Przykªad: Równania róťniczkowe zwyczajne rz¦du pierwszego, to

Przykªad:
Obwód elektryczny zawiera kondensator o pojemno±ci C z ªadunkiem Q(t)
oraz opornik o oporze R. W chwili t = 0, gdy obwód zostaje zamkni¦ty, warto±¢
ªadunku w kondensatorze wynosi Q0 i st¡d nat¦»enie pr¡du w obwodzie jest
Q0
równe i0 =
. Wyznaczy¢ funkcj¦ nat¦»enia i(t) w zale»no±ci od czasu.
RC
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoa:
Ri(t) =
Q(t)
.
C
Z denicji nat¦»enia:
i = −Q0 (t) = −
dQ
.
dt
Dostajemy równanie:
i0 (t) = −
i
,
RC
di
i
=−
.
dt
RC
i = Ae−t/RC ,
i=
Q0 −t/RC
e
.
RC
Równania ró»niczkowe zwyczajne rz¦du pierwszego, to:
równanie
lub ogólniej
y 0 = F (x, y)
F (x, y, y 0 ) = 0,
w którym wyst¦puje zmienna (x) jej funkcja (y(x)) i pochodna tej funkcji
y 0 (x). Zmienn¡ cz¦sto oznacza si¦ t (zwªaszcza, gdy jest ni¡ czas), pochodn¡ ẏ(t). Rozwi¡zaniem (caªk¡ szczególn¡) równania nazywamy ka»d¡ funkcj¦, która
speªnia równanie dla wszystkich warto±ci zmiennej z pewnego przedziaªu.Caªk¡
ogóln¡ nazywamy (jednoparametrow¡) rodzin¦ rozwi¡za« y = y(x, C). Krzywa
caªkowa to wykres dowolnego rozwi¡zania. Warunki pocz¡tkowe y0 = y(x0 )
pozwalaj¡ wybra¢ caªk¦ szczególn¡ z rozwi¡zania ogólnego. Równanie wraz z
warunkiem pocz¡tkowym nazywa si¦ zagadnieniem pocz¡tkowym.
Twierdzenie 1 (O istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia pocz¡tkowego).
Je»eli funkcja
F (x, y) oraz jej pochodna cz¡stkowa
∂F
s¡ ci¡gªe na obszarze
∂y
D ⊂ R2 oraz (x0 , y0 ) ∈ D, to zagadnienie pocz¡tkowe
y 0 = F (x, y),
y(x0 ) = y0
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
Równania o zmiennych rozdzielonych:
p(y)y 0 = q(x)
1
(1)
Twierdzenie 2. Je»eli p(y) jest funkcj¡ ci¡gª¡ w otoczeniu (c, d) punktu y =
y0 , przy czym p(y0 ) 6= 0, a q(x) jest funkcj¡ ci¡gª¡ w otoczeniu (a, b) punktu
x = x0 , to przez ka»dy punkt prostok¡ta (a, b) × (c, d) przechodzi dokªadnie jedna
krzywa caªkowa równania (1) okre±lona równaniem y = f (x), czyli zagadnienie
pocz¡tkowe
p(y)y 0 = q(x),
y(x0 ) = y0
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Rozwi¡zanie to jest dane w postaci uwikªanej
równaniem
Z
Z
p(y)dy =
q(x)dx.
