w n-ty wymiar

Wycieczka
w n-ty wymiar
Jak narysować sześcian? Musimy zmieścić
trzy wymiary w dwóch !!
Sześcian moŜemy skonstruować przesuwając kwadrat wzdłuŜ „trzeciego
wymiaru ”. Patrzymy na niebiesko-czarne równoległoboki, ale bez trudu
wyobraŜamy sobie, Ŝe to są kwadraty!!!
Konstrukcja kostki wymiaru 4
• I oto sześcian. Krawędzie odpowiadające róŜnym
kierunkom w przestrzeni są zaznaczone róŜnymi kolorami.
To tak, jakby zamiast x, y, z pisać czarny, niebieski, zielony.
• Następnie przesuwamy nasz sześcian wzdłuŜ czwartego
wymiaru. NiewaŜne, gdzie ten czwarty wymiar jest.
Musimy znaleźć dla niego miejsce na płaszczyźnie
(podobnie jak dla wymiaru numer 3). Niech nowy wymiar
będzie czerwony i na rysunku biegnie w prawo w dół.
Kostka czterowymiarowa,
hipersześcian
Ile wierzchołków ma taka kostka?
Odp: 2 razy tyle, co sześcian, czyli 16 .
Ile ma krawędzi ?: tyle co dwa
sześciany plus 8 , czyli 32 .
Ile ma ścian wymiaru 2 : 24
I jeszcze „ściany” wymiaru 3, jest ich 8.
ZauwaŜmy, Ŝe 16 - 32 + 24 – 8 = 0 .
Obliczmy ( 2x + 1 ) 4 =
= 16x4 + 32x3 +
+ 24x2 + 8x + 1.
Liczba ścian wymiaru
to współczynnik przy
w rozwinięciu
k
xk
( 2x + 1 )
n
W kostce wymiaru n liczba ścian wymiaru k
to współczynnik przy xk
w rozwinięciu ( 2x + 1 ) n
• Ściana wymiaru k
PomnóŜmy jakiś wielomian przez 2x+1.
powstaje albo z
Jak tworzą się współczynniki iloczynu ?
przeciągnięcia jednej
k + a
k-1 + ... )
(....
+
a
x
x
ściany k-1
k
k-1
wymiarowej w
×(2 x + 1)=
„następnym
wymiarze” albo jest
= ..... ( 2ak-1 + ak ) xk
ścianą k-wymiarową
w jednej z dwóch
podstaw!
Obliczmy wartość (2x+1) dla x = -1 oraz dla x = 1.
Suma naprzemienna = (-1)n, suma zwykła = 3n
Przekątna kostki czterowymiarowej
• Widoczny róŜowy trójkąt jest
prostokątny. Jedna z
przyprostokątnych jest
krawędzią kostki, druga –
przekątną „zwykłego”
sześcianu. Zatem z twierdzenia
Pitagorasa obliczamy, Ŝe
długość przeciwprostokątnej to
1 + 3 = 1+3= 4=2
2
2
Indukcja: przekątna
kostki wymiaru n ma
długość
n
Zadanie o kulach wpisanych
• W naroŜa kostki wymiaru n
wpisano kule jednakowych
rozmiarów, styczne do
kostki i styczne do siebie
wzajemnie. Obliczyć
promień tych kul.
• Między te kule wpisano kulę
styczną. Obliczyć jej
promień.
????????
• Odp.
4r+1=
1/2
n
• 24-cell
4-symplex
Czworościan i sześcian
• Czy w dowolnym wymiarze n teŜ tak jest?
Cztery Ŝywioły i kosmos
Ogień
Woda
Ziemia
Powietrze
Kosmos
Cztery Ŝywioły i Kosmos
Mysterium cosmographicum (1596)
6
r=
2
1
r=
2
r=
r=
3
R=
8
3
R=
2
1
Promień kuli wpisanej i
kuli opisanej na
wielościanie foremnym o
krawędzi 1.
1
R=
<<Geometry`Polytopes`
6
2
250 + 110 5
20
42 + 18 5
r=
12
R=
3 + 15
4
10 + 2 5
R=
4
Mysterium
cosmographicum
Johanne
s Kepler
(1571-1630)
Johannes Kepler: Mysterium
Cosmographicum, 1596:
Ziemia jest miarą wszystkiego.
Opisz na niej dwunastościan, koło
go obejmujące będzie Marsem.
Opisz na Marsie czworościan, koło
go obejmujące będzie Jowiszem.
Opisz sześcian na Jowiszu, koło
go obejmujące będzie Saturnem. A
teraz w Ziemię wpisz
dwudziestościan, koło w niego
wpisane będzie Wenus. Wpisz w
Wenus ośmiościan, koło w niego
wpisane będzie Merkurym. Oto jaka
jest przyczyna liczby planet.
