Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce

Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce
Aleksander Mądry
Wstęp historyczny
Podstawy
Sprawy organizacyjne
Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.
Mechanika kwantowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Sprawy organizacyjne
Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.
Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie
do:
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Sprawy organizacyjne
Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.
Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie
do:
• przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość
skonsultowania się z prowadzącym)
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Sprawy organizacyjne
Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.
Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie
do:
• przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość
skonsultowania się z prowadzącym)
• wybrania najważniejszych idei i technik (możliwość
skonsultowania swojego wyboru z prowadzącym)
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Sprawy organizacyjne
Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.
Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie
do:
• przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość
skonsultowania się z prowadzącym)
• wybrania najważniejszych idei i technik (możliwość
skonsultowania swojego wyboru z prowadzącym)
• przygotowania referatu (wymagane wykonanie slajdów)
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Sprawy organizacyjne
Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105.
Każdy kto będzie chciał otrzymać zaliczenie zobowiązany będzie
do:
• przeczytania i zrozumienia wskazanych materiałów (możliwość
skonsultowania się z prowadzącym)
• wybrania najważniejszych idei i technik (możliwość
skonsultowania swojego wyboru z prowadzącym)
• przygotowania referatu (wymagane wykonanie slajdów)
• wygłoszenie referatu
Wstęp historyczny
Podstawy
Motywacje
Mechanika kwantowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
• Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym
obiektem
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
• Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym
obiektem
Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
• Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym
obiektem
Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych ?
• Teza Churcha i prawo Moora
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
• Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym
obiektem
Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych ?
• Teza Churcha i prawo Moora
• Kryptografia, ponieważ potrafimy faktoryzować liczby za
pomocą komputera kwantowego to musimy brać pod uwagę
moc (i ograniczenia) obliczeń kwantowych
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
• Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym
obiektem
Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych ?
• Teza Churcha i prawo Moora
• Kryptografia, ponieważ potrafimy faktoryzować liczby za
pomocą komputera kwantowego to musimy brać pod uwagę
moc (i ograniczenia) obliczeń kwantowych
• Patrzenie na mechanikę kwantową z punktu widzenia
obliczeniowego, pozwala nam lepiej poznać samą mechanikę
kwantową
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Motywacje
Skąd pomysł na rozważanie mechaniki kwantowej z punktu
widzenia obliczeniowego ?
• Feynman - Teza Churcha
• Ladner i demon Maxwella - informacja jest fizycznym
obiektem
Dlaczego trzeba zbadać możliwości obliczeń kwantowych ?
• Teza Churcha i prawo Moora
• Kryptografia, ponieważ potrafimy faktoryzować liczby za
pomocą komputera kwantowego to musimy brać pod uwagę
moc (i ograniczenia) obliczeń kwantowych
• Patrzenie na mechanikę kwantową z punktu widzenia
obliczeniowego, pozwala nam lepiej poznać samą mechanikę
kwantową
• klasyczna złożoność obliczeniowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych
C.
jest to taki podzbiór {v1 , . . . vk }, że
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych
C.
Baza jest to taki podzbiór {v1 , . . . vk }, że
• dla każdego wektora v ∈ V istnieją takie liczby zespolone αi ,
P
że v =
i
αi vi
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych
C.
Baza jest to taki podzbiór {v1 , . . . vk }, że
• dla każdego wektora v ∈ V istnieją takie liczby zespolone αi ,
P
że v =
i
αi vi
• wszystkie vi są liniowo niezależne tzn. jeśli
αi = 0
P
i
αi vi = 0 to
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych
C.
Baza jest to taki podzbiór {v1 , . . . vk }, że
• dla każdego wektora v ∈ V istnieją takie liczby zespolone αi ,
P
że v =
i
αi vi
• wszystkie vi są liniowo niezależne tzn. jeśli
P
i
αi vi = 0 to
αi = 0
Każda baza w przestrzeni V ma taka samą liczność. Liczność
dowolnej bazy nazywamy wymiarem V . Mając daną przestrzeń V
możemy dla dowolnego wektora v ∈ V obliczyć bazę V
zawierającą v .
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych
C.
