskończenie małe pole dS poprowadzimy linie prądu wówczas
utworzą one powierzchnię zwaną rurką prądu. Jednocześnie
można przeprowadzić linie prądu przez każdy punkt powierzchni
dS; taki zbiór linii prądu nazywamy włóknem prądu.
Jeżeli przepływ jest nieustalony , wówczas kształty tych zbiorów
będą się zmieniać, będą to: chwilowa rurka prądu, chwilowe
włókno prądu. Jeżeli natomiast będzie to przepływ ustalony,
wówczas kształt rurki i włókna będzie niezmienny.
80
(2)
Metody opisu ruchu płynu.
Metoda Lagrange’a (analiza wędrowna).
Metoda Lagrange’a służy do analizy zmienności wielkości fizycznych tj.: prędkości,
przyspieszenia, ciśnienia, gęstości i temperatury indywidualnie dla każdego elementu płynu wzdłuż
jego toru.
W chwili początkowej t = t0 położenie każdego elementu płynu określone jest przez trzy współrzędne
a, b, c w przyjętym układzie współrzędnych.
Ruch płynu będzie całkowicie określony, jeżeli dla każdego elementu płynu potrafimy wyznaczyć z
upływem czasu wektor położenia:
r
r
r
v
r = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k
lub jego składowe:
x(t ) = f1 (a, b, c, t )
y (t ) = f 2 (a, b, c, t )
z (t ) = f 3 (a, b, c, t )
a także ciśnienie, gęstość i temperaturę płynu:
p(t ) = f 4 (a, b, c, t )
ρ (t ) = f 5 (a, b, c, t )
T (t ) = f 6 (a, b, c, t )
Wielkości a, b, c, t w powyższych równaniach są zmiennymi niezależnymi i nazywane są zmiennymi
Lagrange’a.
Jako warunki początkowe przyjmuje się:
a = x(t0),
b = y(t0),
c = z(t0),
p0 = p(t0),
ρ0 = ρ(t0).
Znając równanie ruchu danego elementu płynu wyznaczyć można jego prędkość i przyspieszenie w
kolejnych chwilach czasu:
81
→
→
∂r
U (t ) =
∂t
∂F (a, b, c, t )
U x (t ) = 1
∂t
∂F (a, b, c, t )
U y (t ) = 2
∂t
∂F (a, b, c, t )
U z (t ) = 3
∂t
→
→
∂U
a =
∂t
a x (t ) =
a y (t ) =
a z (t ) =
∂ 2 F1 (a, b, c, t )
∂t 2
∂ 2 F2 (a, b, c, t )
∂t 2
∂ 2 F3 (a, b, c, t )
∂t 2
Metoda Eulera (analiza lokalna).
Metoda Eulera ustala historię zmian parametrów hydrodynamicznych przepływu w określonym
punkcie przestrzeni w każdej kolejnej chwili czasu. W tym celu należy wyznaczyć obszar
kontrolny.
Pole prędkości przepływu, ciśnień, gęstości i temperatury w metodzie Eulera przedstawia się jako
funkcję położenia i czasu:
→
→ →
dr
U ( r ,t) =
dt
→
p = p( r , t )
→
ρ = ρ ( r ,t)
r
T = T (r , t )
lub:
82
dx
= f1 ( x, y, z , t )
dt
dy
Uy =
= f 2 ( x, y , z , t )
dt
dz
Uz =
= f 3 ( x, y , z , t )
dt
p = f 4 ( x, y , z , t )
Ux =
ρ = f 5 ( x, y , z , t )
T = f 6 ( x, y , z , t )
Jeżeli w równaniach tych czas t przyjmiemy za stały a x, y, z za zmienne to równania te będą określały
prędkość (parametry fizyczne) kolejnych elementów płynu znajdujących się w przestrzeni w danej
chwili czasu. Jeżeli zaś współrzędne x, y, z przyjmiemy za stałe a czas t za zmienny, to równania te
będą określały prędkość (parametry fizyczne) elementów płynu przechodzących przez dany punkt
przestrzeni w funkcji czasu t.
Przyspieszenie elementów płynu w metodzie Eulera określa pochodna zupełna prędkości względem
czasu:
→
→
→
→
→
→
d U ∂U
∂U
∂U
∂U
a =
=
+U x
+U y
+Uz
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
D
oznacza operator Stokesa:
Pochodna czasowa zapisana w zmiennych Eulera oznaczona symbolem
Dt
D ∂
∂
∂
∂
= +U x
+U y
+U z
Dt ∂t
∂z
∂x
∂y
gdzie: D/Dt - pochodna substancjalna, (zupełna, indywidualna, wędrowna) będąca sumą
pochodnej lokalnej i konwekcyjnej,
∂
- pochodna lokalna wyrażająca zmianę w czasie prędkości elementów płynu
∂t
przepływających przez obszar kontrolny,
