Wskaźniki zdolności procesu

Opracowanie to z drobnymi zmianami zostało opublikowane pt. Współczynniki zdolności
procesu i jego związki z rozkładem normalnym w Problemach Jakości 2001 nr 9 s. 26
1. WSKAŹNIKI ZDOLNOŚCI PROCESU
Badania procesu ze względu na podatność do wytwarzania wyrobów poza przyjętą
tolerancją określa się wieloma równorzędnymi wskaźnikami najczęściej stosowane to Cp i Cpk
określające: pierwszy, na ile badany proces potrafi sprostać wymaganiom szerokości pasa
tolerancji co nazywane jest precyzją procesu oraz drugi na ile środek pasa tolerancji pokrywa
się ze średnią wartością badanego parametru (np. grubość taśmy) produkowanych wyrobów
co nazywane jest dokładnością procesu. Wskaźnik Cp jest szerokością pasa tolerancji
odniesioną do sześciokrotnej wariancji badanego parametru czyli zakresu w którym powinno
wystąpić 99,5% wyników pomiarów. Cp jest wielkością bezwymiarową i wynosi.
USL  LSL
6
Wskaźnik Cpk jest stosunkiem mniejszej odległością pomiędzy wartością średnią a
brzegiem tolerancji odniesioną do jednej strony zakresu występowania 99,5% wyników. Cpk
jest wielkością bezwymiarową i wynosi
Cp 
min( USL  X , X  LSL )
C pk 
3
gdzie:
USL = górnej granicy tolerancji ( np. grubości taśmy )
LSL= dolnej granicy tolerancji ( np. grubości taśmy )
 = odchyleniu standardowemu czyli mierze rozrzutu wyników badanego parametru
,który oblicza się jak poniżej
n
 (x

i 1
i
 x)2
n 1
x średnia arytmetyczna wyników pomiaru badanego parametru, liczona jak poniżej
n
x
X
i 1
i
n
Wymagania procesu powodują że dla zwiększenia precyzji dążymy by wartość Cp była
jak największa oraz dla zwiększenia dokładności by Cpk = Cp.
Zastępczo zamiast powyższych wskaźników są stosowane wskaźniki: kd określające
dokładność i kp określające precyzje, wyznaczane w następujący, może bardziej czytelny
sposób. Wskaźnik precyzji procesu kp jest to szerokość pasa tolerancji w jednostkach
wariancji. Wielkość bezwymiarowa, dla procesów dokładnych jest dystrybuantą rozkładu
normalnego.
kp 
USL  LSL