Baza jest to taki podzbiór {v1 , . . . vk }, że
• dla każdego wektora v ∈ V istnieją takie liczby zespolone αi ,
P
że v =
i
αi vi
• wszystkie vi są liniowo niezależne tzn. jeśli
P
i
αi vi = 0 to
αi = 0
Każda baza w przestrzeni V ma taka samą liczność. Liczność
dowolnej bazy nazywamy wymiarem V . Mając daną przestrzeń V
możemy dla dowolnego wektora v ∈ V obliczyć bazę V
zawierającą v .
Mając jakąś ustaloną bazę {v1 , . . . vk } w V możemy opisywać
dowolny wektor v ∈ V podając tylko jego współczynniki rozkładu
w tej bazie (α1 , . . . , αk )
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie h | i : V × V → C
będące
• symetryczne: hv |w i = hw |v i∗
• liniowe w drugim argumencie:
hv |αw + βzi = αhv |w i + βhv |zi
• dodatnio określone hv |v i ­ 0 i hv |v i = 0 wtw v = 0
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie h | i : V × V → C
będące
• symetryczne: hv |w i = hw |v i∗
• liniowe w drugim argumencie:
hv |αw + βzi = αhv |w i + βhv |zi
• dodatnio określone hv |v i ­ 0 i hv |v i = 0 wtw v = 0
Iloczyn skalarny definiuje normę na V ||v ||2 = hv |v i
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie h | i : V × V → C
będące
• symetryczne: hv |w i = hw |v i∗
• liniowe w drugim argumencie:
hv |αw + βzi = αhv |w i + βhv |zi
• dodatnio określone hv |v i ­ 0 i hv |v i = 0 wtw v = 0
Iloczyn skalarny definiuje normę na V ||v ||2 = hv |v i
Mówimy, że baza {v1 , . . . vk } jest ortonormalna gdy
• ||vi || = 1 (mówimy, że vi jest znormalizowany)
• hvi |vj i = 0 dla i 6= j
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie h | i : V × V → C
będące
• symetryczne: hv |w i = hw |v i∗
• liniowe w drugim argumencie:
hv |αw + βzi = αhv |w i + βhv |zi
• dodatnio określone hv |v i ­ 0 i hv |v i = 0 wtw v = 0
Iloczyn skalarny definiuje normę na V ||v ||2 = hv |v i
Mówimy, że baza {v1 , . . . vk } jest ortonormalna gdy
• ||vi || = 1 (mówimy, że vi jest znormalizowany)
• hvi |vj i = 0 dla i 6= j
Jeśli v = (α1 , . . . , αk ) i w = (β1 , . . . , βk ) względem jakiejś
P
ortonormalnej bazy to hv |w i = i αi∗ βi
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Przypomnienie podstawowych faktów z algebry liniowej iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym nazywamy odwzorowanie h | i : V × V → C
będące
• symetryczne: hv |w i = hw |v i∗
• liniowe w drugim argumencie:
hv |αw + βzi = αhv |w i + βhv |zi
• dodatnio określone hv |v i ­ 0 i hv |v i = 0 wtw v = 0
Iloczyn skalarny definiuje normę na V ||v ||2 = hv |v i
Mówimy, że baza {v1 , . . . vk } jest ortonormalna gdy
• ||vi || = 1 (mówimy, że vi jest znormalizowany)
• hvi |vj i = 0 dla i 6= j
Jeśli v = (α1 , . . . , αk ) i w = (β1 , . . . , βk ) względem jakiejś
P
ortonormalnej bazy to hv |w i = i αi∗ βi
Przestrzenią Hilberta nazywamy dowolną przestrzeń wektorową z
iloczynem skalarnym będąca zupełna w normie indukowanej przez
ten iloczyn (ale my się ograniczymy do Cd ).
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Aksjomaty mechaniki kwantowej
Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych
(choć może nieintuicyjnych) aksjomatach.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Aksjomaty mechaniki kwantowej
Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych
(choć może nieintuicyjnych) aksjomatach.
• Zasada superpozycji: mówi nam o tym w jakich stanach może
znajdować się układ kwantowy oraz w jakim stanie może
znajdować się układ złożony z dwóch niezależnych
podukładów
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Aksjomaty mechaniki kwantowej
Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych
(choć może nieintuicyjnych) aksjomatach.
• Zasada superpozycji: mówi nam o tym w jakich stanach może
znajdować się układ kwantowy oraz w jakim stanie może
znajdować się układ złożony z dwóch niezależnych
podukładów
• Zasada pomiaru: mówi nam, jakie informacje są dostępne
obserwatorowi układu kwantowego
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Aksjomaty mechaniki kwantowej
Mechanika kwantowa jest zbudowana na kilku bardzo prostych
(choć może nieintuicyjnych) aksjomatach.