∂
∂
∂
Ux
+U y
+U z
- pochodna konwekcyjna wyrażająca zmianę prędkości elementu
∂x
∂y
∂z
płynu wraz ze zmianą położenia w przestrzeni o dx, dy, dz.
Funkcja prądu, potencjał prędkości.
Rozważmy przepływ płaski płynu doskonałego.
Dla każdego płaskiego ruchu płynu doskonałego istnieje pewna funkcja, umożliwiająca określenie
poszczególnych składowych prędkości.
Z warunku ciągłości płynu doskonałego:
∂U x ∂U y
+
=0
(3)
∂x
∂y
wynika, że:
∂U y
∂U x
=−
∂y
∂x
83
Z równania różniczkowego linii prądu wynika natomiast:
dx
dy
=
⇒ U x ⋅ dy − U y ⋅ dx = 0
Ux Uy
Na podstawie powyższych zależności można stwierdzić, że istnieje funkcja prądu Ψ spełniająca
warunki, że:
∂Ψ
∂Ψ
=Ux i
= −U y ,
(4)
∂y
∂x
Po wstawieniu tych zależności do równania linii prądu wynika, że jest ono różniczką zupełną funkcji
Ψ:
∂Ψ
∂Ψ
⋅ dy +
⋅ dx = 0 ⇒ dΨ = 0 ,
∂y
∂x
skąd po scałkowaniu uzyskamy równanie rodziny linii prądu Ψ(x, y, t) = C. Wynika stąd, że funkcja
prądu jest stała wzdłuż danej linii prądu.
Znając funkcję prądu Ψ(x, y, t) określającą dany przepływ, możemy w każdym punkcie przepływu
określić składowe prędkości przepływu Ux, Uy.
Funkcja prądu (w przepływie 2-wymiarowym) przedstawia zbiór powierzchni walcowych, których
tworzące są normalne (prostopadłe) do płaszczyzny przepływu. Przecięcie tych powierzchni
płaszczyzną z = C = const przedstawia zbiór linii prądu.
Jeżeli analizowany przepływ jest potencjalny, czyli niewirowy, to w każdym punkcie
r
r r
przepływu wirowość: rotU = ∇ × U = Ω = 0 , czyli:
∂U y ∂U x
−
= 0,
(5)
∂x
∂y
a zatem istnieje taki potencjał prędkości φ, dla którego:
∂ϕ
∂ϕ
=Ux i
=Uy ,
(6)
∂x
∂y
zatem:
∂ϕ
∂ϕ
dϕ =
dx +
dy .
∂x
∂y
Po wstawieniu wyrażeń (6) do równania ciągłości (3) a wzorów (4) do warunku potencjalności (5)
otrzymamy:
∂ 2ϕ
+
∂ 2ϕ
=0
∂ 2Ψ
84
+
∂ 2Ψ
=0,
∂x 2 ∂y 2
∂x 2
∂y 2
skąd wynika, że funkcja prądu i potencjał prędkości spełniają równanie Laplace’a.
oraz
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 6.1 (poz. bibl. [4], zad. 125, str. 46)
Płyn znajduje się w ruchu ustalonym prostoliniowym. Napisać równanie ruchu elementu płynu, który
w chwili początkowej znajdował się w punkcie A(3, 2, 4), a po upływie czasu t = 20 s zajmuje
położenie w punkcie B(4, 4, 2).
Dane:
A(3, 2, 4)
t = 20 s
B(4, 4, 2)
Wyznaczyć:
równanie ruchu
Rozwiązanie:
Równanie ruchu elementu:
x = x0 + U x ⋅ t
y = y0 + U y ⋅ t
z = z0 + U z ⋅ t
Podstawiamy dane:
x − x0 4 − 3
Ux = 1
=
= 0.05 m / s
t
20
y − y0 4 − 2
Uy = 1
=
= 0 .1 m / s
t
20
z −z
2−4
Uz = 1 0 =
= − 0 .1 m / s
t
20
Ostatecznie mamy:
x = 3 + 0.05 ⋅ t
y = 2 + 0.1 ⋅ t
z = 4 − 0 .1 ⋅ t
Dane jest równanie ruchu elementu płynu:
x = 4⋅t2,
y = 4⋅t2, z = 4⋅t2
gdzie t - czas, x, y, z – współrzędne w metrach.
Określić współrzędne elementu płynu oraz jego prędkość po upływie t = 1 s od początku ruchu.
Dane:
Wyznaczyć:
x = 4⋅t2, y = 4⋅t2, z = 4⋅t2
t=1s
x, y, z, U
Rozwiązanie:
Zakładamy, że w chwili początkowej t = t0 = 0, x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0
Składowe prędkości:
85
Ux =
dx
= 8⋅t
dt
Uy =
dy
= 8⋅t
dt
Moduł wektora prędkości:
U = U x2 + U y2 + U z2 = 8 3 ⋅ t
Dla t = 1 s:
U = 8 3 m/s
x = 4 m, y = 4 m, z = 4 m
x = 2 + 0.01 t 5 , y = 2 + 0.01 t 5 , z = 2
gdzie t - czas, x, y, z – współrzędne w metrach.
Określić przyspieszenie elementu płynu, dla którego x = 8.
Dane:
Wyznaczyć:
x = 2 + 0.01 t 5 , y = 2 + 0.01 t 5 , z = 2
x=8m
a
Rozwiązanie:
Ze wzoru na współrzędną x obliczamy czas:
dla x = 8
stąd:
8 = 2 + 0.01 t 5 ,
8− 2
t =5

