s toy toy

Twierdzenia redukcyjne
Przemieszczenia w układach
statycznie niewyznaczalnych
Przemieszczenia w układach statycznie niewyznaczalnych wyznaczamy także
ze wzoru Maxwella-Mohra.
m
m
Rkjp R kji
j =1
j =1
k
1• δ i + ∑ R ju j − ∑
=∫
S
MpMi
EJ
ds + ∫
S
+ ∫ N i t oα t ds + ∫
S
S
Np Ni
EA
=
ds + ∫ κ
S
M i (t d − t g )α t
h
Tp T i
GA
ds +
ds
Jednak, aby skorzystać z powyższego wzoru, należy wyznaczyć reakcje i siły
wewnętrzne dla dwóch zadań statycznie niewyznaczalnych: od obciążenia
statycznego i od obciążenia jednostkowego. Poniżej przedstawione zostaną
wzory redukcyjne, które upraszczają powyższy problem
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
Wielkości ostateczne od tych dwóch stanów oznaczymy znakiem *, czyli wzór
do obliczenia przemieszczenia wygląda następująco:
*
δi = ∫
S
M *p M i
EJ
M i (t d − t g )α t
*
ds + ∫ N t α t ds + ∫
*
i o
S
S
h
m
ds − ∑ R ij u j
*
j =1
Powyższy wzór nie zawiera członu dla podpory sprężystej. Ponadto
zaniedbano przemieszczenia od sił normalnych i tnących. Dzięki temu
wyprowadzenia będą łatwiejsze.
Wartości ostateczne obliczamy ze wzorów:
- dla obciążenia statycznego
n
M = M p + x1 M 1 + x2 M 2 + ... = M p + ∑ x j M j
*
p
j =1
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
-dla obciążenia jednostkowego (wirtualnego):
n
M = M p + x 1 M 1 + x 2 M 2 + ... = M p + ∑ x k M k
*
i
n k =1
N = N p + x1 N 1 + x 2 N 2 + ... = N p + ∑ x k N k
*
i
n k =1
R p = R p + x1 R1 + x 2 R2 + ... = R p + ∑ x k Rk
*
k =1
Do obu części zadania przyjmujemy ten sam układ podstawowy metody sił.
Kolejne człony wzoru Maxwella-Mohra można zapisać jako:
- całka z iloczynu równań momentów zginających
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
Do obu części zadania przyjmujemy ten sam układ podstawowy metody sił.
Kolejne człony wzoru Maxwella-Mohra można zapisać jako:
- całka z iloczynu równań momentów zginających
∫
*
p
M M
S
1
EJ
1
EJ
1
EJ
EJ
∫
s
∫
s
∫
s
*
i
1
ds =
EJ
n
n



 M +


x j M j  M p + ∑ x k M k  ds =
∫  p ∑


j =1
k =1
s
n
n

 n




M p  M p + ∑ x j M j  + ∑ x k M k  M p + ∑ x j M j  ds =




j =1
k =1
j =1
n
n

 n 


M p  M p + ∑ x j M j  + ∑  x k M k  M p + ∑ x j M j ds =


 k =1 

j =1
j =1
n
n

 n  



M p  M p + ∑ x j M j  + ∑  x k  M k M p + ∑ x j M k M j ds

 k =1  

j =1
j =1
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
Ponieważ:
n
M jMk
 M pM k
xj
∫s  EJ + ∑
EJ
j =1
n

ds =δ kp + ∑ x j δ kj

j =1

to otrzymujemy:
∫
*
p
M M
EJ
s
*
i
ds =∫
s
n
n
n



M p 


 M p + ∑ x j M j ds + ∑ x k δ kp + ∑ x jδ kj 


EJ 


j =1
k =1
j =1
- całka z iloczynu równania siły normalnej i danych z obciążenia:
∫
S
n




N t α tds = ∫  N p + ∑ x k N k  toα t ds = ∫ N p toα t ds + ∫


k =1
*
i o
s
s
n
s
n
n
∑x
k =1
= ∫ N p toα t ds + ∑ x k ∫ N k toα t ds = ∫ N p toα t ds + ∑ x k δ kto
s
k =1
s
s
k =1
k
N k toα t ds
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
- całka z iloczynu równania momentu zginającego i danych z obciążenia:
M i (td − t g )α t
*
∫
S
h
ds = ∫
n


 M p + ∑ x k M (t − t )α
k d
g
t


k =1
h
S
ds =
n
∫
M p (td − t g )α t + (td − t g )α t ∑ x k M k
k =1
h
S
∫
S
M p (td − t g )α t
h
ds +
(td − tg )αt
h
ds =
n
∑x M
k
k =1
k
=∫
S
M p (td − t g )α t
h
n
ds + ∑ x k δ k ∆t
k =1
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
-wpływ obciążeń geometrycznych
n
m
m 
n
 