• Zasada superpozycji: mówi nam o tym w jakich stanach może
znajdować się układ kwantowy oraz w jakim stanie może
znajdować się układ złożony z dwóch niezależnych
podukładów
• Zasada pomiaru: mówi nam, jakie informacje są dostępne
obserwatorowi układu kwantowego
• Unitarna ewolucja: mówi nam, w jaki sposób układ kwantowy
ewoluuje w czasie
Wstęp historyczny
Podstawy
Qubity
Rozważmy atom wodoru
Mechanika kwantowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Qubity
Rozważmy atom wodoru
Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z
konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako |0i i |1i
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Qubity
Rozważmy atom wodoru
Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z
konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako |0i i |1i
Mechanika kwantowa mówi, że może on też znajdować się w
dowolnej wypukłej superpozycji tych stanów. Czyli stan elektronu
w ogólności równy jest |ei = α|0i + β|1i, gdzie |α|2 + |β|2 = 1.
Układ kwantowy posiadający dwa stany bazowe nazywamy
qubitem
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Qubity
Rozważmy atom wodoru
Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z
konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako |0i i |1i
Mechanika kwantowa mówi, że może on też znajdować się w
dowolnej wypukłej superpozycji tych stanów. Czyli stan elektronu
w ogólności równy jest |ei = α|0i + β|1i, gdzie |α|2 + |β|2 = 1.
Układ kwantowy posiadający dwa stany bazowe nazywamy
qubitem
Oczywiście nie oznacza to, że elektron może być pomiędzy
orbitami 0 i 1.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Qubity
Rozważmy atom wodoru
Prawo Bohra mówi, że elektron może znajdować się na jednej z
konkretnych orbit. Np. 0 lub 1. Oznaczmy, te stany jako |0i i |1i
Mechanika kwantowa mówi, że może on też znajdować się w
dowolnej wypukłej superpozycji tych stanów. Czyli stan elektronu
w ogólności równy jest |ei = α|0i + β|1i, gdzie |α|2 + |β|2 = 1.
Układ kwantowy posiadający dwa stany bazowe nazywamy
qubitem
Oczywiście nie oznacza to, że elektron może być pomiędzy
orbitami 0 i 1.
Jak w takim razie interpretować tę superpozycję ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować |0i i |1i jako
wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą
obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To
dowolny stan układu |ei = α|0i + β|1i jest także wektorem w H o
normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β).
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować |0i i |1i jako
wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą
obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To
dowolny stan układu |ei = α|0i + β|1i jest także wektorem w H o
normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β).
Okazuje się, że współczynniki α i β nie są bezpośrednio dostępne
obserwatorowi - należą one do ’prywatnego’ świata elektronu.
Obserwator może jedynie przeprowadzić pomiar, którego wynik
będzie zależał od nich - będąc w ten sposób jakimś estymatorem
ich wartości.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować |0i i |1i jako
wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą
obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To
dowolny stan układu |ei = α|0i + β|1i jest także wektorem w H o
normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β).
Okazuje się, że współczynniki α i β nie są bezpośrednio dostępne
obserwatorowi - należą one do ’prywatnego’ świata elektronu.
Obserwator może jedynie przeprowadzić pomiar, którego wynik
będzie zależał od nich - będąc w ten sposób jakimś estymatorem
ich wartości.
Przez pomiar w mechanice kwantowej rozumiemy wybranie jakiejś
bazy {|e1 i, . . . , |ek i} w przestrzeni H odpowiadającej danemu
układowi i zrzutowaniu wektora stanu |φi tego układu na tę bazę.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Po pierwsze, zauważmy, że jeśli interpretować |0i i |1i jako
wyróżnione ortonormalne wektory bazowe (zwane też bazą
obliczeniową) w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta H. To
dowolny stan układu |ei = α|0i + β|1i jest także wektorem w H o
normie 1 który w bazie obliczeniowej wyraża się jako (α, β).
Okazuje się, że współczynniki α i β nie są bezpośrednio dostępne
obserwatorowi - należą one do ’prywatnego’ świata elektronu.