2
 0.01 
= 12.92 s
Składowe przyspieszenia:
ax =
ay =
d 2x
dt
2
d2y
dt 2
az =
=
3
t
80
=
3
t
80
d 2z
dt 2
=0
Przyspieszenia elementu płynu po upływie czasu t = 12.92 s:
a = a x2 + a 2y = 0.19 m / s 2
86
Uz =
dz
= 8⋅t
dt
Dane jest pole prędkości przepływu ustalonego:
U x = x2 ,
U y = y2 ,
U z = z2 .
Określić składowe wektora przyspieszenia oraz obliczyć przyspieszenie w punkcie A(1, 1, 1). Napisać
równanie linii prądu przechodzącej przez punkt B(2, 4, 8).
Wyznaczyć:
Dane:
2
2
Ux = x , Uy = y , Uz = z
A(1, 1, 1)
B(2, 4, 8)
2
a
Rozwiązanie:
Składowe wektora przyspieszeń:
DU x ∂U x
∂U x
∂U x
∂U x
ax =
=
+U x
+U y
+U z
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂U x
=0,
∂t
ay =
∂U y
∂t
= 0,
∂U y
∂x
DU y
Dt
=
∂U y
∂t
+U x
∂U y
= 0,
az =
∂U z
= 0,
∂t
∂U x
=0,
∂y
∂U x
= 2x ,
∂x
∂y
∂U x
=0,
∂z
∂U y
∂U y
∂Uy
+U y
+U z
∂x
∂y
∂z
= 2y ,
∂U y
∂z
= 0,
DU z ∂U z
∂U z
∂U z
∂U z
=
+U x
+U y
+U z
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂U z
= 0,
∂x
∂U z
= 0,
∂y
∂U z
= 2z .
∂z
Stąd:
a x = 2x 3
a y = 2 y3
a z = 2z 3
Moduł wektora przyspieszenia wynosi:
a = a x2 + a 2y + a z2 = 2 3 m / s 2
87
dx
dy
dz
=
=
Ux U y Uz
dx
x2
=
dy
y2
=
dz
z2
lub
dx
x
2
=
dy
y
2
dy
i
y
2
=
dz
z2
.
Po scałkowaniu otrzymamy:
−
1
1
= − + C1
x
y
−
1
1
= − + C2
y
z
Przepływ jest ustalony: równania rodziny linii prądu są jednocześnie równaniami torów elementów
płynu.
Wyznaczamy stałe całkowania:
1
1
C1 = −
C2 = −
4
8
Równanie linii prądu przechodzącej przez punkt B:
1 1 1
− =
y z 8
1 1 1
− =
x y 4
Zadanie 6.5 (poz. bibl. [6], zad. 4.1.1, str. 60)
Dane jest pole prędkości przepływu płaskiego, nieustalonego płynu doskonałego:
U x = x 2 + 2 y (2 + t ) ,
U y = −2 xy .
Obliczyć prędkość i przyspieszenie elementu płynu, która w chwili t = 2 s znajduje się w punkcie K(2,
3).
Dane:
Wyznaczyć:
U x = x 2 + 2 y (2 + t ) , U y = −2 xy
t=2s
K(2, 3)
U, a
Rozwiązanie:
W chwili t = 2 s element płynu znajduje się w punkcie K(2, 3) :
U x (2, 3, 2) = 28 m/s
U y (2, 3, 2) = −12 m/s,
i wektor prędkości wynosi:
