O ciezkiej pracy geodety i lesnika, czyli rózne oblicza liczb Catalana
Transkrypt
O ciezkiej pracy geodety i lesnika, czyli rózne oblicza liczb Catalana
O CI E˛ŻKIEJ PRACY GEODETY I LE ŚNIKA , CZYLI RÓ ŻNE OBLICZA LICZB C ATALANA Adam Doliwa [email protected] Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki S POTKANIA Z MATEMATYK A˛ Olsztyn, 27 marca 2012 r. Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 1 / 20 Plan 1 Podział na trójkaty ˛ i liczenie drzew 2 Wyznaczenie liczb Catalana - rekurencja 3 Wyznaczenie liczb Catalana - funkcja tworzaca ˛ Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 2 / 20 O zliczaniu triangulacji wielokata ˛ Jaka jest liczba podziałów na trójkaty ˛ wielokata ˛ wypukłego o n + 2 bokach? n=1 C1 =1 n=2 C2 =2 n=3 C3 =5 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 3 / 20 Liczba podziałów na trójkaty ˛ wielokata ˛ wypukłego o n + 2 = 6 bokach n=4 C4 =14 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 4 / 20 Liczby Catalana Eugène Charles Catalan (30.V.1814 - 14.II.1894) C0 = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14, C5 = 42, C6 = 132, C7 = 429, C8 = 1 430, C9 = 4 862, C10 = 16 796, ... Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 5 / 20 Czym jest płaskie ukorzenione drzewo binarne lewe pod−drzewo ’’ lisc galaz’ , wierzcholek wewnetrzny , pien’ korzen’ Ukorzenione płaskie drzewo binarne składa sie˛ z wyróżnionego wierzchołka (korzenia) oraz pary ukorzenionych płaskich drzew binarnych (lewego i prawego pod-drzewa). Z każdego wierzchołka, za wyjatkiem ˛ korzenia z którego wychodzi tylko pień, wychodza˛ albo dwie gałezie ˛ (lewa i prawa gałaź) ˛ albo nie wychodza˛ gałezie. ˛ W pierwszym przypadku wierzchołek jest nazywany wewnetrznym, ˛ w drugim przypadku jest nazywany zewnetrznym ˛ lub liściem. Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 6 / 20 Ile jest różnych drzew majacych ˛ n wierzchołków wewnetrznych? ˛ n=1 n=0 n=2 n=3 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 7 / 20 Triangulacje wielokatów ˛ i drzewa binarne n=1 n=0 n=2 n=3 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 8 / 20 Pierwsza rekurencja (wzór Segnera) Rozdzielmy (planarne ukorzenione) drzewo binarne majace ˛ n+1 wierzchołków wewnetrznych ˛ na lewe i prawe pod-drzewo Lewe pod−drzewo ’ k wierzcholkow Prawe pod−drzewo ’ n−k wierzcholkow pierwszy wewnetrzny wierzcholek staje sie korzeniem obu pod−drzew , , Musimy wysumować po wszystkich możliwościach: lewe pod-drzewo ma k wierzchołków wewnetrznych ˛ i prawe pod-drzewo ma n − k wierzchołków wewnetrznych ˛ Cn+1 = C0 Cn + C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + · · · + Cn−1 C1 + Cn C0 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 9 / 20 Przed Catalanem Leonhard Euler 15.IV.1707 – 18.IX.1783 Adam Doliwa (UWM) János Segner 9.X.1704 – 5.X.1777 Liczby Catalana 27-III-2012 10 / 20 Druga rekurencja Ak+1 A k+2 k+2 n−k+2 A 2 A1 An+2 An+1 dzielimy wielokat ˛ o n + 2 wierzchołkach przekatn ˛ a˛ A1 Ak +2 na dwa wielokaty ˛ majace ˛ k + 2 wierzchołków i n − k + 2 wierzchołków; k = 1, 2, . . . , n − 1 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 11 / 20 Druga rekurencja dzielimy nastepnie ˛ oba nowe wielokaty ˛ na trójkaty ˛ otrzymujac ˛ C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1 triangulacji używajacych przekatne ˛ wychodzace ˛ z A1 ponieważ A1 może być dowolnym z n + 2 wierzchołków wielokata ˛ wiec ˛ do wszystkich triangulacji używamy (n + 2) (C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1 ) wierzchołków