Obserwator może jedynie przeprowadzić pomiar, którego wynik
będzie zależał od nich - będąc w ten sposób jakimś estymatorem
ich wartości.
Przez pomiar w mechanice kwantowej rozumiemy wybranie jakiejś
bazy {|e1 i, . . . , |ek i} w przestrzeni H odpowiadającej danemu
układowi i zrzutowaniu wektora stanu |φi tego układu na tę bazę.
P
Dokładniej niech |φi = i αi |ei i. Wtedy wynikiem takiego
pomiaru jest z prawdopodobieństwem |αi |2 wynik i, a układ jest od
tej pory w stanie |ei i
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Przykład: pomiar stanu elektronu w bazie obliczeniowej.
|ei = α|0i + β|1i. A więc z prawdopodobieństwem |α|2 pomiar da
wynik odpowiadający stanowi 0 (|ei = |0i po pomiarze) i z
prawdopodobieństwem |β|2 = 1 − |α|2 wynikiem będzie stan 1
(|ei = |1i).
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Przykład: pomiar stanu elektronu w bazie obliczeniowej.
|ei = α|0i + β|1i. A więc z prawdopodobieństwem |α|2 pomiar da
wynik odpowiadający stanowi 0 (|ei = |0i po pomiarze) i z
prawdopodobieństwem |β|2 = 1 − |α|2 wynikiem będzie stan 1
(|ei = |1i).
Zauważmy, że pod wpływem pomiaru stan układu się zmienia. Ma
to daleko idące konsekwencje dla kwantowej teorii informacji (tzw.
no-cloning theorem) i jest podstawą np. całkowicie bezpiecznej
dystrybucji klucza w kanale publicznym
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Przykład: pomiar stanu elektronu w bazie obliczeniowej.
|ei = α|0i + β|1i. A więc z prawdopodobieństwem |α|2 pomiar da
wynik odpowiadający stanowi 0 (|ei = |0i po pomiarze) i z
prawdopodobieństwem |β|2 = 1 − |α|2 wynikiem będzie stan 1
(|ei = |1i).
Zauważmy, że pod wpływem pomiaru stan układu się zmienia. Ma
to daleko idące konsekwencje dla kwantowej teorii informacji (tzw.
no-cloning theorem) i jest podstawą np. całkowicie bezpiecznej
dystrybucji klucza w kanale publicznym
Inny przykład: |ei = α|0i + β|1i i pomiar w bazie
|+i = √12 (|0i + |1i), |−i = √12 (|0i − |1i).
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Pomiar
Wynik
|ei = α|0i + β|1i = α( √12 (|+i + |−i)) + β( √12 (|+i − |−i)) =
√1 ((α
2
+ β)|+i + (α − β)|−i).
Czyli z prawdopodobieństwem 21 (|α + β|2 ), |ei = |+i po pomiarze
i z prawd. 12 (|α − β|2 ), |ei = |−i.
Wstęp historyczny
Podstawy
Dwa qubity
Co jeśli będziemy mieli dwa qubity ?
Mechanika kwantowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Dwa qubity
Co jeśli będziemy mieli dwa qubity ?
Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru
Mechanika kwantowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Co jeśli będziemy mieli dwa qubity ?
Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru
Klasycznie mamy cztery możliwe stany |00i, |01i, |10i i |11i.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Co jeśli będziemy mieli dwa qubity ?
Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru
Klasycznie mamy cztery możliwe stany |00i, |01i, |10i i |11i.
Z zasady superpozycji układ ten może być w dowolnym stanie
|φi = α00 |00i + α10 |10i + α01 |01i + α11 |11i
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Co jeśli będziemy mieli dwa qubity ?
Rozważmy na przykład dwa atomy wodoru
Klasycznie mamy cztery możliwe stany |00i, |01i, |10i i |11i.
Z zasady superpozycji układ ten może być w dowolnym stanie
|φi = α00 |00i + α10 |10i + α01 |01i + α11 |11i
Co z pomiarami ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie
bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób
opisany wcześniej.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie
bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób
opisany wcześniej.
Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to
pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz
dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie
podprzestrzenie ortogonalne.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie
bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób
opisany wcześniej.
Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to
pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz
dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie
podprzestrzenie ortogonalne.
Podprzestrzenie S, S 0 ⊆ H nazywamy ortogonalnymi, gdy dla
każdych v ∈ S, v 0 ∈ S 0 hv |v 0 i = 0.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie
bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób
opisany wcześniej.
Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to
pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz
dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie
podprzestrzenie ortogonalne.
Podprzestrzenie S, S 0 ⊆ H nazywamy ortogonalnymi, gdy dla
każdych v ∈ S, v 0 ∈ S 0 hv |v 0 i = 0.
Przykład: |φi = α00 |00i + α10 |10i + α01 |01i + α11 |11i,
chcemy zmierzyć na której orbicie jest pierwszy elektron (nie
interesuje nas pozycja drugiego elektronu)
’Oczywiście’ prawdopodobieństwo, że pierwszy elektron jest na
orbicie i wynosi |αi0 |2 + |αi1 |2 . Zaś po pomiarze układ będzie w
αi0 |i0i+αi1 |i1i
stanie |φ0 i = √
2
2
|αi0 | +|αi1 |
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Dwa qubity
Oczywiście, możemy po prostu wykonać pomiar poprzez wskazanie
bazy (czteroelementowej) i zrzutowanie wektora stanu w sposób
opisany wcześniej.
Jednakże, możliwe są jeszcze tzw. częściowe pomiary. Są to
pomiary w których nie wybieramy pełnej bazy pomiarowej lecz
dokonujemy podziału przestrzeni H na więcej niż dwie
podprzestrzenie ortogonalne.
Podprzestrzenie S, S 0 ⊆ H nazywamy ortogonalnymi, gdy dla
każdych v ∈ S, v 0 ∈ S 0 hv |v 0 i = 0.
Przykład: |φi = α00 |00i + α10 |10i + α01 |01i + α11 |11i,
chcemy zmierzyć na której orbicie jest pierwszy elektron (nie
interesuje nas pozycja drugiego elektronu)
’Oczywiście’ prawdopodobieństwo, że pierwszy elektron jest na
orbicie i wynosi |αi0 |2 + |αi1 |2 . Zaś po pomiarze układ będzie w
αi0 |i0i+αi1 |i1i
stanie |φ0 i = √
Widzimy, że mimo zmiany stanu wciąż
2
2
|αi0 | +|αi1 |
nie mamy pewności co do stanu drugiego elektronu.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Iloczyn tensorowy
Rozważmy teraz dwa qubity , które są od siebie niezależne.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Iloczyn tensorowy
Rozważmy teraz dwa qubity , które są od siebie niezależne.
Każdemu z nich odpowiada wektor jednostkowy
|ei i = αi |0i i + βi |1i i w przestrzeni Hilberta C2 . Wiemy też, że
układowi złożonemu z tych dwóch atomów odpowiada wektor
jednostkowy |e1 e2 i w przestrzeni Hilberta C4 .
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Iloczyn tensorowy
Rozważmy teraz dwa qubity , które są od siebie niezależne.
Każdemu z nich odpowiada wektor jednostkowy
|ei i = αi |0i i + βi |1i i w przestrzeni Hilberta C2 . Wiemy też, że
układowi złożonemu z tych dwóch atomów odpowiada wektor
jednostkowy |e1 e2 i w przestrzeni Hilberta C4 .
Jaki jest związek pomiędzy |e1 e2 i i |ei i ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Iloczyn tensorowy
Rozważmy teraz dwa qubity , które są od siebie niezależne.
Każdemu z nich odpowiada wektor jednostkowy
|ei i = αi |0i i + βi |1i i w przestrzeni Hilberta C2 . Wiemy też, że
układowi złożonemu z tych dwóch atomów odpowiada wektor
jednostkowy |e1 e2 i w przestrzeni Hilberta C4 .
Jaki jest związek pomiędzy |e1 e2 i i |ei i ?
Odpowiedz:
|e1 e2 i = |e1 i ⊗ |e2 i = (α1 |01 i + β1 |11 i) ⊗ (α2 |02 i + β2 |12 i) =
α1 α2 |01 02 i + α1 β2 |01 12 i + β1 α2 |11 02 i + β1 β2 |11 12 i
Gdzie formalna definicja iloczynu tensorowego ⊗ zostanie
podana później
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Splątanie
Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów |e1 e2 i da się
wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów |ei i ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Splątanie
Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów |e1 e2 i da się
wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów |ei i ?
Innymi słowy, czy każdy układ dwu qubitowy da się podzielić na
dwa niezależne qubity?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Splątanie
Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów |e1 e2 i da się
wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów |ei i ?