r
r
r
r
r
U = U x ⋅ i + U y ⋅ j = 28 ⋅ i -12 ⋅ j
Moduł wektora prędkości:
88
U = U x2 + U y2 = 28 2 + (−12) 2 ≈ 30.5 m/s
Wyznaczamy składowe przyspieszenia:
∂U x
∂U x
∂U x
ax =
+U x
+U y
∂t
∂x
∂y
∂U y
∂U y
∂U y
ay =
+U x
+U y
∂t
∂x
∂y
gdzie:
∂U x
∂U x
∂U x
= 2y ,
= 2x ,
= 4 + 2t
∂y
∂t
∂x
∂U y
∂U y
∂U y
=0 ,
= −2 y ,
= −2 x
∂t
∂x
∂y
Podstawiamy do wzoru:
a x = 2( x 3 + y )
[
a y = 2 y x 2 − 2 y (2 + t )
]
W punkcie K(2, 3) dla t = 2 s mamy:
2
ax (2,3,2) = 22 m/s
a y (2,3,2) = −120 m/s2
Wektor przyspieszenia:
r
r
r
r
r
a = a x ⋅ i + a y ⋅ j = 22 ⋅ i -120 ⋅ j
Moduł wektora przyspieszenia:
a = a x2 + a 2y = 122 m/s2
r
r
r
Płaski, nieustalony przepływ płynu określa wektor prędkości U = (a + b ⋅ t)i + x ⋅ j . Wyznaczyć:
a) równanie linii prądu, która w chwili t = t0 przechodzi przez punkt K(1, 2),
b) równanie toru elementu płynu, który w chwili t = t0 znajduje się w punkcie K(1, 2) pola
przepływu,
c) udowodnić, że dla b = 0, tj. w przypadku przepływu ustalonego, linia prądu pokrywa się z torem
poruszania się elementu płynu.
Dane:
r
r
r
U = (a + b ⋅ t)i + x ⋅ j
t = t0
K(1, 2)
Wyznaczyć:
równanie linii prądu,
równanie toru elementu płynu
Rozwiązanie:
a) Równanie różniczkowe linii prądu możemy zapisać w postaci:
U x dy − U y dx = 0
W tym przypadku:
89
Uy = x.
Ux = a + b⋅t ,
Podstawiamy dla chwili t = t0:
(a + b ⋅ t 0 )dy − xdx = 0
Po scałkowaniu mamy:
1 2
x =C
2
Stałą całkowania wyznaczamy z warunku brzegowego, określonego współrzędnymi punktu K(1, 2):
1
C = 2(a + b ⋅ t 0 ) −
2
Ostatecznie otrzymujemy równanie linii prądu:
1
(a + b ⋅ t 0 )( y − 2) = ( x 2 − 1)
2
(a + b ⋅ t 0 ) y −
b) Równania różniczkowe toru elementu płynu:
dx
= dt ,
Ux
Dla:
Uy = x
Ux = a + b⋅t ,
mają postać:
dy
= dt
Uy
dx = (a + b ⋅ t )dt
dy = x ⋅ dt
Po scałkowaniu pierwszego równania:
x = a ⋅t + b
t2
+C,
2
gdzie dla t = t0, x = 1 mamy:
t0 2
C = 1 − a ⋅ t0 − b
2
Zatem:
1
x − 1 = b(t 2 − t 02 ) + a(t − t 0 )
2
Po podstawieniu uzyskanej zależności do drugiego równania różniczkowego toru, otrzymamy:
1