Wskaźnik dokładności procesu kd jest odległością środka pasa tolerancji od wartości
średniej badanego parametru produkowanych wyrobów. Podawany jest w jednostkach miary
badanego parametru i określa o ile należy zmienić ustawienie maszyny lub procesu by proces
był dokładny. Wskaźnik dokładności jest liczony jak poniżej.
USL  LSL
2
Podobnie jak poprzednio dla zwiększenia precyzji procesu dążymy by wskaźnik k p
osiągał wartości maksymalne natomiast dla zwiększenia dokładności dążymy by kd było jak
najbliższe zeru.
kd  X 
2.
Wartości wskaźników
Wartość opisywanych wskaźników dla różnych produktów nie jest stała i zależy od
wymagań stawianych produkowanym wyrobom i tak na ogół Cp jest równe 1 lub
maksymalnie1,33 a Cpk możliwie bliskie Cp. Odpowiednie wymagania dla wskaźników k są:
kp= 6 lub 8 i kd możliwie bliskie zeru.
Wskaźniki zdolności procesu są miernikami pośredniczącymi pomiędzy statystycznym
oszacowaniem rozrzutu wyników z tych procesów a wymogami w postaci tolerancji
narzuconymi na proces przez odbiorcę .Budowa tych wskaźników związana jest z rozkładem
normalnym i zakres ich stosowania wynika z zakresu rozrzutu wyników zgodnego z
rozkładem normalnym. Istnieją ścisłe zależności łączące rozkład normalny z przytoczonymi
wskaźnikami Tab. 9. W warunkach produkcyjnych najwygodniej wiązać niniejsze
wskaźnikami z ilością lub prawdopodobieństwem przekroczenia tolerancji od góry αg i od
dołu αd. Całkowite prawdopodobieństwo przekroczenia tolerancji α jest równe ich sumie.
α = αg + αg
Tab.9 Zależność wskaźników precyzji od prawdopodobieństwa wystąpienia
wybraków α
Poziom wybraków%
α
Cp
kp
5
2
1
0,5
0,2
0,1
0,05
0,01
0,001
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
0,0005
0,0001
0,00001
0.65
0,78
0,86
0,94
1,03
1,10
1,14
1,30
1,47
3,92
4,66
5,16
5,62
6,18
6,58
6,86
7,78
8,84
Powiązanie wartości wskaźników wsadu z jakością wyrobów końcowych w zależności
od ich stopnia skomplikowania dla dokładnego procesu Cpk = Cp , lub kd = 0 przedstawiono
przykładowo w tab. 10.
Sprawdzamy
usterkowość
skomplikowanego
urządzenia
np.
samochodu
produkowanego z 16000 elementów o wymaganej dla produkcji każdego z elementów tego
samochodu precyzji Cp i dokładności Cpk = Cp oraz podobne obliczenia wykonajmy na
przykład dla. roweru o 100 elementach wykonanych wg tych samych wymagań .Wyniki
obliczeń przedstawiono w tablicy poniżej.
Tab.10 Prawdopodobieństwo braku usterek w wyrobie w zależności od ilości
elementów i wskaźnika Cp
Cp
1,03
1,10
1,14
1,30
1,47
% wybraków
wsadu
0.2
0,1
0,05
0,01
0,001
% samochodów
bez wad
0,000
0,000
0,003
20,2
85,2
% rowerów
bez wad
81,9
90,5
95,1
99,0
99,9
Jak widać z danych w tablicy praktycznie nie istnieje możliwość wykonania samochodu
bez wad przy Cp < 1,14 .Gdy przyjmiemy reżim produkcji określony przez Cp = 1,30 ilość
samochodów bez wad wynosi zaledwie około 20. Natomiast urządzenia mniej
skomplikowane budowane ze 100 tak samo wykonanych elementów na przykład rowery są w
efekcie w 99% bez usterek.
Wynika zatem potrzeba stosowania różnych wymagań odnośnie dopuszczalnej
wadliwości elementów składowych. Czynnikami o tym decydującymi są zarówno wymagany
poziom niezawodności wyrobu ,stopień skomplikowania a także koszty stosowania
odpowiednio zawyżonych wymagań.
3. Wskaźniki dla operacji, produkcji i wyrobu
Wskaźniki zdolności odnoszą się zarówno do pojedynczych operacji i wybranej
własności wyrobu lub półwyrobu jak też dla, grup operacji, procesu czy całej technologii.
Odnosić się mogą także do zestawu własności wyrobu. Wskaźniki te dla rozkładu normalnego
związane są z poziomem wadliwości wyrobu tak więc w miarę postępowania procesu i
nadawania wyrobowi wymaganych własności poziom wad będzie wzrastał. Np. 1%
produkowanej taśmy nie ma wymaganej grubości to sprawdzając po cięciu szerokość taśmy
możemy liczyć się z tym że poziom wybraków wzrośnie o taśmę nie spełniającą wymagań
szerokości np. do 2%. Stąd w miarę wzrostu ilości ocenianych parametrów a co za tym idzie
ilości operacji wpływających na te własności badane wskaźniki będą ulegały pogorszeniu.
Czynnością poprawiającą ten wskaźnik jest natomiast kontrola usuwająca wadliwe wyroby.
Rozróżnić zatem należy wskaźniki użyteczne dla klienta a opisujące produkt i wskaźniki
użyteczne dla kontroli procesu opisujące poszczególne operacje proces czy całą produkcję.
4. Związki wskaźników z rozkładem normalnym
Wykres rozkładu normalnego prezentowany na rys. 1 przedstawia rozrzut wyników
badań produktów poddanych kontroli z zaznaczeniem pasa tolerancji określonego środkiem
oraz górną i dolną granicą.
Całka z krzywej opisującej gęstość prawdopodobieństwa prezentująca pole pod krzywą
jest prawdopodobieństwem wystąpienia wyniku w przedziale o granicach równych granicom
całki. Tak więc całka liczona od dolnej do górnej granicy pasa tolerancji jest
prawdopodobieństwem otrzymania wyrobu dobrego. Całka liczona od -  do dolnej granicy
tolerancji = αd jest prawdopodobieństwem otrzymania wyrobu o własnościach mniejszych od
dopuszczalnych, a całka liczona od górnej granicy tolerancji do +  =
αg jest
prawdopodobieństwem otrzymania wyrobu o własnościach większych od dopuszczalnych.
Prawdopodobieństwo wystąpienia wybraku jest zatem sumą i wynosi:
α = αg + αd
xx
Zmienna „ z ” jest tzw. zmienną standaryzowaną i obliczana jest z zależności z 