Innymi słowy, czy każdy układ dwu qubitowy da się podzielić na
dwa niezależne qubity?
Jak łatwo się przekonać, odpowiedź brzmi ”nie”. A bardzo ważnym
przykładem takiego stanu dwuqubitowego jest √12 (|00i + |11i)
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Splątanie
Pytanie: Czy każdy stan układu dwóch qubitów |e1 e2 i da się
wyrazić jako iloczyn tensorowy dwóch qubitów |ei i ?
Innymi słowy, czy każdy układ dwu qubitowy da się podzielić na
dwa niezależne qubity?
Jak łatwo się przekonać, odpowiedź brzmi ”nie”. A bardzo ważnym
przykładem takiego stanu dwuqubitowego jest √12 (|00i + |11i)
Stany o takiej własności tzn. takie których nie da się przedstawić
jako iloczyn tensorowy podukładów nazywamy stanami
splątanymi. A korelację (nie niezależnych) podukładów okazują się
nieznanym nigdzie poza mechaniką kwantową zjawiskiem zwanym
splątaniem. Okazuje się, że praktycznie wszystkie fenomeny
kryptografii kwantowej wywodzą się z istnienia splątania.
Wstęp historyczny
Podstawy
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Mechanika kwantowa
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Rozważmy stan |φi = √12 (|00i + |11i). Zauważmy, że jeśli
zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest
dokładnie taka sama.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Rozważmy stan |φi = √12 (|00i + |11i). Zauważmy, że jeśli
zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest
dokładnie taka sama.
Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Rozważmy stan |φi = √12 (|00i + |11i). Zauważmy, że jeśli
zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest
dokładnie taka sama.
Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem.
Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od
siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji
szybszej od światła ?
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Rozważmy stan |φi = √12 (|00i + |11i). Zauważmy, że jeśli
zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest
dokładnie taka sama.
Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem.
Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od
siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji
szybszej od światła ?
Nie, ale wciąż to zachowanie wydaje się dziwne i nieintuicyjne
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Rozważmy stan |φi = √12 (|00i + |11i). Zauważmy, że jeśli
zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest
dokładnie taka sama.
Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem.
Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od
siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji
szybszej od światła ?
Nie, ale wciąż to zachowanie wydaje się dziwne i nieintuicyjne
Jak to wytłumaczyć ? Pomysł Einsteina-Podolskiego-Rosenberga
był taki: podczas stworzenia stanu splątanego obie cząstki
’ustalają’ (baardzo długą) listę możliwych pomiarów jakim mogą
być poddawane i ustalają jaki powinien być ich wynik. Później, po
rozdzieleniu w przypadku pomiaru po prostu zachowują się
stosownie do tych ustaleń.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Paradoks EPR
Jak splątanie działa w praktyce ?
Rozważmy stan |φi = √12 (|00i + |11i). Zauważmy, że jeśli
zmierzymy wartość pierwszego bitu to wartość drugiego bitu jest
dokładnie taka sama.
Co więcej wiemy jaka ta wartość będzie przed jej pomiarem.
Ale przecież nie jest powiedziane, że oba qubity nie są oddalone od
siebie o setki lat świetlnych. Czyżby możliwość komunikacji
szybszej od światła ?
Nie, ale wciąż to zachowanie wydaje się dziwne i nieintuicyjne
Jak to wytłumaczyć ? Pomysł Einsteina-Podolskiego-Rosenberga
był taki: podczas stworzenia stanu splątanego obie cząstki
’ustalają’ (baardzo długą) listę możliwych pomiarów jakim mogą
być poddawane i ustalają jaki powinien być ich wynik. Później, po
rozdzieleniu w przypadku pomiaru po prostu zachowują się
stosownie do tych ustaleń.
Wydaje się to brzmieć rozsądnie - poza tym Einstein to mądry
człowiek...
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika
kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie
udowodnić, że EPR się mylili.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika
kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie
udowodnić, że EPR się mylili.
Służą temu tzw. nierówności Bella
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika
kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie
udowodnić, że EPR się mylili.
Służą temu tzw. nierówności Bella
Rozważmy następujące dwa protokoły rozgrywane pomiędzy Alicją
(A) i Bobem (B):
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika
kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie
udowodnić, że EPR się mylili.