dy =  b(t 2 − t 02 ) + a(t − t 0 ) + 1 dt
2

Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunku brzegowego, dla t = t0 i y = 2, mamy:
b
 a

y − 2 = t 3 − 3 ⋅ t 02 + 2 ⋅ t 03 + (t − t 0 )1 + (t − t 0 )
6
 2

Ostatecznie równania toru możemy zapisać układem równań parametrycznych:
1
x − 1 = b(t 2 − t 02 ) + a(t − t 0 )
2
b
 a

y − 2 = t 3 − 3 ⋅ t 02 + 2 ⋅ t 03 + (t − t 0 )1 + (t − t 0 )
6
 2

(
)
(
)
c) W przypadku przepływu ustalonego, czyli dla b = 0, równanie linii prądu upraszcza się do postaci:
90
a( y − 2) =
(
)
1 2
x −1
2
Równania parametryczne toru mają postać:
x − 1 = a(t − t 0 )
 a

y − 2 = (t − t 0 )1 + (t − t 0 )
 2

Eliminując z ostatnich zależności (t - t0), otrzymujemy:
1
a( y − 2) = x 2 − 1
2
Z przeprowadzonych rozważań wynika, że dla przepływu ustalonego linia prądu pokrywa się z torem
poruszania się elementu płynu.
(
)
Płaski przepływ płynu doskonałego określają składowe wektora prędkości: U x = x + t i U y = − y + t .
Wyprowadzić równanie linii prądu oraz równanie toru poruszania się cząsteczki płynu, która w czasie t =
0 znajduje się w punkcie K(-1, -1).
Dane:
Ux = x + t , U y = −y + t
Wyznaczyć:
równanie linii prądu,
t=0⇒
równanie toru elementu płynu
K(-1, -1)
Rozwiązanie:
dx dy
=
Ux Uy
dla składowych prędkości:
przyjmuje postać:
Ogólnym rozwiązaniem jest całka:
Ux = x +t ,
U y = −y + t
dx
dy
=
x+t − y+t
(x + t )( y − t ) = C
Z warunku brzegowego, dla t = 0, x = -1, y = -1:
Równanie linii prądu :
y=
C=1
1
x
Wyprowadzamy równanie toru poruszania się cząsteczki płynu:
dx
Ux =
= x+t
dt
dy
Uy =
= −y + t
dt
Rozwiązanie ogólne:
91
x = C1 ⋅ e t − t − 1
y = C 2 ⋅ e −t + t − 1
Dla x = -1, y = -1, t = 0,
C1 = C2 = 0
Czyli:
x = −t − 1
y = t −1
Eliminując czas t, otrzymujemy równanie toru, po którym porusza się cząsteczka płynu:
y = −x − 2
Napisać równanie ciągłości dla włókna prądu płynu jednorodnego nieściśliwego, jeżeli dane jest pole
prędkości przepływu:
r
r
r
r
U = 2x 2 + y i + 2 y 2 + z j + 2z 2 + x k
(
) (
) (
Dane:
r
r
r
r
U = 2x 2 + y i + 2 y 2 + z j + 2z 2 + x k
(
) (
) (
)
Wyznaczyć:
)
równanie ciągłości
Rozwiązanie:
Równanie ciągłości dla płynu nieściśliwego ma postać:
r ∂U x ∂U y ∂U z
divU =
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
Dla podanego pola prędkości mamy:
∂U x
= 4x ,
U x = 2x2 + y ,
∂x
∂U y
U y = 2y2 + z ,
= 4y ,
∂y
∂U z
U z = 2z 2 + x ,
= 4z .
∂x
Równanie ciągłości ma wtedy postać:
4x + 4 y + 4z = 0
Ostatecznie:
x+ y+z =0
Sprawdzić, czy dane pole prędkości:
(
(
)
)
x2 − y2 z
,
, Uy =
2
2 2
2
2 2
x +y
x +y
może być polem prędkości przepływu płynu nieściśliwego.
Ux = −
(
2 xyz
)
92
Uz =
y
x2 + y2
,
Dane:
Ux = −
Uz =
(
(
Wyznaczyć:
r
czy divU = 0 ?
)
)
x2 − y2 z
, Uy =
2
2
x2 + y2
x2 + y2
y
(
2 xyz
)
x2 + y2
Rozwiązanie:
Aby dane pole prędkości było polem prędkości przepływu nieściśliwego musi być spełnione równanie
ciągłości dla przepływu płynu nieściśliwego:
r
r
divU = 0
(lub ∇ • U = 0 ),
∂U x ∂U y ∂U z
+
+
=0
czyli:
∂y
∂x
∂z
Pochodne składowych prędkości wynoszą:
∂U y 2 yz y 2 − 3 x 2
∂U x
∂U z
2 yz y 2 − 3 x 2
,
i
= 0.
=−
=
∂z
∂x
∂y
2
2 3
2
2 3
x +y
x +y
Ponieważ:
∂U y
∂U x
,
=−
∂x
∂y
stąd:
(
(
)
)
(
−
(
)
)
(
) + 2yz(y 2 − 3x 2 ) = 0
(x 2 + y 2 )3 (x 2 + y 2 )3
2 yz y 2 − 3x 2
Przedstawione pole prędkości może być polem prędkości przepływu płynu nieściśliwego.
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
Zadanie 6.10
4
y = t3,
3
x = t3,
gdzie t - czas, x, y – współrzędne w metrach.
Określić współrzędne elementu płynu oraz jego prędkość po upływie t = 2 s od początku ruchu.
2
m