gdzie x jest wartością pomiarową.
Znając zmienną standaryzowaną z dla brzegów przedziału zd i zg możemy poprzez
całkowanie F(z) w tym przedziale wyliczyć wartości prawdopodobieństwa α dla badanego
przedziału. Operacje tą możemy wykonywać także odwrotnie czyli dla założonego
prawdopodobieństwa α i jednego z brzegów przedziału wyliczyć drugi brzeg.
Rys. 1 Rozkład normalny z naniesionymi granicami tolerancji
Zmienne standaryzowane dla granic tolerancji
Zd= (LSL- x )/ σ oraz Zg= (USL- x )/ σ
Wskaźniki precyzji
Cp= (Zg –Zd)/6 lub k p  Z g  Z d
Wskaźniki dokładności
min( Z d , Z g )
C pk 
lub k d  X   ( Z g  Z d )
3
α = αg + αd = 1-F(zg) + F(zd)
5. Wskaźniki dla procesów równoległych
W przypadku gdy wyroby są wykonywane na kilku równolegle pracujących
urządzeniach a wskaźniki precyzji tych urządzeń nie są jednakowe wtedy strumień wyrobów
pochodzący z tych urządzeń nie jest jednorodny. Występuje zatem potrzeba oceny całości
strumienia wyrobów i przyjęcia wypadkowego wskaźnika precyzji . Rozwiązanie takie
wykonuje się poprzez ocenę wadliwości wyrobów z poszczególnych urządzeń a suma tych
wad odniesiona do całkowitej produkcji jest poziomem wadliwości strumienia wszystkich
wyrobów.
Oznaczając przez :
αi poziom wad produkcji z urządzenia „ i”
ni ilość wyprodukowanych wyrobów przez urządzenie „ i”
wi ilość wadliwych wyrobów z urządzenia „ i”
u ilość produkujących urządzeń
αc poziom wad dla całej produkcji
Otrzymamy dla strumienia wyrobów następujący zależność opisującą poziom wad
u
c
 n

n
i 1
i
i
i
i
Całka z gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia produktów poza granicą tolerancji
wynosi :
F(z) = 1- αc
Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego wyznaczamy zmienną standaryzowaną „ z
” Następnie przyjmując rozkład wad np. symetryczny względem założonej tolerancji
otrzymamy zg = -zd = z
Przy takich założeniach wskaźnik precyzji dla całości produkowanych wyrobów wynosi
:
Cp = z/3 lub kp=2z
6. Wskaźniki dla produktów o wielu kontrolowanych parametrach
Większość wyrobów ocenia się wg nie jednej a kilku wielkości np. szerokość , grubość
, jakość powierzchni itp. Co wymaga kłopotliwego stosowania kilku wskaźników precyzji.
Stąd istnieje potrzeba zastąpienia wielu wskaźników zdolności procesu produkcyjnego
jednym.
Empiryczny rozkład wyników typu wyrób dobry ,wyrób zły jest zasadniczo rozkładem
dwumianowym. Znaczna ilość wyników tworząca ten rozkład powoduje że jest możliwym
zastąpienie go rozkładem normalnym co zezwala otrzymać zależność na wskaźnik precyzji Cp
dla wyrobów o wielu parametrach kontrolowanych .
Przyjmując oznaczenia:
αi poziom wad produkcji dla parametru „ i”
k ilość kontrolowanych urządzeń
αk poziom wad po uwzględnieniu wszystkich kontrolowanych parametrów
otrzymamy
 k  1   (1   i )
i
Przeliczenia wartość αk na Cp wykonuje się poprzez wyznaczenie wartości „z” a
następnie użycia zależności opisanych w poprzednim rozdziale Związki wskaźników z
rozkładem normalnym.
Poniższe wzory prezentują te zależności
α =2(1-F(3Cp))
Cp=(F-1(1-alfa/2))/3
dla Cp =Cpk ; F(x) dystrybuanta ; F-1(x) funkcja odwrotna
Cp
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
alfa
0,133614
0,071861
0,035729
0,016395
0,006934
0,0027
0,000967
0,000318
9,62E-05
2,67E-05
6,8E-06
1,59E-06
3,4E-07
% alfa
13,36144
7,186064
3,572884
1,639507
0,693395
0,26998
0,096685
0,031822
0,009619
0,002669
0,00068
0,000159
3,4E-05