Służą temu tzw. nierówności Bella
Rozważmy następujące dwa protokoły rozgrywane pomiędzy Alicją
(A) i Bobem (B):
Klasyczny: Alicja i Bob współdzielą jakiś ustalony przez nich
wcześniej ciąg znaków S. Następnie otrzymują niezależne bity XA i
XB (każdy ma swój tylko) i ich zadaniem jest podanie takich a i b
(przez odpowiednio Alicję i Boba), że XA ∧ XB = a ⊕ b
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
...ale i tutaj się poważnie mylił. Nie tylko dlatego, że mechanika
kwantowa postuluje coś innego. My potrafimy eksperymentalnie
udowodnić, że EPR się mylili.
Służą temu tzw. nierówności Bella
Rozważmy następujące dwa protokoły rozgrywane pomiędzy Alicją
(A) i Bobem (B):
Klasyczny: Alicja i Bob współdzielą jakiś ustalony przez nich
wcześniej ciąg znaków S. Następnie otrzymują niezależne bity XA i
XB (każdy ma swój tylko) i ich zadaniem jest podanie takich a i b
(przez odpowiednio Alicję i Boba), że XA ∧ XB = a ⊕ b
Kwantowy: Alicja i Bob współdzielą stan |φi = √12 (|00i + |11i).
Następnie otrzymują niezależne bity XA i XB (każdy ma swój
tylko) i ich zadaniem jest podanie takich a i b (przez odpowiednio
Alicję i Boba), że XA ∧ XB = a ⊕ b.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Można udowodnić, że najlepsze co mogą zrobić Alicja i Bob w
przypadku klasycznym, to przyjąć strategię wg której zawsze
zwracają a = b = 0. Czyli udaje im się otrzymać równość
XA ∧ XB = a ⊕ b z prawdopodobieństwem 0, 75. Jest to implikacja
tzw. nierówności Bella, które podaje się w terminach wartości
oczekiwanych.
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Można udowodnić, że najlepsze co mogą zrobić Alicja i Bob w
przypadku klasycznym, to przyjąć strategię wg której zawsze
zwracają a = b = 0. Czyli udaje im się otrzymać równość
XA ∧ XB = a ⊕ b z prawdopodobieństwem 0, 75. Jest to implikacja
tzw. nierówności Bella, które podaje się w terminach wartości
oczekiwanych.
Jednakże w kwantowej wersji protokołu można to zrobić lepiej
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Można udowodnić, że najlepsze co mogą zrobić Alicja i Bob w
przypadku klasycznym, to przyjąć strategię wg której zawsze
zwracają a = b = 0. Czyli udaje im się otrzymać równość
XA ∧ XB = a ⊕ b z prawdopodobieństwem 0, 75. Jest to implikacja
tzw. nierówności Bella, które podaje się w terminach wartości
oczekiwanych.
Jednakże w kwantowej wersji protokołu można to zrobić lepiej
• jeśli XA = 0 Alicja dokonuje pomiaru w bazie standardowej i
zwraca wynik jako a
• jeśli XA = 1 Alicja dokonuje pomiaru w bazie standardowej
obróconej o
Π
8
i zwraca wynik jako a
• jeśli XB = 0 Bob dokonuje pomiaru w bazie standardowej i
zwraca dopełnienie wyniku jako b
• jeśli XB = 1 Bob dokonuje pomiaru w bazie standardowej
obróconej o − Π8 i zwraca dopełnienie wyniku jako b
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Interesuje nas
P
Pr [a ⊕ b 6= XA ∧ XB ] = XA ,XB 14 Pr [a ⊕ b 6= XA ∧ XB |XA , XB ]
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Interesuje nas
P
Pr [a ⊕ b 6= XA ∧ XB ] = XA ,XB 14 Pr [a ⊕ b 6= XA ∧ XB |XA , XB ]
Liczymy
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Interesuje nas
P
Pr [a ⊕ b 6= XA ∧ XB ] = XA ,XB 14 Pr [a ⊕ b 6= XA ∧ XB |XA , XB ]
Liczymy
Czyli
Wstęp historyczny
Podstawy
Mechanika kwantowa
Nierówności Bella
Co więcej, powyższy protokół można zaimplementować i zrobiono
to w przypadku trochę innego acz analogicznego protokołu. Wyniki
wydają się jednoznacznie potwierdzać powyższe wyliczenia tym
samym odrzucając teorię ukrytych zmiennych