Odległości planet od Słońca:
Merkury 58, Wenus 108,
Ziemia 150, Mars 228,
Jowisz 788, Saturn 1424.
…oto jaka jest przyczyna liczby planet…
Naprawdę
58 mln km
0,387
108 mln km
0,720
150 mln km
1
228 mln km
1,520
778 mln km
5,187
1424 mln km
9,493
Według teorii Keplera
0,459
0,795
1
1,258
3,375
6,539
Sympleks wymiaru n
S
hn =
n +1
1 n +1
, vn =
2n
n! 2 n
Widzimy, Ŝe wysokość dąŜy do 1/√
√2 = √2 /2 ,
„zaczyna” zaś od √3 / 2 .
Objętość do zera.
Pole powierzchni teŜ do zera.
Obliczmy kąt nachylenia krawędzi do podstawy.
Sinus kąta ABH to hn . DąŜy on do 45 stopni.
Objętości w wysokich wymiarach
n +1
1 n +1 n
hn =
a n , vn =
an
n
2n
n! 2
• Wyznaczyć długość krawędzi sympleksu nwymiarowego o objętości 1 .
2 ⋅ n n!
=
a
n
2n
• Rozwiązanie:
n +1
• Na przykład dla n = 10
500
• jest to około 5,68
400
• Wykres funkcji
• długości krawędzi
• sympleksu o obj. 1
300
200
100
200
400
600
800
1000
Zadanie
• W naroŜa sympleksu
wymiaru n wpisano kule
jednakowych rozmiarów,
styczne do sympleksu i
styczne do siebie
wzajemnie. Obliczyć
promień tych kul.
• Między te kule wpisano
kulę styczną. Obliczyć jej
promień.
Opór kostki
• Do
przeciwległych
wierzchołków
sześcianu
podłączono
prąd. Opór
kaŜdej krawędzi
jest równy 1.
Wyznaczyć opór
całego układu.
3
I
Opór kostki I4
• Transportujemy 12 worków z
punktu Ŝółtego do czerwonego.
Na pierwszym odcinku (Ŝółtybrązowy) dzielimy na 4 po 3.
Potrzebujemy zatem 3
jednostek czasu. Na drugim
odcinku puszczamy po 1. Na
trzecim (brązowy-fioletowy)
• to samo. Na czwartym
(fioletowy-zielony) tak, jak na
pierwszym, szybkość 1/3.
Łącznie: transportujemy cięŜar
12 w czasie
• 3 + 1 + 1 + 3 = 8.
• Odpowiedź:
Zadanie. Do przeciwległych wierzchołków
kostki In podłączono prąd. Opór kaŜdej
krawędzi kostki jest równy 1. Wyznaczyć
opór układu.
• Odpowiedź:
Ωn =
n −1
∑ n
1
k =0 
 k (n − k )
 
1 n −1
= ∑ k!(n − k − 1)!
n! k =1
Jak obliczyć Ωn
?
Do czego dąŜy
Ωn przy n ∞
?
Opór n-kostki
0.2
0.15
0.1
0.05
20
40
60
80
100
Dla n = 100 opór jest
równy w przybliŜeniu
0,0202063, a dokładnie
Kółko i krzyŜyk dla
matematyka
• Potnijmy sześcian na 4 × 4 × 4 małe kostki.
Gracze stawiają na przemian kółka i krzyŜyki
(albo kropki róŜnych kolorów) w kostkach.
Wygrywa ten, kto pierwszy ustawi swoje cztery
symbole w jednej linii.
• Ćwiczenie (na zrozumienie reguł). Ten, na kogo
przypada ruch, wygrywa. Gdzie ma postawić?
Kółko i krzyŜyk dla prawdziwego matematyka
Oto kostka I4.
Ustaw swoje
kropki na jednej
linii.
Narysuj kostkę
I5 , pociętą na
66 kosteczek i
.....
grajnie
A moŜe
trzeba
rysować?
Co ona i on robią w przestrzeni ?
• W przeciwległych
wierzchołkach sześcianu
siedzą mucha i pająk.
Mucha zaczyna łazić po
krawędziach sześcianu
wybierając co minutę
losowo jeden z kierunków.
Wyznaczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe
mucha przeŜyje n (minut).
• Punkt widzenia pająka:
prawdopodobieństwo
obiadu po co najwyŜej n
minutach.
Okrągłości podobają się
wszystkim...
Czyli o sferze; oczywiście
w n wymiarach!!!!
Hegel: zabawki dla dzieci są
symbolami metafizycznymi
• Piłka: symbol jedności
wszechogarniającej świat; Ball = Bild
vom All .