Przykªady:
1. y 0 =
1
9+x2 ;
2. y 0 = ay ;
3. ẋ = kx2 ;
4.
y0
y
= ctgx;
dy
5. 2x2 dx
= y;
6. Znale¹¢ caªki szczególne danych równa« speªniaj¡ce dane warunki pocz¡tkowe:
(a) y 0 = −
y
;
RC
(b) y 0 = ex+y ;
y(0) =
Q0
;
RC
y(0) = 0;
7. Wyznaczy¢ funkcj¦ pobranej energii L = f (t) w zale»no±ci od czasu t
przez odbiornik, którego moc jest wprost proporcjonalna do sin2 3t, tzn.
dL
= k 2 sin2 3t; L(0) = 0.
dt
Równanie ró»niczkowe jednorodne:
y0 = f
y
x
sprowadza si¦ do równania o zmiennych rozdzielonych xu0 = f (u)−u za pomoc¡
y
dostawienia u := .
x
Wn. 1. Je»eli funkcja f (u) jest ci¡gªa na przedziale (a, b) i speªnia tam warunek
f (u) 6= u oraz a <
y0
< b, to zagadnienie pocz¡tkowe
x0
y
y0 = f
, y(x0 ) = y0 ,
x
2
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, czyli przez ka»dy punkt obszaru
{(x, y)| a <
y
< b}
x
przechodzi dokªadnie jedna krzywa caªkowa równania.
Przykªad:
1. Rozwi¡za¢ równania:
1. xy 0 = x + y ;
2. (x + y)y 0 = y ;
y
3. xy 0 − y = xtg .
x
Znale¹¢ rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego:
y
4. ty 0 = y + te t , y(1) = 0.
Równania ró»niczkowe liniowe jednorodne (RRLJ):
y 0 + p(x)y = 0
(2)
jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, które zawsze speªnia funkcja y(x) =
0. Dla y 6= 0 mo»na je zapisa¢:
1 dy
= −p(x).
y dx
Caªka ogólna równania (2) ma posta¢:
y = Ce−P (x)
gdzie P (x) jest dowoln¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji p(x).
Przykªad:
2. y 0 =
2x−1
x2 y .
Równania ró»niczkowe liniowe niejednorodne (RRLN):
y 0 + p(x)y = q(x)
(3)
Metoda uzmienniania staªej:
1. Znajdujemy caªk¦ ogóln¡ y = Ce−P (x) (RRLJ) powstaªego z (RRLN) po
zast¡pieniu funkcji q(x) staª¡ 0.
2. Caªka ogólna (RRLN) ma posta¢
y = C(x)e−P (x)
(zamiast staªej C bierzemy funkcj¦ C(x)).
3
(4)
3. Równanie na funkcj¦ C(x) otrzymujemy po wstawieniu do (3) funkcji (4)
i jej pochodnej.
4. Z ksztaªtu równania wynika, »e C(x) ulega skróceniu i w równaniu pozostaje tylko C 0 (x)!
5. Ostatecznie otrzymujemy caªk¦ ogóln¡ postaci: y = (C(x) + C1 )e−P (x) .
Przykªad:
3. Rozwi¡za¢ metod¡ uzmienniania staªej
2
1. y 0 + 2xy = xe−x ;
2. xy 0 − 2y = x3 cos x;
Twierdzenie 3. Je»eli funkcje p(x), q(x) s¡ ci¡gªe w otoczeniu (a, b) punktu
x0 , to zagadnienie pocz¡tkowe
y 0 + p(x)y = q(x),
y(x0 ) = y0
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, czyli przez ka»dy punkt pasa
chodzi dokªadnie jedna krzywa caªkowa równania.
Przykªad:
4. Rozwi¡za¢ zagadnienie pocz¡tkowe: y 0 = 2y + ex − x,
Równanie ró»niczkowe Bernoulliego,
to równanie postaci:
y 0 + p(x)y = h(x)y r ,
gdzie r ∈ R \ {0, 1}.Przez zamian¦ zmiennych
z := y 1−r
sprowadzamy je do równania liniowego postaci:
z 0 + (1 − r)p(x)z = (1 − r)h(x).
Przykªad:
(a, b) × R prze-
5. Rozwi¡za¢ podane zagadnienia pocz¡tkowe:
1. y 0 − y cos x = y 2 cos x,
2. xy 2 y 0 + y 3 = 1,
y(0) = 1,
y(1) = 2.
4
y(0) = 41 .