TEORIA GIER – 10 Gry w postaci ekstensywnej

TEORIA GIER – 10
Gry w postaci ekstensywnej - c.d.
W jedna֒ z gier z zadania 11 zagramy rankingowo na wykladzie.
ZD1. Przedstaw podana֒ gre֒ w postaci normalnej.
Los
[1/3]
I
[2/3]
I
P
L
P
(1,−1)
II
a
A1
L
(1,1)
II
a
b
b
I
(−2,3)
(2,1)
(2,3)
L
P
(1,2)
A2
I
L
(−2,3)
P
(3,3)
ZD2. Sprawdź, czy w grze z zadania 3 z poprzedniej listy (chodzi o gre֒ ze stolem i kartami) istnieja֒ jakieś
czyste strategie zdominowane.
ZD3. Moneta A jest zwykla֒ moneta֒, w której orzel wypada z prawdopodobieństwem 1/2, a moneta B
jest obcia֒żona i dla niej orzel wypada z prawdopodobieństwem 1/3. Gracz I na pocza֒tku gry zgaduje, czy
wypadnie orzel czy reszka. Jeśli powie ,,orzel”, to mistrz gry rzuca moneta֒ A, jeśli gracz I powie ,,reszka”,
to mistrz gry rzuca moneta֒ B. Naste֒ pnie mistrz gry informuje gracza II, czy I zgadl, co wypadlo, ale nie
mówi II, czy rzucal moneta֒ A czy B (gracz II nie zna wyniku rzutu moneta֒, ani nie wie, co powiedzial
I). Teraz gracz II próbuje zgadna֒ć, której monety użyl mistrz gry. Jeżeli zgadnie, dostaje od gracza I 1zl.
Jeżeli nie zgadnie, a okazalo sie֒ , że I wytypowal prawidlowo, to II placi I 2zl. W przypadku, gdy typy obu
graczy sa֒ nietrafione, nikt nic nie wygrywa.
(a) Przedstaw gre֒ w postaci ekstensywnej.
(b) Wyznacz poziomy bezpieczeństwa obu graczy.
(c) Wyznacz przykladowe mieszane strategie optymalne i równoważne im strategie behawioralne.
ZD4.
Dla podanej gry znajdź przykladowa֒ strategie֒ σII ∈ MII
równoważna֒ strategii behawioralnej bII = ( 12 a + 12 b, 13 L + 23 P ).
I
L
P
II
a
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
I
P
L
II
P
L
(2,3)
ZD5. Lisek Chytrusek ma za zadanie sprawdzić, czy w podanej grze strategia behawioralna bII = (( 23 , 13 ), ( 23 , 13 )) jest równoważna strategii mieszanej
σII = 13 (1, 1) + 13 (1, 2) + 13 (2, 1). Oto jego tok myślenia:
1
L
(1,2)
P
(−2,3) (3,3)
I
1
A1
Widze֒ , że jeśli gracz 2 używa strategii bII , to prawdopodobieństwo użycia
1
przez niego strategii czystej (1, 1) wynosi 23 · 23 , a prawdopodobieństwo
użycia strategii (1, 1) przy grze strategia֒ σII jest inne ( 13 ). Zatem bII i σII (3,3)
nie sa֒ równoważne.
Czy rozumowanie Liska Chytruska jest poprawne?
II
2
A2
II
II
2
1
(2,4)
(4,2)
2
(2,2)
2
ZD6. Uzasadnij, że w podanej grze strategie
σI = 14 (L, P ) + 14 (L, L) + 12 (P, L) i
bI = ( 12 L + 12 P, 14 P + 34 L)
nie sa֒ równoważne.
ZD7. Czy w podanych grach istnieje strategia behawioralna równoważna strategii mieszanej σII ?
(a) σII = 12 (L, L) + 12 (P, P )
(b) σII = 12 (L, L, L, L) + 12 (P, P, P, P )
ZD8. Zalóżmy, że w podanej grze
bII = ( 12 a + 12 b, 23 L + 13 P ) ∈ BII i
σII = 12 (a, P ) + 13 (b, L) + 16 (b, P ) ∈ MII .
Sprawdź, czy strategia σII jest równoważna strategii bII .
I
L
P
II
a
II
b
b
a
(2,1) (1,−1) (1,1)
L
I
P
II
L
(2,3)
II
P
(1,2)
L
P
(−2,3) (3,3)
ZD9.
(a) Czy w grach w postaci ekstensywnej może istnieć nieczysta strategia behawioralna bI , dla której
istnieja֒ przynajmniej dwie strategie mieszane, równoważne bI ?
(b) Czy w grach w postaci ekstensywnej może istnieć nieczysta strategia mieszana σI , dla której istnieja֒
przynajmniej dwie strategie behawioralne, równoważne σI ?
ZD10. Wyznacz przykladowa֒ strategie֒ behawioralna֒ równoważna֒ podanej strategii mieszanej.
(a) σI = 14 (L, L) + 34 (P, P ).
(b) σI = 16 (L, L, P, P ) + 13 (P, L, P, L) + 13 (P, L, L, L) + 16 (P, P, P, L)
Los
[1/3]
I
[2/3]
I
P
L
P
(1,−1)
II
a
A1
L
(1,1)
II
a
b
b
I
(−2,3)
(2,1)
(2,3)
L
P
(1,2)
A2
I
L
(−2,3)
P
(3,3)
3
ZD11. Jak zagralibyście Państwo w podanej grze be֒ da֒c graczem I? A be֒da֒c graczem II ? W podanych
grach dla czytelności rysunku pominie֒ to etykiety krawe֒ dzi. W (b) zakladamy, że gra jest o sumie zerowej,
dlatego przy liściach podane sa֒ tylko wyplaty gracza I.
(a)
(b)
ZD12. Oto gra G w postaci normalnej. Rozważmy modyfikacje֒ G′ tej gry: najpierw gracz I ustala swoja֒ strategie֒ , a potem gracz II wybiera swoja֒, wiedza֒c
o wyborze I (i jest to wiedza powszechna). Czy be֒ da֒c graczem II, wolelibyście
Państwo grać w gre֒ G (wg standardowych zasad gier w postaci normalnej) czy w
G′ ? Prosze֒ dokladnie przeanalizować obie wersje, narysować drzewo dla G i dla G′ ,
zaproponować obu graczom korzystne wg Państwa strategie w obu grach.
X
Y
Z
A (5,0) (2,1) (1,4)
B (0,1) (3,3) (2,2)
C (4,2) (1,0) (0,1)
(2,1) (0,0)
ZD13. (nieobowia֒zkowe, ale ciekawe)
(0,0) (1,2)
Ma֒ż i żona graja֒ w taka֒ gre֒ G: na pocza֒tku ma֒ż mówi ,,pas” lub ,,gram”. Jeżeli spasuje,
3 3
to wektor wyplaty dla obojga wynosi ( 2 , 2 ). Jeżeli ma֒ż powie ,,gram”, to rozgrywa z żona֒
gre֒ dwumacierzowa֒ G′ dana֒ w postaci macierzy podanej obok.
Prosze֒ doradzić me֒ żowi, jak grać, w dwóch wariantach gry G:
(a) Żona nie wie, czy ma֒ż spasowal, czy nie, wie tylko, że ma wybrać strategie֒ w G′ . (Ma֒ż wie, że żona
nie wie i jest to wiedza powszechna.)
(b) Żona wie, czy ma֒ż spasowal, czy nie (i jest to wiedza powszechna, czyli m.in. ma֒ż wie, że żona wie).
Wesolych Świa֒t!