−∑ R u j = −∑ u j  R ij + ∑ x k Rijk  = −∑ u j R ij − ∑ u j ∑ x k Rijk  =
 k =1
 


j =1
j =1 
k =1
j =1
j =1 
m
m
*
ij
m
n
m
m
n
j =1
k =1
j =1
j =1
k =1
−∑ u j R ij − ∑ x k ∑ (u j Rijk ) = −∑ u j R ij + ∑ x k δ k ∆
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
Ostatecznie przemieszczenie jest równe:
δi = ∫
S
∫
s
∫
S
*
p
M M
EJ
*
i
*
i o
ds + ∫ N t α tds + ∫
S
M
S
*
i
(td − t g )α t
h
m
ds − ∑ R u j =
*
ij
j =1
n
n
n
n



M p 
 M p + ∑ x j M j ds + ∑ x k δ kp + ∑ x jδ kj  + ∫ N p toα t ds + ∑ x k δ kto +
EJ 


 s
j =1
k =1
j =1
k =1
M p (td − t g )α t
h
n
m
n
k =1
j =1
k =1
ds + ∑ x k δ k ∆t − ∑ u j R ij + ∑ x k δ k ∆ =
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
=∫
s
n
m

M p (td − t g )α t
M p 
ds − ∑ u j R ij +
 M p + ∑ x j M j ds + ∫ N p toα t ds + ∫

EJ 
h

j =1
j =1
s
S
n
n
n

 n


+∑ x k δ kp + ∑ x jδ kj  + ∑ x k δ kto + ∑ x k δ k ∆t + ∑ x k δ k ∆ =


n
k =1
=∫
s
j =1
k =1
k =1
n
m

M p (td − t g )α t
M p 

ds − ∑ u j R ij +
 M p + ∑ x j M j ds + ∫ N p toα t ds + ∫

EJ 
h

j =1
j =1
s
S
n



+∑ x k δ kp + δ kto + δ k ∆t + δ k ∆ + ∑ x jδ kj 


n
k =1
k =1
j =1
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
Przypomnijmy, że układ równań metody sił wygląda w następujący
sposób:
δ11 x1 + δ12 x2 + ... + δ1n xn + δ1 p + δ1to + +δ1∆t + δ1∆ = 0
δ 21 x1 + δ 22 x2 + ... + δ 2 n xn + δ 2 p + δ 2to + +δ 2 ∆t + δ 2 ∆ = 0
.
.
δ n1 x1 + δ n 2 x2 + ... + δ nn xn + δ np + δ nto + +δ n∆t + δ n∆ = 0
Każde z równań można zapisać za pomocą jednego:
n
∑x δ
j =1
j
kj
+ δ kp + δ kto + δ k∆t + δ k∆ = 0
Wyprowadzenie wzorów
redukcyjnych
Nas interesuje ostatni człon równania, na podstawie którego obliczamy
przemieszczenie. Z powyższego równania wynika, że to co jest w nawiasie
omawianego członu jest równe zero
n
n



∑ x k δ kp + δ kto + δ k∆t + δ k∆ + ∑ x jδ kj  = ∑ x k ⋅ 0 = 0
n
k =1
j =1
k =1
Twierdzenia redukcyjne I:
W układach statycznie niewyznaczalnych
wyznaczyć na podstawie następującego wzoru:
δi = ∫
s
przemieszczenie
można
n
m

M p (td − t g )α t
M p 

ds − ∑ u j R ij
 M p + ∑ x j M j ds + ∫ N p toα t ds + ∫

EJ 
h

j =1
j =1
s
S
co oznacza, że przemieszczenie wyznaczamy na podstawie ostatecznego
wykresu momentów zginających od obciążeń statycznych oraz wykresów
sił wewnętrznych od obciążenia jednostkowego w dowolnym układzie
statycznie wyznaczalnym, będącym dla danego zadania układem
podstawowym metody sił.
Krótko mówiąc: rozwiązujemy od obciążenia statycznego całe zadanie, a
od obciążenia jednostkowego tylko układ statycznie wyznaczalny. Tak
otrzymane wartości całkujemy i sumujemy.
Twierdzenia redukcyjne II:
Przemieszczenie można wyznaczyć na podstawie następującego wzoru:
δi = ∫
s
+∫
S
n
n



M p 

 M p + ∑ x k M k ds + ∫  N p + ∑ x k N k  toα t ds +
EJ 



k =1
k =1
s
n


 M p + ∑ x k M (t − t )α
k d
g
t


k =1
h
n




ds − ∑ u j  R ij + ∑ x k Rijk 


j =1
k =1
m
co oznacza, że przemieszczenie wyznaczamy na podstawie ostatecznych
wykresów sił wewnętrznych od wirtualnego obciążenia jednostkowego
oraz wykresów momentów zginających od obciążenia statycznego w
dowolnym układzie statycznie wyznaczalnym, będącym dla danego
zadania układem podstawowym metody sił.
Rozwiązujemy od obciążenia jednostkowego całe zadanie, a od obciążenia
statycznego tylko układ statycznie wyznaczalny. Tak otrzymane wartości
całkujemy i sumujemy.