Odpowiedź: K  8, 10  , U = 20 .
s
3

Zadanie 6.11
1
x = 2 + t4,
6
93
1
y = 1+ t 4
3
gdzie t - czas, x, y, – współrzędne w metrach.
1
6
Określić przyspieszenie elementu płynu, dla którego x = 2 .
Odpowiedź: a = 2 5
m
.
s
Dane jest pole prędkości przepływu: U x = 4a ⋅ x , U y = 0 , U z = −4a ⋅ z . Napisać równanie linii prądu.
Odpowiedź: z =
C
, jest to rodzina hiperbol.
x
Dane jest pole prędkości przepływu: U x = − k ⋅ y , U y = k ⋅ x , U z = 0 , gdzie k – wielkość stała.
Znaleźć równanie rodziny linii prądu oraz określić kierunek ruchu.
Odpowiedź: x 2 + y 2 = C , kierunek ruchu przeciwny do ruch wskazówek zegara.
Funkcja prądu Ψ ( x, y, z ) = x 2 y + (2 + t ) y 2 opisuje płaski, nieustalony przepływ płynu doskonałego.
Wyznaczyć pole prędkości przepływu oraz obliczyć prędkość i przyspieszenie elementu płynu, który w
chwili t = 2 znajduje się w punkcie K(2, 3).
Odpowiedź: U x = x 2 + 2 y (2 + t ) , U y = −2 xy , U(2, 3, 2) = 30.46, a(2, 3, 2) = 122.
Zbadać czy funkcje: ϕ1 = x + 2 y , ϕ 2 = x 2 − 2 y 2 mogą być potencjałami prędkości płaskiego,
ustalonego ruchu potencjalnego płynu doskonałego.
Odpowiedź: Tylko funkcja ϕ1 ( x, y ) może być potencjałem prędkości płaskiego ustalonego ruchu
potencjalnego płynu doskonałego.
Jaka zależność musi zachodzić pomiędzy stałymi a i b, aby równanie: ϕ = ax 3 y + bxy 3 określało
potencjał prędkości płaskiego ustalonego ruchu niewirowego?
Odpowiedź: a = -b lub b = -a.
94

mp_6.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wyjazd autem na urlop zimowy - E

Ogólny opis przepływu płynów - Open AGH e

Płyn na myszy i szczury - grazis

plan zajęć

Zakres przeglądu 4+ostateczny

PROGRAM SZKOLENIA „Badanie płynów z jam ciała i płynu