diagonal z drugiej strony, każda triangulacja używa n − 1 diagonal, a każdy wierzchołek jest liczony dwukrotnie (jako poczatek ˛ i koniec diagonali) 2(n − 1)Cn = (n + 2) (C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1 ) Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 12 / 20 Trzecia rekurencja (wzór Eulera) ze wzoru Segnera, pamietaj ˛ ac ˛ że C0 = 1, mamy Cn+1 − 2Cn = C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1 w połaczeniu ˛ z druga˛ rekurencja˛ daje to równanie Cn+1 − 2Cn = 2n − 2 Cn n+2 rozwiazuj ˛ ac ˛ je otrzymujemy Cn+1 = Adam Doliwa (UWM) 4n + 2 Cn n+2 Liczby Catalana 27-III-2012 13 / 20 Liczby Catalana i współczynniki dwumianowe 2(2n − 1) 22 (2n − 1)(2n − 3) Cn−1 = Cn−2 = . . . n+1 (n + 1)n 2n (2n − 1)(2n − 3) . . . 3 · 1 = C0 , C0 = 1 (n + 1)n . . . 3 · 2 Cn = 1 Cn = n+1 n k = 2n n n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) = 1 · 2 . . . (k − 1)k n X n(n − 1) 2 (1 + x) = 1 + nx + x + · · · + xn = 2 n k =0 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana n k xk 27-III-2012 14 / 20 Liczba możliwych rozmieszczeń nawiasów w iloczynie n + 1 czynników c b c b d a d (a(b(cd))) ((a(bc))d) ((ab)(cd)) b c c b d a a d (a((bc)d)) (((ab)c)d) Adam Doliwa (UWM) a d a c b Liczby Catalana 27-III-2012 15 / 20 Liczba dróg rozpatrzymy drogi w kwadracie n × n z dolnego lewego wierzchołka do górnego prawego, które nie przekraczaja˛ przekatnej ˛ łacz ˛ acej ˛ te wierzchołki i sa˛ monotoniczne Uwaga Liczac ˛ od lewej strony liczba strzałek w prawa˛ strone˛ nigdy nie jest mniejsza od liczby strzałek do góry Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 16 / 20 Funkcja tworzaca ˛ liczb Catalana Zdefiniujmy funkcje˛ C(x) = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + · · · = ∞ X Ck x k k =0 Znamy już funkcje˛ tworzac ˛ a˛ współczynników dwumianowych n X n (1 + x) = xk k n k =0 Twierdzenie Funkcja tworzaca ˛ liczb Catalana spełnia równanie x[C(x)]2 − C(x) + 1 = 0 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 17 / 20 Dowód Twierdzenia [C(x)]2 = = (C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + . . . )(C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + . . . ) = = C02 + (C0 C1 + C1 C0 )x + (C0 C2 + C1 C1 + C2 C0 )x 2 + . . . · · · + (C0 Cn + C1 Cn−1 + · · · + Cn C0 )x n + . . . Korzystajac ˛ ze wzoru Segnera otrzymujemy równanie [C(x)]2 =C1 + C2 x + C3 x 2 + · · · + Cn+1 x n + . . . C(x) − C0 = x musimy jeszcze pamietać, ˛ że C0 = 1 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 18 / 20 Z równania kwadratowego możemy wyznaczyć funkcje˛ tworzac ˛ a˛ C(x) = 1 1 ± (1 − 4x)1/2 2x Okazuje sie˛ (pierwszy rok studiów), że standardowy wzór (1 + y )a = 1 + a(a − 1) 2 a(a − 1)(a − 2) 3 a y+ y + y + ... 1 1·2 1·2·3 ma sens także dla wszystkich liczb rzeczywistych a, jeśli ograniczymy sie˛ do zakresu zmiennej |y | < 1. W naszym przypadku mamy 1 1 1 1 3 1 − − − 2 2 2 y2 + 2 y 3+ (1 + y )1/2 = 1 + 2 y + 2 1 1 · 2 1 · 2 · 3 1 1 − 12 − 32 − 52 4 − 21 − 32 − 52 − 72 5 2 2 y + y + ... + 1·2·3·4 1·2·3·4·5 Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 19 / 20 Ponowne wyznaczenie liczb Catalana Podstawiajac ˛ y = −4x i wybierajac ˛ dolny znak w rozwiazaniu ˛ równania kwadratowego (żeby otrzymać C0 = 1) otrzymujemy wzór 3·1 5·3·1 1 (2x) + (2x)2 + (2x)3 + . . . 1·2 1·2·3 1·2·3·4 (2n − 1)(2n − 3) . . . 3 · 1 ··· + (2x)n + . . . 1 · 2 . . . n(n + 1) C(x) = 1 + w którym przy x n mamy dobrze nam znane wyrażenie na n-ta˛ liczbe˛ Catalana Cn Adam Doliwa (UWM) Liczby Catalana 27-III-2012 20 / 20