• Sześcian – symbol równości w
jedności;
• Kula reprezentuje ruch (teza)
• Sześcian reprezentuje spoczynek
(antyteza)
• Walec łączy te dwie sprzeczności
Sphere
The God is a circle whose centre is everywhere
and circumference nowhere (medieval)
Okrągłości podobają się wszystkim...
.
czyli o sferze; oczywiście w n wymiarach!!!!
Okrągłości podobają się wszystkim
Sfera jest powierzchnią zamkniętą, bez brzegu: nie ma takiej linii,
za którą sfery by juŜ nie było. Ogranicza pewien obszar:
wnętrze kuli. Oglądana z kaŜdej strony wygląda zawsze jak
koło. Ze względu na doskonałą symetrię nadaje się do gier:
toczy się gładko i równo – inaczej niŜ elipsoidalna piłka do
rugby czy futbolu amerykańskiego. Ma stałą, niezerową
krzywiznę i dlatego właśnie nie da się izometrycznie połoŜyć
na płaszczyźnie. KaŜda mapa musi coś zniekształcać.
Kuli pokrytej włosami nie moŜna gładko zaczesać; zawsze jest co
najmniej jeden punkt, w którym włosy utworzą wir bez określonego
kierunku. To cytat ze słynnej ksiąŜki Kalejdoskop Matematyczny
Hugona Steinhausa (1882 – 1976), wyraŜający popularnie
znakomite twierdzenie Karola Borsuka (1905 – 1982): nie
istnieje ciągłe pole wektorowe nigdzie nie znikające na sferze.
Inne twierdzenie Borsuka o sferze: sfera nie jest retraktem kuli.
Jeszcze jedno moŜna popularnie sformułować tak: w kaŜdym
momencie są na Ziemi dwa antypodyczne miejsca, w których
jest taka sama temperatura i takie samo ciśnienie.
Objętość i pole powierzchni sfery n-wymiarowej
–
=
Jak by się Ŝyło w wysokich wymiarach?
• –
W przestrzeniach o wyŜszych wymiarach byśmy marzli, ale
bylibyśmy zwinniejsi.
• –
Sprawdzić ani udowodnić się nie da, to tylko czyste spekulacje,
zabawa intelektualna. Ale pouczająca. Spójrzmy na wzory. Stosunek
objętości kuli do pola jej powierzchni jest gorszy niŜ w naszym
świecie. PoniewaŜ ciepło ucieka z ciała (albo wnika do niego) całą
powierzchnią, więc im gorszy ten stosunek, tym łatwiej upiec jabłko w
piekarniku i tym szybciej tracimy ciepło na mrozie.
•
Mięśnie są blisko powierzchni ciała. Zatem im więcej ciała jest bliŜej
powierzchni, tym zwierzę jest zwinniejsze. Wystarczy porównać
słonia i mysz. W przestrzeni czterowymiarowej tej stosunek działałby
na naszą korzyść.
Homotopia
• Pierwsza grupa homotopii mierzy ile i jakie dziury są w przestrzeni.
• Matematyk rzekł zdziwiony:
• Ona nie ma drugiej strony!!!!
• Godzinami tnę ją wzdłuŜ • Ona cała jest i juŜ.
• A ja jestem juŜ zmęczony.
Hipoteza Poincaré
• Henri Poincaré (1854 – 1912) moŜna nazwać „ojcem
topologii”, zwanej wtedy Analysis Situs (analiza
połoŜenia).
• Hipoteza Henri Poincaré (1854 – 1912). Czy kaŜda spójna
i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest
sferą S3 ?
• Problem nie rozwiązany od blisko 100 lat.
• Dla sfery wymiaru n > 5 rozstrzygnął to Stephen Smale w
latach 60-ych. Dla n = 4 Michael Freedman w latach 80ych. Obaj dostali medale Fieldsa.
• W 2000 roku hipoteza Poincare została uznana
przez Instytut Claya za jeden z siedmiu
najwaŜniejszych problemów matematyki. Za
rozwiązanie kaŜdego z nich czeka nagroda w
wysokości miliona dolarów.
Kody
Dante Alighieri, Boska komedia – ostatnie wersy.
All’alta fantasia qui manco’ possa
Ma gia’ volgeva il mio disio e l’velle, •
Si come nota ch’igualmente é mossa,•
L’amor che move il sole e altre stelle.•
Dalej fantazja
moja nie nadąŜy.
A juŜ wtórzyła
pragnieniu i woli
Jak koło, które w
parze z kołem
krąŜy.
• Miłość, co wprawia
w ruch słońce i
gwiazdy.